江西师范大学附属中学2026届高三下学期数学周考三

参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案】C 【详解】因为集合，集合， 所以，所以的元素个数为5.故选：C 2. 【答案】B 【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立， 当成等比数列，可以推出，故必要性成立，所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选：B. 3. 【答案】C 【详解】因为，正态曲线关于直线对称，又，所以，解得.所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号.故选：C 4. 【答案】A 【详解】定义域为，又，故为偶函数，排除BD；当时，，故，排除C选项，A正确.故选：A 5. 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为.故选：D 6. 【答案】D 【详解】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误.故选：D. 7. 【答案】A 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故.故选：A. 8. 【答案】B 【详解】由可得，当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增，所以，，，所以在上的值域为，记， ，的对称轴为，，，所以函数的值域为，又，且，在上单调递减，要使方程有唯一解，则的取值集合为，所以，记， 若对任意的，存在唯一的，使得，则，所以，解得，所以实数的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 【答案】ABC 【详解】过B点作，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设，易知，，若，则，由，此时，所以；对于A，易知，故A正确； 对于B，，所以直线所成角为，故B正确；对于C，易，则点到直线的距离，故C正确； 对于D，，当且仅当时取得等号，故D错误. 10. 【答案】BCD 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误； 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以，B正确；对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又，由，得，C正确；对于D，因为，， 由，得，所以，D正确.故选：BCD. 11. 【答案】ACD 【详解】对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确； 对于B ，分别过点作准线的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可知， 因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，故B错误； 对于C，因为，则当三点共线时，有最小值，故C正确； 延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，，则为的中位线， 设，则，， 由相似关系可知，，则，得，故，故D正确.故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 【答案】 【详解】，，由题意可得，解得.故答案为：. 13. 【答案】 【详解】由，可得，所以为等差数列，首项为，公差为2， 所以，则，则，当时，，所以数列的前n项和的最小值为：，故答案为：． 14. 【答案】 【详解】设掷出点的概率分别为； 由于成等差数列，且，故； 事件“”发生的概率为； 事件“”发生的概率为；于是；由于，所以.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，由正弦定理得，， 又，所以， 即，又因为，所以，所以，又，所以. （2）恒成立，即恒成立，即求的最大值， 由余弦定理得，所以，因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以实数的最小值为. 16.（15分）(1)分布列见解析，80.8 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 【详解】（1）由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， ．分布列为： X 100 90 80 70 60 P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：． （2）（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望， 则支付金额的期望为：； 优惠券成本的期望为 ．∴． （ⅱ），令．解得， 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；∴在内存在唯一极大值点，又， ∴当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 17.（15分）(1)时，的增区间为，无减区间；时，增区间为，减区间为. (2)证明见解析 【详解】（1）解：，当时，（不恒为零），的增区间为，无减区间；若，则当时，，当时，，故的增区间为，减区间为， 综上：时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. （2）证明：因为是的极值点，故，故，所以， 因为存在，使得，所以，即，因为， 所以，因为， 所以，因为 所以，即， 所以，即， 因为，所以，即. 18.（17分）(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解法一：取线段OB的中点N，连接MN，PN．因为，，所以且，因此四边形PCBN是平行四边形，所以．又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．因为，，所以．又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．而平面PMN，所以平面平面CDB， 又平面PMN，所以平面CDB． 解法二:在线段BD上取点E，使得，连接CE，ME，又，所以，且，又，且，所以，且． 所以四边形PCEM是平行四边形，所以， 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． （2）由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作于点F，连接PF， 因为平面平面ABD，平面平面，所以平面PAB， 所以就是直线PD与平面PAB所成的角，所以， 因为，所以．连接OD，则，即点F为OB的中点．以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，于是． 设平面APD的法向量为，则，得， 取，可得．设平面PDB的法向量为，则，得，取，可得．所以， 故二面角的正弦值为． 19.（17分）(1) (2)证明见解析 (3)是定值 【详解】（1）由，得，为抛物线上位于第一象限内的一点， 设，，则，即，由题知，，解得，抛物线的方程为； （2）由上可知，点的坐标为， 若直线的斜率不存在，则直线垂直于轴，是与轴的交点，显然是的中点， 若直线的斜率存在，易知该直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立整理得，设点，的坐标分别为，，则， 则，的坐标分别为，，直线的方程为，于是点的坐标为， ，，三点在同一直线上，，是线段的中点； （3）可设（），由上可得，，由，得，解得，点的坐标为，由题意得直线必不垂直于轴， 可设，联立整理得， 其中恒成立，设，， 由韦达定理，有，，进而得，， ， 综上可得，直线，的斜率之积为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西师范大学附属中学2026届高三下学期数学周考三 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2. “”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．16 D．48 4. 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6. 某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 7. 已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则（   ） A．当时， B．当时，直线所成角为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积的最大值为3 10. 双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则的面积为 11. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（    ） A． B．若，则点到准线的距离为4 C．的最小值为4 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 13. 已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 14. 一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 16.（15分）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 17.（15分）设函数． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且存在，使得，证明：．附 18.（17分）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点． (1)若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB； (2)当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值． 19.（17分）在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； (3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 第 学科网（北京）股份有限公司 $