二项式定理专题 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学讲义通过知识框架图系统构建二项式定理专题体系，梳理求特定项及系数、二项式系数和及系数和、多项式系数、整除问题四大模块，清晰呈现各知识点内在联系与重难点分布，帮助学生建立完整知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，通过“例题+变式训练”覆盖选择、填空及实际应用（如例5判断星期几），培养数学思维与应用意识。不同难度题目满足分层需求，助力学生掌握推理方法，支持教师实施精准教学，提升复习效率。

二项式定理专题 一、知识梳理 （一）求特定项及特定项系数、二项式系数 1. 常数项 2. X的几次幂的项 3. 二项式系数最大的项 4. 有理项 （二）求二项式系数和及系数和 （三）求多项式系数 （四）整除问题 二、类型应用 类型一 求特定项及特定项系数、二项式系数 例1：在二项式展开式中，下列说法不正确的是（    ） A．第四项二项式系数最大 B．常数项为第四项 C．有理项共有4项 D．所有项的二项式系数之和为64 变式训练： 1．的展开式中常数项为（   ） A． B． C． D． 2．的展开式中二项式系数最大的项为___________． 3．在的二项展开式中，中间一项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，x的系数为______________． 5．在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（    ） A．- 60 B．- 20 C．20 D．60 6．的展开式中，二项式系数最大的项是第四项和第五项，则的系数为（    ） A．35 B． C． D． 7．若二项式展开式中的常数项为160，则______． 8．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则_______；展开式中的系数是_______． 9．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．15 C． D． 类型二 二项式系数和及系数和 例2：二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求n的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和； (3)求展开式中的常数项. 变式训练： 10．已知展开式中二项式系数和为8，则该展开式中所有项的系数和为______． 11．若，求： (1)求的值； (2)； (3)． 12．设，则（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 类型三 多项式系数 例3：展开式中的系数为 __________. 变式训练3：在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 例4：在的展开式中的系数是_________．（用具体数字作答） 变式训练4：的展开式中，的系数为______ 例5：今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二项式定理专题 一、知识梳理 （一）求特定项及特定项系数、二项式系数 1. 常数项 2. X的几次幂的项 3. 二项式系数最大的项 4. 有理项 （二）求二项式系数和及系数和 （三）求多项式系数 （四）整除问题 二、类型应用 类型一 求特定项及特定项系数、二项式系数 例1：在二项式展开式中，下列说法不正确的是（    ） A．第四项二项式系数最大 B．常数项为第四项 C．有理项共有4项 D．所有项的二项式系数之和为64 【答案】B 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和、求有理项或其系数 【分析】根据二项式系数性质可判断A；求得通项公式，令，计算可判断B；根据为有理数计算可判断C；根据二项式系数和计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，二项式展开式共有7项，由二项式系数性质可知， 该二项式系数最大为中间项即第四项二项式系数最大，故A正确； 对于B，该二项式的通项公式为， 令，所以常数项为第五项，故B错误； 对于C，在中，当时，代数式为整数， 所以有理项共有4项，故C正确； 对于D，所有项的二项式系数之和为，故D正确. 变式训练： 1．的展开式中常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二项展开式的第k项 【详解】二项展开式的通项公式为， 整理得：， 令，解得：， 展开式中常数项为：. 2．的展开式中二项式系数最大的项为___________． 【答案】 【知识点】求二项展开式、求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式性质确定二项式系数最大的项为第5项，再利用二项式定理求出展开式的通项，进而求解即可. 【详解】由二项式性质得的展开式中二项式系数最大的项为第5项， 由二项式定理得的展开式通项为，， 令，解得，则第5项为. 故答案为： 3．在的二项展开式中，中间一项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】根据二项展开式的性质，即可求得中间一项的二项式系数，得到答案. 【详解】由二项式的展开式为， 又由二项式的展开式共有项，所以中间一项为第项， 所以中间一项的二项式系数为. 故选：D. 4．在的展开式中，x的系数为______________． 【答案】 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数． 【详解】的展开式中，通项公式为， 令，求得，可得展开式中含x项的系数， 故答案为：． 5．在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（    ） A．- 60 B．- 20 C．20 D．60 【答案】D 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数的最大性求出，进而求出展开式常数项. 【详解】在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则， 因此展开式中的常数项为. 故选：D 6．的展开式中，二项式系数最大的项是第四项和第五项，则的系数为（    ） A．35 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的增减性确定的值，再利用通项求出含的项即可得出结果. 【详解】由二项式系数最大的项是第四项和第五项可知，即可得， 二项展开式的通项为， 令，解得； 因此含的项为； 即的系数为. 故选：D 7．若二项式展开式中的常数项为160，则______． 【答案】2 【知识点】求二项展开式的第k项、根据二项式的第k项求值 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 8．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则_______；展开式中的系数是_______． 【答案】 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式系数和公式可得，利用赋值法可得，即可利用二项式展开式的通项特征求解. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故答案为：；. 9．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．15 C． D． 【答案】C 【知识点】求指定项的系数 【分析】从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，即可得解. 【详解】在中， 需要从个因式中的个因式中选择，另个因式中选择常数，相乘即可得到含的项， 故含的项的系数为. 故选：C. 类型二 二项式系数和及系数和 例2：二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求n的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1)6 (2)64，4096 (3)960 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）利用前三项二项式系数和为22，可列方程求得的值； （2）令即可求得各项系数和； （3）由二项式定理可得展开式的通项，令的系数为0求得的值，再将代入通项即可得到常数项. 【详解】（1）展开式前三项的二项式系数和为22， ， 或（舍）， 故n的值为6. （2）展开式中各项的二项式系数和为. 令，则展开式各项系数和为. （3）由题意得，展开式通项， 令，得， 所以常数项为960. 变式训练： 10.已知展开式中二项式系数和为8，则该展开式中所有项的系数和为______． 【答案】27 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【详解】对，所有二项式系数和为，解得， 令，得， 故展开式中所有项的系数和为. 11．若，求： (1)求的值； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求的值； （2）利用赋值法可求系数和； （3）同（2）利用赋值法可求系数和. 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 其中． 因为，所以． （2）， 令，解得； 令，整理得， 故． （3）的展开式通项为，则， 其中且，当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 令可得， 所以． 12．设，则（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】分别令和代入计算即可. 【详解】令易知， 令可得，， 所以. 故选：A. 类型三 多项式系数 例3：展开式中的系数为 __________. 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 又展开式的通项为（）， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 变式训练3：在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 而， 令，解得，不符合题意；令，解得， 所以含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 例4：在的展开式中的系数是_________．（用具体数字作答） 【答案】264 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】先化简，再应用二项式展开式结合组合数计算求解. 【详解】因为，所以展开式中的系数是． 故答案为：264. 变式训练4：的展开式中，的系数为______ 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 例5：今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】D 【知识点】整除和余数问题 【分析】通过二项式定理将逐步变形为与相关的展开式，消去能被整除的项，最终求得除以的余数，进而推算出对应的选项. 【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期一，再过天，是星期五. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $