湖北荆州市公安县车胤中学2026届高三下学期数学五月周考试卷（一）

**基本信息** 高三数学周测试卷，覆盖函数、几何、概率统计等核心知识，解答题结合志愿服务统计、科技公司任务分配等现实情境，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数、集合、三角函数、椭圆离心率等|第5题动直线对称点轨迹，考查几何直观与空间观念| |多选题|3|概率、向量投影、函数性质|第11题函数对称性与周期性综合，发展推理意识| |填空题|3|数列求和、棱台体积、排列组合|第14题任务名额分配，体现数学语言表达现实问题| |解答题|5|统计回归、双曲线、导数应用|第17题志愿服务数据回归分析，培养数据观念；第16题立体几何三问分层，提升空间想象与创新意识|

车胤中学2026届高三数学五月周考试卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．复数的实部为（   ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 2．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．的值为（   ） A． B． C．1 D． 4．已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 6．设，则. A．-4 B．-8 C．-12 D．-16 7．已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 8．椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（   ） A．的夹角为 B． C． D． 11．已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 三、填空题 12．已知数列中，，则___________． 13．在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 14．某科技公司有研发，芯片制造，软件编程三类项目，每个项目各有8个任务名额，现要将这些名额全部分配给两个团队，每个团队每类项目至少分得一个任务名额．若团队所得到的三类任务名额的个数的乘积与团队所得到的三类任务名额的个数的乘积相等，则这样的分配方法有_____种． 四、解答题 15．设数列满足且. (1)证明数列是等差数列，并求其通项公式； (2)若，求正整数的值. 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. (1)求证：平面平面ABCD； (2)请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； (3)过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 17．为探索“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务日参与情况的常态化统计机制．下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）. 月份编号 1 2 3 4 5 平均参与人数（单位：万人） 0.5 0.7 1 1.3 1.5 (1)已知与之间线性相关，求关于的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿服务的学生人数； (2)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万人）服从正态分布，并视（1）所求第6个月的日平均参与人数的预测值为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万人的天数是否不少于25天. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率 .②若，则 18．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明存在轴上的一点，使得为定值； (3)求的最大值. 19．设a为非负实数，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值. 试卷第1页，共3页 《车胤中学2026届高三数学五月周考试卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B A C B A AC ABD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】先进行复数的乘方运算化简复数，再确定其实部. 【详解】因为， 所以的实部为3. 故选：A. 2．B 【详解】因为，其中为偶数， ，其中为奇数， 则，即为奇数集，所以为偶数集， 又集合表示奇数集合，集合表示偶数集合， 集合表示4的整数倍数加2对应的数组成的集合， 集合表示4的整数倍数对应的数组成的集合. 3．A 【分析】根据结合两角和差的正切公式运算求解. 【详解】因为， 整理可得. 4．B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 5．A 【分析】先求出直线l过定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由直线l：， 令，解得， 则直线l（不包含直线）过定点， 由对称性可知，，即点N到定点的距离为， 又直线l不包含直线， 所以点关于直线的对称点不在点N的轨迹中， 则N的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉点），因此，点N的轨迹为圆的一部分. 6．C 【分析】根据，是展开式中的系数，利用二项展开式的通项公式，求得结果． 【详解】，是展开式中的系数， ∴，故选C． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题． 7．B 【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可. 【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为， 所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为， 由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 8．A 【分析】由椭圆的定义得，再结合成等比数列得，再用坐标表示焦半径并结合可得. 【详解】设椭圆半焦距为，，左右焦点. 由椭圆的定义得：，因为成等比数列， 故，即，得： . 对两边平方：代入 整理得：①，由，得. 所以②， 联立①②得：，，即，因此，. 所以椭圆的离心率为. 9．AC 【分析】应用对立事件概率求法、全概率及条件概率公式判断A、B、D；由概率的性质判断C. 【详解】由题设，且， ， ， 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 10．ABD 【分析】由题意求得，从而可得，即可判断A；求得，从而判断B；求出、，从而判断C，D. 【详解】对于A，因为在上的投影向量为，且， 所以，即， 所以， 所以， 又因为， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 11．ABD 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 12． 【分析】先判断出数列是等差数列，求出其首项和公差，再利用公式求和即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以数列是等差数列，首项为6，公差为3， 所以 13． 【分析】首先分别计算正三棱台上下底面的面积，再根据侧棱与底面所成角为求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算最终结果. 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 14．19 【分析】法1：干已知名额分配、乘积相等的条件列出等量关系，通过枚举，去掉重复的分类解决此题分配方法的总数问题.法2：首先分析出,,中有两个数大于一个数小于4或者两个数小于4一个数大于4，再利用对称性分类讨论即可. 【详解】法1：团队分配到的名额分别为，，，团队分配到的名额为，，， 其中，，，，，均为正整数， 则，，. 因为团队所得到的三类任务名额的个数的乘积与团队所得到的三类任务名额的个数的乘积相等， 所以，即， 化简得， 所以， 因此该等式右边为的倍数，则等式左边是的倍数. 若，，均不为4，则它们只能从，，，，，这几个数中取值， 要使为的倍数，则乘积中必须含有，而以上几个数中只有和中含有因数2， 因此必须至少同时取到两个偶数（或）. 若取两个和一个，则，解得，非整数，不合题意； 若取两个和一个，则，解得，非整数，不合题意； 若取一个、一个和一个，则，解得，与均不为矛盾，不合题意. 因此，，，中必有一个4存在. 若，则，所以，则， 化简得，又，，且，为正整数， 所以满足的，共有组，即，，，，，，； 同理，当和当时，也各有组， 以上类分法中均有，，被重复计算次， 所以满足的分法共有种. 法2：设团队三类任务名额数分别为,,， 则团队三类任务名额数分别为，其中． 由题知，， 若,,均不为4，则,,中有两个数大于一个数小于4或者两个数小于4一个数大于4， 由对称性，不妨考查,均小于,大于4，则，， 则， 所以，当时，则， 因为，等式不成立； 当时，则，因为， 此时，则，又，不合题意； 当时，则， 因为，此时， 若时，则，此时， 若，此时， 若，则，此时，均不合题意； 所以,,中至少有一个为4，不妨设，则， 由，可得，则， 当时，只有1种情况， 当为1,4,7或2,4,6或3,4,5的一个排列时，各有6种情况． 综上，符合条件的分配方法种数为19种． 15．(1)证明见解析， (2). 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以. （2）由 解得，因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，解得. 16．(1)证明见解析； (2)，截面周长为12 (3)存在， 【分析】（1）运用直角梯形垂直关系，再结合已知得到线面垂直，再证明面面垂直； （2）利用平面平行相交的性质作出截面，再通过直角三角形，平行四边形性质求得周长； （3）先计算出点C到平面的距离，如果距离大于3，则不存在；如果距离小于3，则存在；最后如果存在，那么点在运动过程中所围成的图形是：以点为球心半径为的球面被平面所截的面，计算出半径求得圆面积. 【详解】（1）证明： 又平面 平面 又平面 平面平面 （2） 连接交于点，连接，取中点，连接,， 四边形 为平行四边形 点为中点， ，四边形为平行四边形,则 ， 点G平面，故四边形即为所求截面， 平面 ,为直角三角形， ,故四边形为平行四边形， 所以，四边形周长为：; （3）假设平面内存在动点，使其到点的距离为3， 方法一（等体积法）： 设点到平面距离为h，那么 取中点，由可知为正三角形， 所以， 由可得 , 即， 由于， 所以，, , 所以，平面内存在动点，使其到点的距离为3 点在运动过程中所围成的图形是以点为球心半径为的球面被平面所截得的截面，截面形状为圆， 半径,. 方法二（建坐标系）： 取中点，由可知为正三角形， 所以， 以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 那么, 设平面法向量为，那么 取，则为平面一个法向量， 那么点到平面距离， 所以，平面内存在动点，使其到点的距离为3 点在运动过程中所围成的图形是以点为球心半径为的球面被平面所截，截面形状为圆， 半径,. 17．(1)，（万人） (2)该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天． 【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，代入回归方程可得预测值； （2）依题意可知，再结合正态分布的对称性计算即可. 【详解】（1）设所求的线性回归方程为， 由题意， ， 所以， 所以 所以. 当时，（万人）. （2）当时，，则， 由正态分布性质，可知. 因为， 所以. 因为， 所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天． 18．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； （3）先求、，再根据两角和的正切公式结合韦达定理可求，故可求的最大值. 【详解】（1）因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且，所以. 又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. （3）由双曲线的对称性不妨设，， 故，， 故 ，其中， 设，则， 故， 而，故， 注意到，故的最大值为. 19．(1)减区间为，增区间为； (2). 【分析】（1）对函数求导并结合余弦函数单调性解不等式即可求得单调区间； （2）根据不等式恒成立构造函数，结合（1）中单调性对参数进行分类讨论求出可求得结论. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，，令，得， 令，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由恒成立，可得， 令，则 因为， 当时，由（1）知，在上单调递增，在单调递减， 故此时， 所以的最小值为； 当时，， 当时，易得为减函数， 又时，， 由零点存在性定理得，存在，使得， 在上单调递增，在单调递减， 故此时， 此时， 综上可知当时，的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $