2026年中考数学冲刺押题必刷题-2025-2026学年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

**基本信息** 聚焦中考高频考点，以题型为框架构建“概念理解-性质应用-综合探究”三阶训练体系，强化数学思维与解题能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10个猜想/20题|基础概念辨析|从有理数、图形变换到函数性质，覆盖代数几何核心概念| |填空题|5个猜想/8题|中档计算应用|因式分解、圆的运算等高频考点，强调运算准确性| |解答题|10个猜想/38题|综合问题解决|从实数计算到二次函数压轴，构建“知识-方法-应用”逻辑链|

2026年中考数学冲刺押题必刷题 （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 题型一 选择题...............................................................................................................................2-47 押题猜想一 有理数的相关概念...........................................................................................................................2 押题猜想二 图形的变化（轴对称，中心对称等)概念........................................................................................3. 押题猜想三 科学计数法 4 押题猜想四 三视图 5 押题猜想五 概率公式的计算...............................................................................................................................7 押题猜想六 求角度（利用平行线的性质，角平分线等） 9 押题猜想七 平面直角坐标系的基础知识 12 押题猜想八 函数的基础知识（列函数解析式，函数图像等） 13 押题猜想九 函数的性质（一此函数，反比例函数和二次函数的性质) 17 押题猜想十 方程与不等式的基本应用（代入求值等） 29 押题猜想十一 古代问题（方程的实际应用等）..............................................................................................34 押题猜想十二 四边形（判定﹑性质﹑勾股定理等)的综合应用...................................................................36 押题猜想十三 反比例函数中k的几何意义综合应用.....................................................................................47 题型二 填空题.............................................................................................................................48-63 押题猜想十四 因式分解..................................................................................................................................48 押题猜想十五 数据的分析（平均数，加权平均数，中位数，众数和方差等)运算....................................49 押题猜想十六 与圆的有关运算（圆心角，圆周角，垂径定理及弧长等)...................................................51 押题猜想十七 二次函数（性质﹑图像﹑最值等）的综合应用..................................................................57 押题猜想十八 反比例函数（系数k的几何意义）的综合应用....................................... ............................60 押题猜想十九 特殊平行四边形综合.................................................................................................................63 题型三 解答题........................................................................................................................76-210 押题猜想二十 实数的简单计算和方程及不等式的计算 76 押题猜想二十一 统计与概率（数据的分析，概率等）综合应用 79 押题猜想二十二 尺规作图综合应用 85 押题猜想二十三 方程与函数的的实际综合应用 91 押题猜想二十四 锐角三角函数和勾股定理的的综合应用 100 押题猜想二十五 圆与几何综合应用 107 押题猜想二十六 几何综合探究题 119 押题猜想二十七 二次函数与几何压轴综合 146 押题猜想二十八 函数与动态几何综合 173 押题猜想二十九 函数与几何的新定义问题 189 题型一 选择题 押题猜想一 有理数的相关概念 1．如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为（   ） A．层 B．层 C．层 D．层 【答案】A 【分析】此题主要考查正负数的意义，生活中，通常用正负数表示具有相反意义的两种量，如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为层． 【详解】解：如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为层． 故选：A． 2．2026的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可得． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 3．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 4．下列实数中，比3大的数是（    ） A．5 B．1 C．0 D．－2 【答案】A 【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：因为－2＜0＜1＜3＜5， 所以比3大的数是5， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键． 5．若月球表面白天平均温度零上记作，则夜间平均温度零下记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若月球表面白天平均温度零上记作，则夜间平均温度零下记作， 故选：D． 押题猜想二 图形的变化（轴对称，中心对称等)概念 1．下列交通指示标志的图案是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 2．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称与中心对称图形的定义是解题的关键；因此此题可根据“如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”和“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形叫做中心对称图形”进行求解即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 押题猜想三 科学计数法 1．2026年桂林市丙午马年春节文旅市场马力全开，实现旅游接待人次和旅游总收入广西双第一．其中，接待游客总人数约12540000人次，将数据12540000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．南宁吴圩国际机场第二跑道正式投运，跑道长度为3800米，有力提升区域航空保障能力，将3800米用科学记数法表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，根据要求确定和即可得到结果． 【详解】解：． 3．在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定的值和的值，当原数的绝对值小于时，为负数，的绝对值与小数点移动的位数相等． 【详解】解：． 押题猜想四 三视图 1．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形， 故选：B． 2．榫（）卯，是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是一种在两个木构件上采用凹凸部位（即榫头与卯眼）相结合的连接方式，体现了中国传统文化和工程智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从正面看整体是一个缺少右下一部分的长方形，故选项符合题意． 3．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家庭等都是必备的粮食度量用具．如图2，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 【详解】解：“斗”的俯视图的是： ． 故选：C． 4．下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个圆锥． 【详解】解：由主视图以及左视图可知这是一个锥体，再根据俯视图可知是一个圆锥，所以此几何体是一个圆锥． 5．下图是由3个相同的小立方体组成的几何体，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，该几何体的俯视图有一层，且由两个正方形组成，如图： ． 押题猜想五 概率公式的计算 1．【传统文化】“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国第五大发明”．若要从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票分别用1、2、3、4表示， 则画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的结果数有2种， ∴恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是， 故答案为：． 2．为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 3．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求概率，直接根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数有6种等可能的结果，其中向上一面的点数是2的结果只有1种， ∴向上一面的点数是2的概率为； 故选D． 4．如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光， 画树状图如下：    共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种， ∴灯泡能发光的概率为， 故选：C． 押题猜想六 求角度（利用平行线的性质，角平分线等） 1．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意； B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意； C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确； D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键． 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求，根据等边对等角求． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，是一块直角三角板，其中，．直尺的一边经过顶点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，直线与直线、都相交．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图： 由对顶角相等可得， ∵， ∴． 5．如图，直线与被直线所截，截点为点E和F，，现绕点E作顺时针旋转，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是同旁内角， ∴当时，， ∵， ∴． 6．如图，点是的平分线上一点，过点作 交于点．若，则________ 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由平行线的性质得，由角平分线定义即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为： ． 押题猜想七 平面直角坐标系的基础知识 1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查象限里的坐标，熟练掌握象限里的坐标特征是解题的关键；因此此题可根据第一象限的点坐标符号特征为，第二象限的点的坐标符号特征为，第三象限的点的坐标符号特征为，第四象限的点的坐标符号特征为，进而问题可求解． 【详解】解：下列各点再第二象限的是； 故选B． 2．已知点在y轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：y轴上的点的横坐标为0． 让点P的横坐标为0列式求得a的值，即可求得点P的坐标． 【详解】解：∵点在直角坐标系的y轴上， ∴， 解得，， ∴P坐标为． 故选：B． 3．如图，将一片枫叶标本放置在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标系中点的坐标，根据点A和点B的坐标可以确定每个小正方形的边长为1，再结合点C的位置即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点C的坐标为， 故选：A． 4．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味性强，成为极其广泛的棋艺活动．如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“帅”位于点上，“相”位于点，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标确定位置．直接利用已知点坐标得出坐标原点位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：“炮”位于点． 故选：A． 押题猜想八 函数的基础知识（列函数解析式，函数图像等） 1．函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围．根据二次根式的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，， 解得：， 故选：B． 2．已知等腰三角形的周长为，则底边长与腰长的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键． 根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 两边之和大于第三边， ， ， ， 故选：A． 3．如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．30 B．60 C．120 D．156 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的理解和应用以及等腰三角形的性质，数形结合是解决本题的关键． 将点P的运动轨迹和图象结合起来，进行分析可知：，所以为等腰三角形，当时，，对应图象中的点M的y值，根据三线合一可知，当时，点P为的中点，根据勾股定理可求，进而可求，根据三角形面积公式可得最后结果． 【详解】解：由图象可知： 为等腰三角形 当点P在C-A上运动时，对于图象中的曲线部分 由于M是曲线部分的最低点 此时最小， 即 由勾股定理可知： （根据等腰三角形三线合一可知） 故选：B 4．小军、小刚两人沿同一直道从地到地，若在整个行程中，他们都是匀速直线运动，小军、小刚离地的距离与时间之间的函数关系如图所示，则小军的速度与小刚的速度的数量关系是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可知小军花费的时间是小刚的两倍，但是二者所走的路程相同，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，小军个单位时间所走的距离与小刚花费个单位时间所走的路程相同， ∴， 故答案为：． 5．王明从家步行到公交车站台，然后等公交车去单位．下公交车后又步行了一段路程才到单位．图中的折线表示王明的行程s（米）与所花时间t（分）之间的函数关系．下列说法正确的是（    ） A．王明等公交车时间为5分钟 B．王明步行的速度是60米/分 C．王明全程的平均速度为290米/分 D．公交车的速度是500米/分 【答案】D 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，正确理解函数图象并从图象获取正确信息是解题的关键．根据函数图象获取的信息逐项进行计算和判断即可． 【详解】A． 依题意在第5分钟开始等公交车，第8分钟结束，故王明等公交车时间为3分钟，故选项错误； B． 依题意得王明离家400米共用了5分钟，故步行的速度为80米/分，故选项错误； C． 王明全程6800米，共用时25分钟，全程速度为272米/分，故选项错误； D． 公交车分钟走了米，故公交车的速度为米/分，故选项正确． 故选：D． 6．如图是物理课上测量长方体铜块的体积实验，借助外力将铜块从离液面一定高度匀速放入烧杯直至底部静置一段时间．下列哪幅图象可以近似的刻画出液面高度h与铜块被放入时间t的关系（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：1.初始阶段：铜块还没接触液面时，液面高度保持不变，对应图象是一段水平的直线； 2.铜块浸入阶段：铜块开始浸入液体，排开液体使液面上升；因为铜块是匀速放入的，所以液面高度匀速上升，对应图象是一段斜率为正的直线； 3.铜块完全浸没后：铜块继续向下放，但排开液体的体积不再变化，液面高度保持不变，对应图象又是一段水平的直线； 4.静置阶段：铜块沉底后，液面高度也不会再变化，图象保持水平； 所以，液面高度h与时间t的关系图象是：先水平→再上升→再水平； 观察四个选项，选项C符合题意． 押题猜想九 函数的性质（一此函数，反比例函数和二次函数的性质) 1．已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限的条件，确定比例系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， 解得． 故选：C． 2．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键，当的图象位于的图象上方时，满足，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 所以关于的不等式的解集是， 故选：A． 3．正比例函数的图象经过（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象性质，根据正比例函数的，得出该函数图象经过第二、第四象限，即可作答． 【详解】解：∵正比例函数的， ∴正比例函数的图象经过第二、第四象限， 故选：D 4．点和点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数的增减性是关键． 根据一次函数解析式得到一次函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：直线中，， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A ． 5．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征． 甲：函数图像经过点； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当时，y随x的增大而增大． 则这个函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意； B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意； C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意； D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键． 6．已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的性质，先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出已知交点的纵坐标，再利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质求解另一个交点坐标． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上． ∴． ∴交点坐标为． ∵正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称． ∴另一个交点的坐标为． 故选：D． 7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据a，b的取值分类讨论即可． 【详解】解：若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意； 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意； 若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意； 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键． 8．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 9．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组 ，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，数形结合是解题的关键．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于、的方程组的解是 故选：A． 10．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 11．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可． 【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴， ∴， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； ∵， ∴当时，x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C． 12．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为． 故选：C． 13．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 故选：． 14．下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．对称轴为 C．函数y的最小值为5 D．图象与x轴没有交点 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质、二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 根据二次函数的图象和性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：， A．顶点坐标为，正确，该选项符合题意； B．对称轴为，错误，该选项不符合题意； C．函数y的最大值为5，错误，该选项不符合题意； D．图象与x轴有两个交点，错误，该选项不符合题意； 故选：A． 15．抛物线与x轴只有一个公共点，则c的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，根据二次函数与一元二次方程的关系列方程求解． 【详解】解：由题意得：关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 16．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据两函数图象的上下位置关系以及交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，所以不等式的解集是或． 17．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 18．如图，小红利用人工智能设计了一个小游戏：计算机屏幕上会随机地出现一些图形，过定点沿直线向图形射去，如果某时刻屏幕上出现的图形为矩形，其中，，，那么为了击中矩形，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点，然后分别求出直线过点A以及点C时k的值，即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵，， ∴轴，， ∴点， 当直线过点时，， 解得：； 当直线过点时，， 解得：； ∴k的取值范围是． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题．根据一次函数与反比例函数交点确定方程的解即可． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， ∴点的横坐标为， ∵是一次函数向下平移了个单位，根据反比例函数关于原点对称可得，一次函数与反比例函数在第三象限的交点为， ∴关于方程的解是， 故选：D． 20．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选B． 21．已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】∵二次函数， ∴对称轴， 当时， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴此时抛物线与x轴没有交点， ∴， ∴解得； 当时， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴当时，， ∴解得， ∴， ∴综上所述， 当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论． 22．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析结论：①；②抛物线与x轴的另一个交点为；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和系数之间的关系，二次函数的对称性，根据图象判断①，对称性判断②，特殊点结合对称轴判断③，特殊点结合因式分解，判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 设抛物线与x轴另一交点的横坐标为m，由对称的性质可知， 解得， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，故②正确； 将点代入抛物线解析式得， 又∵， ∴， ∴，∴，故③错误； ∵当时，， ∴． ∵当时，， ∴， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有②④，共2个． 故选B． 23．已知二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 1 5 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的对称轴是直线 B． C．关于的方程的根为和5 D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】根据当与时，函数值相等，可求出对称轴，以此判断A； 根据对称轴设出二次函数的解析式为顶点式，代入两对值，求出待定系数，化为一般式，求出，可判断B； 根据二次函数的解析式，求出当时，自变量的值，可判断C； 利用二次函数的增减，求出当时自变量的范围，可判断D． 【详解】解：∵当与时，函数值， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故A错误； 设二次函数的解析式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴，故B错误； ∵二次函数的解析式为， ∴当时，，解得：，，故C正确； ∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上， ∴当时，随的增大而增大，顶点为， ∵当时，，解得：，， ∴当时，或，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，已知抛物线上对称的两点求对称轴，解题关键是根据表中数据发现对称性求出对称轴． 24．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题． 根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【详解】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意； C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意； D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意． 故选：C． 押题猜想十 方程与不等式的基本应用（代入求值等） 1．若，则下列不等式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确，符合题意； B、若，则，故本选项变形错误，不符合题意； C、若，则，故本选项变形错误，不符合题意； D、若，则，故本选项变形错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题型，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 2．一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆圈的区别．根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组的解集为， 故选：D． 3．若是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入中解得a的值即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：， 故选：A． 4．随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进套，第二次购进套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键．该书店第一次购进x套，则第二次购进y套，根据两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，列方程组． 【详解】解：∵该书店第一次购进x套，第二次购进y套，两次购进该漫画册共3500套，两次进价都是40元/套．第二次的总价比第一次多20000元， ∴． 故选：C． 5．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：B． 6．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程． 【详解】解：设共有个队参加比赛， 根据题意得：， 故选：D． 7．已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当方程有两个不相等的实数根时，”是解题的关键． 8．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，则（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系， 即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，， 根据根与系数的关系得 故选：A． 9．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用和勾股定理的应用．设门对角线长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，由题意可知竿的长度为x尺． 根据勾股定理得， 故选：D． 10．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 【答案】C 【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可． 【详解】解：∵方程x2-4x-1=0的两个根是x1，x2， ∴x1∙x2=-1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-，两根之积是． 11．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】计算判别式的值，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴ ， ∴该一元二次方程无实数根． 12．用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 13．清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为，宽为，中间画作的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设空白画框的宽度为，则中间画作的长为，宽为，根据中间画作的面积为，列出方程即可． 【详解】解：设空白画框的宽度为，则中间画作的长为，宽为，根据题意得： ． 14．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 押题猜想十一 古代问题（方程的实际应用） 1．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 2．小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、弄清楚量之间的关系成为解题的关键． 设甲原有钱，乙原有钱，根据乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50列二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 由题意可得：． 故选C． 3．我国古典数学文献《算法统宗》中有一个“听客分银”的问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多4两，九两分之少半斤”其大意为：隔着墙听见客人在分银子，按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两（这里半斤等于8两），设有客x人，银有y两，根据题意列方程组为（    ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两，列出方程组即可． 【详解】解：设有客x人，银有y两，由题意，得： ； 故选B． 4．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5，木长-绳长=1，据此可以列方程求解； 【详解】设绳子长x尺，木长y尺， 依题意可得：， 故选：C 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列方程求解． 5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 押题猜想十二 四边形的综合应用 1．如图，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，图形旋转的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及图形旋转的性质是解题的关键． 根据矩形的性质得，再根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 矩形绕点逆时针旋转，得到矩形， ． 故先选：C． 2．我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意多边形的外角和为，结合正八边形各外角相等的性质，用外角和除以边数计算出单个外角的度数． 【详解】解： 任意多边形的外角和为，正八边形的8个外角都相等， 正八边形的每一个外角的度数为． 3．五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 4．如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】由菱形的性质可知对角线互相平分且垂直，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再结合勾股定理求出，从而求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，E为边的中点， ， ， ， 菱形的面积． 5．如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵，， ∴． 6．如图，在中，为上一点，连接，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．关键是先利用平行四边形的性质推出三角形相似，再结合线段比例求出相似比，最后根据相似三角形面积比与相似比的关系计算面积比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故选：A． 7．如图，是六边形的外角，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为360度，据此求解即可． 【详解】解：∵是六边形的外角， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．如图，用一条足够长的矩形纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平、连线，就可以得到如图所示的正五边形，其中的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角和及内角，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据正多边形的内角和以及正多边形每个内角都相等，求解即可． 【详解】解：∵多边形为正五边形， ∴； 故选：B． 9．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接得到四边形．若，则四边形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定等知识点，根据矩形的性质，得出，．根据折叠可知，，，推出，则，推出四边形是菱形．由题意得，，则四边形的面积，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 由题意，得，， ∴四边形的面积． 故选：B． 10．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键． 设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ，， ∴， 故选A． 11．如图，在边长为6的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ∵点H是的中点， ∴， ， ， ， ， ∴在中，， 点，分别是，的中点， ． 12．如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC， ∴∠DEC=∠FCB， ∵， ∴∠BFC=∠CDE， ∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处， ∴BC=EC， 在△BFC与△CDE中， ∴△BFC≌△CDE（AAS）， ∴DE=CF=2， ∴， ∴AD=BC=CE=， ∴AE=AD-DE=， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题． 13．如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理和相似三角形的性质与判定等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 以AB为直径画圆，G在圆O上，当O、G、C共线时，CG为最小值，然后运用勾股定理和相似三角形的知识解答即可． 【详解】解：如图：以AB为直径画圆，G在圆O上， ∵∠AGB=90°， ∴当O，G，C共线时，CG有最小值， ∵CG= 又∵∠CGH=∠AGO=∠OAG=∠CBF， ∴∠CBF=∠CGH， 又∵∠BCD=∠BCD， ∴△CGH∽△CBG， ∴ ∴ 故答案为C．      14．如图，点E是菱形ABCD边上一动点，它沿A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，下列图象中能反映y与x函数关系的是（ ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据一次函数的图像及性质即可求解． 【详解】解：因为点E在菱形ABCD上移动，所以可知菱形各顶点向对边作的高为定值，可设高的长为k 如图一，当点E在AB上移动时，将AE作为△ADE底边，则有S△ADE =•AE•k    随着点E移动，AE的长在增大，三角形的面积也是在增大的，y与x满足正比例函数关系； 如图二，当点E在BC上移动时，将AD作为底边，则有S△ADE=•AD•k    点E的移动不会带来AD长度的变化，所以此时三角形面积为定值； 如图三，当点E在BC上移动时，将DE作为△ADE底边，则有S△ADE=•DE•k    随着点E移动，DE的长在减少，三角形的面积也是在减少的，y与x满足正比例函数关系． 故选A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象与菱形，熟练掌握一次函数的图像及性质是解题的关键． 15．如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键． 连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据旋转的性质、矩形的性质求出，即旋转角为，，即弧对应的半径为，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    由旋转可知，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，即旋转角为， ， 又， ， 弧的长为． 故选：B． 押题猜想十三 反比例函数中K系数及几何意义 1．如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】首先求出，然后由对称性得到，求出，然后将代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，， ∴ ∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称 ∴图中阴影部分的面积等于正方形的面积 ∴ ∴ 将代入得， ∴． 2．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 设点的坐标为，则，，从而可得，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可得． 【详解】解：由题意，设点的坐标为，则， 轴，交反比例函数的图象于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：D． 题型二 填空题 押题猜想十四 因式分解 1．因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的概念以及提公因式法分解因式，直接提公因式进行分解因式，即可作答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 2．分解因式：___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 直接提公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．分解因式：________． 【答案】 【详解】解：． 4．分解因式：_________． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 5．已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 押题猜想十五 数据的分析（平均数，中位数，众数和方差等)运算 1．为了调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，比较适合的调查方式是________调查（填“全面”或“抽样”）． 【答案】抽样 【分析】根据调查的特点，判断调查是否具有破坏性，结合全面调查与抽样调查的适用范围选择合适的调查方式． 【详解】解：本次调查新能源汽车的抗撞击能力，调查过程具有破坏性，因此选择抽样调查． 2．某校开展“保护视力，预防近视”活动，为了解八年级600名学生的视力状况，从中随机抽取了80名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是______． 【答案】80 【分析】本题考查随机调查中的样本容量，解题的关键是掌握样本容量的定义．样本容量是指一个样本中所包含的个体数目，一般用n表示，据此可得答案． 【详解】解：∵抽取了80名学生进行问卷调查， ∴样本容量为80， 故答案为：80． 3．某中学为了解本校学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了该校部分学生，了解他们最喜爱的电视节目（必选且只选一类），将收集的数据整理，绘制成如下条形统计图： 若该校共有学生1000人，则最喜爱新闻节目的学生大约有______人． 【答案】150 【详解】解：（人）． 4．某校组织以“保护洱海，爱我家园”为主题的手抄报作品征集活动，先从中随机抽取了若干作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么，此次一共抽取了________份作品． 【答案】120 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，解题关键是找到已知数量与对应百分比，利用“总数 = 部分数量 ÷ 对应百分比”求解． 【详解】解：条形图中，等级的作品数量为份； 扇形图中，等级的作品占比为； 所以样本总量为， 即一共抽取了份作品． 故答案为：． 5．某校开展以“技高一筹，算出风采”为主题的竞赛活动．在这次活动中，7名参赛学生的成绩如下（满分100分）：78，92，76，90，85，87，82．这组数据的中位数是________． 【答案】85 【分析】先将数据按从小到大的顺序排序，再根据数据个数的奇偶性确定中位数即可． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列，得： 这组数据共有个，是奇数， 根据中位数定义，奇数个数据的中位数为排序后位于中间位置的数，中间位置为第位，第个数为． 6．科技馆拟招聘一名优秀讲解员，小婷的笔试、试讲、答辩成绩分别为100分、90分、90分，若按笔试占，试讲占，答辩占的比例确定最终成绩，则小婷的最终成绩为______分． 【答案】95 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算公式，进行计算即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：． 押题猜想十六 与圆的有关运算（圆心角，圆周角，垂径定理及弧长等) 1．把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 【答案】 【分析】本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】解：设扇形半径为 ，圆锥底面半径为 ， 则底面周长为 ， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 2．如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，连接．若，则_____度． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质得到，则由三角形内角和定理得到，再由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为____． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由是的直径，可得，进而可求出，然后由等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，是的直径，，则的度数为________度． 【答案】50 【分析】本题主要考查了直径定理和同弧所对的圆周角相等，解题的关键是熟练掌握相关定理． 根据直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等，求出角的度数，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，是的直径，平分交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，则___________． 【答案】/4.5/ 【分析】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 连接，过点作，先证明，进而可得，四边形是矩形，再利用勾股定理解三角形求出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，过点作， ∵是的切线， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴ 故答案为． 6．如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则___________． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质得到，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．如图，的直径为，弦垂直平分半径，那么弦的长为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据弦垂直平分半径，，得出，，，根据勾股定理，再由垂径定理，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵弦垂直平分半径，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，在一圆柱铁桶内底面的点处有一飞虫，在其上边沿的点处有一面包残渣，已知是点正下方的桶内底面上一点，已知劣弧的长为，铁桶的底面直径为，桶高为60cm，则该飞虫从点到达的最短路径是____________cm．    【答案】 【分析】连接AC、AB、OA、OC，作OD⊥AC于点D，先由弧长公式求出∠AOC的度数，然后得到∠AOD的度数，然后利用勾股定理求出AD，然后得到AC，再利用勾股定理求出AB即可. 【详解】解：根据题意，连接AC、AB、OA、OC，作OD⊥AC于点D，如图：        ∵劣弧的长为，， ∴， 解得：， 即∠AOC=120°， ∵OD⊥AC， ∴∠AOD=∠AOC=60°， ∴∠OAD=30°， ∴OD=OA=10， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，，由勾股定理得： ； ∴该飞虫从点到达的最短路径是cm； 故答案为：. 【点睛】本题考查了最短路径问题，也考查了弧长公式，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式和垂径定理，利用勾股定理正确求出AC的长度. 押题猜想十七 二次函数（性质﹑图像﹑最值等）的综合应用 1．对于二次函数，当时，y的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 2．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 3．已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据函数图象可得抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，即得，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，再进一步判断即可求解. 【详解】解：根据函数的图象可得： 抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点， ∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确； ∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误； ∴， ∴，结论①正确； 故答案为：①②④. 4．如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是________． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点的坐标是，点、恰好在抛物线上，得到，解得，（不合题意，舍去），得到点的坐标是，得到正方形的边长为，即可求出正方形的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上， ∴， ∴可设点的坐标是， ∵点、恰好在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标是， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积是， 故答案为： 5．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题．分别求出，两种情况下，函数与轴有交点时的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，函数是二次函数，令，即， 当时，二次函数的图象与轴有交点， 解得：， 当时，函数是一次函数，其解析式为， 直线与轴有交点， 故的取值范围是． 故答案为：． 6．如图，已知函数与线段有交点，其中，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由抛物线对称轴为，可知线段在对称轴右边，只需要分别考虑在抛物线上以及直线与抛物线有唯一交点三种情况即可． 【详解】解：∵， ∴直线解析式为， 联立，整理得， 当直线与抛物线有唯一交点时，解得， 此时唯一交点为，不符合题意； ∵抛物线对称轴为， ∴线段在对称轴右边， 当在抛物线上时，，解得； 当在抛物线上时，，解得， 综上所述，当函数与线段有交点时，a的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 押题猜想十八 反比例函数（系数k的几何意义）的综合应用 1．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________．    【答案】8 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，    ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 3．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则的面积为__________． 【答案】16 【详解】解：如图，作，垂足为H． ∵， ∴． 设A，则根据反比例函数的对称性得到 B， ∴ ∴ 押题猜想十九 特殊平行四边形的综合应用 1．如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为___________；的最大值为___________．    【答案】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 2．如图，正方形的边长为6，P为边上的动点，连接，作交边于点Q．当点P从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质定理的综合运用，利用二次函数求最值得问题，连接，取的中点O，连接，由中位线的性质得，且，所以点M的运动路径是一条线段，求运动路径就是求的最大值的一半．设，建立x，y的函数关系式，讨论函数y的最大值． 【详解】解：连接，取的中点O，连接， 由中位线的性质得，且， ，得点M运动路径是经过点O且平行于的一条线段， 设设， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， ，得， ∴当时，的最大值为， 的最大值为， 即点M的运动路径从O到M再到O，路径长． 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用．根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，根据三角形相似的判定得到，利用相似比得到与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求出的最大值，进而求出的最小值，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：的长为，则，的长为， ，，， ， ，， ， ， ，即， ， 当时，， 当时，，此时为最小， ． 故答案为：． 4．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形性质，解二元一次方程组等知识，先由菱形性质得到四个直角三角形全等，再由图2列出方程组，求出值后，由菱形面积与三角形面积关系，求出三角形面积即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在菱形中，对角线交于点，则，，，， 四个直角三角形全等， 设，，且， 由图2左图可知，， 由图2右图可知，， 联立，解得， ， 故答案为：． 5．如图，在矩形纸片中，，，为的中点，为边上一动点，连接．过点作，交线段于点．在点的移动过程中，当为等腰三角形时，的长是________；当经过点时，的长是________． 【答案】 或 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）过点作，证明，四边形为矩形，推出，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）当为等腰三角形时，且为直角， 只有．如图1，过点作， ， ，， ， ， ． ， 四边形为矩形， ． 在中，， ． 故答案为：； （2）当经过点时，如图2所示， ∵， ∴． ， ． 设，则， ∴ ， 解得，． 的长为或． 故答案为：或 6．如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】或或 【分析】本题考查矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由点为的中点，点为的中点，得，且，由矩形的性质得，，，则，再分三种情况讨论，，则，求得，则；是，连接，可证明，则，所以，则四边形是矩形，所以；是，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 点为的中点，点为的中点， ，且， 四边形是矩形，，， ，，，， 如图1，为等腰三角形，且， ， ， ； 如图2，为等腰三角形，且，连接， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ； 如图3，为等腰三角形，且， ，，且， ， ， ， 综上所述，的长为或4或， 故答案为：或4或． 7．如图，点是正方形的边上一点，过点作，交射线于点，连接交于点，则_______，若，则_______． 【答案】 【分析】根据四边形是正方形，得出，，证明，得出，，即可得，证明，得出，根据，设，则，得出，即可得，，即可证明． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 8．如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点F．则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．延长交的延长线于，根据线段中点的定义求出，再利用勾股定理列式求出，根据角平分线的定义求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，再求出，然后根据相似三角形对应边成比例可得，再求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， 是的中点， ， 由勾股定理得， 平分， ， 正方形的对边， ， ， ， ， ， ， 即 ． 9．边长为2的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键； 根据翻折的性质及正方形的性质可证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是边长为2的正方形， ，， 以为折痕将翻折得， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，， M是的中点， ， ， 在中， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 10．如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，构造全等三角形是解答的关键．延长交延长线于点P，过作于点H，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，，分别在和中，利用锐角三角函数和勾股定理求出，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点P，过作于点H， ∵在中，，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 11．如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为________． 【答案】11 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，作点关于的对称点，连接，．由，推出，根据是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值，解题的关键是运用轴对称，根据两点之间线段最短解决线路最短问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图作点关于的对称点，连接，． 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中， 点与点关于对称， ， ， ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，最小值， 的最小值为11． 故答案为：11． 题型三 解答题 押题猜想二十 实数的简单计算和方程及不等式的计算 1．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解分式方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【详解】解：（1）； （2）去分母可得：， 去括号可得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 2．（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）2，（2） 【分析】本题考查了四则运算、指数运算、运算顺序（先乘除后加减，先括号内后括号外），以及一元一次不等式的解法、不等式的移项和方向变化、求解不等式组的交集．解题的关键在于正确处理括号内的运算和指数运算，遵循运算顺序；在解不等式时，注意移项时的方向变化，并在求解不等式组的交集时验证边界值是否满足所有不等式．． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 3．（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 4．（1）计算： （2）解不等式： 【答案】（1）2；（2） 【分析】此题考查了有理数混合运算，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数混合运算法则计算即可得到结果； （2）去分母，去括号，移项合并，系数化为1，即可求出答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ． 5．（1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了平方根解方程、算术平方根，立方根，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根，立方根，以及绝对值，再运算加法，即可作答． （2）先移项再开平方，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴． 6．（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查有理数混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握有理数混合运算法则和解二元一次方程组的方法：加减法是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算加减即可； （2）运用加减法求解即可． 【详解】解：（1）原式． ； （2） 得，解得：． 把代入①得，，解得：． 所以二元一次方程组的解为． 押题猜想二十一 统计与概率（数据的分析，概率等）综合应用 1．为弘扬中华优秀传统文化，某校组织“诗词大会”比赛，其中一个环节的题目涵盖“豪放”“婉约”“咏物”“咏怀”四大类（分别写在4张卡片上），一位比赛选手随机抽取一张卡片，记下题目类别后，放回洗匀后由下一位选手抽取． (1)求甲选手抽到“婉约”的概率； (2)用画树状图或列表的方法求乙、丙两位选手抽到同类别题目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率计算，用列表法或或树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）用概率公式计算即可； （2）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中乙、丙两位选手抽到同类别题目的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：题目涵盖“豪放”“婉约”“咏物”“咏怀”四大类， 甲选手抽到“婉约”的概率为； （2）解：设“豪放”“婉约”“咏物”“咏怀”分别为A、B、C、D， 画树状图如下， 根据树状图得得到共有种等可能的结果，其中乙、丙两位选手抽到同类别题目的结果有种， 乙、丙两位选手抽到同类别题目的概率为． 2．如图所示是小明根据甲、乙两名同学6次投篮（每次投篮10个）测试成绩所绘制的折线统计图． (1)分别求甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数； (2)小明认为甲、乙两人成绩更稳定的是甲，请你通过计算验证小明的判断是否正确． 【答案】(1)甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数都是7 (2)小明的判断正确，见解析 【分析】本题主要考查了算术平均数和方差的求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．准确分析计算是解题的关键． （1）根据平均数的定义即可求解； （2）分别计算甲乙的方差，比较方差大小即可，根据方差越小，成绩越稳定，即可判断． 【详解】（1）解：甲同学投篮的个数为：， ∴平均数为：； 乙同学投篮的个数为：， ∴平均数为：， 答：甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数都是7； （2）解：小明的判断正确，利用如下： ， ， ∵， ∴甲成绩更稳定， ∴小明的判断正确． 3．某校为了调动30名田径队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况，对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标进行了体育成绩测试． 【收集数据】77   78  76   72   84  75  87 85  78  79  82  78  76  79  91 91  76  74  75  85  75  91  84  77  75  75  87  85  76  77 【整理数据】 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 4 3 3 1 2 3 2 3 【分析数据】样本数据的平均数、众数、中位数如表： 平均数 众数 中位数 80 78 【解决问题】 (1)表格中的___________，___________，___________； (2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为___________分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为___________分； (3)学校从91分的三名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统训练．请利用画树状图法或列表法，求两名队员恰好同时被选中的概率． 【答案】(1) (2)78；80 (3) 【分析】本题主要考查了求众数，中位数和平均数的意义，列表法或画树状图求概率等知识． （1）根据体育成绩测试以及众数的定义求解即可． （2）由中位数和平均数的意义求解即可． （3）列出表格，得出总的情况数和两名队员恰好同时被选中的情况，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据体育成绩测试可知：，， 其中75出现的次数最多为5次， 故 （2）解：由中位数的意义可知如果想让一半左右的队员都达到成绩目标，你认为成绩目标应定为78分． 由平均数的意义如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为80分． （3）解：列表如下： A B C A B C 根据表格可知，一共有6种等可能的情况，其中两名队员恰好同时被选中的情况有2种，则两名队员恰好同时被选中的概率为： 4．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 【答案】(1)，， (2)七年级成绩较好，理由见解析（答案不唯一） (3)人 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图即可求出组和组的人数，再利用中位数定义和组数据即可求出，再利用众数定义即可求出，最后利用扇形和组人数即可求出； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，， ∴， ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴， ∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好； 或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好； （3）解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人． 5．“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)公平，理由见解析． 【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种， ∴丙同学获胜的概率； （2）这个游戏对三人公平，理由如下： 由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率， ∴这个游戏对三人公平． 6．大理（记为），丽江（记为）和西双版纳（记为）是云南省内著名的旅游胜地．甲、乙两名同学准备在端午节假期前往云南省游玩，各自随机选择大理，丽江，西双版纳三个地方中的一个，二人选择哪个地方不受任何因素影响，每一个地方被选到的可能性相同．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙至少有一人去丽江游玩的概率． 【答案】(1)所有可能出现的结果总数有9种 (2)甲和乙至少有一人去丽江游玩的概率为 【分析】本题主要考查古典概型的概率计算以及分步乘法计数原理．解题的关键在于熟练运用列表法或树状图法准确列出所有等可能的基本事件，明确所求事件包含的基本事件个数，进而依据古典概型概率公式进行计算． （1）列出表格即可求解； （2）在第一问得出的 9 种等可能结果基础上，确定“甲和乙至少有一人去丽江游玩”所包含的基本事件．“至少有一人去丽江”包含甲去乙不去、乙去甲不去、甲乙都去这三种情况，通过逐一排查，找出符合条件的，，，，这 5 种结果，再依据古典概型概率公式 （ 是事件包含的基本事件个数， 是基本事件总数 ），计算出该事件的概率为． 【详解】（1）解：由题意列表如下： 由表可知，共有9种等可能出现的结果 （2）解：由（1）可知，甲和乙至少有一人去丽江游玩的有，，，，共5种结果， 概率为. 押题猜想二十二 尺规作图综合应用 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，B，C均在网格上． (1)将向下平移4个单位长度，得到，请作出； (2)作关于y轴对称的图形； (3)在（1）的条件下，求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题考查了作图—平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）利用轴对称的性质作图即可； （3）利用平移的性质结合网格求面积即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， （2）解：如图，即为所作； （3）解：线段扫过的面积为． 2．如图，在中（），以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接． (1)用尺规作图法，作的平分线，且点F在线段上，与相交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）按角平分线的作图流程即可； （2）先根据平行四边形的性质及角平分线的定义证明，再根据等腰三角形的三线合一性质证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， 即， ． 【点睛】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握作角平分线及相关性质的运用是解题的关键． 3．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． (1)根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； (2)请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，②按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明， 从而可得结论． 【详解】（1）解：作出线段的垂直平分线，连接；   以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）证明：由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， ， ． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 4．如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点D和点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，则，进而可得，再根据，可得，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）解：如图，连接， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，已知． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)作图见详解 (2)证明见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的画法，掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）根据平行四边形的性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证． 【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接交于点，交于点，如图所示，      ∴是对角线的垂直平分线； （2）解：如图所示，连接，设与交于点，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 平行四边形是菱形． 押题猜想二十三 方程与函数的的实际综合应用 1．某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（A型）和基础平板（B型）．已知A型平板的单价比B型平板贵元．若采购台A型平板比采购台B型平板多花费元． (1)求A型平板和B型平板的单价； (2)若集训队共需配备10台平板电脑，且总采购预算不超过14400元，则最多能采购A型平板多少台？ 【答案】(1)A型平板单价为1600元，B型平板单价为1000元 (2)最多能采购A型平板7台 【分析】（1）设A型平板单价为元，B型平板单价为元，根据等量关系，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设能采购A型平板台，则采购B型平板台，根据题意，列出一元一次不等式，再根据实际意义即可求解． 【详解】（1）解：设A型平板单价为元，B型平板单价为元， 根据题意得， 解得， 答：A型平板单价为1600元，B型平板单价为1000元； （2）解：设能采购A型平板台，则采购B型平板台． 根据题意得， 解得， 因为为非负整数，所以的最大值为7， 答：最多能采购A型平板7台． 2．根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】任务：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：每张元纸币的质量是克； 任务：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． 任务：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； 任务：设每张元纸币克，根据素材中使天平平衡的放置方法，列一元一次方程求解即可； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】任务：解：设枚元硬币克，枚角硬币克， 由素材可得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：设每张元纸币克， 由素材可得：， 解得：， 答：每张元纸币的质量是克； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：， 整理得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 3．为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． (1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． (2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元． (2)购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的方程，函数关系和不等式是解题的关键． （1）设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元，根据采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元建立二元一次方程组求解； （2）设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元，根据“总利润太阳帽的利润太阳伞的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元； （2）解：设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元， 购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍， ， 解得， 根据题意，得， ， w随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为， 此时， 答：购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 4．为给消费者带来放心蔬菜，某地计划建设甲、乙两种不同的无公害蔬菜大棚，现有如下材料． 材料一：建设2个甲种大棚和4个乙种大棚共160万元，3个甲种大棚和2个乙种大棚共120万元； 材料二：甲、乙两种蔬菜大棚共18个，且乙种大棚个数不少于甲种大棚个数的三分之一，建设成本不高于425万元． 根据以上材料，完成下列任务． (1)甲、乙两种蔬菜大棚的单价分别是多少？ (2)要使成本最低，则甲、乙种大棚各多少个？ 【答案】(1)20万元，30万元 (2)要使成本最低，则需建设甲种大棚12个，乙种大棚6个或甲种大棚13个，乙种大棚5个 【分析】（1）设建设甲、乙两种蔬菜大棚的单价分别为x万元、y万元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设建设甲种蔬菜大棚m个，则建设乙种蔬菜大棚有个，根据题意列出不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）解：设建设甲、乙两种蔬菜大棚的单价分别为x万元、y万元， 由题意可得：， 解得：， 答：建设甲、乙两种蔬菜大棚的单价分别为20万元，30万元； （2）解：设建设甲种蔬菜大棚m个，则建设乙种蔬菜大棚有个， 由题意可得：， 解得：， 取正整数， 可取12和13， 即：要使成本最低，则需建设甲种大棚12个，乙种大棚6个或甲种大棚13个，乙种大棚5个． 5．某超市购入一批进价为20元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）有如下表的关系． 销售单价（元） … 40 42 44 46 48 … 销售量（盒） … 80 76 72 68 64 … (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连线．观察图象，求出与的函数关系式； (2)设日销售总利润为（元） ①直接写出与的函数关系式：__________； ②糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若进价上涨元，且超市每日固定成本为482元，该种糖果日销售获得的最大利润为1200元，求的值（日利润（售价进价）日销量日固定成本）． 【答案】(1)图见解析， (2)①；②糖果销售单价定为50元时，所获日销售利润最大，最大利润是1800元 (3)2 【分析】（1）先描点，再连线，得出函数图象，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据日销售总利润（售价进价）日销量，列出函数解析式即可； ②将关系式变形，根据二次函数性质进行解答即可； （3）设日销售利润为，根据该种糖果日销售获得的最大利润为1200元，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：画图如图所示 根据图象可知：图象是一条直线，设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， 代入得： ， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：①与的函数关系式为： ； ②由①得：， ∵且， ， ∵， ∴当时，元， 糖果销售单价定为50元时，所获日销售利润最大，最大利润是1800元； （3）解：设日销售利润为 ， 对称轴为， ∵，开口向下， 有最大值， 当时，元， ， 解得：或， 当时，，不符合题意应舍去， 当时，， 的值为2． 6．某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 … 10 市场需求量q（百千克） 12 10 … 4 已知当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出． (1)求q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润y（百元）的最大值． 【答案】(1) (2)当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质、最大利润的问题，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出函数的关系式是解题的关键． （1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可； （2）设厂家每天获得的利润为y元，则，根据每天的产量不大于市场需求量时，求出x的取值解答即可； 【详解】（1）解：设q与x的函数关系式为， 由题意，得，解得， 与x的函数关系式为． （2）解：当每天的产量不大于市场需求量时，，即， 解不等式得， 成本为2元/千克， ． ， 对称轴为直线， 当时，y有最大值，， 答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元． 7．某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； (2) ；生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 【分析】（）设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）根据题意列出函数关系式即可； 由题意得，解得，然后根据函数性质可得随的增大而减小，所以当时，最大，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； （2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个， 根据题意，得， ∴， 即与的函数关系式为； 根据题意，得， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最大，为， 此时铜鼓摆件：个， 即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 8．综合与实践： 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】任务1：甲部门每天能生产120个，乙部门每天能生产60个；任务2：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答． （2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据题意得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可． 【详解】解：任务1：设乙部门每天能生成个壮锦手提包， 则甲部门每天能生成个壮锦手提包． 由题意得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解，且符合题意． 甲部门每天生成数量：（个）． 答：甲部门每天能生成120个，乙部门每天能生成60个． 任务2：设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）． 根据题意， 解得， 则总支出费用． ， 随的增大而减小． 当时，取最小值， 最小值为（元）， 乙部门工作天数：（天）， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元． 押题猜想二十四 锐角三角函数和勾股定理的的综合应用 1．无人机在生活中应用广泛，如图所示，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)___________度，___________度； (2)求点到地面的距离； (3)求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 (3)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键； （1）根据平行线的性质和平角的定义即可得解； （2）根据正弦的定义求解即可； （3）过C作于Q，根据三角函数分别求出，即可得解 【详解】（1）解：，， ， ， ， 故答案为：60，90； （2）解：在中，，米， 米， 点到地面的距离为米； （3）解：过C作于Q， 则四边形是矩形，， ， 在中，，米， 米， 米， 在中，米， 米， 大楼的高度为米． 2．如图，小明看见某大楼的顶部有一块电子显示屏，她想知道电子显示屏的高度．她先从大楼底部点处步行20米到达山坡的坡脚点处，测得电子显示屏底部点的仰角为60°．沿坡面向上12米走到点处测得电子显示屏顶部的仰角为45°，山坡的坡度．（是指坡面的铅直高度与水平宽度的比） (1)填空：________°，_______°； (2)求点距水平面的高度； (3)求电子显示屏的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 【答案】(1)； (2)米 (3)广告牌的高度约为米 【分析】（1）根据题意可得：， ， 然后根据已知易得在中， ，从而可得， 进而可得，最后利用角的和差关系以及平角定义进行计算，即可解答； （2）在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （3）延长交于点，根据题意可得：米， ，，米， 然后在中， 利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再分别在和中， 利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ∵山坡的坡度， 在中，， 则， ， ， ，， 故答案为：；； （2）解：在米，米，， (米)， ∴点距水平面的高度为米； （3）解：延长交于点， 由题意得：米， 米， 在中，米，， (米) ， 米， 在中，， (米)， 在中， 米， 米， ∴广告牌的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； (2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由对称的性质可得，，，解直角三角形得出，即可得解； （2）作于，四边形为矩形，得出，解直角三角形得出，分别求出和时的值，作差即可得解． 【详解】（1）解：由对称的性质可得，，， 在中，，， ∴， ∴； （2）解：如图，作于， ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 当时，， 当时，， ∴下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度为． 4．木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图），被称为“亚洲第一灯塔”．如图，虎威岛位于木栏头灯塔的南偏西方向上．一 艘轮船在处测得灯塔位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔正东方向上的处，该船继续向北航行至直线上的点处．    (1)填空：______度，______度． (2)求点到灯塔的距离． (3)若轮船的航行速度为，求轮船在段航行了多少小时． （参考数据：，，，．结果精确到小数点后一位） 【答案】(1)  ； (2)点到灯塔的距离约为； (3)轮船在段的航行时间约为小时． 【分析】（）根据方位角的定义及平行线的性质即可解答； （）根据锐角三角函数的定义可知； （）根据锐角三角函数的定义及路程与速度、时间的关系即可解答． 【详解】（1）解：如图，∵点位于点的北偏西方向上， ∴， ∴， ∵点位于点的南偏西方向上， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴．    （2）解：由题意，得． ∵在中，， ∴, ∵在中，， ∴, ∴点到灯塔的距离约为． （3）解：在中，， ∴， ∴， ∴航行时间（小时）， 答：轮船在段的航行时间约为小时． 【点睛】本题考查了方位角的定义，锐角三角函数的定义，路程、速度、时间之间的数量关系，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．【新情境·红色研学】研学实践：为深入了解红军长征历史，培养学生勇于战胜困难的精神，学校组织研学活动．同学们来到贵州省余庆县“突破乌江”主题雕塑广场，在了解相关的历史背景后，利用测角仪、皮尺和平面镜测量雕塑的高度． 数据采集：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测雕塑顶端A点的仰角为．在测角仪和雕塑之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到雕塑顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时则得． 数据应用：已知测角仪的高度，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． (1)根据平面镜成像原理，的值是__________． (2)求雕塑的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得：，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，根据题意可得，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点D作，垂足为F， 由题意得：，， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴雕塑的高度约为． 押题猜想二十五 圆与几何综合应用 1．如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点D作于点H，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质，得到，即可证明结论； （2）先由三角形外角的性质求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点D作于点H． 为的切线， ． 又 平分， ． 是的切线． （2）解： 平分，， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题关键． 2．如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为8，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，结合题意可得，即可得证； （2）过点O作于点E，证明为等腰直角三角形．结合勾股定理求出，证明四边形为矩形，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中位线， ∴， ， ∴， 为的半径， 为的切线； （2）解：过点O作于点E，如图． ， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．如图，为的直径，为上的一点，和过点的切线垂直于点，与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，即可得结论； （2）先证明四边形是矩形，再由垂径定理得，设的半径为，再由勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：连接，交于点 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：是的直径， ， 由（1）得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 设的半径为， 在中，， 即， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理． 4．如图，是的直径，点C在的延长线上，点D在上，连接，，，已知． (1)求证：是的切线； (2)过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为，易证，再证，从而可证，最后根据切线的判定，即可求证； （2）先利用“”说明，从而可求，再根据切线的性质和切线长定理，可得，，设，最后利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解： ，， ， ， ，， ，则， 是的切线，是的切线，与的延长线交于点E， ，， 设，则，， 在中，， ，解得， ． 5．如图，为的直径，已知，点P在延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)已知平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，则，由，根据垂径定理得，得，继而得到，进而即可证明是的切线； （2）由，得可证明，根据相似三角形对应边成比例则可得到，继而得到，由的半径为5，进而即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 【点睛】本题重点考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．如图，是的直径，为的弦，于点E，连接并延长到点M，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据圆周角定理，得，结合，可以证明，于是即可得证； （2）根据，，，得，，根据，解答即可． 【详解】（1）证明：根据圆周角定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，余弦函数的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 7．如图，是的直径，D是上的点，的角平分线交于点C，过点C作的垂线，垂足为点E． (1)填空：______（选填“＞”、“＜”或“＝”）； (2)求证：是的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由同圆中相等的圆周角所对的弧相等即可得结论； （2）连接，由等腰三角形的性质及角平分线的定义可得，再结合即可完成证明； （3）连接，过点O作于点F，由已知易得是等边三角形，从而可求得扇形的面积，再求出的长，即可求出的面积，从而求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：连接    ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为的半径， ∴是的切线． （3）解：连接，过点O作于点F， ∵， ∴是等腰三角形． ∵平分， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． 【点睛】本题是圆的综合，考查了圆周角与弧的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的判定，求不规则图形的面积等知识，熟练掌握并正确运用这些知识是解题的关键． 8．如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对于当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．    (1)求证； (2)若米，米，求车轮的半径． 【答案】(1)见解析 (2)米（或0.5米） 【分析】（1）根据相切可得，再根据是的直径，可得，结合即可证明； （2）根据题意证明即可求解． 【详解】（1）证明：连接，    是的切线， ， ， 是的直径， ， ， 又 ， ， ． （2）由（1）得，， ， ， ，即， ， ， ． 车轮的半径为米（或0.5米）． 【点睛】本题是圆与三角形的综合题，主要考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等，灵活运用所学知识是解题的关键． 9．如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论； （2）先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，则，求出得到，然后计算即可； （3）由圆周角定理得到，再根据菱形的性质得到，解直角三角形求出，由（1）知，进而推出，，进而求出，再根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴设， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵是的直径，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理、不规则图形的面积、菱形的性质和解直角三角形．掌握切线的性质，圆的基本性质，解直角三角形是解题的关键． 押题猜想二十六 几何综合探究题 1．综合与实践 【问题背景】在四边形中，点E是边上一点（不与重合），延长到点F，使． 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形，，连接，延长交于点G． ①求证：； ②当点G是的中点时，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，连接，延长交于点G，当点G是的中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，点H在的延长线上且满足，连接，当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）或或 【分析】（1）①根据正方形的性质利用即可得证； ②连接，根据全等三角形的性质得到，然后得到，然后根据勾股定理解题即可； （2）过G作交于点M，根据相似三角形的判定与性质得到，代入数值计算即可； （3）分和，两种情况利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）①证明∵ 四边形是正方形， ∴，, ∵， ∴； ②连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵点G是的中点， ∴， ∴， （2）过G作交于点M， ∵，， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得(负值已舍) ∴， （3）显然，所以分两种情况， 当时， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或； 当时， 过作于N， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得x=； 综上所述，的长或或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线，以及分类讨论思想是解答的关键． 2．综合探究 如图1，点是正方形的边上一点，连接，在的延长线上取一点，使，连接． (1)连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，在四边形中，，连接，求证：； (3)如图3，在四边形中，，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，证明，推出，结合，得到，即可证明； （2）如图，在的延长线上取一点，使，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，即可得出结论； （3）以为边向上作等边三角形，证明，推出，，结合已知求出，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，即； （3）解：结论：， 理由：以为边向上作等边三角形，连接， 则，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、四边形内角和定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形纸片中，为的中点．将该菱形纸片沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在的延长线上，试猜想与的位置关系，并加以证明． (1)数学思考：请解答老师提出的问题； (2)拓展再探：如图2，“兴趣小组”受到老师所提问题的启发，将菱形纸片沿直线折叠，点的对应点，连接并延长与交于点，他们认为四边形是平行四边形．“兴趣小组”得出的结论是否正确，请说明理由． (3)问题解决：如图3，“智慧小组”突发奇想，将菱形纸片沿直线折叠，使点的对应点与点重合，得到的折痕为．他们提出了一个新问题：若菱形纸片的边长为10，，求的长度．请你思考该问题，并直接写出结果． 【答案】(1)，见解析 (2)兴趣小组结论正确，见解析 (3) 【分析】（1）由折叠推出，等边对等角得到，，利用三角形的内角和定理，推出，即可得出结论； （2）连接，延长交于点，同法（1）得到，对称得到，推出，再根据，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，利用菱形的性质，得到，求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解： 证明：由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． （2）“兴趣小组”得到的结论是正确的． 理由如下： 连接，延长交于点， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是菱形，， ∴四边形是平行四边形； （3）解：过点作，交的延长线于点， ∵菱形纸片的边长为10， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， 则：， ∴， ∴， 设，则：， ∵折叠， ∴， 在中，， 即：，解得：； ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定，解直角三角形．熟练掌握菱形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 4．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长． 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）． 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 【答案】【思考】是，理由见解析；【发现】；【探究】BD＝2OF，理由见解析； 【分析】【思考】由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论； 【发现】连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣x，由勾股定理可得，解方程求出x，则AF可求出； 【探究】如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证． 【详解】解：【思考】四边形ABDE是平行四边形． 证明：如图，∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF， ∴AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； 【发现】如图1，连接BE交AD于点O， ∵四边形ABDE为矩形， ∴OA＝OD＝OB＝OE， 设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4）， ∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x， 在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2， ∴， 解得：x＝， ∴AF＝cm． 【探究】BD＝2OF， 证明：如图2，延长OF交AE于点H， ∵四边形ABDE为矩形， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA， ∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°， ∴∠ABD+∠BAE＝180°， ∴AE∥BD， ∴∠OHE＝∠ODB， ∵EF平分∠OEH， ∴∠OEF＝∠HEF， ∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF， ∴△EFO≌△EFH（ASA）， ∴EO＝EH，FO＝FH， ∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB， ∴△EOH≌△OBD（AAS）， ∴BD＝OH＝2OF． 【点睛】本题考查了图形的综合变换，涉及了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 5．在矩形中，，，分别在，上，相交于点． (1)若． ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证： ③在②的结论下，若，求的长； (2)如图3，若为的中点，，请直接用含的式子表示的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③； (2)． 【分析】（1）①由“”可证； ②过点作交于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，可得，即可得结论； ③由②的结论求得，由勾股定理求得，再利用等积法求解即可； （2）过点作于，连接，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：①四边形是矩形，，， ， 矩形 是正方形， ， ， ， ， ，且，， ； ②由（1）可知， ，， ， ∵， ， ， ， ； ③∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于，连接， 四边形是矩形， ∴， 为的中点， ， ，，， ， ， ， ∵，， ∴， ∵， ， ， 设，则， ， ， ， ， ． 6．问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，． (1)探究发现：分别取，的中点，，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长； (3)拓展探究：如图4，，是直线上一点，以为斜边在左侧作等腰，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，解直角三角形得出，结合，的中点分别为，，得出，为的中位线，从而可得，，求出，得到，证明出，从而可得，由相似三角形的性质计算即可得出结果； （2）由题意可得，解直角三角形得出，证明，由相似三角形的性质得出，，由勾股定理计算出的长，即可得出结果； （3）连接、，由题意可得，解直角三角形得出，由等腰直角三角形的性质可得，，证明得出，作于点，由垂线段最短可得，当点运动到点时，此时的长最短，由直角三角形的性质求出的长的最小值为，即可得出结果． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，的中点分别为，， ∴，为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵所在直线首次经过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接、， ， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 作于点， 由垂线段最短可得，当点运动到点时，此时的长最短， ∵， ∴的长的最小值为， ∴的长的最小值为． 【点睛】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；旋转前、后图形的大小、形状没有改变． 7．综合应用 【问题发现】 (1)如图，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：； 【类比探究】 (2)如图，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 (3)如图，在（）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接．若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（）利用正方形和余角性质可证，，，进而即可求证； （）同理（）可证，再利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义解答即可求解； （）由（）可得，得 ，由直角三角形的性质得，即得，得到，得，即得到，再分在线段上和线段的延长线上两种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴，， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 当在线段上时，， ∵， ∴， ∴， 解得或(不合题意，舍去)； 当在线段的延长线上时，如图， 则， ∵， ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)或； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．如图1，正方形的边长为6，E是正方形内一点，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点O，连接．    【初步感知】（1）求证：①；②； 【研究感悟】（2）如图2，在线段上截取，连接，当时，求线段的长； 【深度探索】（3）请直接写出线段的最大值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①由旋转的性质得，由正方形的性质得，易证，利用即可证明；②根据三角形全等的性质结合，易得，求出，即可证明结论； （2）证明，求得，，再利用勾股定理即可解答； （3）利用定弦定角可得在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，利用点到圆的距离即可解答． 【详解】解：（1）①由旋转的性质得，正方形中，， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ， 又， ， ； （2）解：由题意知，在中，，， ， ∴， 由旋转知，， ∵， ∴， 由（1）知， ， ， 设，则， ， ， ， ， ∴， 在中， ； （3） 在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，如图， ∵， ∴， 在正方形中，，，连接， 根据勾股定理可得， 当点F在射线上时（即C、F、M三点共线），取得最大值． 此时；    【点睛】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，点到圆的距离，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 9．综合与探究 【问题情境】 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点分别作的垂线，分别与所在直线交于点． （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图．2，将“正方形”改为“矩形”，其它条件不变．若，，求的值； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，当点为的三等分点时，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由“”可证； （2）证明，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案； （3）由（2）进行分类讨论，第一种是；第二种是，分别结合，由相似三角形的性质证出，由锐角三角函数的定义得出，求出的长， 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）当，即点在的靠点的三等分点时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴在中， ∴， ∵， ∴； 当，即点在的靠点的三等分点时，过点作于，于点，如图所示： ∴四边形是矩形，， 同理，，则， ∵， ∴设， 在中，， ∴， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 10．综合与探究：在正方形中，点E在边上，连接． (1)问题探究：如图①，若，，过点E作交于点F，求的长度． (2)问题解决：如图②，若，，点F是上一动点，连接并将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点F是线段的中点时，求线段的值？ (3)拓展延伸：如图③：若四边形是正方形，在直线的上方有一点P，连接，，，且，，求的最大值？ 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等， 熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）利用题中条件和正方形的性质证明，推出，代入数值求解即可； （2）连接，过点G作交延长线于点H，利用题中条件证明，推出，， 再证明，推出，解得，，最后利用勾股定理求线段的值； （3）过点A作，且，证明，推出， 再利用两点之间线段最短，可得，进而可求的最大值． 【详解】（1）四边形是正方形， ，，， ， ，， 又， ， ， ，即， 解得． （2）如图②，连接，过点G作交延长线于点H，则， 由题知，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，， 又，， ， 又， ， ， 当点F是线段的中点时，， 解得，，， 由勾股定理得，． （3）如图③，过点A作，且，则， 由勾股定理得，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ， 由于两点之间，线段最短，所以， 当B、M、P三点共线时，有最大值． 11．小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由折叠可知，再根据三角函数得到，，再根据折叠即可解答． （2）由矩形的性质得，由三角函数得到，再根据垂直平分线和中位线得，，再根据即可解答． （3）如图③，在矩形中，，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，由折叠设，则，得，解得；如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，设，由折叠得，得，解得即可解答． 【详解】解：（1）如图①，是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 在中，， ， ， 由折叠得，； （2）如图②，由（1）得， 在矩形中，， ， 在中，， 是的垂直平分线，， ， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ； （3）如图③，在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 由折叠设，则， 在中，，解得， ； 如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时， 在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 设，由折叠得， 在中，，解得， ； 综上得，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 押题猜想二十七 二次函数与几何压轴综合应用 1．探究与拓展 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是此函数图象在轴上方部分的动点，连接，．设点的横坐标为，的面积为，关于的函数图象如图2所示． (1)请直接写出点的坐标，和图2中的值； (2)当时，求点的坐标； (3)当点仅在函数图象上点至点之间的部分运动时，连接，交于点，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，， (2)点的坐标为或 (3)最大值为，的值为9 【分析】（1）根据点的坐标，代入二次函数解析式中，可求得，从而可得二次函数解析式，再求出点的坐标，然后求出点的坐标，再求出关于的函数解析式，从而可求得； （2）先根据，求出的值，再求出点的坐标； （3）先说明四边形为平行四边形，再求出直线的解析式，然后设点的坐标为，用表示出与，再根据，得出，求出的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数，点的坐标为， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，，解得：，， ∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴点的坐标为． 二次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， 设点的横坐标为，的面积为， ∴， 当时，， ∴； （2）当时，，解得：， 当点的横坐标为时， ，此时点的坐标为； 当点的横坐标为时， ， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）如图，连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点， ∴四边形为平行四边形， 设直线的解析式为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 记点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 此时的值为9． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由平行截线求相关线段的长或比值，的最值，求一次函数的解析式等知识点，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点恰好在直线上，求它的解析式； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度，点为抛物线上点之间（不含点）的一个动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，．当时，． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，学会数形结合的思想是解题的关键． （1）根据对称轴直线为求解即可． （2）先求出顶点坐标，再根据定点坐标在直线上，即可得出关于a的一元一次方程，解出a，即可得出抛物线解析式． （3）先求出点A和点B的坐标，结合二次函数图像求解即可． 【详解】（1）解：对称轴直线为 （2）解：由（1）可知，对称轴为直线， 把代入，得， 则顶点坐标为， ∵抛物线的顶点恰好在直线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：． （3）解：令，则， 则， ∵点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度， ∴， 当时，则，当时，， ∴或 ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，则． 当时，则． 3．“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数解析式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ 【答案】(1)； (2)两条水柱的相遇点距离地面米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数平移变换等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移变换得到新抛物线解析，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：， 又两辆车喷水口的水平距离为60米，即， 将代入解析式，得：， 解得：， ； （2）解：两辆车同时后退米，即抛物线向右平移后的抛物线解析式为： ， 当时，， ∴两条水柱的相遇点距离地面米． 4．对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 【答案】(1)①，见解析；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值． （1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是； （2）由，得到，因为，所以，解得． 【详解】（1）解：①当时，，不合题意，舍去； 当时，， ∴，符合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，， ∴，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点， ∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为， ∵当时，该函数的最小值是， ∴； （2）解：当时代入：， 当时代入：， ∴， ∴， ∵， ∴即． 5．【项目背景】广西“三月三”背篓绣球是特色民俗体育项目，抛绣球者需让绣球沿弧线落入同伴背篓．某科研团队在绣球上植入微型传感器，借助人工智能视觉追踪算法，实时生成绣球运动轨迹图象，辅助某校AI社团研究抛绣球最大高度与接球者移动距离的关系． 【项目实施】社团的小华负责抛球，小李负责接球．小华第一次抛出绣球，AI系统捕捉到绣球运动轨迹为抛物线．经实地测量，绣球抛出点与小李接球的最佳落点离地面高度均为1.5米，且A、B两点水平距离米． 【项目分析】如图，社团以点为坐标原点，A，B点所在直线为轴建立平面直角坐标系． 【深度研究】小华在同一抛出点处进行第二次抛绣球时，只改变抛射角度，此时小李需从原落点前后水平移动到新的最佳落点接球（前后抛物线均在同一平面内）．已知新抛物线的表达式为．设小李移动的距离为． (1)直接写出点的坐标； (2)若该抛物线解析式为，求该抛物线的最高点到地面的距离； (3)当米时，求小李移动的距离为多少米？ (4)请直接写出与移动的距离之间的数量关系． 【答案】(1) (2)米 (3)小李移动的距离为米； (4)点在点右侧时，，点在点左侧时，． 【分析】（1）根据点为坐标原点，A，B点所在直线为轴，米，即可解答； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可解答； （3）先求出新抛物线的表达式为，令，求解方程即可解答； （4）将代入得，求出，根据抛物线的性质得到，进而求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵点为坐标原点，A，B点所在直线为轴，米， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 则（米） ∴该抛物线的最高点到地面的距离为米； （3）解：当米时，新抛物线的表达式为， 将代入得， 解得或（舍去）， ∴新抛物线的表达式为， 令，即， 解得或（舍去）， ∴（米）， 答：小李移动的距离为米； （4）解：将代入得，得，即， ∴， ∵新抛物线的图象关于直线对称，且， ∴， ∴， ∴， 当时，则，即点在点右侧，此时， 当时，则，即点在点左侧，此时， 综上，点在点右侧时，，点在点左侧时，． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点C，P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过动点作垂直于轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，请直接写出线段的最小值； (4)是平面直角坐标系中的两点，当抛物线与线段只有一个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入解析式即可求解； （2）分点A为直角顶点和点C为直角顶点两种情况讨论，即可得； （3）据垂线段最短，可得当时，最短，即最短，根据等积法求出即可得出答案； （4）分别把，分别代入抛物线的解析式求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得： ， 则抛物线的解析式是； （2）解：存在． 把代入得：， ∴点C的坐标为； ①当以C为直角顶点时，过点C作，交抛物线于点，过点作y轴的垂线，垂足是M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：（舍去），， ∴， 此时， ∴的坐标是； ②当点A为直角顶点时，过A作交抛物线于点，过点作y轴的垂线，垂足是N，交y轴于点F，如图所示： 则轴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， 则， 解得：，（舍去）， ∴， 此时， ∴的坐标是． 综上所述：P的坐标是或； （3）解：连接OD，如图， 由题意可知，四边形是矩形，则， 根据垂线段最短可得：当时，最短，即最短， 由（1）可知，在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为； （4）解：根据解析（1）可得：， ∴抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为：直线， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 解得：， ∴当或时，抛物线与线段只有一个公共点． 7．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点与轴平行的直线交抛物线于、两点（点在点的左侧），当时，求的值； (3)设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，当取最大值时，求抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形的面积． 【答案】(1) (2)或77 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）根据对称性可得，分类两种情况讨论，点在点右侧，点在点左侧，再根据列方程组求出，代入二次函数解析式即可得解． （3）当一条直线恰好经过抛物线的顶点，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间，最大，求出：与抛物线的交点，即可求出m，n，结合图象可知，抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形为三角形，三角形的底边长为，高为直线、之间的距离，即可得解． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：； 抛物线的解析式． （2）解：由（1）知：， 对称轴为直线， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，且，的纵坐标均为， ， 当点在点右侧时， ， ， ， 把代入得：， ； 当点在点左侧时， ， ， ， 把代入得：， ； 综上所述，当时，或77． （3）解：， 抛物线的顶点坐标， 当一条直线恰好经过抛物线的顶点，则这条直线为：， 直线，之间的距离为16， 另一条直线的解析式为：，如图， 此时，当抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间时，最大， 当时，， 解得：，， ，， 的最大值为：． 此时，抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形为等腰三角形，其面积为：． 8．如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大 (3)或 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线下方抛物线上的动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 【点睛】第三小问需要利用分类讨论的思想，优先证明，可将分类情况固定为两种，大大简化题目难度． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象只有1个交点时的取值范围． 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为； (3)①求的取值范围是， ②只有个交点时的取值范围是：或时． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解． （1）利用待定系数法求解； （2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解． （3）①由求出取值范围，②通过数形结合求解． 【详解】（1）解：将点 代入，得： 解得： ． （2）解：， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，取最小值为 ∴当时，取最大值：． （3）解：① 当时，，的长度随的增大而减小， 当时，，的长度随增大而增大， 满足题意， 解得：； 解得：，当时，点P在最低点，与图象有交点， 如图， 增大过程中，时，点与点在对称轴右侧，与图象只有个交点， 直线关于抛物线对称轴直线，对称后直线为 时，与图象有个交点， 当时，与图象有个交点， 综上所述，或时，与图象交点个数为个，时， 与图象有个交点， ∴只有个交点时的取值范围是：或时． 10．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧）． (1)若点的坐标为，求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设为抛物线上一点，若，则，求的值； (3)已知，为平面直角坐标系内两点，连接．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)100 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数最值问题、二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）将代入抛物线解析式，求解即可确定该函数解析式，并求解转化为顶点式，即可确定顶点的坐标； （2）首先确定该抛物线对称轴为，且图像开口向上，若，则当时，函数值取得最小值，当时，函数值取得最大值，然后求解即可； （3）分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上，且在对称轴上时，抛物线与线段只有一个公共点；当抛物线经过点时，由抛物线的对称性可知，若抛物线与线段只有一个公共点，据此分析计算即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式，得， ， 抛物线的解析式为， ， 顶点的坐标为． （2）由，可得该抛物线对称轴为，且图像开口向上， 在时，由抛物线的性质得，当时，函数值取得最小值， ， 当时，函数值取得最大值，， ． （3）抛物线的对称轴为， 如下图2，当抛物线的顶点在线段上，且在对称轴上时， 抛物线与线段只有一个公共点． 此时抛物线的顶点坐标是， ， ． 当抛物线经过点时，， ． 如下图3， 当抛物线经过点时，， ． 由抛物线的对称性可知，若抛物线与线段只有一个公共点， 则抛物线不能经过点，但能经过点，此时， 综上所述，的取值范围是：或． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线上一点，且在第一象限内， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①求出点坐标，可得的长，即得的面积，设，表示出的面积，再根据列出方程解答即可求解；②过点作于点，使得，过点作轴交于点，可得是等腰直角三角形，即得，可得，当取最大值时，线段取最大值，利用待定系数法求出直线的函数解析，进而求出，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分、和三种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①当时，， 解得，， ∴， ∵、， ∴，， ∴， 设， ∵点在第一象限内， ∴，， ∵， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴； ②如图，过点作于点，使得，过点作轴交于点，则，，， ∵，， ∴， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取最大值时，线段取最大值， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时，， ∴当线段最大时，点的坐标为，的最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，在范围内，随的增大而增大， ∴取最小值，取最大值， 即，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； 当，，即时，在范围内，函数的最大值为，即， ∵， ∴， 把代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴此种情况不合题意； 当，即时，在范围内，随的增大而减小， ∴取最大值，取最小值， 即，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 12．近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1) (2)这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方 (3)钢架长度的最大值是米 【分析】本题考查的是二次函数的应用；二次函数的性质； （1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标为，即可得到答案； （2）将代入中，可得，再进一步求解即可； （3）先直线的函数解析式为．结合抛物线为，设点的坐标为．可得点的坐标为，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得，解得． 抛物线的函数解析式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得：（舍去），． ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 直线的函数解析式为． 抛物线的一般式为， 且是抛物线上的点， 设点的坐标为． ∵轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为， ． 当时，取最大值，最大值为． 钢架长度的最大值是米． 13．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．   (1)【基础训练】 请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　． (2)【技能训练】 如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； (3)【能力提升】 如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； (4)【拓展升华】 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点． 如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值． 【答案】(1)（0，），， (2)，4）或（，4 ） (3) (4)或 【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可； （2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可； （3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可； （4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF， 先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积． 【详解】（1）解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），， 故答案为：（0，），， （2）解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为， ∵点P到准线l的距离为6， ∴点P的纵坐标为4， ∴当时，， 解得， ∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）； （3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E， 由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣， ∴，， ∴△FDB∽△FHC， ∴， ∵BC=2BF， ∴CF=3BF， ∴， ∴， ∴， ∴点B的纵坐标为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴△AEF∽△BDF， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EF=2， ∴， ∴点A的坐标为（，）， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （4）解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF， ∵在Rt△MNH中，， ∴∠MHN=45°， ∴△MNH是等腰直角三角形， ∴NH=MN， 设点M的坐标为（m，）， ∴， ∴， ∴HN=2， ∵点E是靠近点F的黄金分割点， ∴， ∴； 同理当E时靠近H的黄金分割点点，， ∴， ∴， 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键． 押题猜想二十八 几何动态综合应用 1.如图，在中，，，点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．当点不与重合时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为（秒）． (1)求线段的长（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)设与重叠部分图形的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后根据旋转的性质即可求解； （）先画出图形，然后证明出是等腰直角三角形，得到，，然后代入求解即可； （）由（）可知与重叠部分的图形有两种情况，分别画出相应图形，逐个求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴； （2）解：如图，当点落在边上时， 由（）得，， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：由（）可知，当点落在边上时，， ∴当时，如图，与重叠部分图形的面积就是的面积， ∵，， ∴； 当点与点重合时，， 解得， ∴当时，如图，与重叠部分图形的面积就是四边形的面积， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，二次函数与几何图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 2．如图1，已知是的直径，弦于点，，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)求的半径． (3)如图2，连结，设 ①求关于的函数表达式： ②点关于的对称点落在上时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 (3)①；② 【分析】（1）连接，根据垂径定理及圆周角定理得出，，，即可证明； （2）连接，设的半径为r，根据题意得出，然后利用勾股定理求解即可； （3）①连接，过点P作，根据圆周角定理及平行线的性质得出，再由勾股定理及正切函数确定，设，根据平行线分线段成比例即可得出结果； ②连接，，作点G关于的对称点为点，连接延长交于点Q，与交于点M，根据轴对称的性质及圆周角定理得出点与点P重合，再由三角形等面积法得出，利用勾股定理及正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图所示： 设的半径为r， ∵弦于点E，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径为5； （3）解：①连接，过点P作，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， 设， ∵， ∴， ∵， ∴； ②连接，，作点G关于的对称点为点，连接并延长交于点Q，与交于点M，如图所示： ∵点G关于的对称点落在上， ∴，， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点与点P重合， ∴，， 由①得， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由（1）得， ∴，即． 【点睛】本题考查圆与三角形综合问题，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 3．如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)直接写出的长（用含的代数式表示）． (2)当落在上时，求的值． (3)当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意表示出，由勾股定理求解； （2）当落在上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （3）根据题意分三种情况：当时，当时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 在等腰直角三角形中中 ． （2）解：当落在上时， 四边形是正方形，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动， 和、是等腰直角三角形. ， ． 为中点，， ， ， ， ． （3）解：由（2）可知，当时，恰好落在上， 因此当时，正方形与四边形没有重合部分， 当时，重合部分的图形才拥有面积，且此面积在逐渐变化， 由于为等腰直角三角形，，且为中位线 因此的高为，到的距离为 设与的交点为M，与的交点为N， 重合部分的形状经历了以下几个阶段的变化： 第一阶段，重合部分为四边形，是一个矩形 ∴， 又为等腰直角三角形， 则，， 重合部分的面积， 第一阶段直到落在上时结束，此时为等腰直角三角形 ，， ∴， 解得 第二阶段，从落在上开始，设与的交点为S，与的交点为T，重合部分为矩形， ∴ ∴重合部分的面积为， 第二阶段，直到落在上时结束，此时，，即， 解得； 第三阶段，从落在上开始，此时重合部分为矩形，此时为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴重合部分的面积为， 第三阶段，直到运动结束为止，此时， 综上所述，y与x之间的函数关系如下： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． 4．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； （2）说明，可得答案； （3）先求出当点M在上时，，当矩形与重叠部分图形为四边形时，或，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中，； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意，得，， ∴． 5．如图，已知平行四边形，，，，延长到，使，连接．点从出发，沿方向匀速运动，速度为2单位长度，同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．连接、，设运动时间为． 解答下列问题： (1)当是直角三角形时，求的值； (2)连接、，设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)线段与相交于，在运动的过程中是否存在某一时刻，使得．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）解直角三角形得到，由平行四边形的性质得到，则，根据题意可得，则，再分两种情况：和，讨论求解即可； （2）过点A作于点F，交的延长线于点H，过点Q作于点G，求出，由等面积法求出；解直角三角形得到；证明，根据，列式求解即可； （3）过点P作于点T，可求出；解直角三角形可得，，则，再解直角三角形得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由题意得，，则， 当时，则， ∴， 解得（已检验）； 当时，则， ∴， 解得（已检验）； 综上所述，t的值为或； （2）解：如图所示，过点A作于点F，交的延长线于点H，过点Q作于点G， 由（1）得，则，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴ ； （3）解：如图所示，过点P作于点T， 当时，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由（1）得，，， 由（2）得， 在中，， ， ∴， 在中，， ∴， 解得． 6．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）． (1)AP的长为______cm（用含x的代数式表示）． (2)当点D落在边BC上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)2x (2)x＝ (3)当0＜x≤时，y＝3x2；当＜x≤1时，y＝x2+18x﹣6；当1＜x＜2时，y＝（2﹣x）2 【分析】（1）根据动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，可得AP的长为2xcm； （2）当点D落在BC上时，如图1，BP=AB-AP=4-2x，根据△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，证明△APQ≌△BDP，进而可得x的值； （3）根据题意分三个部分进行画图说明：①如图2，当0＜x≤时，②如图3，当点Q运动到与点C重合时，当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，设PD与BC相交于点G，分别表示出y关于x的函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动， ∴AP的长为2xcm； 故答案为：2x； （2）解：当点D落在BC上时，如图1， BP=AB-AP=4-2x， ∵PQ⊥AB， ∴∠QPA=90°， ∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠DPQ=60°，PQ=PD， ∴∠BPD=30°， ∴∠PDB=90°， ∴PD⊥BC， ∴△APQ≌△BDP（AAS）， ∴BD=AP=2x， ∵BP=2BD， ∴4-2x=4x， 解得x=； （3）解：①如图2，当0＜x≤时， ∵在Rt△APQ中，AP=2x，∠A=60°， ∴PQ=AP•tan60°=2x， ∵△PQD等边三角形， ∴S△PQD=×2x•3x=3x2cm2， 所以y=3x2； ②如图3，当点Q与点C重合时， 此时CP⊥AB， 所以AP=AB，即2x=2， 解得x=1， 所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H， ∵AP=2x， ∴BP=4-2x，AQ=2AP=4x， ∴BG=BP=2-x， ∴PG=BG=（2-x）， ∴S△PBG=×BG•PG=（2-x）2， ∵AQ=2AP=4x， ∴CQ=AC-AQ=4-4x， ∴QH=CQ=（4-4x）， ∴S△QCH=×CQ•QH=（4-4x）2， ∵S△ABC=×4×2=4， ∴S四边形PGHQ=S△ABC-S△PBG-S△QCH-S△APQ =4-（2-x）2-（4-4x）2-×2x×2x =-x2+18x-6， 所以y=-x2+18x-6； ③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上， 设PD与BC相交于点G， 此时PG=BP•sin60°=（4-2x）×=（2-x）， ∵PB=4-2x， ∴BQ=2BP=2（4-2x）=4（2-x）， ∴BG=BP=2-x， ∴QG=BQ-BG=3（2-x）， ∴重叠部分的面积为： S△PQG=×PG•QG=×（2-x）•3（2-x）=（2-x）2． 所以y=（2-x）2． 综上所述：y关于x的函数解析式为： 当0＜x≤时，y=3x2； 当＜x≤1时，y=-x2+18x-6； 当1＜x＜2时，y=（2-x）2． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，列函数关系式，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 押题猜想二十九 函数与几何的新定义问题 1．【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．已知中，，点，，，分别在的边，，，上． 【操作判断】（1）如图1，若点，分别是，边的中点，分别沿和折叠，使点与点重合，点与点重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）； ②若四边形是矩形，求的度数． 【迁移思考】（2）如图2，沿折叠，点恰好与点重合，求证：四边形是菱形． 【拓展探索】（3）如图3，若点为边的中点，沿折叠，点的对应点为点，延长与射线交于点．若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①是；②；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，，根据折叠的性质可得，进而根据三角形内角和定理，得出，再证明，即可判断四边形是平行四边形； ②根据矩形的性质可得，根据折叠可得，进而求得； （2）根据折叠得出，根据平行线的性质和等角对等边得出，即可得证； （3）连接，分两种情况，点在线段上以及线段的延长线上，根据折叠的性质，等边对等角证明，结合图形，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，， 根据折叠可得， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②∵四边形是矩形， ∴ 根据折叠可得 ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，连接，如图： 同理可得 ∴， 综上所述，或． 2．【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”． (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)1或 【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断； （2）根据平行四边形的性质得到，，，，则，，得到为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出和的长，进而推出是等腰三角形，即可证明； （3）由翻折可知，，，，则是等腰三角形，根据是的“奇妙分割线”，可知为直角三角形，再分3种情况讨论求解线段的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为直角三角形， ∵， ∴为等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴，为直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （3）解：由翻折可知，，，， ∴是等腰三角形， 又∵是的“奇妙分割线”， ∴为直角三角形； ①当时，， ∵ ∴， ∴， 如图，过点A作交的延长线于F，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时， 如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由①可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴； ③当时，不存在满足题意的图形，舍去； 综上，的长为1或． 3．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”． (1)如图1，中，，求证：是倍角三角形； (2)若是倍角三角形，，求面积； (3)如图2，的外角平分线与的延长线相交于点D，延长到点E，使得，若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，是倍角三角形，证明见详解 【分析】本题主要考查等边对等角，三角形内角和定理及三角形外角的性质，勾股定理等知识，理解定理，掌握三角形内角和定理及外角的性质，勾股定理是关键． （1）根据等边对等角得到，结合倍角三角形的定义即可求证； （2）根据题意，结合三角形的内角和定理，勾股定理等知识，分类讨论即可求解； （3）根据倍角三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∴， ∴是倍角三角形； （2）解：∵是倍角三角形，， ∴①当时，即， ∴，不符合题意，舍去； ②当时， ∵， ∴， 解得，，不符合题意，舍去； ③当时，， ∴，符合题意， 如图所示，过点作于点，在上取， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：，是倍角三角形，证明如下， ∵是的角平分线， ∴，且， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 如图所示，，， 设，则， ∴， ∴是倍角三角形； 设， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴是倍角三角形； 综上所述，，是倍角三角形． 4．定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的2倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，，求的长； (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”， ．将沿着边翻折得到，连接，若，且有一条边长为5，求的长． 【答案】(1)③ (2)的长为 (3)的长为或 【分析】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠-垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高等知识的综合，理解“高倍底”三角形，掌握等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，数形结合分析思想是解题的关键． （1）根据“高倍底”三角形的定义，根据等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用等知识分别验证各选项是否符合即可； （2）如图所示，过点作延长线于点，则，可证是等腰直角三角形，解得，，由是“高倍底”三角形，是“基底”，得到，即可求解； （3）根据题意作图，分类讨论：第一种情况，当时；第二种情况，当时；运用勾股定理，等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，等边三角形，过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等边三角形不是“高倍底”三角形； 如图所示，等腰直角三角形，，过点作于点，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等腰直角三角形不是“高倍底”三角形； 三边长分别是的三角形， ∵， ∴该三角形是直角三角形， 如图所示，， ∴是边的高，且， ∴三边长分别是的三角形符合“高倍底”三角形的定义，是“高倍底”三角形； 故选：③； （2）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，即， 解得，， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”， ∴， ∴． 答：的长为 （3）如图所示， ∵将沿着边翻折得到，连接，延长交于点，过点作延长线于点， ∴垂直平分， ∴， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”，， ∴， ∴， 第一种情况，当时， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，当时，则， ∴， 在中，， 同理，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 5．问题背景 如果一条抛物线（）与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，称为“抛物线三角形系数”．某数学兴趣小组围绕该定义，结合抛物线的性质进行了相关探究． 探究条件 已知抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且“抛物线三角形系数”为． 初步探究 (1)求的取值范围． (2)若抛物线的顶点与点，组成的“抛物线三角形”为等腰直角三角形，求的值． 深入探究 (3)在（2）条件下，现将抛物线向右平移，平移后得到的抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意可知，抛物线的解析式为，令，可得其与轴的两个交点横坐标为和，根据题设“交点从左到右依次为，”，可知，解此不等式即可求出的取值范围； （2）抛物线与轴的交点坐标为，，顶点坐标为，得到，根据“抛物线三角形”为等腰直角三角形推出，即可求解； （3）由（2）知抛物线的解析式为，，，设将抛物线向右平移个单位长度，得到，，抛物线的解析式为，结合列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的“抛物线三角形系数”为， 抛物线的解析式为， 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为，， ， 即； （2）由（1）知抛物线的解析式为，开口向上， 抛物线与轴的交点坐标为，， 顶点坐标为， ，在的左边， ， ， “抛物线三角形”为等腰直角三角形， ， 抛物线开口向上， ， ， 解得或（舍去）， 的值为； （3）由（2）知抛物线的解析式为，，， 设将抛物线向右平移个单位长度， ，，抛物线的解析式为， ，， ， ， 或， 抛物线的解析式为或． 【点睛】理解题意，结合抛物线的图象与性质，列方程求解是解题的关键． 6．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线    (1)如图1，是等边三角形，请你在图1中作出的一条“等分积周线”； (2)如图2，四边形中，垂直平分，垂足为点，交于点，已知，．求证：直线为四边形的“等分积周线”； (3)如图3．为等腰三角形，且，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质作出的中垂线即可求解． （2）根据勾股定理得：，求得，，进而得出，，进而可求证结论． （3）在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，利用全等三角形的判定及性质可推出结论，，则可说明是的“等分积周线”． 【详解】（1）解：由等边三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线，则，再由可得，，则直线即为所求： （2）证明：如图所示，连接、，设，   垂直平分， ，， ∴， ，，，， 在和中，根据勾股定理可得出：， ∴， 解得：， ，， ，， ∵，， ， 又∵， ∴直线为四边形的“等分积周线”． （3）解：如图3，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，则是的“等分积周线”，    理由：由作图可得：， 在上取一点G，使得，则有， ， ， 在和中， ， ， ， 又∵， ， ，， 是的“等分积周线”． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、应用与设计作图、全等三角形的判定及性质、勾股定理，根据题意正确分割出“等分积周线”是解题的关键． 7．对于二次函数（a，b，c是常数，且），给出如下新定义：若，则该函数是“精致函数”．例如：“精致函数”，这里，其中，即． 根据该定义，完成下列各题． (1)填空：二次函数______“精致函数”；（选填“是”或“不是”） (2)求证：“精致函数”（a，b，c是常数，且）的图象与直线总有两个不相同的交点； (3)当时，若“精致函数”的最大值与最小值的和为2n，求n的值． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的图象和性质，理解新定义和数形结合是解题的关键． （1）分别求出，，即可求解； （2）由题意可得，即可求解； （3）先求出该函数图象的对称轴为直线，顶点为．然后分3种情况讨论． 【详解】（1）∵， ∴， ∴，， ∴， ∴二次函数是“精致函数”． 故答案为：是； （2）∵是“精致函数”， ∴ 当时，， ． ∵， ∴， ∴“精致函数”的图象与直线总有两个不相同的交点． （3）∵是“精致函数”， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的对称轴为直线，顶点为． 分以下3种情况讨论： ①当，即时， ∴当时，； 当时，． ∵函数最大值与最小值的和为2n， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）． ②当，即时， ∴当时，；当时，． ∵函数的最大值与最小值的和为2n， ∴， 解得（舍去）． ③当时， ∴当时，； 当时，． ∵函数的最大值与最小值的和为2n， ∴， 整理，得， 解得（舍去），（舍去）． 综上所述，n的值为． 8．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为_________； ②函数的“最优纵横值”为_________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 【答案】(1)①8；② (2)4 (3)当或时，二次函数的最优纵横值为7 【分析】（1）①根据“纵横值”的概念解答即可； ②根据“纵横值”的概念表示出函数图象上所有点的“纵横值”，再结合反比例函数的性质即可求解； （2）根据二次函数的顶点在直线上，解出，再结合“纵横值”的概念表示出函数图象上所有点的“纵横值”，根据最优纵横值为5，即可解答； （3）根据的顶点在直线上，得出，表示出图象上所有点的“纵横值”，确定出对称轴为直线．分为当时，即时，此时当时，值为7；当时，即时，此时当时，值为7；当时，即，分别解答即可． 【详解】（1）①点的“纵横值”为； ②函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为， 所以函数的“最优纵横值”为． （2）∵二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ， ， ∵最优纵横值为5， ， ； （3）∵的顶点为， ∵顶点在直线上， ∴， ， 令， 对称轴为直线． 当时，即时， 此时当时，值为7， ， ∴(不合题意，舍去)． 当时，即时， 此时当时，值为7， ， ∴(不合题意，舍去)． 当时，即， ， 此时最优纵横值不等于7，不合题意． ∴当或时，二次函数的最优纵横值为7． 【点睛】该题是自定义类函数综合题，主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． 9．【给出定义】 若一个平面图形的所有点都位于某圆的内部或圆周上，则称该圆为该平面图形的覆盖圆．在所有覆盖圆中，直径最小的一个圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】 如图，小莹同学发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得出“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 （1）你同意小莹的观点吗？若不同意，请你写出一条自己的发现； （2）在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______； （3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且． ①求的最小覆盖圆的半径； ②求点C的坐标． 【综合应用】 （4）如图5，在四边形中，，，，且，，．若点E是四边形最小覆盖圆圆周上一点，则DE的最小值为．（注：直接写出答案即可） 【答案】（1）不同意小莹的观点，发现一：锐角三角形、直角三角形的外接圆是覆盖三角形的最小覆盖圆，钝角三角形的外接圆不是覆盖三角形的最小覆盖圆；发现二：钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆； （2）； （3）①的最小覆盖圆的半径为；②点C的坐标是； （4） 【分析】（1）根据外接圆的性质，分别证明即可； （2）连接，交于点，由矩形的性质得到四边形是矩形，点、、、四点共圆，由勾股定理求出即可； （3）①取外接圆的圆心，连接，，根据圆周角定理和勾股定理求解； ②过点作轴，轴，则四边形是矩形，由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，即可得到点C的坐标； （4）四边形的最小覆盖圆是以为直径的圆，最小的点需在连线上，过点作于点，由勾股定理求解作差即可． 【详解】解：（1）不同意小莹的观点，在图1中设锐角外接圆圆心为点， 连接，，， 锐角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆， 如图，设直角外接圆圆心为点，连接， 则，且为外接圆的直径， 直角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆， 在图3中设钝角中， 作以最长边为直径的圆，则由下图可知，点在此圆内， 故钝角三角形的外接圆不是覆盖该三角形的最小覆盖圆，以最长边为直径的圆是钝角三角形的最小覆盖圆； 综上所述，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆，若钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆，故小莹的说法不正确． （2）如图所示，连接，交于点， 四边形是矩形， ，， 点、、、四点共圆， ， 该矩形的最小覆盖圆的直径为； （3）①取外接圆的圆心，连接，， ，， ， ， ， ， 的最小覆盖圆的半径是； ②过点作轴，轴， 则四边形是矩形， 由①知是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， （4）由（1）知，钝角三角形的最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆， ， 故四边形的最小覆盖圆是以为直径的圆，如图所示，即， 此时，点在圆内，要使最小，点需在连线上，即延长线与圆周的交点， 由于，，， 根据勾股定理求得， 则， 过点作于点， ，， ， ， 则， 【点睛】此题考查了外接圆的性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质，点与圆的位置关系，解题的关键在于理解题中新定义． 2 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学冲刺押题必刷题 （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 题型一 选择题..............................................................................................................................1-20 押题猜想一 有理数的相关概念...........................................................................................................................2 押题猜想二 图形的变化（轴对称，中心对称等)概念........................................................................................2. 押题猜想三 科学计数法 3 押题猜想四 三视图 3 押题猜想五 概率公式的计算...............................................................................................................................5 押题猜想六 求角度（利用平行线的性质，角平分线等） 5 押题猜想七 平面直角坐标系的基础知识 7 押题猜想八 函数的基础知识（列函数解析式，函数图像等） 7 押题猜想九 函数的性质（一此函数，反比例函数和二次函数的性质) 9 押题猜想十 方程与不等式的基本应用（代入求值等） 13 押题猜想十一 古代问题（方程的实际应用等）..............................................................................................15 押题猜想十二 四边形（判定﹑性质﹑勾股定理等)的综合应用....................................................................16 押题猜想十三 反比例函数中k的几何意义综合应用......................................................................................20 题型二 填空题..............................................................................................................................20-28 押题猜想十四 因式分解.....................................................................................................................................20 押题猜想十五 数据的分析（平均数，加权平均数，中位数，众数和方差等)运算....................................21 押题猜想十六 与圆的有关运算（圆心角，圆周角，垂径定理及弧长等)...................................................22 押题猜想十七 二次函数（性质﹑图像﹑最值等）的综合应用..................................................................23 押题猜想十八 反比例函数（系数k的几何意义）的综合应用....................................... ............................25 押题猜想十九 特殊平行四边形综合.................................................................................................................28 题型三 解答题..........................................................................................................................28-66 押题猜想二十 实数的简单计算和方程及不等式的计算 28 押题猜想二十一 统计与概率（数据的分析，概率等）综合应用 29 押题猜想二十二 尺规作图综合应用 32 押题猜想二十三 方程与函数的的实际综合应用 34 押题猜想二十四 锐角三角函数和勾股定理的的综合应用 39 押题猜想二十五 圆与几何综合应用 41 押题猜想二十六 几何综合探究题 45 押题猜想二十七 二次函数与几何压轴综合 51 押题猜想二十八 函数与动态几何综合 59 押题猜想二十九 函数与几何的新定义问题 62 题型一 选择题 押题猜想一 有理数的相关概念 1．如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为（   ） A．层 B．层 C．层 D．层 2．2026的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 3．的相反数是（   ） A． B． C． D． 4．下列实数中，比3大的数是（    ） A．5 B．1 C．0 D．－2 5．若月球表面白天平均温度零上记作，则夜间平均温度零下记作（   ） A． B． C． D． 押题猜想二 图形的变化（轴对称，中心对称等)概念 1．下列交通指示标志的图案是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 2．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 押题猜想三 科学计数法 1．2026年桂林市丙午马年春节文旅市场马力全开，实现旅游接待人次和旅游总收入广西双第一．其中，接待游客总人数约12540000人次，将数据12540000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．南宁吴圩国际机场第二跑道正式投运，跑道长度为3800米，有力提升区域航空保障能力，将3800米用科学记数法表示正确的是（  ） A． B． C． D． 3．在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度，数据用科学记数法表示为________． 押题猜想四 三视图 1．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．榫（）卯，是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是一种在两个木构件上采用凹凸部位（即榫头与卯眼）相结合的连接方式，体现了中国传统文化和工程智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（   ） A．B． C． D． 3．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家庭等都是必备的粮食度量用具．如图2，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 4．下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆锥 5．下图是由3个相同的小立方体组成的几何体，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 押题猜想五 概率公式的计算 1．【传统文化】“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国第五大发明”．若要从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是_____． 2．为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 3．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的概率为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 押题猜想六 求角度（利用平行线的性质，角平分线等） 1．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是一块直角三角板，其中，．直尺的一边经过顶点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线与直线、都相交．若，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线与被直线所截，截点为点E和F，，现绕点E作顺时针旋转，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点是的平分线上一点，过点作 交于点．若，则________ 押题猜想七 平面直角坐标系的基础知识 1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点在y轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，将一片枫叶标本放置在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味性强，成为极其广泛的棋艺活动．如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“帅”位于点上，“相”位于点，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 押题猜想八 函数的基础知识（列函数解析式，函数图像等） 1．函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的周长为，则底边长与腰长的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 3．如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．30 B．60 C．120 D．156 4．小军、小刚两人沿同一直道从地到地，若在整个行程中，他们都是匀速直线运动，小军、小刚离地的距离与时间之间的函数关系如图所示，则小军的速度与小刚的速度的数量关系是_____． 5．王明从家步行到公交车站台，然后等公交车去单位．下公交车后又步行了一段路程才到单位．图中的折线表示王明的行程s（米）与所花时间t（分）之间的函数关系．下列说法正确的是（    ） A．王明等公交车时间为5分钟 B．王明步行的速度是60米/分 C．王明全程的平均速度为290米/分 D．公交车的速度是500米/分 6．如图是物理课上测量长方体铜块的体积实验，借助外力将铜块从离液面一定高度匀速放入烧杯直至底部静置一段时间．下列哪幅图象可以近似的刻画出液面高度h与铜块被放入时间t的关系（   ） A．B．C． D． 押题猜想九 函数的性质（一此函数，反比例函数和二次函数的性质) 1．已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 3．正比例函数的图象经过（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 4．点和点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征． 甲：函数图像经过点； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当时，y随x的增大而增大． 则这个函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A．B．C． D． 8．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 9．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 10．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 12．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为（    ） A． B． C． D． 13．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 14．下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．对称轴为 C．函数y的最小值为5 D．图象与x轴没有交点 15．抛物线与x轴只有一个公共点，则c的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 16．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D．或 17．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 18．如图，小红利用人工智能设计了一个小游戏：计算机屏幕上会随机地出现一些图形，过定点沿直线向图形射去，如果某时刻屏幕上出现的图形为矩形，其中，，，那么为了击中矩形，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 20．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 21．已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（　　） A． B．或 C．或 D．或 22．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析结论：①；②抛物线与x轴的另一个交点为；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．已知二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 1 5 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的对称轴是直线 B． C．关于的方程的根为和5 D．当时，的取值范围是 24．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 押题猜想十 方程与不等式的基本应用（代入求值等） 1．若，则下列不等式中正确的是（  ） A． B． C． D． 2．一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 4．随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进套，第二次购进套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，则（   ） A．6 B．3 C． D． 9．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（  ） A． B． C． D． 10．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 11．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 12．用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 13．清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为，宽为，中间画作的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 14．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 押题猜想十一 古代问题（方程的实际应用） 1．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 2．小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（   ） A．B．C．D． 3．我国古典数学文献《算法统宗》中有一个“听客分银”的问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多4两，九两分之少半斤”其大意为：隔着墙听见客人在分银子，按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两（这里半斤等于8两），设有客x人，银有y两，根据题意列方程组为（    ） A．B．C．D． 4．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 押题猜想十二 四边形的综合应用 1．如图，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则长为（    ） A． B． C． D． 2．我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 4．如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 5．如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 6．如图，在中，为上一点，连接，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，是六边形的外角，其中，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，用一条足够长的矩形纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平、连线，就可以得到如图所示的正五边形，其中的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接得到四边形．若，则四边形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 10．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在边长为6的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 13．如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（    ）    A． B． C． D． 14．如图，点E是菱形ABCD边上一动点，它沿A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，下列图象中能反映y与x函数关系的是（ ）    A．   B．   C．   D．   15．如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 押题猜想十三 反比例函数中K系数及几何意义 1．如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 填空题 押题猜想十四 因式分解 1．因式分解：_____． 2．分解因式：___________． 3．分解因式：________． 4．分解因式：_________． 5．已知实数a，b满足，则______． 押题猜想十五 数据的分析（平均数，中位数，众数和方差等)运算 1．为了调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，比较适合的调查方式是________调查（填“全面”或“抽样”）． 2．某校开展“保护视力，预防近视”活动，为了解八年级600名学生的视力状况，从中随机抽取了80名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是______． 3．某中学为了解本校学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了该校部分学生，了解他们最喜爱的电视节目（必选且只选一类），将收集的数据整理，绘制成如下条形统计图： 若该校共有学生1000人，则最喜爱新闻节目的学生大约有______人． 4．某校组织以“保护洱海，爱我家园”为主题的手抄报作品征集活动，先从中随机抽取了若干作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么，此次一共抽取了________份作品． 5．某校开展以“技高一筹，算出风采”为主题的竞赛活动．在这次活动中，7名参赛学生的成绩如下（满分100分）：78，92，76，90，85，87，82．这组数据的中位数是________． 6．科技馆拟招聘一名优秀讲解员，小婷的笔试、试讲、答辩成绩分别为100分、90分、90分，若按笔试占，试讲占，答辩占的比例确定最终成绩，则小婷的最终成绩为______分． 押题猜想十六 与圆的有关运算（圆心角，圆周角，垂径定理及弧长等) 1．把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 2．如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，连接．若，则_____度． 3．如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为____． 4．如图，是的直径，，则的度数为________度． 5．如图，是的直径，平分交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，则___________． 6．如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则___________． 7．如图，的直径为，弦垂直平分半径，那么弦的长为______． 8．如图，在一圆柱铁桶内底面的点处有一飞虫，在其上边沿的点处有一面包残渣，已知是点正下方的桶内底面上一点，已知劣弧的长为，铁桶的底面直径为，桶高为60cm，则该飞虫从点到达的最短路径是____________cm．    押题猜想十七 二次函数（性质﹑图像﹑最值等）的综合应用 1．对于二次函数，当时，y的取值范围为___________． 2．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 3．已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有______． 4．如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是________． 5．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 6．如图，已知函数与线段有交点，其中，则a的取值范围是_________． 押题猜想十八 反比例函数（系数k的几何意义）的综合应用 1．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________．    3．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则的面积为__________． 押题猜想十九 特殊平行四边形的综合应用 1．如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为___________；的最大值为___________．    2．如图，正方形的边长为6，P为边上的动点，连接，作交边于点Q．当点P从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为______． 3．如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为__________． 4．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是_________． 5．如图，在矩形纸片中，，，为的中点，为边上一动点，连接．过点作，交线段于点．在点的移动过程中，当为等腰三角形时，的长是________；当经过点时，的长是________． 6．如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 7．如图，点是正方形的边上一点，过点作，交射线于点，连接交于点，则_______，若，则_______． 8．如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点F．则的长为__________． 9．边长为2的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是______． 10．如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为________． 11．如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为________． 题型三 解答题 押题猜想二十 实数的简单计算和方程及不等式的计算 1．（1）计算：； （2）解方程：． 2．（1）计算： （2）解不等式组： 3．（1）计算：； （2）化简：． 4．（1）计算： （2）解不等式： 5．（1）计算：． （2）解方程： 6． （1）计算：； （2）解方程组：． 押题猜想二十一 统计与概率（数据的分析，概率等）综合应用 1．为弘扬中华优秀传统文化，某校组织“诗词大会”比赛，其中一个环节的题目涵盖“豪放”“婉约”“咏物”“咏怀”四大类（分别写在4张卡片上），一位比赛选手随机抽取一张卡片，记下题目类别后，放回洗匀后由下一位选手抽取． (1)求甲选手抽到“婉约”的概率； (2)用画树状图或列表的方法求乙、丙两位选手抽到同类别题目的概率． 2．如图所示是小明根据甲、乙两名同学6次投篮（每次投篮10个）测试成绩所绘制的折线统计图． (1)分别求甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数； (2)小明认为甲、乙两人成绩更稳定的是甲，请你通过计算验证小明的判断是否正确． 3．某校为了调动30名田径队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况，对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标进行了体育成绩测试． 【收集数据】77   78  76   72   84  75  87 85  78  79  82  78  76  79  91 91  76  74  75  85  75  91  84  77  75  75  87  85  76  77 【整理数据】 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 4 3 3 1 2 3 2 3 【分析数据】样本数据的平均数、众数、中位数如表： 平均数 众数 中位数 80 78 【解决问题】 (1)表格中的___________，___________，___________； (2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为___________分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为___________分； (3)学校从91分的三名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统训练．请利用画树状图法或列表法，求两名队员恰好同时被选中的概率． 4．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 5．“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 6．大理（记为），丽江（记为）和西双版纳（记为）是云南省内著名的旅游胜地．甲、乙两名同学准备在端午节假期前往云南省游玩，各自随机选择大理，丽江，西双版纳三个地方中的一个，二人选择哪个地方不受任何因素影响，每一个地方被选到的可能性相同．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙至少有一人去丽江游玩的概率． 押题猜想二十二 尺规作图综合应用 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，B，C均在网格上． (1)将向下平移4个单位长度，得到，请作出； (2)作关于y轴对称的图形； (3)在（1）的条件下，求线段扫过的面积． 2．如图，在中（），以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接． (1)用尺规作图法，作的平分线，且点F在线段上，与相交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 3．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． (1)根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； (2)请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 4．如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点D和点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 5．如图，已知． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接、．求证：四边形是菱形． 押题猜想二十三 方程与函数的的实际综合应用 1．某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（A型）和基础平板（B型）．已知A型平板的单价比B型平板贵元．若采购台A型平板比采购台B型平板多花费元． (1)求A型平板和B型平板的单价； (2)若集训队共需配备10台平板电脑，且总采购预算不超过14400元，则最多能采购A型平板多少台？ 2．根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多 的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 3．为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． (1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． (2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 4．为给消费者带来放心蔬菜，某地计划建设甲、乙两种不同的无公害蔬菜大棚，现有如下材料． 材料一：建设2个甲种大棚和4个乙种大棚共160万元，3个甲种大棚和2个乙种大棚共120万元； 材料二：甲、乙两种蔬菜大棚共18个，且乙种大棚个数不少于甲种大棚个数的三分之一，建设成本不高于425万元． 根据以上材料，完成下列任务． (1)甲、乙两种蔬菜大棚的单价分别是多少？ (2)要使成本最低，则甲、乙种大棚各多少个？ 5．某超市购入一批进价为20元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）有如下表的关系． 销售单价（元） … 40 42 44 46 48 … 销售量（盒） … 80 76 72 68 64 … (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连线．观察图象，求出与的函数关系式； (2)设日销售总利润为（元） ①直接写出与的函数关系式：__________； ②糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若进价上涨元，且超市每日固定成本为482元，该种糖果日销售获得的最大利润为1200元，求的值（日利润（售价进价）日销量日固定成本）． 6．某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 … 10 市场需求量q（百千克） 12 10 … 4 已知当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出． (1)求q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润y（百元）的最大值． 7．某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 8．综合与实践： 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 押题猜想二十四 锐角三角函数和勾股定理的的综合应用 1．无人机在生活中应用广泛，如图所示，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)___________度，___________度； (2)求点到地面的距离； (3)求大楼的高度．（结果保留根号） 2．如图，小明看见某大楼的顶部有一块电子显示屏，她想知道电子显示屏的高度．她先从大楼底部点处步行20米到达山坡的坡脚点处，测得电子显示屏底部点的仰角为60°．沿坡面向上12米走到点处测得电子显示屏顶部的仰角为45°，山坡的坡度．（是指坡面的铅直高度与水平宽度的比） (1)填空：________°，_______°； (2)求点距水平面的高度； (3)求电子显示屏的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 3．【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； (2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 4．木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图），被称为“亚洲第一灯塔”．如图，虎威岛位于木栏头灯塔的南偏西方向上．一 艘轮船在处测得灯塔位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔正东方向上的处，该船继续向北航行至直线上的点处．    (1)填空：______度，______度． (2)求点到灯塔的距离． (3)若轮船的航行速度为，求轮船在段航行了多少小时． （参考数据：，，，．结果精确到小数点后一位） 5．【新情境·红色研学】研学实践：为深入了解红军长征历史，培养学生勇于战胜困难的精神，学校组织研学活动．同学们来到贵州省余庆县“突破乌江”主题雕塑广场，在了解相关的历史背景后，利用测角仪、皮尺和平面镜测量雕塑的高度． 数据采集：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测雕塑顶端A点的仰角为．在测角仪和雕塑之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到雕塑顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时则得． 数据应用：已知测角仪的高度，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． (1)根据平面镜成像原理，的值是__________． (2)求雕塑的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 押题猜想二十五 圆与几何综合应用 1．如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 2．如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为8，求的长． 3．如图，为的直径，为上的一点，和过点的切线垂直于点，与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的半径． 4．如图，是的直径，点C在的延长线上，点D在上，连接，，，已知． (1)求证：是的切线； (2)过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的长． 5．如图，为的直径，已知，点P在延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)已知平分，，，求的长． 6．如图，是的直径，为的弦，于点E，连接并延长到点M，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．如图，是的直径，D是上的点，的角平分线交于点C，过点C作的垂线，垂足为点E． (1)填空：______（选填“＞”、“＜”或“＝”）； (2)求证：是的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 8．如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对于当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．    (1)求证； (2)若米，米，求车轮的半径． 9．如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 押题猜想二十六 几何综合探究题 1．综合与实践 【问题背景】在四边形中，点E是边上一点（不与重合），延长到点F，使． 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形，，连接，延长交于点G． ①求证：； ②当点G是的中点时，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，连接，延长交于点G，当点G是的中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，点H在的延长线上且满足，连接，当是直角三角形时，求的长． 2．综合探究 如图1，点是正方形的边上一点，连接，在的延长线上取一点，使，连接． (1)连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，在四边形中，，连接，求证：； (3)如图3，在四边形中，，请直接写出之间的数量关系． 3．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形纸片中，为的中点．将该菱形纸片沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在的延长线上，试猜想与的位置关系，并加以证明． (1)数学思考：请解答老师提出的问题； (2)拓展再探：如图2，“兴趣小组”受到老师所提问题的启发，将菱形纸片沿直线折叠，点的对应点，连接并延长与交于点，他们认为四边形是平行四边形．“兴趣小组”得出的结论是否正确，请说明理由． (3)问题解决：如图3，“智慧小组”突发奇想，将菱形纸片沿直线折叠，使点的对应点与点重合，得到的折痕为．他们提出了一个新问题：若菱形纸片的边长为10，，求的长度．请你思考该问题，并直接写出结果． 4．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长． 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）． 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 5．在矩形中，，，分别在，上，相交于点． (1)若． ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证： ③在②的结论下，若，求的长； (2)如图3，若为的中点，，请直接用含的式子表示的值． 6．问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，． (1)探究发现：分别取，的中点，，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长； (3)拓展探究：如图4，，是直线上一点，以为斜边在左侧作等腰，直接写出线段的最小值． 7．综合应用 【问题发现】 (1)如图，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：； 【类比探究】 (2)如图，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 (3)如图，在（）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接．若，则当是直角三角形时，求的长． 8．如图1，正方形的边长为6，E是正方形内一点，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点O，连接．    【初步感知】（1）求证：①；②； 【研究感悟】（2）如图2，在线段上截取，连接，当时，求线段的长； 【深度探索】（3）请直接写出线段的最大值． 9．综合与探究 【问题情境】 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点分别作的垂线，分别与所在直线交于点． （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图．2，将“正方形”改为“矩形”，其它条件不变．若，，求的值； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，当点为的三等分点时，求的长． 10．综合与探究：在正方形中，点E在边上，连接． (1)问题探究：如图①，若，，过点E作交于点F，求的长度． (2)问题解决：如图②，若，，点F是上一动点，连接并将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点F是线段的中点时，求线段的值？ (3)拓展延伸：如图③：若四边形是正方形，在直线的上方有一点P，连接，，，且，，求的最大值？ 11．小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 押题猜想二十七 二次函数与几何压轴综合应用 1．探究与拓展 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是此函数图象在轴上方部分的动点，连接，．设点的横坐标为，的面积为，关于的函数图象如图2所示． (1)请直接写出点的坐标，和图2中的值； (2)当时，求点的坐标； (3)当点仅在函数图象上点至点之间的部分运动时，连接，交于点，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点恰好在直线上，求它的解析式； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度，点为抛物线上点之间（不含点）的一个动点，求的取值范围． 3．“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数解析式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ 4．对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 5．【项目背景】广西“三月三”背篓绣球是特色民俗体育项目，抛绣球者需让绣球沿弧线落入同伴背篓．某科研团队在绣球上植入微型传感器，借助人工智能视觉追踪算法，实时生成绣球运动轨迹图象，辅助某校AI社团研究抛绣球最大高度与接球者移动距离的关系． 【项目实施】社团的小华负责抛球，小李负责接球．小华第一次抛出绣球，AI系统捕捉到绣球运动轨迹为抛物线．经实地测量，绣球抛出点与小李接球的最佳落点离地面高度均为1.5米，且A、B两点水平距离米． 【项目分析】如图，社团以点为坐标原点，A，B点所在直线为轴建立平面直角坐标系． 【深度研究】小华在同一抛出点处进行第二次抛绣球时，只改变抛射角度，此时小李需从原落点前后水平移动到新的最佳落点接球（前后抛物线均在同一平面内）．已知新抛物线的表达式为．设小李移动的距离为． (1)直接写出点的坐标； (2)若该抛物线解析式为，求该抛物线的最高点到地面的距离； (3)当米时，求小李移动的距离为多少米？ (4)请直接写出与移动的距离之间的数量关系． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点C，P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过动点作垂直于轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，请直接写出线段的最小值； (4)是平面直角坐标系中的两点，当抛物线与线段只有一个公共点时，求的取值范围． 7．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点与轴平行的直线交抛物线于、两点（点在点的左侧），当时，求的值； (3)设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，当取最大值时，求抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形的面积． 8．如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象只有1个交点时的取值范围． 10．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧）． (1)若点的坐标为，求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设为抛物线上一点，若，则，求的值； (3)已知，为平面直角坐标系内两点，连接．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线上一点，且在第一象限内， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，请直接写出的值． 12．近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 13．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．   (1)【基础训练】 请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　． (2)【技能训练】 如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； (3)【能力提升】 如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； (4)【拓展升华】 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点． 如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值． 押题猜想二十八 几何动态综合应用 1.如图，在中，，，点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．当点不与重合时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为（秒）． (1)求线段的长（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)设与重叠部分图形的面积为，求与的函数关系式． 2．如图1，已知是的直径，弦于点，，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)求的半径． (3)如图2，连结，设 ①求关于的函数表达式： ②点关于的对称点落在上时，求的值． 3．如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)直接写出的长（用含的代数式表示）． (2)当落在上时，求的值． (3)当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 4．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 5．如图，已知平行四边形，，，，延长到，使，连接．点从出发，沿方向匀速运动，速度为2单位长度，同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．连接、，设运动时间为． 解答下列问题： (1)当是直角三角形时，求的值； (2)连接、，设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)线段与相交于，在运动的过程中是否存在某一时刻，使得．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 6．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）． (1)AP的长为______cm（用含x的代数式表示）． (2)当点D落在边BC上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 押题猜想二十九 函数与几何的新定义问题 1．【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．已知中，，点，，，分别在的边，，，上． 【操作判断】（1）如图1，若点，分别是，边的中点，分别沿和折叠，使点与点重合，点与点重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）； ②若四边形是矩形，求的度数． 【迁移思考】（2）如图2，沿折叠，点恰好与点重合，求证：四边形是菱形． 【拓展探索】（3）如图3，若点为边的中点，沿折叠，点的对应点为点，延长与射线交于点．若，，请直接写出线段的长． 2．【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”． (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 3．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”． (1)如图1，中，，求证：是倍角三角形； (2)若是倍角三角形，，求面积； (3)如图2，的外角平分线与的延长线相交于点D，延长到点E，使得，若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 4．定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的2倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，，求的长； (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”， ．将沿着边翻折得到，连接，若，且有一条边长为5，求的长． 5．问题背景 如果一条抛物线（）与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，称为“抛物线三角形系数”．某数学兴趣小组围绕该定义，结合抛物线的性质进行了相关探究． 探究条件 已知抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且“抛物线三角形系数”为． 初步探究 (1)求的取值范围． (2)若抛物线的顶点与点，组成的“抛物线三角形”为等腰直角三角形，求的值． 深入探究 (3)在（2）条件下，现将抛物线向右平移，平移后得到的抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且，求抛物线的解析式． 6．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线    (1)如图1，是等边三角形，请你在图1中作出的一条“等分积周线”； (2)如图2，四边形中，垂直平分，垂足为点，交于点，已知，．求证：直线为四边形的“等分积周线”； (3)如图3．为等腰三角形，且，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由． 7．对于二次函数（a，b，c是常数，且），给出如下新定义：若，则该函数是“精致函数”．例如：“精致函数”，这里，其中，即． 根据该定义，完成下列各题． (1)填空：二次函数______“精致函数”；（选填“是”或“不是”） (2)求证：“精致函数”（a，b，c是常数，且）的图象与直线总有两个不相同的交点； (3)当时，若“精致函数”的最大值与最小值的和为2n，求n的值． 8．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为_________； ②函数的“最优纵横值”为_________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 9．【给出定义】 若一个平面图形的所有点都位于某圆的内部或圆周上，则称该圆为该平面图形的覆盖圆．在所有覆盖圆中，直径最小的一个圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】 如图，小莹同学发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得出“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 （1）你同意小莹的观点吗？若不同意，请你写出一条自己的发现； （2）在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______； （3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且． ①求的最小覆盖圆的半径； ②求点C的坐标． 【综合应用】 （4）如图5，在四边形中，，，，且，，．若点E是四边形最小覆盖圆圆周上一点，则DE的最小值为．（注：直接写出答案即可） 2 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $