江西南昌市江西师范大学附属中学2026届高三下学期5月模拟测试数学试题

**基本信息** 以真实情境与文化传承为载体，分层考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，如跑道切线问题、AI检测概率及《九章算术》鳖臑等设计，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|集合、复数、抛物线、概率、三角函数图像、解析几何、数列新定义|第6题跑道切线问题（数学眼光观察现实世界），第8题最优分解新定义（逻辑推理）| |填空题|3/15|二项式定理、双曲线、立体几何翻折|第14题矩形翻折正四面体（空间观念）| |解答题|5/75|解三角形、立体几何（鳖臑）、概率统计（AI检测）、椭圆综合、函数与数列新定义|第16题鳖臑体积（文化传承），第17题OpenClaw AI检测概率（数学建模），第19题伴随数列新定义（创新思维）|

江西师大附中2026届高三三模数学试题参考答案 一、 单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D A B C 二、多项选择题 题号 10 11 答案 AC ABD AB 三、填空题 12.-2016 8青 4语 四、解答题 15.【解析】(1)因为a2+c2=4+b2,由余弦定理得a2+c2-b2=2 accosB, 所以2aCC0SB=4,即aCC0SB=2,…2 又Sac=2 acsinB=-VT5,即acsinB=215, …3 故tanB=√I5,…4 而B∈(0，)，所以cosB=1. …6 4· (2)由(1)可知aC=8,又BC=2AB,即a=2C,所以BC=4,AB=2,…8 因为BD平分∠ABC,且CD∥AB,所以∠ABD=∠CBD=∠CDB, 故△CBD为等腰三角形，CD=BC=4.…10 又∠ABC+∠BCD=元，所以co∠BCD=osx-乙ABC)=4 …11 在△CBD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=40,所以BD=2√10.…13 16【解析】因为三棱锥A-BCD为蜜需，且4B⊥平面BCD,乙ACD=受 所以LABD=∠ACD=交，故AD中点即为外接球球心，…2 设外接球半径为儿由机R=21x得R=牙，于是D=2R=V2I, …3 而AD2=AB2十BD2,又AB=3,故BD=2W√/3，…4 (1)在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2=12, 因为么-=写5·AB=7BC-CD. …51 又BC,CD≤BC+CD=6,…6 2 所以VA-BCD≤3，当且仅当BC=CD=√6时取等号.… (2)(方法一向量法)因为BD=2CD,所以CD=√3，BC=3, 如图，以B为原点，分别以BC,BA为x,z轴，建立空间直角坐标系， 则B(0,0,0),°A(0,0,3),°C(3,0,0),D(3,√3,0) …9 0当=1时，E为4C中点，故(，0，)，从而酝=(3,0，)心=(3，V5,-3) 所以BE·AD=0,即BE⊥AD.… …10y 闭由店=武得(，0》于是D成=（计-3，-3,1）月 设平面ABD的一个法向量为=(x,y,z), 元B=0,得3=0 由 BD=0 {3x+V3y=0'令x=1,则y=-V3,所以=(1，-√5,0)， …12 设DE与平面ABD所成角为O, 32 DE. 则sin0= 1+元 V3 …13 D· 2V-3+3+ 9 5 1+)2 整理得112-81-28=0，解得元=2或-14 1 …15'(漏选答题扣1分) (2)方法二：几何法 因为BD=2CD,所以CD=√3，BC=3, ()当1=1时，E为AC中点，而AB=BC,所以BE⊥AC, 又CD⊥AC,CD⊥BC,AC∈平面ABC,BCS平面ABC,AC∩BC=C, 故CD⊥平面ABC,而BE二平面ABC,所以CD⊥BE, 又AC平面ACD,CD二平面ACD,AC∩CD=C, 所以BE⊥平面ACD,又AD二平面ACD,故BE⊥AD … …10y 间国为正=屁，所以装=·先=中 设点C到平面ABD的距离为do,点E到平面ABD的距离为d, 4=子景=裴=品=号 又1C=35,所以c5=n+4C= 3√2 故DE=vcD+CE-√(+(W 3 设DE与平面ABD所成角为0，则sin9= 22+1 DE √￥+5 化简得12-8以-28=0，解得2=2或-片，因此实数：的值为2或-片 …15% 17.【解析】(1)X的可能取值为0,1,2,3，有 3 108 Px=2)=号×异×+号××号+×子×号-旅P=3= ×子×号= 2 48 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 13 46 48 108 108 108 108…6 (2)设Pn表示第n天系统模型对A生产线的检测准确率， 则B=各P+b1-P, 即B=子R+2,可变形为B-}=子(，-3） 1 …91 又R=g,A-= 所以{P-了}是以号为首项，子为公比的等比数列， 故-了=×（尸，即=号×（子'+ …12 由题意得号×（子+≥即（任厂≥品 3 3 3 所以n-1≤1og:10= g0-1g3-1 。0.4771-1 1g3-21g2≈0.4771-0.6020 ≈4.2，即n-1≤4， 故≤5，即一个检测模型最多可以检测5次就要调整.… …151 2a=√2·2b 【0是6，”，方为行3 =1.…4 (2)()①当PA斜率存在时，设直线PA:y一1=k(x一2)，与椭圆联立得 ∫y-1=k(x-2) x2+2y2=6 消y并整理(1+2)x2+4k(1-2k)x+8k?-8k1-4=0, 由韦达定理得2x4= 4丙- 1+2k? 2,4=2-4k+1 +2k ,⅓=2g-46+1 同理，设直线PB斜率为，可得x6=4-46-2, .7 1+2k3 1+2份 设直线AB:y=+m,将A点坐标代入， 整理得关于k1的方程(4t+2m+2)k+(4-4t)k1-2t+m-1=0, 同理(4t+2m+2)k3+(4-4t)k2-2t+m-1=0, 故k1,k2是方程(4t+2m+2)k2+（4-4t)k-2t+m-1=0的两根， 由题设k=-1,结合韦达定理得kk=二21十m-号=一1， 4t+2m+2 化简得2t+3m+1=0,又AB:y=tx+m可化为3t+3m-3y=0 所以 色2相直线侣过坐标为行。一专》 ②当PH斜率不存在时，A2,-10,B(-2,1),直线AB:x+23y=0过点（号，-） 综上，直线AB恒过定点（号兮）… …10y (3)设直线PB斜率为k,则直线PA斜率为-，直线PQ斜率为-七， 直线方程分别为PA:y-1=-大(x-2),P0:y-1=-x-2), 整理得PA:x十y-k-2=0,PQ:十y-2k-1=0… …13 由点M(m,0)到两直线的距离相等可得m-k-2=nmk-2k-1 √1+k2 Γ√k2+1 去绝对值得(m-1)k-m+1=0或(m-3)k+m-3=0 故m=1或m=3,即点M的坐标为(1,0)或(3,0.… …17′ 19.【解析】()据题得，a1=f(a)=a.[1+Asin(受a小 而a=l,a=a1+A)=1+A,a=a[1+Asin(a月， 要使数列{a,}为等比数列，则aa=,即a[1+Asin(∑a)]=, 而4>0，可化为I+4sin(受a,)=1+4,枚sin(受a)=1,即sin0+x=1, 2 于是0+4π=2x+子，k∈N,解得A=4,k∈N, 2 所以g=1+A=4k+1,k∈N+,因此an=aq-1=(1+4k)”-,k∈N+, 此时4sin(受a)=4sin[[受(1+4)-]=Asin受=A,即对neN,恒有a=1+A, 因此数列{an}是以1+A=4k+1,k∈N为公比的等比数列，所以当k=1时，Amm=4.…4 2f)定义域为(-1,0)U0,+o,要证f)>1,即证(}+)nx+1)>1 1 2x 0)时，土2<0，只需证1n(x大 =x+2' 当xe0,+o)时，}+2>0.只需证iac+1)> 2x x+2 ……6 令=hcr+)-条e1,0u0.+ 则g()-+2驴=++2那 4。=x+2)-4x+)= x2 +1)x+2>0恒成立 因tg)=lc+1)-2在xe(-1,0)单调递装，在x∈0，+)也单词递路， 当xe-1.0时<a0=0.即hx+)-子2<0数a6r+)<平 当xe0,+o)时，g6>g0=0.即1ne+)-42≥0.故n(c+)>42 综上，不等式得证.… …101 (3)先证：lnx≤x-1, 证明设sy=x-1-lnx,则s'(x)=二1 故当x∈(0,1)时，s'(x)<0,当x∈(1，+o)时，s'(x)>0, 故s(x)在(0,1)为减函数，在(1，+oo)上为增函数， 故s(x)≥S(1)=0即x-1≥nx,当且仅当X=1时等号成立.…12 下面证明原不等式， 由(2)可知(+2)加(c+1)>1,则有(x+2)n(+)>1, 所以当x≥0时，f)=(+汇（生）+]1+x+号=x+2, 即a>a,+3,可得a,>at号m-）=号n- 所以， [+a2]小[+]-[+a2r]er2+a2y]<4 国为30时，d+0<所以2+a可)含a可 <4,得证.…17 绝密★启用前26．5．15 试卷类型：A 江西师大附中2026届高三三模考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 第Ⅰ卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，轴，垂足为．若，则（ ） A．2 B．4 C． D． 4．已知随机变量，，若，，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，则（ ） A．8 B． C．16 D． 6．某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）．运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点作为起跑点，沿直线加速后从点切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切．以半圆的圆心为原点，建立平面直角坐标系（如图2）．若，，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 7．设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 8．将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9．设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（ ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 10．第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2，半径均为的圆，，互相过圆心，，为圆上两点，且，点在圆与圆上运动．若（），则下列选项可能成立的是（ ） A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数满足，其中表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（ ） A．数列为等比数列 B．数列的通项公式 C．，都有 D．，使得 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，含有项的系数为_____________． 13．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为_____________． 14．在矩形纸片中，，，，，，分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球半径的值为_____________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，内角，，的对边分别为，，，，且的面积为． （1）求的值； （2）如图，过点作，与平分线相交于点，若，求线段的长度． 16．（本小题满分15分） 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球表面积为． （1）求三棱锥体积的最大值； （2）在中，，． （i）当时，求证：； （ii）若与面所成角的正弦值为，求实数的值． 17．（本小题满分15分） “OpenClaw”是一款开源、本地优先、可自行托管的AI智能体执行网关，由一名欧洲开发者在2025年11月发起发起该项目，2026年1月对项目正式定名．其本质是自主执行型AI助手，可实现数据收集、处理、分析、推理和预测模拟的全过程．某工厂想利用“OpenClaw”通过技能添加实现AI系统模型每天对、、三条生产线的产品缺陷进行在线检测，其检测的准确率分别为，，，且每条生产线的检测结果相互独立． （1）求第一天AI系统检测准确的生产线数量的分布列； （2）若AI系统对于生产线前一天的缺陷检测准确，则第二天检测准确的概率为，否则准确率为．若系统模型对于生产线的检测准确率不低于，继续用此系统模型进行预测，否则调整检测系统模型，那么一个检测系统模型最多可以检测几次就要调整？参考数据：，． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆：（）经过点，且椭圆的长轴长是其短轴长的倍． （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆的存在两点，，使得以为直径的圆恰与椭圆交于点． （i）证明：直线恒过定点； （ii）当点在点左侧时，若是椭圆上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，始终与该圆相切．若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知函数，若存在数列满足，，，称数列是函数“的伴随数列”，函数称为数列的“伴随函数”． （1）若某数列的“伴随函数”，求最小正数的值，使得数列为等比数列； （2）若某数列的“伴随函数”．证明：； （3）若某数列的“伴随函数”． 证明：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $