专题02 解三角形6大考点（期末真题汇编，陕晋青宁专用）高一数学下学期

**基本信息** 解三角形专题汇编，覆盖判断形状、边长/面积计算及最值、几何图形与实际应用等6大高频考点，精选多地区高一下期末真题，注重基础巩固与综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|12|正余弦定理应用、三角形形状判断|结合山西、陕西等地期末真题，基础题型为主| |多选|8|三角形性质、边角关系综合判断|多选项设计提升辨析能力，如锐角三角形边角关系判断| |填空|9|几何图形计算、实际应用|融入开放型问题，如直角三角形三边增加后形状判断| |解答题|19|面积最值、三角恒等变换结合、实际测量|综合题融合函数思想，如面积最大值求解；联系测量情境，如岛屿距离计算|

专题02 解三角形专题 高频考点概览 考点01正余弦定理判断三角形形状 考点02求三角形中边长或周长的值、最值或范围 考点03几何图形中的计算 考点04 求三角形的面积的值、最值或范围 考点05 正余弦定理与三角函数的结合 考点06 正余弦定理的实际应用 ( 考点01 正余弦定理判断三角形形状 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西运城·期末）在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状． 【详解】∵，所以，又，∴， ∵，∴， ，，∴，从而，为等边三角形， 故选：C． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】先应用余弦定理得出，或，再代入求解得出结论. 【详解】由得，， 由余弦定理得. 因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·青海西宁·期末）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】令，再利用余弦定理得解. 【详解】解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大， 由余弦定理可得，所以角为直角. 故是直角三角形． 故选：B． 4．（24-25高一下·山西太原·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由求出，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得. 因为，所以，所以，又， 所以或， 又因为，所以，故为等边三角形. 故选：C 二、多选题 5．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则一定是钝角三角形 【答案】BD 【分析】根据正弦定理、余弦定理和三角形内角的范围逐项计算判断即可. 【详解】对于A，根据正弦定理得， 化简得，得到或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于正弦定理可知，，因为，所以，B正确； 对于C，仅知道是锐角三角形，并不能确定的大小，C错误； 根据余弦定理可得，，因为，所以. 因为，所以，所以一定是钝角三角形，D正确. 故选：BD. 6．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则是等腰直角三角形 B．在中，若，则 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】BCD 【分析】由正弦定理边化角关系，利用二倍角的正弦，结合正弦函数性质判断A；由正弦定理及三角形边角关系判断B；由，则，结合正弦函数性质C；利用余弦定理及已知确定△的形状判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理，得，即， 又，则或，则为等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由正弦定理得，B正确； 对于C，锐角中，，则，，C正确； 对于D，由已知及余弦定理，得，则，即， 又，因此必是等边三角形，D正确. 故选：BCD 7．（24-25高一下·宁夏银川市·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则为等边三角形 【答案】AD 【分析】A.直接利用正弦定理求解判断；B.根据三个角均为锐角的三角形为锐角三角形来判断；C.利用正弦定理边化角，然后整理计算；D.利用余弦定理计算求解. 【详解】对于A：若，，，由正弦定理得，此时可取锐角也可能取钝角，则有两解，A正确； 对于B：只能推出，为锐角，但不确定角的大小，故不能确定的形状，B错误； 对于C：由及正弦定理得，即， 所以，在中有或，所以为等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D：由已知，整理得，即，所以，则，即为等边三角形，D正确. 故选：AD. 8．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）在中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，且，则的面积为或 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】BC 【分析】对于A，可以根据大角对大边知道，再用正弦定理即可．对于B, 根据锐角三角形，知道，即，因为且在区间单调递增，再用诱导公式即可．对于C，用余弦定理求出，再分类讨论即可．对于D，切化弦，再用二倍角公式转化即可． 【详解】对于A：因为，所以，所以A错误 对于B：因为是锐角三角形，所以，即， 因为且在区间单调递增， 所以，B正确； 对于C：易求出，而，所以， 化简可得，解得或者， 当时，，此时是最大角且， 所以满足钝角三角形，此时， 当时，，此时为最大角且， 所以满足钝角三角形，，此时C正确． 对于D：， 即，即， 所以，而为三角形内角， 所以或者， 所以是等腰三角形或者直角三角形，D错误； 故选：BC． 三、填空题 9．（24-25高一下·山西·期末）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为__________． 【答案】锐角三角形 【分析】设增加同样的长度为，原三边长为,则，，则新的三角形三边长可表示出来,可知为最大边,其对应角最大，进而利用余弦定理求得余弦值大于0判断出最大角为锐角，得三角形为锐角三角形. 【详解】设增加同样的长度为,原三边长为,且,， 则新的三角形的三边长为,可知为最大边,其对应角最大， 而, 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则最大角为锐角, 所以新的三角形为锐角三角形. 故答案为:锐角三角形. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了学生转化和化归的思想. 四、解答题 10．（24-25高一下·山东临沂·期中）在中，已知：，且． （）判断的形状，并证明． （）求的值． 【答案】(1) 是直角三角形,证明见解析. (2) . 【详解】分析：（1）把已知等式中角化为边的关系，再把变形为，展开后用正弦定理化角为边，最后得出三边之间的关系，从而判断出三角形的形状． （2）利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式可求的值. 详解：（）为直角三角形， 证明：在中，∵， 根据正弦定理，得， ∴①， ∵， ∴， 化简得， 由正弦定理，得，② 将②代入①中得，即， 故是直角三角形． （）由（1）可得，故，故， 所以， 故. 点睛：在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A＋B＋C＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状． 11．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，. (1)求的大小； (2)若，试判断的形状. 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出，进而求得，从而判断出的形状. 【详解】（1）因为，则，整理可得， 由余弦定理可得， 又因为，故. （2）因为，则， 由余弦定可得， 即，则， 所以，解得，故为等边三角形. ( 考点0 2 求三角形中边长或周长的值、最值或范围 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西运城·期末）在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状． 【详解】∵，所以，又，∴， ∵，∴， ，，∴，从而，为等边三角形， 故选：C． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】先应用余弦定理得出，或，再代入求解得出结论. 【详解】由得，， 由余弦定理得. 因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·青海西宁·期末）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】令，再利用余弦定理得解. 【详解】解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大， 由余弦定理可得，所以角为直角. 故是直角三角形． 故选：B． 4．（24-25高一下·山西太原·阶段检测）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由求出，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得. 因为，所以，所以，又， 所以或， 又因为，所以，故为等边三角形. 故选：C 二、多选题 5．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则一定是钝角三角形 【答案】BD 【分析】根据正弦定理、余弦定理和三角形内角的范围逐项计算判断即可. 【详解】对于A，根据正弦定理得， 化简得，得到或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于正弦定理可知，，因为，所以，B正确； 对于C，仅知道是锐角三角形，并不能确定的大小，C错误； 根据余弦定理可得，，因为，所以. 因为，所以，所以一定是钝角三角形，D正确. 故选：BD. 6．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则是等腰直角三角形 B．在中，若，则 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】BCD 【分析】由正弦定理边化角关系，利用二倍角的正弦，结合正弦函数性质判断A；由正弦定理及三角形边角关系判断B；由，则，结合正弦函数性质C；利用余弦定理及已知确定△的形状判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理，得，即， 又，则或，则为等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由正弦定理得，B正确； 对于C，锐角中，，则，，C正确； 对于D，由已知及余弦定理，得，则，即， 又，因此必是等边三角形，D正确. 故选：BCD 7．（24-25高一下·宁夏银川市·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则为等边三角形 【答案】AD 【分析】A.直接利用正弦定理求解判断；B.根据三个角均为锐角的三角形为锐角三角形来判断；C.利用正弦定理边化角，然后整理计算；D.利用余弦定理计算求解. 【详解】对于A：若，，，由正弦定理得，此时可取锐角也可能取钝角，则有两解，A正确； 对于B：只能推出，为锐角，但不确定角的大小，故不能确定的形状，B错误； 对于C：由及正弦定理得，即， 所以，在中有或，所以为等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D：由已知，整理得，即，所以，则，即为等边三角形，D正确. 故选：AD. 8．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）在中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，且，则的面积为或 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】BC 【分析】对于A，可以根据大角对大边知道，再用正弦定理即可．对于B, 根据锐角三角形，知道，即，因为且在区间单调递增，再用诱导公式即可．对于C，用余弦定理求出，再分类讨论即可．对于D，切化弦，再用二倍角公式转化即可． 【详解】对于A：因为，所以，所以A错误 对于B：因为是锐角三角形，所以，即， 因为且在区间单调递增， 所以，B正确； 对于C：易求出，而，所以， 化简可得，解得或者， 当时，，此时是最大角且， 所以满足钝角三角形，此时， 当时，，此时为最大角且， 所以满足钝角三角形，，此时C正确． 对于D：， 即，即， 所以，而为三角形内角， 所以或者， 所以是等腰三角形或者直角三角形，D错误； 故选：BC． 三、填空题 9．（24-25高一下·山西·期末）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为__________． 【答案】锐角三角形 【分析】设增加同样的长度为，原三边长为,则，，则新的三角形三边长可表示出来,可知为最大边,其对应角最大，进而利用余弦定理求得余弦值大于0判断出最大角为锐角，得三角形为锐角三角形. 【详解】设增加同样的长度为,原三边长为,且,， 则新的三角形的三边长为,可知为最大边,其对应角最大， 而, 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则最大角为锐角, 所以新的三角形为锐角三角形. 故答案为:锐角三角形. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了学生转化和化归的思想. 四、解答题 10．（24-25高一下·陕西省西安·期中）在中，已知：，且． （）判断的形状，并证明． （）求的值． 【答案】(1) 是直角三角形,证明见解析. (2) . 【详解】分析：（1）把已知等式中角化为边的关系，再把变形为，展开后用正弦定理化角为边，最后得出三边之间的关系，从而判断出三角形的形状． （2）利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式可求的值. 详解：（）为直角三角形， 证明：在中，∵， 根据正弦定理，得， ∴①， ∵， ∴， 化简得， 由正弦定理，得，② 将②代入①中得，即， 故是直角三角形． （）由（1）可得，故，故， 所以， 故. 点睛：在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A＋B＋C＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状． 11．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，. (1)求的大小； (2)若，试判断的形状. 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出，进而求得，从而判断出的形状. 【详解】（1）因为，则，整理可得， 由余弦定理可得， 又因为，故. （2）因为，则， 由余弦定可得， 即，则， 所以，解得，故为等边三角形. ( 考点0 3 几何图形中的计算 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西铜川·期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知, 由余弦定理可得， 故选：D 二、填空题 2．（24-25高一下·山西省朔州市·期末）如图所示，在四边形中，已知，，，，，___________． 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理得到，求出；在中，利用正弦定理，由，即可求出. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得：， 即，解得或（舍）； 又，所以； 在中，，，， 由正弦定理可得，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·陕西省榆林市·期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为______海里. 【答案】 【分析】分别在和中利用正弦定理计算，，再在中利用余弦定理计算． 【详解】 连接， 由题意可知，，，，， ，， 在中，由正弦定理得，， 在中， ，，． 在中，由余弦定理得． 故答案为： 4．（（24-25高一下·陕西·期末）已知锐角中，，，，延长到点，使，则________. 【答案】 【分析】先由余弦定理求得，再由正弦定理求得，再由正弦定理求得，设，则，用余弦定理可得关于的方程，解方程可得，进而可求得的面积. 【详解】因为，，，由余弦定理得，， 所以，则.设，则，因为，所以，由余弦定理得，即，解得或（舍），所以，，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由正弦定理求得，设，则，用余弦定理可得关于的方程，解方程可得，进而求得. 5．（24-25高一下·宁夏青铜峡市·模拟预测）如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为__________．    【答案】 【分析】根据题意可得，结合正弦定理与、三角形内角和定理与两角和差余弦公式即可求得，从而得的大小. 【详解】因为BD的垂直平分线过点A，所以，则，所以． 又因为在中，，，所以． 在中，由正弦定理，得，所以, 因为，所以为锐角，所以， 则， 又，所以． 故答案为：. 6．（24-25高一下·陕西商洛·期末）若是圆的内接正三角形，且圆的半径是10，则的边长为___________. 【答案】 【分析】连接，并延长交于，连接，则，在中求出，从而可求出的边长 【详解】如图连接，并延长交于，连接，则， 在中，， 所以， 所以， 所以的边长为， 故答案为： 三、解答题 7．（24-25高一下·山西朔州·期末）如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点A是扇形弧上的一点（不包含端点），过A作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点． (1)若，求； (2)设，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记与的交点分别为，求出的长，即可求得答案; （2）连接，记与的交点分别为，求出的长，即可表示出四边形的面积，结合三角恒等变换以及正弦函数的性质化简求值，即得答案. 【详解】（1）由题意可知关于对称，连接，记与的交点分别为， 则， 故， 则， 故. （2）连接，记与的交点分别为，， 则， ，， ， 所以四边形的面积 ， 因为，， 所以当，即时，取到最大值1， 故. 8．（24-25高一下·山西太原·期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：在中，内角所对的边分别为，且___________. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合的范围可知，由此可得； 若选②，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，由此可得； （2）根据角度关系可得；在和中，分别利用正弦定理表示出，由此可构造等式求得结果. 【详解】（1）若选条件①，由正弦定理得：， ， 即， ，，，即， ，，，解得：； 若选条件②，由正弦定理得：； ，，，则. （2） ，，； 在中，由正弦定理得：； 在中，由正弦定理得：； ， 即，. 9．（24-25高一下·宁夏石嘴山市·期末）如图，在凸四边形中，已知． (1)若，，求的值； (2)若，四边形的面积为4，求的值． 【答案】(1)； (2)﹒ 【分析】(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根据即可求； (2)在△、△中，分别由余弦定理求出，两式相减可得cosA与cosC的关系式；又由的sinA与sinC的关系式；两个关系式平方后相加即可求出cos(A＋C)﹒ 【详解】（1）在△中，∵， ∴． 在△中，由正弦定理得，， ∴． ∵，∴， ∴． （2）在△、△中，由余弦定理得， ， ， 从而①， 由得， ②， 得，， ∴． ( 考点0 4 求三角形的面积或周长的值、最值或范围 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏中卫市·期末）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件等式，结合余弦定理可得，进而有，将其代入公式，应用二次函数的性质求最值即可. 【详解】由题设，结合余弦定理知：，即，而， ∴，， ∴当时，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：应用余弦定理的边角关系，代入已知等式整理得，再由面积公式求最值. 二、填空题 2．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，现有下列四个结论：①；②当，时，；③当时，外接圆的面积为；④当时，面积的最大值为.其中所有正确结论的编号是___________. 【答案】②④ 【分析】首先利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可判断①，再由对数的运算判断②，由正弦定理求出外接圆的半径即可判断③，利用基本不等式及三角形面积公式判断④； 【详解】解：因为，由正弦定理可得，所以，因为，所以，故①错误，当、时，故②正确；当时，设其外接圆的半径为，由正弦定理可得，所以，所以外接圆的面积为，故③错误；当时，由，所以，即，当且仅当时取等号，所以，故④正确； 故答案为：②④ 3．（24-25高一下·山西太原·期末）已知中，，则面积的最大值为_____ 【答案】 【分析】设，则，根据面积公式得，由余弦定理求得代入化简，由三角形三边关系求得，由二次函数的性质求得取得最大值． 【详解】解：设，则，根据面积公式得 ， 由余弦定理可得， 可得：， 由三角形三边关系有：，且，解得：， 故当时，取得最大值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题． 三、解答题 4．（24-25高一下·宁夏长庆·月考）的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且， (1)求角A的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求得正确答案. （2）结合余弦定理、基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）依题意， 由正弦定理得， 由于， 所以，则. （2）由余弦定理得， 即，当且仅当时等号成立. 所以. 即面积的最大值为. 5．（24-25高一下·宁夏吴忠市·期末）在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，. (1)求； (2)求与的面积之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求得，结合勾股定理可得结果； （2）设，利用可表示出，结合三角恒等变换知识化简得到，由正弦函数最值求法可求得结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理得：，解得：， ，即，. （2）设，则， ，，四点共圆，且为该圆的直径， ，， ，， 在中，，， .    ，，， ，当，即时，， 故与的面积和的最大值为.    6．（24-25高一下·青海省·期末）在中，与的角平分线交于点D，已知． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）结合角的关系利用二倍角公式及余弦差角公式化简即可； （2）由（1）可知，由余弦定理及基本不等式可得，再根据三角形面积公式求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 由， 可知 ， 所以， ． 因为， 所以．因为，所以． （2）因为，所以， 所以，所以． 由余弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为， 所以△ACD面积的最大值为． 7．（24-25高一下·陕西省渭南市·期末）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)点为边的中点，，设，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，从而求得角； （2）利用余弦定理与基本不等式求得，从而利用三角形面积公式即可求得面积的最大值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，则，故， 又，所以. （2）在中，， 所以由余弦定理得，即， 又，当且仅当时，等号成立，则， 所以，此时， 故面积的最大值为. 8．（24-25高一下·山西吕梁·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且满足： (1)求角的大小； (2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦边化角，并结合恒等变换得，再结合题意得，进而根据内角和定理得答案； （2）由题，结合（1）得，设，则，进而根据锐角三角形得，在中，由正弦定理得，进而，再根据三角函数性质求范围即可. 【详解】（1）解：因为 所以，即 所以， 所以，即， 因为在锐角中，， 所以，即， 因为， 所以，解得 所以 （2）解：因为，角与角的内角平分线相交于点， 所以， 所以 所以， 设，则， 因为为锐角三角形， 所，解得 所以，在中，由正弦定理得， 所以，面积 因为，所以， 所以， 所以， 所以，面积的取值范围是. 9．（24-25高一下·山西运城·期末）如图，在△中，D为BC边上的点，连接AD，且满足. (1)求证：； (2)若，，求△的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分别在△和△中运用正弦定理并结合已知条件即可证得； （2）利用，列出等式，利用基本不等式即可求出△的面积的最小值. 【详解】（1）在△中，利用正弦定理可知， 即， 同理，在△中，利用正弦定理可知， 即， 由已知条件，可得， 即 ，∴； （2）设，, , ∴，，， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，（当且仅当时等号成立） ∴， 即的最小值为. ( 考点0 5 正余弦定理与三角函数的结合 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏银川·期末 ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且满足，若△ABC的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，求得的范围，结合三角形面积公式以及余弦定理表达出关于的函数关系，再求函数值域即可. 【详解】因为，即，由余弦定理可得， 即，又，故可得，由正弦定理可得： ，则， ，又均为锐角，故可得，即； 由可得，又，故可得； 由，可得； 又 ， 又，，解得或（舍去负值）, 则，即的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：解三角形中的范围问题，处理问题的关键是能够根据已知条件，结合正余弦定理，将目标式转化为关于的函数，同时要注意的取值范围. 2．（24-25高一下·山西运城·期末）在锐角三角形中，A、B、C成等差数列，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，再利用正弦定理将边化角，则再根据正弦函数的性质即可解答. 【详解】解：A、B、C成等差数列 所以，又 所以 由正弦定理得 是锐角三角形，所以且， 所以，所以 即 故选： 【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角函数的性质的应用，属于中档题. 二、多选题 3．（24-25高一下·陕西省渭南市·期末）在中，，的重心为，外心为，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．若向量在方向上的投影向量为，则 D．若为锐角三角形，则 【答案】BD 【分析】对于A，由正弦定理推论可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，由题可得点A在以O为圆心的优弧BC上，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，然后由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，由正弦定理推论，，故A错误； 对于B，，因的重心为， 则，从而，故B正确； 对于C，由题可得点A，在以O为圆心的优弧BC上，因，由圆周角圆心角关系可得为等边三角形，过A做BC垂线，垂足为D，则在方向上的投影向量为，如图当与圆O相切时，取最小值，最大值. 如图，取BC中点为E，连接OE，易得BD， ，则，，从而，故C错误； 对于D，由数量积定义及余弦定理， ， 由正弦定理边角互化， 又，结合为锐角三角形，则. 则， 由和差化积公式，， 因，则， 则， 从而， 则，故D正确. 故选：BD 4．（24-25高一下·宁夏吴忠市·期末）如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（     ）    A． B． C．四边形面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据题意，求得，得到，即为等边三角形，可判定A、B正确；设，利用余弦定理得，结合三角形的面积公式，得到四边形的面积为，进而求得最大值，可判定C正确，D错误. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，所以为等边三角形， 可得，，所以A、B正确； 设， 在中，由余弦定理得， 且， 可得， 所以四边形的面积为， 当时，四边形的面积最大，最大值为，所以C正确，D错误. 故选：ABC.    三、填空题 5．（24-25高一下·山西·期末）钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是_________. 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合是钝角三角形矛盾，得到，化简，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则或. 当时，可得，与是钝角三角形矛盾，所以， 由，则，可得， 所以 ， 所以当时，的最大值为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·陕西安康·期末）在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为___________. 【答案】 【分析】根据题目所给的条件，利用正弦定理化简后得到，利用正弦定理“边化角”化简得到，因此最大值即. 【详解】中，，， 所以，所以， 根据正弦定理，， 即， 因为，所以， 由为三角形内角可知，， 根据正弦定理，， 所以 ， 其中，， 当时取得最大值，所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题 7．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，分别为角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，求得，即可求得的大小； （2）根据题意，由正弦定理得到，结合三角恒等变换的公式，化简得到的周长，再由，利用三角函数的性质，即可求得周长的最大值. 【详解】（1）解：在中，因为， 由正弦定理可得， 即， 可得, 因为，所以，可得， 所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）解：由题意知：，，且，则， 根据正弦定理得，可得， 所以的周长 ， 因为，所以当，即时，取得最大值， 此时，即周长的最大值为. 8．（24-25高一下·宁夏银川市·期末）已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域； （2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案 【详解】（1）， 所以要使有意义， 只需，即， 所以，解得 所以函数的定义域为， 由于，所以， 所以函数的值域为； （2）由于，所以， 因为，所以，所以即， 由锐角可得，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以所以， 所以的最大值为2. 9．（24-25高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【详解】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 10．（24-25高一下·陕西省渭南市·期末）已知函数，其中. (1)若，求图象的对称中心； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出函数对称中心； （2）求出，根据单调递增区间得到不等式，求出的取值范围； （3）由，得到，由余弦定理和正弦定理得到，因为为锐角三角形，所以，求出的取值范围，得到答案． 【详解】（1）， 当时，． 令，得， 所以图象的对称中心为. （2）由（1）得，且， 所以，即， 因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 所以， 因为，则， 又因为函数在区间上单调递增， 则， 可得，解得， 可得，即， 且，则，所以的取值范围是. （3）由得， 因为，即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，解得． 由余弦定理，即， 可得， 所以． 由正弦定理，得， 则，， 可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 可得，则， 即，可得， 所以的取值范围是． ( 考点0 6 正余弦定理的实际应用 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西省临汾市·期末）苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，（为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米.在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（    ） A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数可得，，即可根据余弦定理求解. 【详解】设苏州双塔的高度为h米，依题意可得米，米. 因为，所以由余弦定理得， 解得. 故选：B 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，海中有一座小岛P，一艘游轮自东向西航行，在点A处测得该岛在其南偏西75°方向，游轮航行16海里后到达点B处，测得该岛在其南偏西45°方向．若这艘游轮不改变航向继续前进，则游轮到该岛的最短距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系求解. 【详解】在中，，则， ， 由正弦定理，得， 过作垂直于直线的直线，为垂足，此时， 因此游轮不改变航向继续前进，游轮到该岛的最短距离为（海里）. 故选：A 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内.某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度.如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为，，，米，则司马迁雕像高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】设米，得到，结合及余弦定理求解. 【详解】设米，由题设有，又， 由， 所以，则，可得米. 故选：A. 二、多选题 4．（24-25高一下·山西大同·期末）如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走a km到达C处，这时他离出发点A的距离为km，那么的值可以是（    ）    A．1 B． C． D．2 【答案】AD 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】如图，       由条件可知 根据余弦定理可知，， 所以，解得或. 故选：AD. 三、填空题 5．（24-25高一下·青海·期末）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 【答案】 【分析】先求出，在中，由正弦定理得到，从而得到. 【详解】由题意得， 故， 故中，由正弦定理得， 即，解得， 又在点测得山顶的仰角为，故， 故. 故答案为： 6．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 【答案】 【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ，， ，即球体建筑物的表面积为. 故答案为： 7．（24-25高一下·青海西宁·期末）如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为，，且.若山高m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______.    【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，,,所以m，m，由余弦定理可得（m），这辆汽车的速度为（）. 故答案为： 8．（24-25高一下·青海海东·期末）甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________． 【答案】30 【分析】依题意画出图形，求出、、，再由正弦定理计算可得. 【详解】解：如图，由题意得，，所以， 由正弦定理，得． 故答案为： 9．（21-22高一下·宁夏银川·期末）如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为______m． 【答案】40 【分析】设电视塔的高度为，则可得，，在中由余弦定理即可求出. 【详解】设电视塔的高度为， 因为在直角中，，所以， 在直角中，，所以， 则在中，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以电视塔的高度为40m. 故答案为：40. 10．（24-25高一下·宁夏吴忠市·月考）如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则__________. 【答案】 【分析】根据已知及正弦定理有、，即可求. 【详解】由条件知，过作垂直于直线，垂足为， 在中，，在中，， 所以. 故答案为： 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形专题 高频考点概览 考点01正余弦定理判断三角形形状 考点02求三角形中边长或周长的值、最值或范围 考点03几何图形中的计算 考点04 求三角形的面积的值、最值或范围 考点05 正余弦定理与三角函数的结合 考点06 正余弦定理的实际应用 ( 考点01 正余弦定理判断三角形形状 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西运城·期末）在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·青海西宁·期末）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25高一下·山西太原·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题 5．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则一定是钝角三角形 6．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则是等腰直角三角形 B．在中，若，则 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．在中，若，，则必是等边三角形 7．（24-25高一下·宁夏银川市·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则为等边三角形 8．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）在中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，且，则的面积为或 D．若，则一定是等腰三角形 三、填空题 9．（24-25高一下·山西·期末）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为__________． 四、解答题 10．（24-25高一下·山东临沂·期中）在中，已知：，且． （）判断的形状，并证明． （）求的值． 11．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，. (1)求的大小； (2)若，试判断的形状. ( 考点0 2 求三角形中边长或周长的值、最值或范围 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西运城·期末）在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·青海西宁·期末）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ． 4．（24-25高一下·山西太原·阶段检测）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题 5．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则一定是钝角三角形 6．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则是等腰直角三角形 B．在中，若，则 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．在中，若，，则必是等边三角形 7．（24-25高一下·宁夏银川市·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则为等边三角形 8．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）在中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，且，则的面积为或 D．若，则一定是等腰三角形 三、填空题 9．（24-25高一下·山西·期末）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为__________． 四、解答题 10．（24-25高一下·陕西省西安·期中）在中，已知：，且． （）判断的形状，并证明． （）求的值． 11．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，. (1)求的大小； (2)若，试判断的形状. ( 考点0 3 几何图形中的计算 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西铜川·期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高一下·山西省朔州市·期末）如图所示，在四边形中，已知，，，，，___________． 3．（24-25高一下·陕西省榆林市·期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为______海里. 4．（（24-25高一下·陕西·期末）已知锐角中，，，，延长到点，使，则________. 5．（24-25高一下·宁夏青铜峡市·模拟预测）如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为__________．    6．（24-25高一下·陕西商洛·期末）若是圆的内接正三角形，且圆的半径是10，则的边长为___________. 三、解答题 7．（24-25高一下·山西朔州·期末）如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点A是扇形弧上的一点（不包含端点），过A作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点． (1)若，求； (2)设，求四边形的面积的最大值． 8．（24-25高一下·山西太原·期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：在中，内角所对的边分别为，且___________. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 9．（24-25高一下·宁夏石嘴山市·期末）如图，在凸四边形中，已知． (1)若，，求的值； (2)若，四边形的面积为4，求的值． ( 考点0 4 求三角形的面积或周长的值、最值或范围 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏中卫市·期末）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，现有下列四个结论：①；②当，时，；③当时，外接圆的面积为；④当时，面积的最大值为.其中所有正确结论的编号是___________. 3．（24-25高一下·山西太原·期末）已知中，，则面积的最大值为_____ 三、解答题 4．（24-25高一下·宁夏长庆·月考）的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且， (1)求角A的大小； (2)若，求面积的最大值. 5．（24-25高一下·宁夏吴忠市·期末）在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，. (1)求； (2)求与的面积之和的最大值. 6．（24-25高一下·青海省·期末）在中，与的角平分线交于点D，已知． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 7．（24-25高一下·陕西省渭南市·期末）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)点为边的中点，，设，求面积的最大值. 8．（24-25高一下·山西吕梁·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且满足： (1)求角的大小； (2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 9．（24-25高一下·山西运城·期末）如图，在△中，D为BC边上的点，连接AD，且满足. (1)求证：； (2)若，，求△的面积的最小值. ( 考点0 5 正余弦定理与三角函数的结合 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏银川·期末 ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且满足，若△ABC的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西运城·期末）在锐角三角形中，A、B、C成等差数列，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一下·陕西省渭南市·期末）在中，，的重心为，外心为，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．若向量在方向上的投影向量为，则 D．若为锐角三角形，则 4．（24-25高一下·宁夏吴忠市·期末）如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（     ）    A． B． C．四边形面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 三、填空题 5．（24-25高一下·山西·期末）钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是_________. 6．（24-25高一下·陕西安康·期末）在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为___________. 四、解答题 7．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，分别为角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值. 8．（24-25高一下·宁夏银川市·期末）已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 9．（24-25高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 10．（24-25高一下·陕西省渭南市·期末）已知函数，其中. (1)若，求图象的对称中心； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. ( 考点0 6 正余弦定理的实际应用 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西省临汾市·期末）苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，（为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米.在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（    ） A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，海中有一座小岛P，一艘游轮自东向西航行，在点A处测得该岛在其南偏西75°方向，游轮航行16海里后到达点B处，测得该岛在其南偏西45°方向．若这艘游轮不改变航向继续前进，则游轮到该岛的最短距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内.某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度.如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为，，，米，则司马迁雕像高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题 4．（24-25高一下·山西大同·期末）如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走a km到达C处，这时他离出发点A的距离为km，那么的值可以是（    ）    A．1 B． C． D．2 三、填空题 5．（24-25高一下·青海·期末）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 6．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 7．（24-25高一下·青海西宁·期末）如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为，，且.若山高m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______.    8．（24-25高一下·青海海东·期末）甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________． 9．（21-22高一下·宁夏银川·期末）如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为______m． 10．（24-25高一下·宁夏吴忠市·月考）如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则__________. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $