第一章 特殊平行四边形（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册第一章特殊平行四边形，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面考查菱形、矩形、正方形的性质与判定，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形边长计算、矩形对角线性质等|如第1题结合菱形角度求线段长，基础中渗透几何直观| |填空题|6/18|折叠问题、中点四边形定义等|如第15题矩形折叠求周长，考查空间观念| |解答题|8/72|性质判定证明、动点最值探究等|如23题正方形折叠多问探究，21题动点运动分类讨论，体现推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 特殊平行四边形·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C D A B A B B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．3 13．(9,6) 14． 15．56 16．①②③④ 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分） 【解析】(1) 证明：由题意得：，即； ∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵； ∴四边形是矩形；(4分） (2) （8分） 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，即；结合，，即可求证； （2）由题意得：，求出，即可； 【详解】（1）略 （4分） （2）解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴四边形的面积；（8分） 18．（8分） 【解析】(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形： ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴四边形是菱形；（5分） (2) （8分） 【分析】（1）由，得四边形是平行四边形：再由四边形是矩形，则得四边形是菱形； （2）由矩形的性质得；利用菱形的性质及勾股定理求得的长，从而求得菱形的两条对角线长，即可求得菱形的面积． 【详解】（1）略 (5分） （2）解：∵四边形是矩形， ∴； ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ．（8分） 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 19．（8分） 【解析】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴；（4分） (2) 证明：∵ ∴， ∴．（8分） 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，结合已知条件直接证明； （2）根据，得出，进而即可得证． 【详解】（1）略（4分） （2）略（8分） 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20．（10分） 【解析】(1)证明：∵把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处， ∴，， 在和中， ， ∴．（3分） (2)证明：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．（6分） (3) （10分） 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据等角对等边得出，即可得出结论； （3），，，利用（2）中结论，设，则，在中，利用勾股定理列出方程，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）证明：略（3分） （2）证明：略（6分） （3）解：∵把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，，， ∴，，， 由（2）可知， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为．（10分） 21．（10分） 【解析】(1)3 (2)9 (3)或7 (4)或7 【分析】（1）勾股定理进行求解即可； （2）易得当点P在时，且，四边形是平行四边形，求出的长，即可得出结果； （3）分点P在上时和点P在上时，两种情况进行求解即可； （4）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到点B时，如图， ∵四边形是矩形， ， ；（2分） （2）解：∵矩形， ∴，， ∴ ∴当点P在时，且，四边形是平行四边形，如图， 由（1）知：， ；（4分） （3）解：当点P在上时，如图， ，， ， ， ； 当点P在上时，如图， ， ∴， ， ， 综上所述，当的面积为6时，x的值为或7；（7分） （4）解：①如图，当点落在边上且靠近点B时， ∵点A关于对称点为， ，， 过E作于点F，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ， ， ， 在中，， 即， 解得； ②如图，当点恰好落在边上且靠近点C时， 同理，， ， ， ， 在中，， 即， 解得； 综上，的值为或7．（10分） 22．（10分） 【解析】(1)且 (2) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余和角度和差计算即可证得结论； （2）利用正方形的性质，勾股定理及三角形面积公式即可求得最终结果． 【详解】（1）解：在正方形中，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即．（5分） （2）解：∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴．（10分） 23．（9分） 【解析】(1)证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3分） (2)10 （6分） (3) （9分） 【分析】（1）根据正方形性质得出，，证明，得出即可； （2）先证明四边形为平行四边形，得出，再证明，最后根据（1）同理可得：； （3）连接，交于点H，过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）略（3分） （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1），同理可得：；（6分） （3）解：连接，交于点H，过点M作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：．（9分） 24．（9分） 【解析】(1)平行四边形， 证明：点是线段的中点， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形；（3分） (2)（6分） (3)（9分） 【分析】（1）根据线段中点的定义和平行线的性质可证明，得到，即可得证； （2）先求出、的坐标，进而得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，据此列方程即可求解； （3）根据点是线段的中点，得到，设，，，根据平行四边形的性质可得点是线段的中点，根据中点坐标公式推出，设点到边上的高为，由，得到，则，点是的中点，根据中点坐标公式列方程求解即可． 【详解】（1）略（3分） （2）解：令，则， ， ， 令，则， 解得， ， 又点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作， ，， 在中，， 四边形是菱形， ， ， 解得；（6分） （3）点是线段的中点，，， ，即， 设，，， 四边形是平行四边形， 点是线段的中点， ， 则， 设点到边上的高为，则点到边上的高为， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，即点是的中点， ， ． （9分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 特殊平行四边形·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，菱形的边长为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证出是等边三角形即可． 【解析】解：∵菱形的边长为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故选B 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，，从而得出是等边三角形，据此计算即可解答． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选C 3．要使如图所示的成为菱形，需增加的一个条件是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【解析】解：、由，则是矩形，故不符合题意； 、由，不能判定是菱形，故不符合题意； 、由平分，则，因为，所以，所以，所以，则是菱形，故符合题意； 、由，不能判定是菱形，故不符合题意； 故选C． 4．如图，四边形的对角线互相平分，添加的条件（     ）使它变为矩形． A． B． C． D． 【答案】．D 【详解】解：四边形的对角线互相平分，则这是一个平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形． 故选D． 5．如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质可得，，，，则，，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 6．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，先根据菱形的性质可得，，，，，再根据勾股定理和含度角的直角三角形的性质求出和的长，然后利用菱形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形的周长为， ∴，，，， ， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 故选B． 7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设,则由折叠性质知， 由矩形的性质知， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 故的长为． 【解析】 故选A． 8．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 【答案】B 【分析】根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形 各边、 、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，，即两条对角线互相垂直且相等． 故选B． 9．如图，在中，点E、D、F分别在边、、上，且，，下列四个判断中，正确的个数有（   ） ①如果点E，F分别是，的中点，那么四边形是菱形 ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形 ④如果，且，那么四边形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据，可得四边形是平行四边形，再结合矩形、菱形、正方形的判定定理对各个条件进行逐一判断． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． 对于①，若，分别是，的中点，则，，无法得出，故错误； 对于②，，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，故②正确； 对于③，平分， ， 又， ， ， ， 四边形是菱形，故③正确； 对于④，，， 平分， 由③知四边形是菱形，但无法得出，故④错误． 综上所述，正确的有2个． 故选：B． 10．如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，轴对称性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：菱形，， ，， ∴关于直线对称， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴三点共线时，取得最小值，且最小值为， 菱形，， ∴，，， ∴都是等边三角形， 点是的中点， ∴， 点， ， ，， ， 的最小值为6， 故的最小值为6； 故选B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边等等，先证明四边形是菱形，得出，根据， ，得出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】过点C作轴，垂足为E，证明，得到，计算的长即可． 【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为E． ∵四边形是正方形，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 14．如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接、、，根据矩形的性质和勾股定理，得出，利用直角三角形的斜边中线，得出，证明四边形是矩形，则，当点在上时，有最小值为． 【详解】解：如图，连接、、， 矩形，，， ，，， ， ， ， 在中，O为的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即当点在上时，有最小值为． 15．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 【答案】 【分析】通过翻折角相等可知利用勾股定理可求出，再设长为在中用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可得出周长． 【详解】解：由于翻折，得 ，， 在中， 设长为，则 在中， 即 解得 即 16．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是_________． ①；②；③；④；⑤．    【答案】①②③④ 【分析】根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明，从而判断①正确，根据全等三角形对应角相等可得，可证，从而判断②正确，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，根据列式计算即可判断出③正确；过点B作，交的延长线于点F，先求出，由等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，即可求正方形的面积，从而判断④正确；连接PC，连接，过点P作，交于M，交于N，利用三角形的面积关系可求的长，同理可求的长，由勾股定理可求的长，从而判断⑤错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，故①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 如图，过点B作，交的延长线于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 如图，连接，过点P作，交于M，交于N，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，故⑤错误， 故答案为：①②③④ 【点睛】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【解析】(1) 证明：由题意得：，即； ∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵； ∴四边形是矩形； (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，即；结合，，即可求证； （2）由题意得：，求出，即可； 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴四边形的面积； 18．（8分）如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为________． 【解析】(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形： ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由，得四边形是平行四边形：再由四边形是矩形，则得四边形是菱形； （2）由矩形的性质得；利用菱形的性质及勾股定理求得的长，从而求得菱形的两条对角线长，即可求得菱形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴； ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 19．（8分）已知：四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：； (2)证明：． 【解析】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵ ∴， ∴． 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，结合已知条件直接证明； （2）根据，得出，进而即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20．（10分）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，，求的长． 【解析】(1)证明：∵把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处， ∴，， 在和中， ， ∴． (2)证明：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (3) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据等角对等边得出，即可得出结论； （3），，，利用（2）中结论，设，则，在中，利用勾股定理列出方程，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，，， ∴，，， 由（2）可知， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 21．（10分）如图，在矩形中，，点E在边上，，点P从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，设点P运动的路程为，连接，当点P运动到点B时，． (1)求的长； (2)当四边形是平行四边形时，求x的值； (3)连接，当的面积为6时，求x的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出x的值． 【解析】(1)3 (2)9 (3)或7 (4)或7 【分析】（1）勾股定理进行求解即可； （2）易得当点P在时，且，四边形是平行四边形，求出的长，即可得出结果； （3）分点P在上时和点P在上时，两种情况进行求解即可； （4）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到点B时，如图， ∵四边形是矩形， ， ； （2）解：∵矩形， ∴，， ∴ ∴当点P在时，且，四边形是平行四边形，如图， 由（1）知：， ； （3）解：当点P在上时，如图， ，， ， ， ； 当点P在上时，如图， ， ∴， ， ， 综上所述，当的面积为6时，x的值为或7； （4）解：①如图，当点落在边上且靠近点B时， ∵点A关于对称点为， ，， 过E作于点F，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ， ， ， 在中，， 即， 解得； ②如图，当点恰好落在边上且靠近点C时， 同理，， ， ， ， 在中，， 即， 解得； 综上，的值为或7． 22．（10分）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． (1)判断，的关系； (2)若，，求的长． 【解析】(1)且 (2) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余和角度和差计算即可证得结论； （2）利用正方形的性质，勾股定理及三角形面积公式即可求得最终结果． 【详解】（1）解：在正方形中，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（9分）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 (1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 【解析】(1)证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)10 (3) 【分析】（1）根据正方形性质得出，，证明，得出即可； （2）先证明四边形为平行四边形，得出，再证明，最后根据（1）同理可得：； （3）连接，交于点H，过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1），同理可得：； （3）解：连接，交于点H，过点M作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：． 24．（9分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作，过点作交的延长线于，交轴于点． (1)判断四边形的形状为______________，并说明理由； (2)若四边形是菱形时，求的值； (3)连接，若的面积是面积的倍，求的值． 【解析】(1)平行四边形， 证明：点是线段的中点， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形； (2) (3) 【分析】（1）根据线段中点的定义和平行线的性质可证明，得到，即可得证； （2）先求出、的坐标，进而得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，据此列方程即可求解； （3）根据点是线段的中点，得到，设，，，根据平行四边形的性质可得点是线段的中点，根据中点坐标公式推出，设点到边上的高为，由，得到，则，点是的中点，根据中点坐标公式列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，则， ， ， 令，则， 解得， ， 又点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作， ，， 在中，， 四边形是菱形， ， ， 解得； （3）点是线段的中点，，， ，即， 设，，， 四边形是平行四边形， 点是线段的中点， ， 则， 设点到边上的高为，则点到边上的高为， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，即点是的中点， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 特殊平行四边形·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，菱形的边长为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．要使如图所示的成为菱形，需增加的一个条件是（     ） A． B． C．平分 D． 4．如图，四边形的对角线互相平分，添加的条件（     ）使它变为矩形． A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 9．如图，在中，点E、D、F分别在边、、上，且，，下列四个判断中，正确的个数有（   ） ①如果点E，F分别是，的中点，那么四边形是菱形 ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形 ④如果，且，那么四边形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．3 B．6 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 12．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是__________． 14．如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 15．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 16．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是_________． ①；②；③；④；⑤．    三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 18．（8分）如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为________． 19．（8分）已知：四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：； (2)证明：． 20．（10分）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，，求的长． 21．（10分）如图，在矩形中，，点E在边上，，点P从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，设点P运动的路程为，连接，当点P运动到点B时，． (1)求的长； (2)当四边形是平行四边形时，求x的值； (3)连接，当的面积为6时，求x的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出x的值． 22．（10分）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． (1)判断，的关系； (2)若，，求的长． 23．（9分）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 (1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 24．（9分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作，过点作交的延长线于，交轴于点． (1)判断四边形的形状为______________，并说明理由； (2)若四边形是菱形时，求的值； (3)连接，若的面积是面积的倍，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 特殊平行四边形·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，菱形的边长为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．要使如图所示的成为菱形，需增加的一个条件是（     ） A． B． C．平分 D． 4．如图，四边形的对角线互相平分，添加的条件（     ）使它变为矩形． A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 9．如图，在中，点E、D、F分别在边、、上，且，，下列四个判断中，正确的个数有（   ） ①如果点E，F分别是，的中点，那么四边形是菱形 ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形 ④如果，且，那么四边形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．3 B．6 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 12．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是__________． 14．如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 15．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 16．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是_________． ①；②；③；④；⑤．    三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 18．（8分）如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为________． 19．（8分）已知：四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：； (2)证明：． 20．（10分）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，，求的长． 21．（10分）如图，在矩形中，，点E在边上，，点P从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，设点P运动的路程为，连接，当点P运动到点B时，． (1)求的长； (2)当四边形是平行四边形时，求x的值； (3)连接，当的面积为6时，求x的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出x的值． 22．（10分）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． (1)判断，的关系； (2)若，，求的长． 23．（9分）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 (1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 24．（9分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作，过点作交的延长线于，交轴于点． (1)判断四边形的形状为______________，并说明理由； (2)若四边形是菱形时，求的值； (3)连接，若的面积是面积的倍，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $