精品解析：江西南昌市第二中学2026届高三下学期全真模拟测试数学试卷

南昌二中2025-2026学年度下学期高三数学全真模拟试卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足条件，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知两个电流（单位：安）瞬时值与线圈旋转的时间(单位：秒)的函数解析式分别是，记它们合成后的电流，则函数的周期是（ ） A. B. C. D. 6. 已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 中，已知，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 无最小值 8. 已知函数，若函数在时取得极大值，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二．多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 某研究机构为调查“高中生睡眠质量与经常使用电子设备是否有关”，分别去两个学校调查.甲校随机抽取300名学生，乙校随机抽取600名学生，分别得到以下数据： 甲校（300人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 60 40 100 不经常使用电子设备 140 60 200 合计 200 100 300 乙校（600人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 120 80 200 不经常使用电子设备 280 120 400 合计 400 200 600 记由甲校、乙校上述数据计算的卡方统计量分别为 .下列说法正确的有（ ） A. 甲乙两校样本中经常使用电子设备的学生比例均为  B. 甲乙两校样本经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例均为 C. 相比甲校数据，乙校数据更容易得出“睡眠质量与使用电子设备有关”的结论 D. 若将甲、乙两校合并为一个容量为 900 人的样本，则合并后的卡方统计量  10. 已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 有三个极值点 B. 在单调递减 C. D. 11. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，动点P是C的左支上异于点A的一点，直线AP交直线于点E，直线EB交C于另一点Q则（ ） A. 点纵坐标的取值范围是 B. 直线的斜率之积为定值 C. 直线的斜率之积为定值 D. 原点到直线距离的最大值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边与单位圆的交点分别为，等腰△的顶角为的正弦值为______. 13. 在大数据质量检测中，将全部数据划分为个数据块，已知其中有个数据块存在异常.现从中随机抽取3个数据块进行人工核查，记抽到异常数据块的个数为，则随机变量 的期望值为______. 14. 正方体中，是平面内一动点，直线与所成角为定值，若点轨迹为抛物线，则____________. 四．解答题：共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值. 16. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，已知平行六面体的各棱长均为，△是边长为的正三角形，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数. （1）当时且方程在区间上有两个解，求实数的取值范围； （2）若，且函数在区间上的所有极大值点的和为，求的值； （3）若对任意的及任意的都有，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，点从坐标原点出发，进行次移动，每次移动以下两种方式等可能随机选择一种执行：方式①：将当前点的横坐标加，纵坐标不变；方式②：将当前点的横坐标、纵坐标都加.记第次移动后，点的位置为 （）. （1）记点到直线的距离为，求随机变量的数学期望. （2）求点落在区域 内的概率； （3）若，记事件 ，求事件发生的概率 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度下学期高三数学全真模拟试卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足条件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由共轭复数以及乘法运算求解即可. 【详解】设，所以，又因为， 所以， 所以，解得. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】时，，时，，时，，时，， 当，时，，因此， ，则，解得，所以， 因此，故选择C选项. 3. 已知，若，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算先求解p对应的a的取值范围，由此判断充分性与必要性即可. 【详解】，因为，则，解得， 所以可以由推出，但不能推出，故是的充分不必要条件. 4. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可. 【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误； 对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误； 对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得， 又，则，因为，所以，故D正确. 故选：D. 5. 已知两个电流（单位：安）瞬时值与线圈旋转的时间(单位：秒)的函数解析式分别是，记它们合成后的电流，则函数的周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用辅助角公式化简，再利用正弦型函数周期公式计算即可. 【详解】， ， ， 其中，则的周期. 6. 已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合的性质，可得零点为，结合条件求的范围即可. 【详解】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 因为函数在区间上恰好有个零点， 所以， 所以的最大值是. 7. 中，已知，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 无最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义及余弦定理，找到三边之间的关系，进而由余弦定理和基本不等式求解最值即可. 【详解】设的三个内角所对的边分别为， 由可得， 即， 由余弦定理，得，化简可得， 则， 令，代入则得， 设函数，令，则， 代入可得， ，当且仅当，即时取等号，所以， 即当时，即时，取得最小值. 8. 已知函数，若函数在时取得极大值，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极大值的定义，运用二次求导法分类讨论进行求解即可. 【详解】，显然成立. 设， 因为， 所以函数是正实数集上的减函数， 当时，即， 所以当时，，所以在单调递减， 于是有，所以在单调递减， 因为， 所以存在，使得当时，，所以在单调递减， 于是有，所以在单调递增， 所以函数在时取得极大值，符合题意； 若当时，即， 当时，，所以在单调递增， 存在，使得当时，，所以在单调递增， 于是有，所以在单调递增， 此时函数在时没有极大值，不符合题意； 当时，，显然成立. 设， 显然函数是正实数集上的减函数，且， 所以当时，，所以在单调递增， 于是有，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递减， 于是有，所以在单调递减， 所以函数在时不是极值点，不符合题意， 综上所述：的取值范围是. 二．多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 某研究机构为调查“高中生睡眠质量与经常使用电子设备是否有关”，分别去两个学校调查.甲校随机抽取300名学生，乙校随机抽取600名学生，分别得到以下数据： 甲校（300人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 60 40 100 不经常使用电子设备 140 60 200 合计 200 100 300 乙校（600人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 120 80 200 不经常使用电子设备 280 120 400 合计 400 200 600 记由甲校、乙校上述数据计算的卡方统计量分别为 .下列说法正确的有（ ） A. 甲乙两校样本中经常使用电子设备的学生比例均为  B. 甲乙两校样本经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例均为 C. 相比甲校数据，乙校数据更容易得出“睡眠质量与使用电子设备有关”的结论 D. 若将甲、乙两校合并为一个容量为 900 人的样本，则合并后的卡方统计量  【答案】ABC 【解析】 【分析】分别计算样本中甲校与乙校学生经常使用电子设备的比例，判断A，分别计算样本中甲校与乙校经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例，判断B，分别计算甲，乙校的卡方统计量，结合独立性检验判断C,计算合并后列联表的卡方，判断D. 【详解】对于选项A，样本中甲校学生经常使用电子设备的比例为​， 样本中乙校学生经常使用电子设备的比例为​，A正确， 对于选项B，样本中甲校经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例为， 样本中乙校经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例为​，B正确， 对于选项C，分别计算甲，乙校的卡方统计量， 甲校：， 乙校：， 而越大，越有把握认为“睡眠质量与使用电子设备有关”，因此乙校更容易得出该结论，C正确， 对于选项D，合并两校数据后的列联表为：                                        睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 180 120 300 不经常使用电子设备 420 180 600 合计 600 300 900 计算得合并后卡方，D错误. 10. 已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 有三个极值点 B. 在单调递减 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负得出函数单调性，即可确定函数的极值点的情况. 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项B正确； 是的极大值点，2为函数的极小值点，1不是函数的极值点，选项A错误； 当时，，在上单调递减，，选项C正确； 当时，，在上单调递减，，选项D错误． 11. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，动点P是C的左支上异于点A的一点，直线AP交直线于点E，直线EB交C于另一点Q则（ ） A. 点纵坐标的取值范围是 B. 直线的斜率之积为定值 C. 直线的斜率之积为定值 D. 原点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用斜率公式结合双曲线的方程判断B，C，应用双曲线方程计算结合范围判断A，先设直线，再求出定点，再得出距离最大值判断D. 【详解】由题意知 ， 设，所以，即， 所以的斜率之积为，B选项正确； 设直线AP为，直线AP交直线于点E， 则，因为， 且，所以，所以或，A选项正确； 直线的斜率之积为直线的斜率之积为，C选项错误； 设：，设， 联立，所以， 所以， 即得， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，所以（舍）或， 所以的定点为， 则原点到直线距离，D选项正确； 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边与单位圆的交点分别为，等腰△的顶角为的正弦值为______. 【答案】 【解析】 【详解】由单位圆上点的坐标与三角函数的关系可得： ， 因为，所以等腰的顶角为与的夹角，即，且， 根据两角差的余弦公式得，，故， 由同角三角函数基本关系： . 13. 在大数据质量检测中，将全部数据划分为个数据块，已知其中有个数据块存在异常.现从中随机抽取3个数据块进行人工核查，记抽到异常数据块的个数为，则随机变量 的期望值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的可能取值为0，1，2，求解对应概率，再根据数学期望的公式求解即可. 【详解】已知的可能取值为0，1，2， 所以 ， ， ， 所以. 14. 正方体中，是平面内一动点，直线与所成角为定值，若点轨迹为抛物线，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】点的轨迹是顶点为、旋转轴平行于的圆锥面与平面的交线，由于是平面内一动点，故当等于直线与平面所成角时，若点轨迹为抛物线，由此计算出. 【详解】如图所示，在正方体中，作交于点， 所以，点的轨迹是顶点为、直线为旋转轴的圆锥面与平面的交线， 由于是平面内一动点，故当等于直线与平面所成角时， 若点轨迹为抛物线,则等于直线与平面所成角， 不妨设正方体边长为， 根据正方体的性质可知，即直线与平面所成角， , 故. 四．解答题：共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值. 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质与离心率即可求解； （2）讨论直线方程，通过求解点与点坐标，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 已知椭圆的上顶点为，所以， 因为离心率，且， 所以，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线过点，直线方程为，此时、、三点共线，不满足题意， 所以直线斜率必存在，设直线方程为， 联立得， ， 解得方程两根为，， 因此，所以点坐标为， 因为，所以设， 则，，即 ， 直线的方程为 ，所以点到直线的距离为， 而，所以， ， 所以， 当时，，当时，有， 所以，当且仅当时等号成立. 所以最大值为. 16. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列的通项公式、等比数列的通项公式求出，再结合等差数列的函数特性可得，进而求解即可； （2）根据错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 而，即 则，显然， 而等差数列的通项是关于的一次函数，则，即， 则，即. 【小问2详解】 由， 则， 两式相减得，， 则. 17. 如图，已知平行六面体的各棱长均为，△是边长为的正三角形，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，通过平面，得到，再结合建系，通过，即可证明； （2）求得相应平面的法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 设交于点，连接， 因为平行六面体各棱长均为3， 所以四边形是菱形，故，为中点， 又是边长为3的正三角形，∴， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 由向量运算：，， 由 ， 代入，得，同理得， 因此， 则，即，又 则， 又，平面， 故平面； 【小问2详解】 由（1），平面， 故以为轴，平面为坐标平面， 则，，， ， 设，则，， 因为，， 可得，联立解得 即， 由 得，， 因为是​中点，故， 平面即平面，由（1）平面，且 知其一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令得， 即， 设二面角的平面角为，由图可知 ， 故二面角的余弦值为. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数. （1）当时且方程在区间上有两个解，求实数的取值范围； （2）若，且函数在区间上的所有极大值点的和为，求的值； （3）若对任意的及任意的都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，找到极值点和端点值，数形结合判断解的个数； （2）利用导数找极大值点，结合正切函数的周期性和对称性，通过 所有极大值点的和”列方程求解； （3）先放缩找到最严格的约束条件，再分情况讨论指数函数的单调性，判断不等式恒成立的条件. 【小问1详解】 当时，， 求导可得， 令，可得，解得或或， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以是极大值点，， ，，方程在区间上有两个解， 即直线与曲线有两个交点，因此实数的取值范围为. 【小问2详解】 ， 求导可得， 令，可得，解得或， 当时，，因为当时附近导数符号由负变正，所以是极小值点， 设，因为，所以，则， 因此在内的解为，， 在附近，取略小于，，，； 取略大于，，，，因此是极大值， 在附近，取略小于，，，； 取略大于，，，，因此是极大值， 所以在内有两个极大值点，和为， 解得，即， 因为，所以. 【小问3详解】 ，化简可得对任意，任意成立， 设函数关于是单调递增的，因此不等式对成立，则对任意都成立， 故原不等式等价于对任意成立， 分类讨论， 当时，，则对任意恒成立，而，不等式成立； 当时，，则不等式变为，不等式成立； 当时，，则对任意恒成立； 且当时，但存在使得， 此时不成立，故不等式不成立； 综上所述，实数的取值范围为. 19. 在平面直角坐标系中，点从坐标原点出发，进行次移动，每次移动以下两种方式等可能随机选择一种执行：方式①：将当前点的横坐标加，纵坐标不变；方式②：将当前点的横坐标、纵坐标都加.记第次移动后，点的位置为 （）. （1）记点到直线的距离为，求随机变量的数学期望. （2）求点落在区域 内的概率； （3）若，记事件 ，求事件发生的概率 . 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)先用数学期望公式求解，再通过求解； (2) 点落在区域 内，将，代入不等式，得，再对 分奇偶性讨论； (3) 先采用动态规划递推分析，最后求解事件发生的概率. 【小问1详解】 点到直线的距离为 因此数学期望， 因为， ，所以其分布列为： 0 1 2 3 4 =， 所以； 【小问2详解】 设前 次移动中选择方式②的次数为 ，则横坐标恒为 （两种方式横坐标均加 1），纵坐标恒为 （仅方式②纵坐标加 1）， 服从二项分布 ，即 ， 点落在区域 内 将，代入不等式，得， 由于是整数，因此等价于 （向下取整）， 二项分布关于对称，即， 当为奇数时，设（），则，此时， 当为偶数时，设（），则，此时 ， 所以点落在区域 内的概率； 【小问3详解】 将 、 代入事件 的条件： 对 ：（因 为整数，等价于 ）， 对 ：， 进一步分析第 10 步的两种可能： 若第 10 步选方式①：则 ，但 时要求 ，矛盾，此情况不可能发生， 若第 10 步选方式②：则 ，满足 ，此为唯一可能情况 因此，事件 等价于：前 9 次移动中恰好有 4 次方式②，且对所有 ，前 次移动中方式②的次数 ，第 10 次移动选方式② 定义 为：前 次移动中恰好有 次方式②，且满足所有 ， 的路径数, 递推规则 初始条件：（0 次移动，0 次方式②，1 种路径）, 递推公式： 表示第次选方式①，表示第次选方式②(时后者是0)， 逐行计算过程 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 4 1 3 2 0 0 0 5 1 4 5 0 0 0 6 1 5 9 5 0 0 7 1 6 14 14 0 0 8 1 7 20 28 14 0 9 1 8 27 48 42 0 结果计算 满足前 9 步条件的路径数：， 第 10 步选方式②的概率：, 总路径数：, 因此事件 的概率：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $