专练09 特殊平行四边形与作图&专练10 运用根的定义求代数式的值-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

(9 专练09 特殊平行四边形与作图 【方法规律】1.利用平行四边形对角线互相平分作线段中点； 2.利用对称性画等角. 典例导练 示范题如图，四边形ABCD为矩形，E为CD上一点，将矩形沿BE翻折，A',D分 别为A,D的对应点，A'B与CD相交于点P,请你用无刻度的直尺按以下要求作图. (1)在图1中作∠BPE的平分线； (2)在图2中过，点E作AB的垂线，垂足为点F. 图1 图2 【思路点拨】(I)延长射线D'E交AB于M,作射线PM,射线PM即为所求 (2)延长射线D'E交AB于M,连接MP,延长MP交BC的延长线于N,连接NE 交BA'于F,直线EF即为所求 心知能检测 如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大矩形，AB是其中一个小长方形的对角 线，请在大矩形中完成下列作图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留画图痕迹 (1)在图1中画出以AB为边的正方形； (2)在图2中画出线段AB的垂直平分线 图1 图2 10 专练10运用根的定义求代数式的值 【方法规律】解决求代数式的值的问题有两种方法：一是直接解方程求出字母的值， 再代入求代数式的值；二是把所求的式子（变形）用已知的式子（整体）表示出来， 心)典例导练 示范题已知a是方程x2一x一1=0的根，求a3-2a十2023的值. 【思路点拨】根据一元二次方程的解的定义得到a一a一1=0，则a一a=1,然后利 用因式分解的方法对a3一2a十2023进行降次求值. 【自主解答】 知能检测 1.已知x=1是方程x2一5ax十a=0的一个根，求代数式3a一15a一7的值. 2.若m是一元二次方程x2-3x+1=0的根，求代数式m-的值， 777∠MAB=∠FAD,AM=AF,MB=2023=a+1-a+2023=2024. 知能检测 DF,.∠MBE=∠ABM+∠ABE 知能检测 1.(1)方程整理得： =180°，.M、B、E三点共线 1.由题意，得1-5a十a2=0. (x-10)(x十9)=0， ∴.∠MAE=∠MAB+∠BAE ∴.a2-5a=-1, 解得：x1=10,x2=一9. ∠FAD+∠BAE=∠BAD ∴.3a2-15a-7=3(a2-5a)-7 (2)方程整理得： ∠EAF=60°，.∠MAE=∠FAE, =3×(-1)-7=-10. (3.x-2)(x+4)=0, ,AE=AE,AM=AF,∴.△MAE≌2.由题意，得m2-3m+1=0,且m 解得=号西=一4 △FAE(SAS),∴.ME=EF,∴.EF= ≠0，m-3+1=0, m 2.x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x ME-MB+BE=DF+BE. ∴n+品=3(m+)=9 -k-1)=0. 专练08特殊平行四边形与分类讨论 x1=2,x2=k十1. 典例导练 由题意，得k十1<1，解得：<0， 1或9 即m2+2+ m9, ∴.k的取值范围为k<0. 知能检测 ∴.m2-2+ m =5,（m- 专练13特殊法解方程（二）换元法 在菱形ABCD中，AC⊥BD,,菱形 =5,∴.m 1=±5. 典例导练 ABCD的边长为5，且AC=8,∴.OA= 设x2十2x=y,则原方程转化为y 4,根据勾股定理，得OD=3,①点G 专练11配方法的应用 -y-12=0, 在线段BD上，在正方形ADEF中， 典例导练 整理，得(y一4)(y十3)=0. AD=ED,∠ADE=90°，∴.∠ADO+ m2-6m+10=m2-6m+9+1=(m 解此方程，得y=4,2=一3. ∠ODE=90°，.AC⊥BD,∴.∠AOD -3)2+1≥0+1=1， 当y=4时，x2十2x=4,x=-1±5； =90°，∴.∠ADOH∠OAD=90°， .m2一6m+10的最小值是1，此时 ∴.∠ODE=∠OAD,.EG⊥BD, 当y=一3时，x2+2x=-3,此时该 m=3. ∴∠EGD=90,.∠EGD=∠AOD, 方程无解。 知能检测 .△AOD≌△DGE(AAS),∴.GD= ∴.原方程的解为x1=一1十5，x2 1.原式=-3(y-2y+1)+5=-3 AO=4,∴.G0=4一3=1，根据勾股定 =-1-√5： (y-1)2+5, 理，得AG=√17. 知能检测 由-3(y-1)2≤0，得-3(y-1)2 ②点G在线段BD的延长线上，同理 1.设m2=2x十y(m≥0)，原方程可 +5≤5， 可证△AOD≌△DGE(AAS),∴.DG= 变为m2-9=8m. .一3y2+6y+2有最大值，最大 AO=4,.OD=3,.QG=7,根据勾股 整理，得(m一9)(m十1)=0.所以 值为5. m=9或m=-1(舍去). 定理，得AG=√65.综上所述：AG的：2.M=a2+-2a十4b+2024 即代数式2x+y的值为81. 长为√/17或√65 =(a2-2a+1)+(b+4b+4)-1 2.设x2+2x=n,则十4n-5=0, 专练09特殊平行四边形与作图 -4+2024 整理，得(n一1)(n十5)=0，解得 略 =(a-1)2+(b+2)2+2019, n=1或n=-5, 专练10运用根的定义求代数式的值 .当a=1,b=-2时，M有最小 当n=-5时，x2+2x=一5无解 典例导练 值，最小值为2019. (舍去)，即x2十2x=1, 由题意，得a2一a一1=0，即a2一a 专练12特殊法解方程（一） 所以x3+3.x2+x=x(x2+2x+ =1, 十字相乘法 1)+x2=2x+x2=1. a3-2a十2023=a3一a2+a2-a-a典例导练 十2023=a(a2-a)十(a2-a)-a+x1=-1,x2=-3. 67 专练14根的判别式（一）】 1=0,a十3=-3，a8=1, 2.根据“凤凰方程”的定义知x= 判断根的情况 .a2+3a=-1,8+38=-1. -1是一元二次方程2x2一m.x-n 典例导练 ∴.(a2+4a)(g+48)=(a2+3a+a) =0的根。 证明：.△=b2-4ac=(m-6)2-4 (g+3,3+3)=(a-1)(3-1)=a3 ①当m=-1时，2x2-m.x-n=0 ×(-6m)X1=m2+12m+36=(m (a+3+1=1-(-3)+1=5. 是关于x的风凰方程； +6)2≥0， 知能检测 ②当m≠-1时，，m是方程2x .不论m取何值时，方程总有两个 1.由题意，得a十b=2, 一m.x-n=0的一个根，∴.一1+ 实数根. ∴.a2-+4b=(a+b)(a-b)+ 知能检测 m=受，解得m=2。 4b=2a-2b+4b=2a+2b=4. 1.在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+ 综上所述，m的值是2或一1. 2=0中，△=b-4ac=[-(2k+ 2.(1)-6 3)]2-4(k2+3k+2)=1>0, (2)p>0,∴.△=36-4×1× 专练18一元二次方程的应用（一） 单（双）循环问题 方程有两个不相等的实数根. (-p)=36+4p>0, 典例导练 2.“蛟龙”方程ax2十bx十c=0(a≠ ∴.m,n是一元二次方程x2十6.x 设初中组共有x个队参加比赛，依 0)有两个不相等的实数根，理由 一p=0的两个实数根，且m≠n, 如下：由题意，得b=ac, .m十n=-6,mn=-p,∴.m2+ 题意列方程号x(x-1)=45,解得： .△=b-4ac=-4b=b(b-4) n2=(m+n)2-2mn=36+2p, x1=10,x2=一9（不合题意，舍去）， >0,∴.“蛟龙"”方程a.x2十bx十c :.m+t-36_36+2p36=2. 答：初中组共有10个队参加比赛. 0(a≠0)有两个不相等的实数根. p 专练17根与系数的关系（二）》 知能检测 专练15根的判别式（二） 确定字母系数的值或取值范围 求字母系数的值或取值范围 1.设这个多边形是n边形，则 典例导练 典例导练 n(n3）=20,∴-3n-40=0, 2 依题意，得 (1)由题意，得k一1≠0，且△= (n-8)(n+5)=0,解得n=8,n △=(-3)2-4(m-1)×2=-8m+ 17≥0，且m-1≠0，解得m<号且 12k+13>0,解得k<号且≠1. =一5（舍去）.故多边形的边数 (2)假设存在两根的值互为相反数， 为8. m≠1. 设为x1,x2, 由m,3》=18,可得-3m 2 知能检测 十x2=0,. 2k3 =0,k= 1.根据题意得△=一4a× 4三 29 36=0,.-4ac=9+144= 153,.方程的根无法求出整数， -a=0,即a=, 又<且≠1k不存在 故这样的多边形不存在. a=1,b=1.(答案不唯一) 知能检测 2.设有x个好友，依题意，x(x一1) 2.设-x2十4x-1=y,.方程x2 1.根据根与系数的关系得十x2 =870,整理，得x2-x一870=0， 4x十(y+1)=0有实数根， -2k,0x2=k-1, 即(x-30)(x+29)=0, ∴.b2-4ac=16-4(y+1)≥0，解 x1(x2-2)=2x2,∴.2(0十x2) 得y≤3，则代数式一x2十4x一1 解得：=30，x2=一29（舍去). x1x2=0, 的最大值为3. 答：这个微信群里共有30个好友. .2×(一2k)一(k-1)=-4k-k 专练16根与系数的关系（一） 专练19一元二次方程的应用（二） 求代数式的值 +1=一5k+1=0,解得k= 传播问题、变化率问题 5 典例导练 典例导练 由题意，得a2+3a+1=0,+33+ 设每个人计划发展下线x人，则第 69