专题05多边形及其内角和专项训练(8大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题05多边形及其内角和专项训练 题型1.多边形基础与对角线综合 题型2.正多边形概念辨析与内角计算 题型3.多边形内角和与外角和综合 题型4.多边形截角的边数与内角和变式 题型5.多边形内角和错算问题 题型6.复杂图形内角和与网格面积求解 题型7.多边形外角和实际应用 题型8.平面镶嵌的判定与应用 解答题7题 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 4.对角线关键结论：n 边形从一个顶点出发可作 **(n-3)** 条对角线，总对角线条数为​ 知识点02:核心公式(熟记会用.必考) 1. 内角和定理 n 边形内角和 = (n−2)×180°（n≥3，正整数） ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形）. 2. 外角和定理 任意多边形外角和均为 360°（与边数 n 无关，固定值） 3. 正 n 边形专属公式 每个内角度数：​ 每个外角度数：​（正多边形外角相等，此公式更简便） 知识点03.平面镶嵌 平面镶嵌：正三角形、正方形、正六边形可单独镶嵌；正多边形组合镶嵌需满足围绕一点的内角和为 360∘。 题型1.多边形基础与对角线综合 1．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 2．2025年苏超联赛火爆全国，泰州队带着倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，从“不被看好”到“一飞冲天”，这支球队展现了顽强拼搏的精神风貌．最终力克南通队，将苏超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，江苏13个市进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．9月27日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 南通队 12 10 2 0 32 泰州队 12 4 18 请问在这一次苏超常规赛中一共比了（   ）场比赛； A．75 B．76 C．77 D．78 【答案】D 【分析】本题类似多边形的对角线条数问题，根据每个队比赛场次比队伍总数少1，单循环赛“每两队仅比赛一场”的特点，由此计算即可． 【详解】解：∵共有13支队伍进行单循环赛，每两队之间只比赛1场， ∴总比赛场次为 ． 3．过边形一个顶点的所有对角线，把这个边形分成了6个三角形，则这个边形是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线问题． 过n边形一个顶点的所有对角线将n边形分成个三角形，根据题意分成6个三角形，因此，解得． 【详解】解：从n边形一个顶点出发的对角线将n边形分成个三角形， ∵分成了6个三角形， ∴， ∴， 因此，这个n边形是八边形． 故选：C． 4．如图，五边形是正五边形，直线，点P在直线上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线上会发出警报的点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题主要考查了正多边形与垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据正五边形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可． 【详解】解：根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知， 直线上会发出警报的点P有：、、、、的垂直平分线与直线的交点， 如图所示：共五个． 故选：C． 5．一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 6．过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 题型2.正多边形概念辨析与内角计算 7．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 8．如图，小逸同学将正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正五边形和正六边形的内角，再由即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， ∴． 9．过某个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成6个三角形，这个正多边形每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据过多边形一个顶点的对角线分三角形的规律求出正多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算每个内角的度数． 【详解】解：∵过正多边形一个顶点的所有对角线将这个正多边形分成6个三角形， ∴设正多边形的边数为，可得， 解得，即该正多边形为正八边形； ∵边形的内角和为， ∴正八边形的内角和为， ∴正八边形每个内角的度数为． 10．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求一个外角的度数为，根据，求解即可； 【详解】解：根据题意，得外角的度数为， 故内角的度数为：； 题型3.多边形内角和与外角和综合 11．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．六边形 C．八边形 D．七边形 【答案】C 【分析】根据边数内角和即可得到答案． 【详解】解：． 这个多边形是八边形． 12．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正五边形的一个内角的度数，再根据等边对等角，进而求出的度数即可． 【详解】解：根据正五边形的性质得，， ∵， ∴． 13．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据“正多边形的内角和比其外角和的度数大”列方程求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意，得， 解得， 即边数为8． 【点睛】n边形内角和公式为，任意多边形外角和恒为． 14．如图，______． 【答案】/360度 【分析】本题考查三角形外角的性质及四边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．根据四边形的内角和得．又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，从而求出所求的角的和． 【详解】解：如图所示： ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，以正方形的边向外作正五边形，则的度数为_____． 【答案】/162度 【分析】利用多边形内角和及正多边形性质求得的度数，利用正方形性质求得的度数，然后根据角的和差即可求得答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∵正方形中，， ∴ ． 16．如图，五边形中，分别是，的外角，，那么___________度． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角的综合应用，根据多边形的内角和定理，结合两直线平行，同旁内角互补，以及平角的定义求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵五边形，， ∴五边形的内角和为，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 17．如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则__________． 【答案】41° 【分析】此题考查多边形的内角与外角、平行线的性质，熟记多边形的外角和是及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 由每个内角都相等的六边形的每个外角都相等得出，根据三角形的内角和得出，即可根据三角形的外角定理和平行线的性质求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则． 六边形的每个内角都相等， 其每个外角都相等， ， ． ， ． 故答案为：． 题型4.多边形截角的边数与内角和变式 18．一张长方形纸片，截去一个角后得到的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题涉及多边形截角后边数的变化情况，需要考虑不同的截角方式，分析得到的多边形可能的形状． 【详解】解：A、当截线经过长方形的两个不相邻的顶点时，得到三角形，符合题意； B、当截线经过长方形的一个顶点和它不相邻的一条边上的一点时，得到四边形，符合题意； C、当截线经过一个角所邻的两条边上的任意两点（不与顶点重合）时，得到五边形，符合题意； D、因为截去一个角后得到的多边形可能是三角形、四边形或五边形，所以以上都有可能，符合题意． 故选： D． 【点睛】本题考查了多边形截角后边数的变化，解题关键是全面考虑不同的截角方式，分析得到的多边形的可能形状． 19．在一个凸边形内角和为的纸板上切下一个三角形后，剩下一个边长为n的多边形，则n的值不可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和．在一个凸边形的纸板上切下一个三角形，则所得新的多边形的边可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：设一个内角和为的多边形的边数为，则 ，解得． 在一个凸边形的纸板上切下一个三角形，分三种情况： ①若新多边形的边增加一条，则的值为9； ②若新多边形的边不变，则的值为8； ③若新多边形的边减少一条，则的值为7． 故选：A． 20．把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为________． 【答案】或或 【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由边形的内角和为，分别计算求解即可． 【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形截去一个角的内角和．解题的关键在于确定六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形的种类． 21．如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形共有对角线_____条． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，设该正多边形的边数为，根据多边形的内角和定理计算出多边形的边数，然后根据边形对角线的总条数为计算即可，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的关键． 【详解】解：设该正多边形的边数为，依题意得： ， 解得：， ∴这个正多边形共有对角线（条）， 故答案为：． 题型5.多边形内角和错算问题 22．一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 【答案】C 【分析】由多边形内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，即可解决问题． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，除去的那个内角是x， 由题意得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个多边形对角线的条数是． 故选C． 【点睛】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，解决本题的关键是掌握多边形的内角和计算公式． 23．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 【答案】/度 【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【详解】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 24．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________． 【答案】6 【分析】根据多边形的内角和进行即可求解． 【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°， 10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键． 题型6.复杂图形内角和与网格面积求解 25．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 26．已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于_______． 【答案】4； 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案； 【详解】解：∵正八边形的周长是， ∴这个多边形的边长为：， 故答案为：4． 27．如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为________．    【答案】 【分析】根据平移的性质可得，，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】沿方向平移个单位长度得到 ，， 四边形的周长 的周长， 四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质得到相等的线段是解本题的关键． 28．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 29．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 【答案】1∶4 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ∴的面积与的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 30．如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是_____． 【答案】/16厘米 【分析】根据轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：∵主体部分(四边形)关于所在的直线对称， ，， ∴四边形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，四边形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 31．如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 题型7.多边形外角和实际应用 32．一个正多边形的一个外角为，则此正多边形的边数为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形的外角问题，掌握正多边形的外角和恒为是解题的关键． 正多边形的外角和恒为，利用外角和除以每个外角的度数即可得到边数. 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角为， ∴此正多边形的边数为. 故选：D． 33．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 多边形的外角和为，与四边形的外角和均为，即可作答． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴与四边形的外角和与均为， ∴， 故选：A． 34．如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可． 【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等， ， ， ， 则该正多边形的边数为， 故答案为：． 35．如图是由射线，，，，组成的平面图形，，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， ， ， ∴， ， ． 36．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________． 【答案】36 【分析】机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案． 【详解】根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以． 故答案为：36°． 【点睛】本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质． 题型8.平面镶嵌的判定与应用 37．如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是________度． 【答案】60 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理．求出每个内角度数，然后根据周角求出答案． 【详解】解：∵正六边形内角和：， ∴每个内角度数：， ∴， ∴的度数为． 故答案为：60． 38．工人师傅用边长均是的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长为的正多边形地砖无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的周长是________． 【答案】24 【分析】本题考查了正多边形的性质，掌握正多边形性质是解题的关键．根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解可得到这块正多边形地砖的边数，再结合边长即可求得这块正多边形地砖的周长． 【详解】解：由图可知：， 设这块正多边形地砖的边数是， 由题意得：， 解得：， 正六边形地砖和正方形地砖边长均是， 这块正多边形地砖的周长是， 故答案为：24． 39．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（    ） A．25 B．26 C．30 D．39 【答案】B 【分析】正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案． 【详解】如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形， 由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）； 较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）； 平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）； 小正三角形个数为13个； ∴一共有小正三角形个数为：（个）， ∴图中阴影部分面积为：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点． 40．数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________． 【答案】 6 /24度 【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形的性质，正多边形内角、外角，利用正多边形的外角求内角是解题的关键． （1）利用正六边形内角及周角性质，确定中间正多边形的内角，进而求出； （2）先计算各正多边形内角，再通过角度差表示，最后代入计算． 【详解】解：（1）正六边形的每个外角为，每个内角为， 个正六边形围成一圈时，中间正多边形的一个内角为， 中间的正多边形的边数为， ； 故答案为：； （2）正三角形的内角为， 正方形的内角为， 正五边形的内角为， 正六边形的内角为， ， ． 故答案为： 解答题 41．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长． 【答案】 【分析】如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P，易得都是等边三角形，，即为等边三角形，可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P， ∵六边形的6个内角均为， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个六边形的周长． 42．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出三点的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)9 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中的点的坐标，利用网格求梯形面积等知识． （1）先得出关于点A，点B，点C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可． （2）直接写出三点的坐标即可． （3）连接，，再利用网格求出梯形面积即可． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：，， （3）解：连接，， 则梯形的面积为： 43．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题： (1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 【答案】(1)7，8 (2)，， (3)不存在这样的多边形 【分析】（1）找到多边形从一个顶点出发的对角线的条数及将多边形分割成的三角形的个数的规律，即可解答； （2）找到多边形从一个顶点出发的对角线的条数及将多边形分割成的三角形的个数的规律，即可解答； （3）设这个多边形的边数为m（，且m为整数），列出方程， 解得，再根据，且m为整数，得到不符合题意，即可解答． 【详解】（1）解： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 按此规律，从十边形的一个顶点可以引出条对角线，对角线将十边形分割成了个三角形； （2）解：从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出条对角线，这些对角线将边形分割成了个三角形，边形的内角和为． （3）解：设这个多边形的边数为（，且为整数）， 依题意，得， 解得， ∵，且m为整数， ∴不符合题意． 答：不存在这样的多边形． 44．如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 【答案】 【分析】根据多边形的内角和公式求出，根据角平分线的定义求出，再根据四边形的内角和为可求得；再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵五边形的每个内角都相等，且五边形的内角和为， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． ∵， ∴， ∴． 45．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)十二边形 (3) 【分析】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）解：设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）解：正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是． 46．已知、、、是如图所示六边形的外角，求的度数．    【答案】 【分析】根据多边形的外角和进行解答即可． 【详解】解：∵六边形的外角和为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和为． 47．（1）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． （2）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ （3）如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ． 【答案】（1）6；（2）该多边形的边数为9；（3）4 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形的外角和为建立方程求解即可； （2）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形的外角和为建立方程求解即可； （3）这个n边形的内角和为，外角和为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， 故答案为：6． （2）设这个多边形的边数为n， 根据题意得： 解得． ∴该多边形的边数为9． （3）这个n边形的内角和为，外角和为， ∴， 解得， 故答案为：4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05多边形及其内角和专项训练 题型1.多边形基础与对角线综合 题型2.正多边形概念辨析与内角计算 题型3.多边形内角和与外角和综合 题型4.多边形截角的边数与内角和变式 题型5.多边形内角和错算问题 题型6.复杂图形内角和与网格面积求解 题型7.多边形外角和实际应用 题型8.平面镶嵌的判定与应用 解答题7题 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 4.对角线关键结论：n 边形从一个顶点出发可作 **(n-3)** 条对角线，总对角线条数为​ 知识点02:核心公式(熟记会用.必考) 1. 内角和定理 n 边形内角和 = (n−2)×180°（n≥3，正整数） ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形）. 2. 外角和定理 任意多边形外角和均为 360°（与边数 n 无关，固定值） 3. 正 n 边形专属公式 每个内角度数：​ 每个外角度数：​（正多边形外角相等，此公式更简便） 知识点03.平面镶嵌 平面镶嵌：正三角形、正方形、正六边形可单独镶嵌；正多边形组合镶嵌需满足围绕一点的内角和为 360∘。 题型1.多边形基础与对角线综合 1．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．2025年苏超联赛火爆全国，泰州队带着倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，从“不被看好”到“一飞冲天”，这支球队展现了顽强拼搏的精神风貌．最终力克南通队，将苏超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，江苏13个市进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．9月27日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 南通队 12 10 2 0 32 泰州队 12 4 18 请问在这一次苏超常规赛中一共比了（   ）场比赛； A．75 B．76 C．77 D．78 3．过边形一个顶点的所有对角线，把这个边形分成了6个三角形，则这个边形是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 4．如图，五边形是正五边形，直线，点P在直线上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线上会发出警报的点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 6．过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 题型2.正多边形概念辨析与内角计算 7．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 8．如图，小逸同学将正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（   ） A． B． C． D． 9．过某个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成6个三角形，这个正多边形每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（   ） A． B． C． D． 题型3.多边形内角和与外角和综合 11．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．六边形 C．八边形 D．七边形 12．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．如图，______． 15．如图，以正方形的边向外作正五边形，则的度数为_____． 16．如图，五边形中，分别是，的外角，，那么___________度． 17．如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则__________． 题型4.多边形截角的边数与内角和变式 18．一张长方形纸片，截去一个角后得到的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 19．在一个凸边形内角和为的纸板上切下一个三角形后，剩下一个边长为n的多边形，则n的值不可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 20．把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为________． 21．如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形共有对角线_____条． 题型5.多边形内角和错算问题 22．一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 23．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 24．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________． 题型6.复杂图形内角和与网格面积求解 25．如图，等于（    ） A． B． C． D． 26．已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于_______． 27．如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为________．    28．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 29．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 30．如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是_____． 31．如图，的度数为___________． 题型7.多边形外角和实际应用 32．一个正多边形的一个外角为，则此正多边形的边数为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 33．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 34．如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为______． 35．如图是由射线，，，，组成的平面图形，，，则的度数为______． 36．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________． 题型8.平面镶嵌的判定与应用 37．如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是________度． 38．工人师傅用边长均是的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长为的正多边形地砖无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的周长是________． 39．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（    ） A．25 B．26 C．30 D．39 40．数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________． 解答题 41．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长． 42．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出三点的坐标； (3)求四边形的面积． 43．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题： (1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 44．如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 45．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 46．已知、、、是如图所示六边形的外角，求的度数．    47．（1）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． （2）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ （3）如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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