专练19 传播问题、变化率问题&专练20 一元二次方程的应用(三)利润问题-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

19 专练19一元二次方程的应用（二） 传播问题、变化率问题 【方法规律】审题弄清传播基数与传播方式的变化，如本例设长为x个支干，把小分 枝用x2表示是关键， 典例导练 示范题某诈骗组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线进行网络诈 骗，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人 计划发展下线多少人？ 【思路点拨】设每个人计划发展下线x人，则第一轮发展下线2x人，第二轮发展下线 2x2人，可列出关于x的一元二次方程. 【自主解答】 知能检测 1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被 感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 2.一件商品原售价每件100元，经过两次提价后销售价格变为每件144元，若每次提价 的百分比相同，求第一次提价后的售价为多少元？ 20 专练20 一元二次方程的应用（三） 利润问题 【方法规律】“每每模型”利润问题，根据单价利润=售价一进价，销售总利润=单价 利润×销售量列方程， 心典例导练 示范题某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调 查表明：售价在40~60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10 个.为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？ 【思路点拨】设售价定为x,那么就少卖出10(x一40)个，根据利润=售价一进价，可 列方程求解 【自主解答】 心知能检测 某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售 价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价 与进货数量关系如图所示： (1)当x>40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价. 进价y元 (2)当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以700 600 获利多少元 (3)若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并 50 学习机数 销售学习机多少台 量x/台∠MAB=∠FAD,AM=AF,MB=2023=a+1-a+2023=2024. 知能检测 DF,.∠MBE=∠ABM+∠ABE 知能检测 1.(1)方程整理得： =180°，.M、B、E三点共线 1.由题意，得1-5a十a2=0. (x-10)(x十9)=0， ∴.∠MAE=∠MAB+∠BAE ∴.a2-5a=-1, 解得：x1=10,x2=一9. ∠FAD+∠BAE=∠BAD ∴.3a2-15a-7=3(a2-5a)-7 (2)方程整理得： ∠EAF=60°，.∠MAE=∠FAE, =3×(-1)-7=-10. (3.x-2)(x+4)=0, ,AE=AE,AM=AF,∴.△MAE≌2.由题意，得m2-3m+1=0,且m 解得=号西=一4 △FAE(SAS),∴.ME=EF,∴.EF= ≠0，m-3+1=0, m 2.x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x ME-MB+BE=DF+BE. ∴n+品=3(m+)=9 -k-1)=0. 专练08特殊平行四边形与分类讨论 x1=2,x2=k十1. 典例导练 由题意，得k十1<1，解得：<0， 1或9 即m2+2+ m9, ∴.k的取值范围为k<0. 知能检测 ∴.m2-2+ m =5,（m- 专练13特殊法解方程（二）换元法 在菱形ABCD中，AC⊥BD,,菱形 =5,∴.m 1=±5. 典例导练 ABCD的边长为5，且AC=8,∴.OA= 设x2十2x=y,则原方程转化为y 4,根据勾股定理，得OD=3,①点G 专练11配方法的应用 -y-12=0, 在线段BD上，在正方形ADEF中， 典例导练 整理，得(y一4)(y十3)=0. AD=ED,∠ADE=90°，∴.∠ADO+ m2-6m+10=m2-6m+9+1=(m 解此方程，得y=4,2=一3. ∠ODE=90°，.AC⊥BD,∴.∠AOD -3)2+1≥0+1=1， 当y=4时，x2十2x=4,x=-1±5； =90°，∴.∠ADOH∠OAD=90°， .m2一6m+10的最小值是1，此时 ∴.∠ODE=∠OAD,.EG⊥BD, 当y=一3时，x2+2x=-3,此时该 m=3. ∴∠EGD=90,.∠EGD=∠AOD, 方程无解。 知能检测 .△AOD≌△DGE(AAS),∴.GD= ∴.原方程的解为x1=一1十5，x2 1.原式=-3(y-2y+1)+5=-3 AO=4,∴.G0=4一3=1，根据勾股定 =-1-√5： (y-1)2+5, 理，得AG=√17. 知能检测 由-3(y-1)2≤0，得-3(y-1)2 ②点G在线段BD的延长线上，同理 1.设m2=2x十y(m≥0)，原方程可 +5≤5， 可证△AOD≌△DGE(AAS),∴.DG= 变为m2-9=8m. .一3y2+6y+2有最大值，最大 AO=4,.OD=3,.QG=7,根据勾股 整理，得(m一9)(m十1)=0.所以 值为5. m=9或m=-1(舍去). 定理，得AG=√65.综上所述：AG的：2.M=a2+-2a十4b+2024 即代数式2x+y的值为81. 长为√/17或√65 =(a2-2a+1)+(b+4b+4)-1 2.设x2+2x=n,则十4n-5=0, 专练09特殊平行四边形与作图 -4+2024 整理，得(n一1)(n十5)=0，解得 略 =(a-1)2+(b+2)2+2019, n=1或n=-5, 专练10运用根的定义求代数式的值 .当a=1,b=-2时，M有最小 当n=-5时，x2+2x=一5无解 典例导练 值，最小值为2019. (舍去)，即x2十2x=1, 由题意，得a2一a一1=0，即a2一a 专练12特殊法解方程（一） 所以x3+3.x2+x=x(x2+2x+ =1, 十字相乘法 1)+x2=2x+x2=1. a3-2a十2023=a3一a2+a2-a-a典例导练 十2023=a(a2-a)十(a2-a)-a+x1=-1,x2=-3. 67 专练14根的判别式（一）】 1=0,a十3=-3，a8=1, 2.根据“凤凰方程”的定义知x= 判断根的情况 .a2+3a=-1,8+38=-1. -1是一元二次方程2x2一m.x-n 典例导练 ∴.(a2+4a)(g+48)=(a2+3a+a) =0的根。 证明：.△=b2-4ac=(m-6)2-4 (g+3,3+3)=(a-1)(3-1)=a3 ①当m=-1时，2x2-m.x-n=0 ×(-6m)X1=m2+12m+36=(m (a+3+1=1-(-3)+1=5. 是关于x的风凰方程； +6)2≥0， 知能检测 ②当m≠-1时，，m是方程2x .不论m取何值时，方程总有两个 1.由题意，得a十b=2, 一m.x-n=0的一个根，∴.一1+ 实数根. ∴.a2-+4b=(a+b)(a-b)+ 知能检测 m=受，解得m=2。 4b=2a-2b+4b=2a+2b=4. 1.在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+ 综上所述，m的值是2或一1. 2=0中，△=b-4ac=[-(2k+ 2.(1)-6 3)]2-4(k2+3k+2)=1>0, (2)p>0,∴.△=36-4×1× 专练18一元二次方程的应用（一） 单（双）循环问题 方程有两个不相等的实数根. (-p)=36+4p>0, 典例导练 2.“蛟龙”方程ax2十bx十c=0(a≠ ∴.m,n是一元二次方程x2十6.x 设初中组共有x个队参加比赛，依 0)有两个不相等的实数根，理由 一p=0的两个实数根，且m≠n, 如下：由题意，得b=ac, .m十n=-6,mn=-p,∴.m2+ 题意列方程号x(x-1)=45,解得： .△=b-4ac=-4b=b(b-4) n2=(m+n)2-2mn=36+2p, x1=10,x2=一9（不合题意，舍去）， >0,∴.“蛟龙"”方程a.x2十bx十c :.m+t-36_36+2p36=2. 答：初中组共有10个队参加比赛. 0(a≠0)有两个不相等的实数根. p 专练17根与系数的关系（二）》 知能检测 专练15根的判别式（二） 确定字母系数的值或取值范围 求字母系数的值或取值范围 1.设这个多边形是n边形，则 典例导练 典例导练 n(n3）=20,∴-3n-40=0, 2 依题意，得 (1)由题意，得k一1≠0，且△= (n-8)(n+5)=0,解得n=8,n △=(-3)2-4(m-1)×2=-8m+ 17≥0，且m-1≠0，解得m<号且 12k+13>0,解得k<号且≠1. =一5（舍去）.故多边形的边数 (2)假设存在两根的值互为相反数， 为8. m≠1. 设为x1,x2, 由m,3》=18,可得-3m 2 知能检测 十x2=0,. 2k3 =0,k= 1.根据题意得△=一4a× 4三 29 36=0,.-4ac=9+144= 153,.方程的根无法求出整数， -a=0,即a=, 又<且≠1k不存在 故这样的多边形不存在. a=1,b=1.(答案不唯一) 知能检测 2.设有x个好友，依题意，x(x一1) 2.设-x2十4x-1=y,.方程x2 1.根据根与系数的关系得十x2 =870,整理，得x2-x一870=0， 4x十(y+1)=0有实数根， -2k,0x2=k-1, 即(x-30)(x+29)=0, ∴.b2-4ac=16-4(y+1)≥0，解 x1(x2-2)=2x2,∴.2(0十x2) 得y≤3，则代数式一x2十4x一1 解得：=30，x2=一29（舍去). x1x2=0, 的最大值为3. 答：这个微信群里共有30个好友. .2×(一2k)一(k-1)=-4k-k 专练16根与系数的关系（一） 专练19一元二次方程的应用（二） 求代数式的值 +1=一5k+1=0,解得k= 传播问题、变化率问题 5 典例导练 典例导练 由题意，得a2+3a+1=0,+33+ 设每个人计划发展下线x人，则第 69 一轮发展下线2x人，第二轮发展下 50k+b=600 k=-2 2.设养鸡场的边长AB为x,则BC ,解得 线2x2人，根据题意得：2+2x十2x b=700 b=700 =(100-4.x)m, =114,整理得：x2十x-56=0, 直线解析式为：y=一2x+700, 根据题意得：x(100一4x)=400, 解得：=7，x2=-8(不符合题 当x=60时，进价为：y=一2×60十 整理得：x2一25.x十100=0，解得： 意，舍去) 700=580,售价为：800-5×(60- x1=5,x2=20. 答：每个人计划发展下线7人 40)=700, 当x=5时，BC=100-4x=100 知能检测 则每台学习机可以获利：700一580 -4×5=80>36,不符合题意，舍 1.设每轮感染中平均每一台电脑会 =120(元). 去；当x=20时，BC=100一4x= 感染x台电脑，依题意得：1+x+ (3)当x>40时，每台学习机的利润 100-4×20=20<36,符合题意. (1十x)x=81,整理得(1+x)2= 是：(-5.x+1000)-(-2x+700)= ∴.养鸡场的边长AB为20m,BC 81,则x十1=9或x十1=-9， -3x+300, 为20m. 解得x1=8,x2=-10(舍去). 则x(一3.x+300)=4800,解得：x 专练22巧证比例式或等积式 答：每轮感染中平均每一台电脑 =80,x2=20(舍)；当x≤40时，每 典例导练 会感染8台电脑。 台学习机的利润是：800一(-2x+ 证明：.∠ACB=90°，.∠ACD+ 700)=2x+100,则x(2x+100)= ∠BCD=90°，：CD为AB边上的高， 2.设每次提价的百分比为x,依题 4800,解得：=30，x2=-80(舍). ∴.∠ADC=90°，∴.∠A+∠ACD 意，得：100(1十x)2=144, 答：该商店可能购进并销售学习机 90°，∴.∠A=∠BCD,.BE是∠ABC 解得：0=0.2=20%，2=一2.2 80台或30台. 的平分线，∴.∠ABE=∠CBE, (不合题意，舍去)，.100(1+x) 专练21一元二次方程的应用（四） =100×(1+20%)=120. △AMn△(T器0 通道、围栏问题 答：第一次提价后的售价为120元. ,∠CEF=90°-∠CBE,∠CFE 典例导练 专练20一元二次方程的应用（三） ∠BFD=90°-∠DBF,∴.∠CEF (1)设矩形ABCD的边AB为xm,则 利润问题 边BC=70-2x+2=(72-2x)m. ∠CECE-(盖器 典例导练 根据题意，得x(72一2x)=640,化 知能检测 设售价定为x元，[600一10(x 简，得x2-36.x+320=0,解得x1= 1.四边形ABCD为正方形，.AB 40)](x-30)=10000, 16,x2=20,当x=16时，72-2x= =BC,∠A=∠C=90°，AB∥CD, 整理，得x2一130x十4000=0，解 72-32=40(m);当x=20时，72一 .∠ABE=∠F,∴.△ABE∽ 得：x1=50,2=80(舍去). 2.x=72-40=32(m). 600-10(x-40)=600-10×(50- 答：当羊圈的长为40m,宽为16m △CB0瓷AB· 40)=500(个). 或长为32m,宽为20m时，能围成 AE·CF,∴.AB=AE·CF 答：台灯的定价定为50元，这时应 一个面积为640m2的羊圈， 2.,四边形ABCD为菱形，∴.∠ACB 进台灯500个. (2)不能，理由：由题意，得x(72 =∠ACD,即∠ACD=2∠BCD, 知能检测 2x)=650,化简，得x2-36.x+325 (1)由题意得：当x>40时，每台学习 =0,△=(-36)2-4×325=-4< :∠EAF=7∠BCD.∴.∠ACD 机的售价为（元）：800-5(x一40)= 0,.一元二次方程没有实数根. ∠EAF,.∠AFC=∠GFA,∠FCA -5.x+1000. .羊圈的面积不能达到650m2. =∠FAG,∴.△FACP△FGA, (2)设图中直线解析式为：y=x+: 知能检测 .AF:FG=CF:AF,∴.AF=FC· b,把(0,700)和(50,600)代入得：1.1 FG. 70 专练23 相似之基本辅助线 2.(1)3 专练26相似与特殊图形（三） 2 典例导练 平行四边形 (2)作OD⊥AC于D,OE⊥BC于 18 典例导练 E,易证△PODn△QOE,得5 作OG∥BC,交边CD于点G,:O 知能检测 为BD中点，.OG为△BDC的中 1.过点B作MN⊥l,交（于点N,交 O OE·在Rt△AOD和Rt△BOE 4于点M,则△NAB△MBC, 位线，0G=2BC,又：CE=2CD, 端漫停M. 中，0D-01.0E=0B. CF/OG.△ECF△E0. CE1 CF1 六BA=VNB+NA=I」 EG-2'AD=4· 31 专练25 相似与特殊图形（二） 知能检测 AC=2BA=号VI. 等腰三角形 1.在□ABCD中，AB∥CD, 2.(1)过点C作CE∥AB,交AD的 典例导练 ∴.∠AED=∠CDE, 延长线于点E, 证明：(1).AB=AC,.∠B :DE=AECD是-DE DE CD .CE∥AB,∴∠E=∠EAB,∠B= ∠ACB,.∠EDF=∠B,∠EDC '.△ADEp△ECD, ∠R△CEDn△BAD焉 ∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC, ∴.∠DEB=∠CDF, 0腮 0:∠E-∠EB,∠BB ∴.△BDEP△CFD. .AD·CD=CE·DE. ∠CAD,∴.∠E=∠CAD,∴.CE= (2)点D是BC的中点，.BD=2.(1)证明：：AB∥CG,.∠ABF cA装0 CD,由(1)可知：△BDEc△CFD, =∠G,又，∠ABF=∠ACF, ∴.∠ECF=∠G, 2) 器器 又，∠CEF=∠GEC,.△ECF 3 又，∠EDF=∠B=∠ACB, 专练24相似与特殊图形（一） △C需即CF= 直角三角形 △(DnAm带. EF·EG. 典例导练 ∴.DF=EF.CF (2).平行四边形ABCD中，AB 如图2，，四边形ABCD为正方形， 知能检测 =CD,又，DG=DC,.AB=CD ∴.OC⊥BO,∠BCD=90°，∴.BC= .号 =DG,.AB:CG=1:2,AB∥ BO·BD,.CF⊥BE,∴.BC=BF 2.过点C作CH∥AD交DE的延 G∴0-器=3，即 ·BE,.BO·BD=BF·BE,即 长线于点H,则∠ADE=∠H BO BF BEBD,而∠OBF=∠EBD, 2∴EG=14,BG=21.AB/ ∠B,:AD=AE,.∠H= ∴.△BOFp△BED. ∠ADE=∠AED=∠CEH, .…票=0 DG =1,.BF= 知能检测 .CE=CH,.∠ADC=∠ADE C头EF=BF-- 1.连接CM,则EF垂直平分CM, +∠HDC=∠B+∠BAD, 过点M作MN⊥BC于点N,证 ∴.∠HDC=∠BAD,.△BAD∽ 7 △CEFn△NCM.:需深 △HDC器0. 专练27相似与特殊图形（四）矩形 典例导练 BN BM 1 CN=AM=3· 需架 过点E作EM⊥AB交BA的延长 72