专练23 相似之基本辅助线&专练24 相似与特殊图形(一)直角三角形-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

23 专练23相似之基本辅助线 【方法规律】(1)作平行线构造“A”或“X”形相似. (2)作垂线并利用直角条件构造直角三角形相似，转化线段的比. 典例导练 示范题1如图，点D、E分别位于△ABC边BC、AB上，AD与CE 交于点F.已知AF:FD=1:1,EF:FC=1:4,则BD:CD= 【思路点拨】过，点D作DH∥EF,交AB于点H,利用相似三角形 的判定与性质和比例的性质解答 示范题2如图，AD∥BC,∠BCD=90°，DE⊥AB于点E,若BC=3,AD=6,则AE ·AB= 【思路点拨】作BG⊥AD于点G,△ABGP△ADE,则AE·AB=AD·AG. 知能检测 h D 1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线1∥12∥13，l与l2之间距离是1， 2与l3之间距离是2，且11，l2,l分别经过点A,B,C,求AC的长 2(如图1.已知AD是△AC的角平分线，求证：装架 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点.连接AD,将△ACD沿 AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.若AC=1,AB=2,则DE的长 为 图 图2 24 专练24相似与特殊图形（一）直角三角形 【方法规律】巧用直角三角形中射影型相似及作垂直构造相似. 典例导练 模型一射影型相似 示范题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ AB,我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD· 0 AB,这个结论称之为射影定理. D B 如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC, 图1 图2 BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,试利用射影定理证 明△BOF∽△BED. 【思路点拔】根据射影定理得BC=BO·BD,BC=BF·BE,则BO·BD=BF·BE 【自主解答】 之知能检测 模型二作垂直构造相似 1.如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，点E,F分别在CA,CB上， 将△CEF沿直线EF翻折，点C恰好落在AB上的点M处，若AM= 38M,求器的值 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上， OM、ON分别交CA、CB于点P、Q,∠MON绕点O任意旋转. 当器时，5的值为 (2当器-力时，求咒的值（用合n的式f表示） n一轮发展下线2x人，第二轮发展下 50k+b=600 k=-2 2.设养鸡场的边长AB为x,则BC ,解得 线2x2人，根据题意得：2+2x十2x b=700 b=700 =(100-4.x)m, =114,整理得：x2十x-56=0, 直线解析式为：y=一2x+700, 根据题意得：x(100一4x)=400, 解得：=7，x2=-8(不符合题 当x=60时，进价为：y=一2×60十 整理得：x2一25.x十100=0，解得： 意，舍去) 700=580,售价为：800-5×(60- x1=5,x2=20. 答：每个人计划发展下线7人 40)=700, 当x=5时，BC=100-4x=100 知能检测 则每台学习机可以获利：700一580 -4×5=80>36,不符合题意，舍 1.设每轮感染中平均每一台电脑会 =120(元). 去；当x=20时，BC=100一4x= 感染x台电脑，依题意得：1+x+ (3)当x>40时，每台学习机的利润 100-4×20=20<36,符合题意. (1十x)x=81,整理得(1+x)2= 是：(-5.x+1000)-(-2x+700)= ∴.养鸡场的边长AB为20m,BC 81,则x十1=9或x十1=-9， -3x+300, 为20m. 解得x1=8,x2=-10(舍去). 则x(一3.x+300)=4800,解得：x 专练22巧证比例式或等积式 答：每轮感染中平均每一台电脑 =80,x2=20(舍)；当x≤40时，每 典例导练 会感染8台电脑。 台学习机的利润是：800一(-2x+ 证明：.∠ACB=90°，.∠ACD+ 700)=2x+100,则x(2x+100)= ∠BCD=90°，：CD为AB边上的高， 2.设每次提价的百分比为x,依题 4800,解得：=30，x2=-80(舍). ∴.∠ADC=90°，∴.∠A+∠ACD 意，得：100(1十x)2=144, 答：该商店可能购进并销售学习机 90°，∴.∠A=∠BCD,.BE是∠ABC 解得：0=0.2=20%，2=一2.2 80台或30台. 的平分线，∴.∠ABE=∠CBE, (不合题意，舍去)，.100(1+x) 专练21一元二次方程的应用（四） =100×(1+20%)=120. △AMn△(T器0 通道、围栏问题 答：第一次提价后的售价为120元. ,∠CEF=90°-∠CBE,∠CFE 典例导练 专练20一元二次方程的应用（三） ∠BFD=90°-∠DBF,∴.∠CEF (1)设矩形ABCD的边AB为xm,则 利润问题 边BC=70-2x+2=(72-2x)m. ∠CECE-(盖器 典例导练 根据题意，得x(72一2x)=640,化 知能检测 设售价定为x元，[600一10(x 简，得x2-36.x+320=0,解得x1= 1.四边形ABCD为正方形，.AB 40)](x-30)=10000, 16,x2=20,当x=16时，72-2x= =BC,∠A=∠C=90°，AB∥CD, 整理，得x2一130x十4000=0，解 72-32=40(m);当x=20时，72一 .∠ABE=∠F,∴.△ABE∽ 得：x1=50,2=80(舍去). 2.x=72-40=32(m). 600-10(x-40)=600-10×(50- 答：当羊圈的长为40m,宽为16m △CB0瓷AB· 40)=500(个). 或长为32m,宽为20m时，能围成 AE·CF,∴.AB=AE·CF 答：台灯的定价定为50元，这时应 一个面积为640m2的羊圈， 2.,四边形ABCD为菱形，∴.∠ACB 进台灯500个. (2)不能，理由：由题意，得x(72 =∠ACD,即∠ACD=2∠BCD, 知能检测 2x)=650,化简，得x2-36.x+325 (1)由题意得：当x>40时，每台学习 =0,△=(-36)2-4×325=-4< :∠EAF=7∠BCD.∴.∠ACD 机的售价为（元）：800-5(x一40)= 0,.一元二次方程没有实数根. ∠EAF,.∠AFC=∠GFA,∠FCA -5.x+1000. .羊圈的面积不能达到650m2. =∠FAG,∴.△FACP△FGA, (2)设图中直线解析式为：y=x+: 知能检测 .AF:FG=CF:AF,∴.AF=FC· b,把(0,700)和(50,600)代入得：1.1 FG. 70 专练23 相似之基本辅助线 2.(1)3 专练26相似与特殊图形（三） 2 典例导练 平行四边形 (2)作OD⊥AC于D,OE⊥BC于 18 典例导练 E,易证△PODn△QOE,得5 作OG∥BC,交边CD于点G,:O 知能检测 为BD中点，.OG为△BDC的中 1.过点B作MN⊥l,交（于点N,交 O OE·在Rt△AOD和Rt△BOE 4于点M,则△NAB△MBC, 位线，0G=2BC,又：CE=2CD, 端漫停M. 中，0D-01.0E=0B. CF/OG.△ECF△E0. CE1 CF1 六BA=VNB+NA=I」 EG-2'AD=4· 31 专练25 相似与特殊图形（二） 知能检测 AC=2BA=号VI. 等腰三角形 1.在□ABCD中，AB∥CD, 2.(1)过点C作CE∥AB,交AD的 典例导练 ∴.∠AED=∠CDE, 延长线于点E, 证明：(1).AB=AC,.∠B :DE=AECD是-DE DE CD .CE∥AB,∴∠E=∠EAB,∠B= ∠ACB,.∠EDF=∠B,∠EDC '.△ADEp△ECD, ∠R△CEDn△BAD焉 ∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC, ∴.∠DEB=∠CDF, 0腮 0:∠E-∠EB,∠BB ∴.△BDEP△CFD. .AD·CD=CE·DE. ∠CAD,∴.∠E=∠CAD,∴.CE= (2)点D是BC的中点，.BD=2.(1)证明：：AB∥CG,.∠ABF cA装0 CD,由(1)可知：△BDEc△CFD, =∠G,又，∠ABF=∠ACF, ∴.∠ECF=∠G, 2) 器器 又，∠CEF=∠GEC,.△ECF 3 又，∠EDF=∠B=∠ACB, 专练24相似与特殊图形（一） △C需即CF= 直角三角形 △(DnAm带. EF·EG. 典例导练 ∴.DF=EF.CF (2).平行四边形ABCD中，AB 如图2，，四边形ABCD为正方形， 知能检测 =CD,又，DG=DC,.AB=CD ∴.OC⊥BO,∠BCD=90°，∴.BC= .号 =DG,.AB:CG=1:2,AB∥ BO·BD,.CF⊥BE,∴.BC=BF 2.过点C作CH∥AD交DE的延 G∴0-器=3，即 ·BE,.BO·BD=BF·BE,即 长线于点H,则∠ADE=∠H BO BF BEBD,而∠OBF=∠EBD, 2∴EG=14,BG=21.AB/ ∠B,:AD=AE,.∠H= ∴.△BOFp△BED. ∠ADE=∠AED=∠CEH, .…票=0 DG =1,.BF= 知能检测 .CE=CH,.∠ADC=∠ADE C头EF=BF-- 1.连接CM,则EF垂直平分CM, +∠HDC=∠B+∠BAD, 过点M作MN⊥BC于点N,证 ∴.∠HDC=∠BAD,.△BAD∽ 7 △CEFn△NCM.:需深 △HDC器0. 专练27相似与特殊图形（四）矩形 典例导练 BN BM 1 CN=AM=3· 需架 过点E作EM⊥AB交BA的延长 72