专练07 正方形与夹半角问题&专练08 特殊平行四边形与分类讨论-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

专练07 正方形与夹半角问题 【方法规律】如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，AE, AF分别交BD于点G,H,若∠EAF=45°，则EF=BE+DF,GP= BG2+DH2. ☒典例导练 示范题读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶，点的两对边的交点构成的基本平 面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶，点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点. 易证得EF=BE十FD. 大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH,由∠HBE=180°可得H、B、E 三，点共线，∠HAE=∠EAF=45°，进而可证明△AEH≌△AEF,故EF=BE十DF. 任务： 图1 图2 图3 图3 如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点 的∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点.请参照阅读材料中的解题方 法，你认为结论E=BE十DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说 明理由， 【思路点拨】根据旋转的性质得到△ABM≌△ADF,∠ABM=∠D=90°，∠MAB= ∠FAD,AM=AF,MB=DF,推出M、B、E三，点共线，根据全等三角形的性质即可得到 结论 【自主解答】 8 专练08 特殊平行四边形与分类讨论 【方法规律】1.，点的位置不同引起分类讨论； 2.高的位置不同引起分类讨论； 3.文字表达不明引起的分类讨论 ③典例导练 示范题在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,若P是射线AD A 上一个动点，连接BP,点A关于直线BP的对称点为M,连接 MP,MC,当P,M,C三点共线时，AP的长为 【思路点拨】分两种情况画图：根据当P,M,C三，点共线时画出 B 图形，利用点A关于直线BP的对称，点为M,得∠A=∠BMP=90°，BM=AB=3,AP MP,∠APB=∠MPB,由平行线的性质得∠APB=∠CBP,根据勾股定理列出方程即 可解决问题 图1 图2 之知能检测 菱形ABCD的边长为5，对角线AC、BD交于点O,AC=8,以AD为一边作正方形 ADEF,过点E作EG⊥直线BD,垂足为G,连接AG,求AG的长.第2课时利用概率判断游戏 6.2用频率估计概率 的公平性 1.D2.D3.124.0.92 1.D2.B3.不公平 5.B6.A 4.A方案对阳阳更有利. 7.(1)0.90.9(2)①4.5 5.B6.B7.A ②18÷0.9-5=15（万棵） 8.(1)画树状图或列表略，所有情况专题十一 跨学科融合的概率问题 有12种：AB、AC、AD、BA、BC、 1.1)号 (2)2 BDCA、CB、CD、DA、DB、DC; (2)这个规则对小强有利.理由2.(1) 2 略 9.(1)2B(2)36 3.1) 2)号 (3)画树状图略.抽取到两名学 章末核心考点与素养提升 生恰好来自同-学校的概率为1.B2.D3.A4.C5号 4 6.(1)总共12种情况.列表略； 第3课时利用概率玩转盘游戏 (2)这个游戏对甲、乙双方不公 1.D2.D3哥 4.6 平，明显乙获胜的概率更高.理 由略. 5.15 6.80° 7D&B9号 7.她的做法不对，因为左边转盘 中黄色和蓝色出现的概率不相 11.2 12. 13号 等，正确的做法是；将左边转盘 14.(1) (2)2 中的蓝色区域平均分成三份， 分别记为蓝1、蓝2、蓝3. 15.8 夹册《提分专练》参考答案 专练01 菱形的判定与性质 :=BC=EC=2,∠B=60°，.∠ACB= 典例导练 90,AC=3BC=23,.SAr=2 (1)证明：，E为AB中点，.AB= 2AE=2BE,.'AB=2CD,..CD=AE, ×ACX RC=-号×2X25=23. 又：AE∥CD,∴四边形AECD是平 知能检测 行四边形，易证AD=CD,.平行四(1)证明：在△ABC中，点D是AC的 边形AECD是菱形； 中点，AD=DC,AF∥BC, (2),四边形AECD是菱形，∠D=∴.∠FAD=∠ECD,∠AFD 120°，∴.AD=CD=CE=AE=2,∠D:∠CED,.△AFD≌△CED(AAS), =120°=∠AEC,∴.AE=CE=BE,,∴.DF=DE,又，AD=CD,且EF⊥1 ∠CEB=60°，.∠CAE=30°=AC,.四边形AECF是菱形 ∠ACE,△CEB是等边三角形，.BE:(2)过点A作AG⊥BC于点G,CF= 64 2,∠FAC=30°，∴.AF∥EC,AE=CF :.DE=DH-HE-PD-(CD- =2,∠FAE=2∠FAC=60°， .∠AEB=∠FAE=60°，.AG⊥BC, PD)-/3PD-CD. .∠AGB=∠AGE=90°， 专练03矩形的判定与性质 ∴∠GAE=30,∴GE=2AE=1,AG 典例导练 =3GE=√3，.∠B=45°， (1)证明：，AB⊥OM于B,DE⊥ON ∴.∠GAB=∠B=45°，∴.BG=AG=于E,∴∠ABO=∠DEA=90°.在Rt 3,∴.AB=√2BG=6. LAO-AD △ABO与Rt△DEA中， 专练02利用菱形的对称性解题 OB-AE 典例导练 '.Rt△ABO≌Rt△DEA(HL) 过点D作DE⊥AB于点E,连接BD, ∴.∠AOB=∠DAE..AD∥BC .菱形ABCD中，∠ABC=120, 又.AB⊥OM,DC⊥OM,∴.AB∥DC .∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC, .四边形ABCD是平行四边形， .△ADB是等边三角形，∴.∠MAE ,∠ABC=90°， =30°，∴.AM=2ME,.MD=MB, ∴.四边形ABCD是矩形； ∴.MA+MB+MD=2ME+2DM= (2)由(1)知Rt△AB≌Rt△DEA, 2DE,根据垂线段最短，此时DE最 ∴.AB=DE=3,设AD=x,则OA=x, 短，即MA+MB十MD最小， AE=OE-OA=9-x.在Rt△DEA ,菱形ABCD的边长为6， 中，由AE+DE=AD得(9-x)2+ .DE=√AD-AE=√6-3 32=x,解得x=5.即AD的长为5. =3√5，∴.2DE=6√/5.∴.MA+MB 知能检测 +MD的最小值是6√. (1)证明：，O是对角线AC上的中 知能检测 点，BE=CE.OE∥AB,OE=号AB, 1.6 ,OE⊥BC,∴.AB⊥BC,,四边形 2.(1)易证AP=PC,∴.AP+PE= ABCD是平行四边形，∴.四边形AB PC十PE,∴当点P、C、E共线， CD是矩形： 且CE⊥AD时，PC+PE有最小 值为CE,易求CE=,AP+ (2).□ABCD是矩形，QA=23,OE =2,∴.AC=2OA=4√3，AB=2OE= PE的最小值为√3； (2)DE=√5PD-CD,理由如下：过 4,.BC=√AC-AB=4√2，故四 点P作PH⊥AD于H,,∠ADB 边形的周长为2(AB+BC)=2(4+ =30,PHLAD,PH=号PD, 4V2)=8+8/2 专练04话用斜边的中线解题 DH5PH号PD.:AP=PE, 典例导练 PH⊥AE,.AH=HE,∴.HE= 证明：(1)延长AF交BC的延长线 于点H.AD∥CH,.∠D= AH-AD-DH-CDPD. ∠FCH,在△ADF和△HCF中， 65 ∠D=∠FCH =√2AB=√2×3√2=6是定值. DF=FC 知能检测 ∠DFA=∠CFH 证明：(1)作AG⊥EF于G,则 ∴.△ADF≌△HCF,∴.AF=HF, ∠AGE=∠AGF=90°，.AB⊥CE, :∠AEH=90°，∴.EF=AF=HF, AD⊥CF,∴.∠B=∠D=90°= ..AF-EF. ∠C,.四边形ABCD是矩形，易证 (2),FH=FE,∠H=∠FEH, AB=AG,AD=AG,..AB-AD, ∴.∠AFE=∠H+∠FEH=2∠CEF. .四边形ABCD是正方形； 知能检测 (2)设DF=x,易证BE=EG=3, 1.C DF=GF=x,在Rt△ECF中，由勾 2.取AB的中点F,连接CF,DF,易股定理可解得x=2. 证CF=DF=CD= 号AB,从而 专练06正方形与“十字架”问题 典例导练 ∠CFD=60°，由∠AFC=∠FCB+ (1)BE=AFBE⊥AF ∠FBC=2∠FBC,同理∠BFD= (2)①作AR∥EF,交CD于R,作DT 2∠DAF,可知∠EAB+∠EBA= ∥MN,交BC于T,DT和AR交于点 3∠AFC+号∠BFD=号(180- O,四边形ABCD是正方形，∴.AB∥ ∠CFD)=60°，所以∠AEB=120°. CD,AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°， 专练05正方形的判定与性质 AD=CD,.四边形AFER、四边形 典例导练 MNTD是平行四边形，.DT=MV, AR=EF,DT∥MN,AR∥EF,,MN (1)作EM⊥BC于M,EN⊥CD于 ⊥EF,∴.AR⊥DT,∴.∠DOR=90°， N,∴.∠MEN=90°，点E是正方 形ABCD对角线上的点，.EM= ∴.∠RDO+∠ARD=90°，.∠ADC= 90°，∴.∠DAR+∠ARD=90°， EN,.∠DEF=90°，∴.∠DEN= .∠RDO=∠DAR,.△ADR≌ ∠MEF,在△DEN和△FEM中， △DCT(ASA),∴.DT=AR, ∠DNE=∠FME ∴.MN=EF; EN=EM ②连接DN,.D、N关于EF对称， ∠DEN=∠FEM ∴.DN⊥EF,EN=DE,由①知：DN ∴.△DEN≌△FEM(ASA),∴.EF EF=13,.∠C=90°，DC=12,∴.CN =DE,,四边形DEFG是矩形， =5,设EV=DE=a,则CE=12-a, .矩形DEFG是正方形； 在Rt△CEV中，由勾股定理得，a2- (2)CE+CG的值是定值，定值为6， 理由如下，：正方形DEG和正方12-a=5a”DE架 24 形ABCD,.DE=DG,AD=DC, 专练07正方形与夹半角问题 :∠CDG+∠CDE=∠ADE十：典例导练 ∠CDE=90°，∴∠CDG=∠ADE,成立.证明：将△ADF绕点A顺时 易证△ADE≌△CDG(SAS),∴.AE针旋转120得到△ABM,∴.△ABM =CG,∴.CE+CG=CE+AE=AC:≌△ADF,∠ABM=∠D=90°， 66 ∠MAB=∠FAD,AM=AF,MB=2023=a+1-a+2023=2024. 知能检测 DF,.∠MBE=∠ABM+∠ABE 知能检测 1.(1)方程整理得： =180°，.M、B、E三点共线 1.由题意，得1-5a十a2=0. (x-10)(x十9)=0， ∴.∠MAE=∠MAB+∠BAE ∴.a2-5a=-1, 解得：x1=10,x2=一9. ∠FAD+∠BAE=∠BAD ∴.3a2-15a-7=3(a2-5a)-7 (2)方程整理得： ∠EAF=60°，.∠MAE=∠FAE, =3×(-1)-7=-10. (3.x-2)(x+4)=0, ,AE=AE,AM=AF,∴.△MAE≌2.由题意，得m2-3m+1=0,且m 解得=号西=一4 △FAE(SAS),∴.ME=EF,∴.EF= ≠0，m-3+1=0, m 2.x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x ME-MB+BE=DF+BE. ∴n+品=3(m+)=9 -k-1)=0. 专练08特殊平行四边形与分类讨论 x1=2,x2=k十1. 典例导练 由题意，得k十1<1，解得：<0， 1或9 即m2+2+ m9, ∴.k的取值范围为k<0. 知能检测 ∴.m2-2+ m =5,（m- 专练13特殊法解方程（二）换元法 在菱形ABCD中，AC⊥BD,,菱形 =5,∴.m 1=±5. 典例导练 ABCD的边长为5，且AC=8,∴.OA= 设x2十2x=y,则原方程转化为y 4,根据勾股定理，得OD=3,①点G 专练11配方法的应用 -y-12=0, 在线段BD上，在正方形ADEF中， 典例导练 整理，得(y一4)(y十3)=0. AD=ED,∠ADE=90°，∴.∠ADO+ m2-6m+10=m2-6m+9+1=(m 解此方程，得y=4,2=一3. ∠ODE=90°，.AC⊥BD,∴.∠AOD -3)2+1≥0+1=1， 当y=4时，x2十2x=4,x=-1±5； =90°，∴.∠ADOH∠OAD=90°， .m2一6m+10的最小值是1，此时 ∴.∠ODE=∠OAD,.EG⊥BD, 当y=一3时，x2+2x=-3,此时该 m=3. ∴∠EGD=90,.∠EGD=∠AOD, 方程无解。 知能检测 .△AOD≌△DGE(AAS),∴.GD= ∴.原方程的解为x1=一1十5，x2 1.原式=-3(y-2y+1)+5=-3 AO=4,∴.G0=4一3=1，根据勾股定 =-1-√5： (y-1)2+5, 理，得AG=√17. 知能检测 由-3(y-1)2≤0，得-3(y-1)2 ②点G在线段BD的延长线上，同理 1.设m2=2x十y(m≥0)，原方程可 +5≤5， 可证△AOD≌△DGE(AAS),∴.DG= 变为m2-9=8m. .一3y2+6y+2有最大值，最大 AO=4,.OD=3,.QG=7,根据勾股 整理，得(m一9)(m十1)=0.所以 值为5. m=9或m=-1(舍去). 定理，得AG=√65.综上所述：AG的：2.M=a2+-2a十4b+2024 即代数式2x+y的值为81. 长为√/17或√65 =(a2-2a+1)+(b+4b+4)-1 2.设x2+2x=n,则十4n-5=0, 专练09特殊平行四边形与作图 -4+2024 整理，得(n一1)(n十5)=0，解得 略 =(a-1)2+(b+2)2+2019, n=1或n=-5, 专练10运用根的定义求代数式的值 .当a=1,b=-2时，M有最小 当n=-5时，x2+2x=一5无解 典例导练 值，最小值为2019. (舍去)，即x2十2x=1, 由题意，得a2一a一1=0，即a2一a 专练12特殊法解方程（一） 所以x3+3.x2+x=x(x2+2x+ =1, 十字相乘法 1)+x2=2x+x2=1. a3-2a十2023=a3一a2+a2-a-a典例导练 十2023=a(a2-a)十(a2-a)-a+x1=-1,x2=-3. 67 专练14根的判别式（一）】 1=0,a十3=-3，a8=1, 2.根据“凤凰方程”的定义知x= 判断根的情况 .a2+3a=-1,8+38=-1. -1是一元二次方程2x2一m.x-n 典例导练 ∴.(a2+4a)(g+48)=(a2+3a+a) =0的根。 证明：.△=b2-4ac=(m-6)2-4 (g+3,3+3)=(a-1)(3-1)=a3 ①当m=-1时，2x2-m.x-n=0 ×(-6m)X1=m2+12m+36=(m (a+3+1=1-(-3)+1=5. 是关于x的风凰方程； +6)2≥0， 知能检测 ②当m≠-1时，，m是方程2x .不论m取何值时，方程总有两个 1.由题意，得a十b=2, 一m.x-n=0的一个根，∴.一1+ 实数根. ∴.a2-+4b=(a+b)(a-b)+ 知能检测 m=受，解得m=2。 4b=2a-2b+4b=2a+2b=4. 1.在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+ 综上所述，m的值是2或一1. 2=0中，△=b-4ac=[-(2k+ 2.(1)-6 3)]2-4(k2+3k+2)=1>0, (2)p>0,∴.△=36-4×1× 专练18一元二次方程的应用（一） 单（双）循环问题 方程有两个不相等的实数根. (-p)=36+4p>0, 典例导练 2.“蛟龙”方程ax2十bx十c=0(a≠ ∴.m,n是一元二次方程x2十6.x 设初中组共有x个队参加比赛，依 0)有两个不相等的实数根，理由 一p=0的两个实数根，且m≠n, 如下：由题意，得b=ac, .m十n=-6,mn=-p,∴.m2+ 题意列方程号x(x-1)=45,解得： .△=b-4ac=-4b=b(b-4) n2=(m+n)2-2mn=36+2p, x1=10,x2=一9（不合题意，舍去）， >0,∴.“蛟龙"”方程a.x2十bx十c :.m+t-36_36+2p36=2. 答：初中组共有10个队参加比赛. 0(a≠0)有两个不相等的实数根. p 专练17根与系数的关系（二）》 知能检测 专练15根的判别式（二） 确定字母系数的值或取值范围 求字母系数的值或取值范围 1.设这个多边形是n边形，则 典例导练 典例导练 n(n3）=20,∴-3n-40=0, 2 依题意，得 (1)由题意，得k一1≠0，且△= (n-8)(n+5)=0,解得n=8,n △=(-3)2-4(m-1)×2=-8m+ 17≥0，且m-1≠0，解得m<号且 12k+13>0,解得k<号且≠1. =一5（舍去）.故多边形的边数 (2)假设存在两根的值互为相反数， 为8. m≠1. 设为x1,x2, 由m,3》=18,可得-3m 2 知能检测 十x2=0,. 2k3 =0,k= 1.根据题意得△=一4a× 4三 29 36=0,.-4ac=9+144= 153,.方程的根无法求出整数， -a=0,即a=, 又<且≠1k不存在 故这样的多边形不存在. a=1,b=1.(答案不唯一) 知能检测 2.设有x个好友，依题意，x(x一1) 2.设-x2十4x-1=y,.方程x2 1.根据根与系数的关系得十x2 =870,整理，得x2-x一870=0， 4x十(y+1)=0有实数根， -2k,0x2=k-1, 即(x-30)(x+29)=0, ∴.b2-4ac=16-4(y+1)≥0，解 x1(x2-2)=2x2,∴.2(0十x2) 得y≤3，则代数式一x2十4x一1 解得：=30，x2=一29（舍去). x1x2=0, 的最大值为3. 答：这个微信群里共有30个好友. .2×(一2k)一(k-1)=-4k-k 专练16根与系数的关系（一） 专练19一元二次方程的应用（二） 求代数式的值 +1=一5k+1=0,解得k= 传播问题、变化率问题 5 典例导练 典例导练 由题意，得a2+3a+1=0,+33+ 设每个人计划发展下线x人，则第 69