专练27 相似与特殊图形(四)矩形&专练28 相似与特殊图形(五)正方形-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

一轮发展下线2x人，第二轮发展下 50k+b=600 k=-2 2.设养鸡场的边长AB为x,则BC ,解得 线2x2人，根据题意得：2+2x十2x b=700 b=700 =(100-4.x)m, =114,整理得：x2十x-56=0, 直线解析式为：y=一2x+700, 根据题意得：x(100一4x)=400, 解得：=7，x2=-8(不符合题 当x=60时，进价为：y=一2×60十 整理得：x2一25.x十100=0，解得： 意，舍去) 700=580,售价为：800-5×(60- x1=5,x2=20. 答：每个人计划发展下线7人 40)=700, 当x=5时，BC=100-4x=100 知能检测 则每台学习机可以获利：700一580 -4×5=80>36,不符合题意，舍 1.设每轮感染中平均每一台电脑会 =120(元). 去；当x=20时，BC=100一4x= 感染x台电脑，依题意得：1+x+ (3)当x>40时，每台学习机的利润 100-4×20=20<36,符合题意. (1十x)x=81,整理得(1+x)2= 是：(-5.x+1000)-(-2x+700)= ∴.养鸡场的边长AB为20m,BC 81,则x十1=9或x十1=-9， -3x+300, 为20m. 解得x1=8,x2=-10(舍去). 则x(一3.x+300)=4800,解得：x 专练22巧证比例式或等积式 答：每轮感染中平均每一台电脑 =80,x2=20(舍)；当x≤40时，每 典例导练 会感染8台电脑。 台学习机的利润是：800一(-2x+ 证明：.∠ACB=90°，.∠ACD+ 700)=2x+100,则x(2x+100)= ∠BCD=90°，：CD为AB边上的高， 2.设每次提价的百分比为x,依题 4800,解得：=30，x2=-80(舍). ∴.∠ADC=90°，∴.∠A+∠ACD 意，得：100(1十x)2=144, 答：该商店可能购进并销售学习机 90°，∴.∠A=∠BCD,.BE是∠ABC 解得：0=0.2=20%，2=一2.2 80台或30台. 的平分线，∴.∠ABE=∠CBE, (不合题意，舍去)，.100(1+x) 专练21一元二次方程的应用（四） =100×(1+20%)=120. △AMn△(T器0 通道、围栏问题 答：第一次提价后的售价为120元. ,∠CEF=90°-∠CBE,∠CFE 典例导练 专练20一元二次方程的应用（三） ∠BFD=90°-∠DBF,∴.∠CEF (1)设矩形ABCD的边AB为xm,则 利润问题 边BC=70-2x+2=(72-2x)m. ∠CECE-(盖器 典例导练 根据题意，得x(72一2x)=640,化 知能检测 设售价定为x元，[600一10(x 简，得x2-36.x+320=0,解得x1= 1.四边形ABCD为正方形，.AB 40)](x-30)=10000, 16,x2=20,当x=16时，72-2x= =BC,∠A=∠C=90°，AB∥CD, 整理，得x2一130x十4000=0，解 72-32=40(m);当x=20时，72一 .∠ABE=∠F,∴.△ABE∽ 得：x1=50,2=80(舍去). 2.x=72-40=32(m). 600-10(x-40)=600-10×(50- 答：当羊圈的长为40m,宽为16m △CB0瓷AB· 40)=500(个). 或长为32m,宽为20m时，能围成 AE·CF,∴.AB=AE·CF 答：台灯的定价定为50元，这时应 一个面积为640m2的羊圈， 2.,四边形ABCD为菱形，∴.∠ACB 进台灯500个. (2)不能，理由：由题意，得x(72 =∠ACD,即∠ACD=2∠BCD, 知能检测 2x)=650,化简，得x2-36.x+325 (1)由题意得：当x>40时，每台学习 =0,△=(-36)2-4×325=-4< :∠EAF=7∠BCD.∴.∠ACD 机的售价为（元）：800-5(x一40)= 0,.一元二次方程没有实数根. ∠EAF,.∠AFC=∠GFA,∠FCA -5.x+1000. .羊圈的面积不能达到650m2. =∠FAG,∴.△FACP△FGA, (2)设图中直线解析式为：y=x+: 知能检测 .AF:FG=CF:AF,∴.AF=FC· b,把(0,700)和(50,600)代入得：1.1 FG. 70 专练23 相似之基本辅助线 2.(1)3 专练26相似与特殊图形（三） 2 典例导练 平行四边形 (2)作OD⊥AC于D,OE⊥BC于 18 典例导练 E,易证△PODn△QOE,得5 作OG∥BC,交边CD于点G,:O 知能检测 为BD中点，.OG为△BDC的中 1.过点B作MN⊥l,交（于点N,交 O OE·在Rt△AOD和Rt△BOE 4于点M,则△NAB△MBC, 位线，0G=2BC,又：CE=2CD, 端漫停M. 中，0D-01.0E=0B. CF/OG.△ECF△E0. CE1 CF1 六BA=VNB+NA=I」 EG-2'AD=4· 31 专练25 相似与特殊图形（二） 知能检测 AC=2BA=号VI. 等腰三角形 1.在□ABCD中，AB∥CD, 2.(1)过点C作CE∥AB,交AD的 典例导练 ∴.∠AED=∠CDE, 延长线于点E, 证明：(1).AB=AC,.∠B :DE=AECD是-DE DE CD .CE∥AB,∴∠E=∠EAB,∠B= ∠ACB,.∠EDF=∠B,∠EDC '.△ADEp△ECD, ∠R△CEDn△BAD焉 ∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC, ∴.∠DEB=∠CDF, 0腮 0:∠E-∠EB,∠BB ∴.△BDEP△CFD. .AD·CD=CE·DE. ∠CAD,∴.∠E=∠CAD,∴.CE= (2)点D是BC的中点，.BD=2.(1)证明：：AB∥CG,.∠ABF cA装0 CD,由(1)可知：△BDEc△CFD, =∠G,又，∠ABF=∠ACF, ∴.∠ECF=∠G, 2) 器器 又，∠CEF=∠GEC,.△ECF 3 又，∠EDF=∠B=∠ACB, 专练24相似与特殊图形（一） △C需即CF= 直角三角形 △(DnAm带. EF·EG. 典例导练 ∴.DF=EF.CF (2).平行四边形ABCD中，AB 如图2，，四边形ABCD为正方形， 知能检测 =CD,又，DG=DC,.AB=CD ∴.OC⊥BO,∠BCD=90°，∴.BC= .号 =DG,.AB:CG=1:2,AB∥ BO·BD,.CF⊥BE,∴.BC=BF 2.过点C作CH∥AD交DE的延 G∴0-器=3，即 ·BE,.BO·BD=BF·BE,即 长线于点H,则∠ADE=∠H BO BF BEBD,而∠OBF=∠EBD, 2∴EG=14,BG=21.AB/ ∠B,:AD=AE,.∠H= ∴.△BOFp△BED. ∠ADE=∠AED=∠CEH, .…票=0 DG =1,.BF= 知能检测 .CE=CH,.∠ADC=∠ADE C头EF=BF-- 1.连接CM,则EF垂直平分CM, +∠HDC=∠B+∠BAD, 过点M作MN⊥BC于点N,证 ∴.∠HDC=∠BAD,.△BAD∽ 7 △CEFn△NCM.:需深 △HDC器0. 专练27相似与特殊图形（四）矩形 典例导练 BN BM 1 CN=AM=3· 需架 过点E作EM⊥AB交BA的延长 72 线于点M,则EM=号AE=1,-2x. ,∠EMB=∠HBC=90°，且CHI 知能检测 BE,.△EMBn△HBC,B 1.分别延长AE,DC交于点K, △ABEP△KCE, 欲BH·M=EM·BC=2, .AE:EK=BE:CE,E是BC中 点，则BE=CE,AE=EK, 易证△BGHD△BME.·B .GH平分AE,.EK=AE= BE·G=BH·BM=2 2AF,FK=3AF, ,AG∥HK,.△AGF∽△KHF, 知能检测 ∴.GF:FH=AF:FK=1:3. 1.过点P作AD的垂线MN,交AD2.(①D设EP-x,则PD=2,PA=4x, 于点M,交BC于点N, 易证△ABF≌△DAP, 易证△APM△PEN, .'.AF=DP=2x,.'.PF=2x=AF. (2)连接BD,DF,易知BD=√2CD, 兴易正既器 DF=√2DP,∠BDF=∠CDP, .AM-AD=105 PN CD 63' △CDPn△BDF,第-部=E, 路 BF=ECR部-am=4, 2.过点E作MN∥AB分别交AD, ∴.CP=2W2. BC于点M,N,过点A作AGI 专练29全等与相似 BD于点G,则△EFNO△AEM, 典例导练 △EFHo△AEG.∴A是 EH_EF (1)PQ-BP+DQ (2)①△BAMC∽△CAQ,△DANC∽ EN EN CD 4 AMBN BC3' △CAP,△ANM∽△APQ.证明： EH=专G易证治-器 △BAMP△CAQ ,四边形ABCD是正方形，∴∠ABM 青a0子ac器0 4 =∠ACQ-∠BAC=45°，AC=/2AB, .∠BAC=∠PAQ=45,.∴∠BAM= 专练8相似与特殊图形（五）正方形 ∠CAQ,∴.△BAM∽△CAQ,相似比 典例导练 为BA:CA=1:V2, 过点F作FH⊥BC于点H, ,∠DCH=90°，CF平分∠DCH, ②易证△DANn△CAP,器器 ∴∠FCH=2∠DCH=45,FH -号，由(2i证ABAM△CAQ, =CH,易证△BAE∽△HEF, ..AB:EH=BE:FH,..4:(4-x+ 岩提岩器， FH)=x:FH,∴.FH=x, :∠MAN=∠QAP,∴.△ANM∽ y号×cXFH=40z△Q冷号迪河知 73 PQ=BP+DQ-4+6-100 N_解得：m=0或m=2. 知能检测 号M-5n 1.由题意，可设顶点式为y=a(x一 2)2-1,将(0,3)代入得，4a-1= 专练30相似之类比探究 3,解得a=1,∴.抛物线的解析式 典例导练 (1)2(2)2 为y=(x-2)2-1. 2.根据题意，可知抛物线的对称轴 (3)如图，过点P作DP⊥AB于点P, 为直线x=4,抛物线与x轴的两 DQLAC于点Q,∴.∠DPA=∠DQA 交点坐标为(0,0)，(8,0)， =∠A=90°，∴.四边形APDQ是矩 设抛物线解析式为y=a(x一4)2 形DP=AQ,Q=P.“品 +2,把(0,0)代入得16a=-2, aCD a BDb 方CBa十b'a+6DP/ 解得a=一 8,所以抛物线解析 AC,DQ∥AB,.△DQCn△BAC, 式为y=一 8x2+x △Pn△CB器需光 专练32求二次函数解析式（二）】 畏0器B= aFb'DP= 隐含对称轴 典例导练 4b BD 根据题意，得抛物线的对称轴为直 BC ·AC=- 2a atb 线x= 2a =-1,.当x=-3和x =1时，函数值相等，由题意，得x= a 1和x=一3时，y=0,即抛物线经 (0当△DEF△ACB时，则哈 过(-3,0)，(1,0)， 怎即的专整理，得：a=6,CD 设抛物线解析式为y=a(x十3)(x -1),当x=一1时，y最小值=一4a= =号PC=5:②当△DEFn△ABC 一8，解得a=2,∴.抛物线解析式为 y=2.x2+4x-6. 时则怨即必异整理，得： a 知能检测 a=4b,∴.CD= 1.由题意，得22=2，联立2x 综上，当△DEF与△ABC相似时， 十x2=5,解得x1=1,x2=3, C-5或8 .A(1,0),B(3,0),把A(1,0)代 人y=a.x2-4a.x+3,解得：a=1. 专练31 求二次函数解析式（一）】 ∴.抛物线的解析式为y=x2一4x 顶点式 +3. 典例导练 2.由题意，得对称轴为直线x= y-x+mr+m-(x+2m) 4 一4m=2,点C坐标为(0，)，OC 2m m,由题意，得一十m=-（一m）. =0B=,OA=号，由抛物线对称 74 知能检测 3 轴可得， 2=2，解得：n=3,将 1.或-3 B(3,0)代人y=m.x2-4m.x+3, 2.y=-x2+2.x-3=-(x-1)2 得9m-12m+3=0,∴.m=1, 2,函数图象开口方向向下，对称 ∴.抛物线的解析式为：y=x 4x+3. 轴为直线x=1,顶点为(1，一2) 专练33求二次函数解析式（三） (1)当a-3>1时，此时x=a一3 图象变换 时，y取最大值一3，可得：一3 典例导练 -(a-3-1)2-2,解得a=5或3 示范题1y=x2+4x-5=(x十 (舍去) 2)2-9,设y=(x十2-)2-9， (2)当a+2<1,此时x=a十2 由题意，得(2-p)2一9=0，解得p=5 时，y取最大值一3，可得：一3= 或p=一1（舍去），故p的值为5. -(a+2-1)2-2,解得a=-2 示范题2287 或0（舍去）. 知能检测 (3)当a-3≤1≤a+2时，y的最 1.y=3(x+1)2-1 大值为一2，此时不符合题意.综 2.y=- 2(x-1)2 上，a的值为5或-2. 专练35数形结合（一）》 3.y= -3r+29 3 函数值的大小比较 专练34 二次函数的区间最值 典例导练 与增减问题 3 典例导练 知能检测 y=x2+2mx+m+2=(x十m)2+21.C 十m一m2,对称轴为直线x=一m, 2.-1<n<0 (1)当-m<-2时，即m>2时，x 由题意，可知抛物线开口向上，对 =一2函数有最小值，则4一4m十m 称轴为直线x=1, +2=-3,解得m=3. A,B两点在对称轴x=1的两 (2)当-2≤-m≤2时，x=一m函 侧，则点A在x=1的右侧， 数有最小值，则2十m一m2=一3，解 .列不等式组 得m= 1+√/2I 2 (舍去)，= 2n+3>1 1-√21 n-1<1 2 1-(n-1)>2n+3-1 (3)一m>2时，x=2函数有最小 解得-1<n<0. 值，则4+4m+m十2=-3，解得m 专练36数形结合（二） 号（合去.综上所述，m的值为 二次函数图象与系数a,b,c的关系 典例导练 3或1② 2 C 7527 专练27相似与特殊图形（四） 矩形 【方法规律】利用矩形的边、角性质构造三角形相似， 心典例导练 模型一作垂线，构造直角三角形相似 Mp 示范题如图，四边形ABCD为矩形，以AD为边向上作等边三角形 ADE,连BE交AD于点F,且=}CHBE文AB于点H,安BE于 点G,若AE=2,求BE·BG的值. 【思路点拨】过，点E作EM⊥AB交BA的延长线于点M,先证△EMBC∽△HBC,再 证△BGH△BME. 【自主解答】 心知能检测 模型二作垂线，构造“一线三等角”型相似 1.如图，点P为矩形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥AP交BC于点E,若AD=10, DC-6,求号的值. 2.知图，在矩形ACD中，铝言，EF分别是线段5D,BC上的点，AE1ER,FHL BD于点H,水器的值 E 28 专练28相似与特殊图形（五）」 正方形 【方法规律】利用正方形的性质结合基本图形构造三角形相似. )典例导练 模型一利用正方形的性质构造K型相似 示范题如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC边上一动点（与B,C不重 合)，连接AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于点F,设BE=x,△ECF的面积为 y,求y与x的函数关系式 【思路点拨】过，点F作FH⊥BC于点H,证△BAEC∽△HEF. 【自主解答】 之知能检测 模型二利用正方形的性质构造A,X型相似 1.如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB,AE,CD 于点G,F,H,求GF:FH的值. 2.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，DP⊥AE,垂足为点P,BF⊥AE于点F (1)求证：AF=PF D E aC (2)连接CP,若AB=2W5,求CP的长.