第六章 二项式定理单元复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学讲义以二项式定理为核心，通过知识框架系统梳理定理、通项公式、二项式系数性质及常用结论，用题型分类表呈现特定项求解、多项式展开、系数和、最值四大专题，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-方法-例题”三阶设计，如题型3通过赋值法求系数和，引导学生用数学思维分析展开式规律，例题涵盖选择、填空及解答题，基础题巩固公式应用，综合题提升逻辑推理能力，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可精准突破薄弱环节。

第六章 二项式定理 目录 题型1：求二项展开式中的特定项及其系数 2 题型2：多项式展开式中特定项（系数）问题 6 题型3：二项展开式中的系数和问题 9 题型4：二项式系数的最值问题 14 1. 二项式定理 (1) 二项式定理：. (2) 通项：，表示展开式的第项. (3) 二项系数:. 2. 二项式系数的性质 (1) 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. (2) 增减性与最大值 ① 时，随着的增大而增大. ②时，随着的增大而减小. ③当是偶数时，中间的一项的二次项系数取得最大值. ④当是奇数时，中间的两项与的二次项系数与相等，且同时取得最大值. (3) 各二项式系数的和 ①. ②. 常用结论（1）； （2） 若是公比为的等比数列，则 题型1：求二项展开式中的特定项及其系数 方法提炼 求二项展开式中特定项的步骤： 【例1.1.】 已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（    ） A．12 B．-20 C．-16 D．-12 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】求指定项的系数、求指定项的二项式系数 【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式计算求值. 【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则， 则展开式通项公式是， 令，得，∴的系数为， 【例1.2.】 在的展开式中，第7项的二项式系数是（    ） A． B． C．8 D．28 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】求指定项的二项式系数 【详解】第7项的二项式系数为． 【例1.3.】 二项式展开式中有理项的项数是（   ） A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】求有理项或其系数 【详解】设二项式展开式第项为. 展开式通项. 其中. 令为整数，即能被整除. 逐一验证得满足条件，故有理项的项数为. 【例1.4.】 若二项式的展开式中，和的系数相同，则非零常数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】利用二项式展开式的通项公式,写出展开式中含的系数和的系数，列方程求出的值． 【详解】∵的二项式展开式中,通项公式为, ∴含的系数为，含的系数为， 由题意知， 又，. ∴非零实数的值为3. 【例1.5.】 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】84 【难度】0.72 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据展开式的通项，再令进行计算． 【详解】解：二项式的展开式， 当，即时，常数项为． 【例1.6.】 的展开式中有常数项，则n的最小值为________． 【答案】3 【难度】0.75 【知识点】求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数、二项展开式的应用 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得满足x的指数为0，结合、且即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 要有常数项，需满足x的指数为0，即，． 因为，且，所以n必须是3的正整数倍， 所以取时，n取得最小值3． 【例1.7.】 已知的展开式中第3项和第4项的二项式系数相等． (1)求n； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)5 (2) 【难度】0.82 【知识点】求指定项的二项式系数、求有理项或其系数 【分析】（1）利用二项式系数及组合数计算即可； （2）利用二项式展开式的通项计算即可. 【详解】（1）展开式中的第3项和第4项的二项式系数相等， ，即， 解得，所以； （2）二项式展开式的通项为， 当时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为． 题型2：多项式展开式中特定项（系数）问题 方法提炼 (1) 几个二项式和的展开式的特定项问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）. (2) 求两个（或多个）二项式乘积的展开式常用方法： 方法①：先对每一个二项式分别展开,将问题转化为求多项式与多项式乘积的展开式，并利用多项式乘法法则将其展开.其具体步骤为： 第1步：根据二项式定理将每一个二项式分别展开，并写出其通项公式; 第2步：根据特定项的次数，分析特定项可由展开式中哪些项相乘得到； 第3步：把相乘后的项相加即可得到特定项. 方法②：先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开. (3) 求三项展开式常用方法： 方法①：反复利用二项式定理，即先把三项中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后利用二项式定理求解. 方法②：先利用运算性质对其进行化简，化三项为两项，再利用二项式定理进行展开. 【例2.1.】 在的展开式中，含项的系数是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】根据二项式定理，的通项为，把分成和两部分，分别求其项的系数再求和即可. 【详解】根据二项式定理，的通项为. 原式可分成和两部分： 对于，求项（即）： ，因此项的系数是6. 同理，对于，求项（即）： ，因此项的系数是24. 将两部分的项系数相加：. 故答案为：. 【例2.2.】 的展开式中常数项为__________． 【答案】29 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】先求出展开式的通项公式，分别令和，求出k值，代入求解，分析计算，即可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，则； 令，解得，则， 所以的展开式中常数项为. 【例2.3.】 的展开式中的常数项为______. 【答案】 【难度】0.68 【知识点】多项式的展开式 【详解】因为， 二项式的展开式的通项为，， 所以的展开式中的常数项， 所以的展开式中的常数项， 所以的展开式中的常数项， 故的展开式中的常数项为. 【例2.4.】 已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、由项的系数确定参数 【详解】已知展开式中项的系数为35，利用二项式定理，则项的系数为：． 即． 【例2.5.】 在的展开式中，含的项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】根据多项式定理求解即可. 【详解】的展开式的通项为. 令，则 的展开式的通项为， 令，则系数为. 因此含项的总系数为. 【例2.6.】 的展开式中的系数为____________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题、代数中的组合计数问题、求指定项的系数 【分析】利用组合知识求解含的项即可. 【详解】可以看作5个相乘， 利用组合知识可知，展开式中含的项为，， 合并同类项为. 故答案为： 【例2.7.】 的展开式中的系数为_______．（用数字作答） 【答案】 【难度】0.5 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【详解】， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 所以的系数为. 题型3：二项展开式中的系数和问题 方法提炼 (1) 赋值法：我们可以通过令字母的因式的值为特殊值，一般取1，0，或-1，从而求得展开式的所有项的系数和或某几项的系数和. (2) 若，令，则，即展开式中的所有项的系数和为.①当为偶数，奇数项系数和为；偶数项系数和为.②当为奇数，奇数项系数和为；偶数项系数和为. 【例3.1.】 已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为展开式中二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 又因为的展开式中各项系数之和为243， 令可得，解得，即二项式为， 其展开式的通项公式为，， 令，可得1，所以展开式中的系数是. 【例3.2.】 的展开式中所有奇数项的系数和为________． 【答案】121 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的二项式系数、奇次项与偶次项的系数和 【详解】展开式的通项为，， 当，2，4时,，，， 其系数和为． 【例3.3.】 （多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、求指定项的二项式系数 【分析】应用组合数性质判断A，应用赋值法计算判断B，D，应用通项公式计算判断C. 【详解】由题意得，，则，故A正确； 令，得， 令，得，则，故B错误； 展开式的通项为，则，故C正确； 由，得， 令，得，故D错误． 【例3.4.】 化简的值为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】二项式的系数和 【详解】由二项式定理可得， 令，则， 令，则， 故， 故. 【例3.5.】 已知，则_________；_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项式定理与数列求和 【分析】直接用二项展开式的通项可求得.用赋值法（令和），然后两式作差，可求得答案. 【详解】解：根据二项展开式的通项公式得：，所以 令, 得： ……(1) 令, 得： 即： ……(2) (1)式与(2)式作差，得：, 所以. 故答案为：； 【例3.6.】 已知，求下列各式的值： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）利用二项式系数的符号规律，的系数正负交替，因此系数绝对值之和等价于的各项系数和，令直接计算即可； （2）对原式两边求导，得到含的等式，再令，即可直接得到所求值； 【详解】（1）已知， 展开式的通项， 因为，所以， 所以等价于展开式中各项系数之和， 令，得 ． （2）对， 两边同时求导得， 令，得 ． 【例3.7.】 已知，则______；则______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式定理与数列求和 【分析】第一个空可用赋值法求得； 第二个空关键是将，再通过并项求和得到. 【详解】（1）由， 令，得，令，得，所以． （2）由二项式定理可得，， 所以， 因为 注： ， 所以 ． 故答案为：；. 题型4：二项式系数的最值问题 方法提炼 (1) 求二项式系数最大项 ①当是偶数时，中间的一项的二次项系数取得最大值. ②当是奇数时，中间的两项与的二次项系数与相等，且同时取得最大值. (2) 求展开式系数最大项 求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，不妨设第项系数最大，则，从而解出来． 【例4.1.】 若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 【答案】C 【难度】0.68 【知识点】求指定项的系数、求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【详解】由题意得，故， 则展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 【例4.2.】 已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值、二项展开式各项的系数和 【分析】先利用二项式系数的对称性，根据展开式中只有第四项的二项式系数最大求出的值，再利用展开式通项公式和二项式系数性质逐一计算验证各选项的结论判断正误即可得. 【详解】对A：根据二项式系数的性质：展开式中只有一项二项式系数最大，说明为偶数， 且最大二项式系数对应中间项，则，即，故A错误； 对B：对，有， 令，解得，则， 即展开式中含的项的系数是，故B正确； 对C：二项式系数和为，故C错误； 对D：对，令，有， 故展开式的各项系数和为，故D错误. 【例4.3.】 的二项展开式中系数最大的项为（   ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项 【详解】的二项展开式的通项为. 由，得， 由①得，； 由②得，. 又，所以，所以的二项展开式中系数最大的项为第3项. 【例4.4.】 在的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 【答案】(1)1 (2)第6项和第7项 【难度】0.68 【知识点】二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】（1）利用赋值法计算得解. （2）求出二项式展开式的通项公式，再由已知列出不等式组求解即得. 【详解】（1）在的展开式中，令，得展开式中所有项的系数和为. （2）由的展开式的通项为，， 设第r＋1项系数的绝对值最大，显然0＜r＜8，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 二项式定理 目录 题型1：求二项展开式中的特定项及其系数 2 题型2：多项式展开式中特定项（系数）问题 3 题型3：二项展开式中的系数和问题 4 题型4：二项式系数的最值问题 6 1. 二项式定理 (1) 二项式定理：. (2) 通项：，表示展开式的第项. (3) 二项系数:. 2. 二项式系数的性质 (1) 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. (2) 增减性与最大值 ① 时，随着的增大而增大. ②时，随着的增大而减小. ③当是偶数时，中间的一项的二次项系数取得最大值. ④当是奇数时，中间的两项与的二次项系数与相等，且同时取得最大值. (3) 各二项式系数的和 ①. ②. 常用结论（1）； （2） 若是公比为的等比数列，则 题型1：求二项展开式中的特定项及其系数 方法提炼 求二项展开式中特定项的步骤： 【例1.1.】 已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（    ） A．12 B．-20 C．-16 D．-12 【例1.2.】 在的展开式中，第7项的二项式系数是（    ） A． B． C．8 D．28 【例1.3.】 二项式展开式中有理项的项数是（   ） A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 【例1.4.】 若二项式的展开式中，和的系数相同，则非零常数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.5.】 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【例1.6.】 的展开式中有常数项，则n的最小值为________． 【例1.7.】 已知的展开式中第3项和第4项的二项式系数相等． (1)求n； (2)求展开式中所有的有理项． 题型2：多项式展开式中特定项（系数）问题 方法提炼 (1) 几个二项式和的展开式的特定项问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）. (2) 求两个（或多个）二项式乘积的展开式常用方法： 方法①：先对每一个二项式分别展开,将问题转化为求多项式与多项式乘积的展开式，并利用多项式乘法法则将其展开.其具体步骤为： 第1步：根据二项式定理将每一个二项式分别展开，并写出其通项公式; 第2步：根据特定项的次数，分析特定项可由展开式中哪些项相乘得到； 第3步：把相乘后的项相加即可得到特定项. 方法②：先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开. (3) 求三项展开式常用方法： 方法①：反复利用二项式定理，即先把三项中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后利用二项式定理求解. 方法②：先利用运算性质对其进行化简，化三项为两项，再利用二项式定理进行展开. 【例2.1.】 在的展开式中，含项的系数是______． 【例2.2.】 的展开式中常数项为__________． 【例2.3.】 的展开式中的常数项为______. 【例2.4.】 已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【例2.5.】 在的展开式中，含的项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【例2.6.】 的展开式中的系数为____________ 【例2.7.】 的展开式中的系数为_______．（用数字作答） 题型3：二项展开式中的系数和问题 方法提炼 (1) 赋值法：我们可以通过令字母的因式的值为特殊值，一般取1，0，或-1，从而求得展开式的所有项的系数和或某几项的系数和. (2) 若，令，则，即展开式中的所有项的系数和为.①当为偶数，奇数项系数和为；偶数项系数和为.②当为奇数，奇数项系数和为；偶数项系数和为. 【例3.1.】 已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 【例3.2.】 的展开式中所有奇数项的系数和为________． 【例3.3.】 （多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 化简的值为________． 【例3.5.】 已知，则_________；_________． 【例3.6.】 已知，求下列各式的值： (1)； (2)； 【例3.7.】 已知，则______；则______． 题型4：二项式系数的最值问题 方法提炼 (1) 求二项式系数最大项 ①当是偶数时，中间的一项的二次项系数取得最大值. ②当是奇数时，中间的两项与的二次项系数与相等，且同时取得最大值. (2) 求展开式系数最大项 求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，不妨设第项系数最大，则，从而解出来． 【例4.1.】 若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 【例4.2.】 已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 【例4.3.】 的二项展开式中系数最大的项为（   ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 【例4.4.】 在的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $