2026年甘肃省兰州市中考数学模拟卷（五）

**基本信息** 以“十五五”教育规划、亚洲沙滩运动会等社会热点及榫卯结构等文化素材为情境，梯度设计覆盖基础运算到新定义问题，考查数学抽象、几何直观、数据观念等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|科学记数法、三视图、一次函数性质|结合教育政策（第2题）、传统工艺（第3题）创设情境| |填空题|4/12|因式分解、坐标几何、概率计算|会徽坐标（第13题）体现数形结合，元素周期表概率（第15题）跨学科融合| |解答题|11/75|函数综合、解直角三角形、新定义“关联点”|从基础计算（16-18题）到压轴创新（26题），梯度明显，甲秀楼测高（20题）强化应用意识|

2026年兰州市中考模拟卷（五） 数学 注意事项: 1.全卷共120分，考试时间120分钟. 2.考生必须将班级、姓名、学号等个人信息填写在答题卡的相应位置上. 3.考生务必将答案直接填写在答题卡的相应位置上. 1、 选择题：（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列四个数中，绝对值最大的是（     ） A．2 B．0 C． D． 2．2026年3月6日十四届全国人大四次会议记者会介绍，“十五五”时期，普通高中要扩大供给，增加学位200万以上，其中200万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 第5题图 第8题图 第10题图 6．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（     ） A． B． C． D． 8．如图，为△ABC的中位线，点在上，且．若，，则的长为（     ） A．3 B．6 C． D． 9．施工队要铺设米的管道，因在中考期间无法施工，为确保能在中考前铺设完管道，实际铺设时工作效率比原计划提高了，最终提前天完成了这一任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，点A、B、C、D在上，点A、C在直径同侧，若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在边长为4的等边△ABC中，点D为边上的动点．设，，，则，与对应的x满足的函数关系分别是（     ） A．二次函数，一次函数 B．二次函数，二次函数 C．一次函数，一次函数 D．一次函数，正比例函数 第11题图 第13题图 第14题图 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12．因式分解 ． 13．第六届亚洲沙滩运动会将于2026年4月22日至30日在中国海南省三亚市举行．如图，将其会徽图案放置在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，则点C的坐标为 ． 14．如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为______． 15．如图，这是化学元素周期表中原子序数为1~4的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素（锂和铍为金属元素）的概率为______． 三、解答题：（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解不等式组： 18．（5分）解方程：． 19．（7分）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点M和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在反比例函数的图象上，若，求点P的坐标． 20．（7分）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． (1)求的长； (2)求塔的高度．（，结果保留整数） 21．（7分）【观察发现】折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到，如图1，在△ABC中，，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于两点，作直线，交于点，交于点；③连接． 【操作体验】（1）根据“观察发现”中的步骤，用尺规作图； 【推理论证】（2）在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与BC边交于点，连．小亮根据上面步骤得出，请你补全括号里的证明依据； 证明： （           依据1                  ） （             依据2                 ） 【拓展探究】（3）对称的性质在日常生活中也有重要的应用．如图3，某地有两个村庄和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库（在内），希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该仓库P．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（7分）面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； (3)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 23．（7分）如图，是的直径，C，D是上两点，过点C的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 24．（8分）如图1，正方形的边与正方形的边重合，直线交直线于点H，连接． (1)图1中线段与的数量关系是______，与的关系是______； (2)如图2，正方形绕点B顺时针旋转角度α（），当点H与点A重合时，（1）中的结论依然成立的，请予以证明；不成立的，请写出它们新的关系，并说明理由； 25．（8分）已知关于x的二次函数． (1)当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 26．（9分）对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”． (1)图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为， ①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ； ②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围； (2)图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年兰州市中考模拟卷（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B C A B A B C 题号 11 答案 A 1．D 【分析】根据绝对值的定义计算出每个数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得到结果． 【详解】解：，，，， 又 ∵ ， ∴ 绝对值最大的数是． 2．C 【详解】解：200万． 3．B 【详解】解：该部件“榫”的俯视图是如B选项所示． 4．B 【分析】根据关于幂的运算法则逐项计算，根据计算的结果进行判断． 【详解】解：A选项：，故A选项计算错误； B选项：，故B选项计算正确； C选项：，故C选项计算错误； D选项：，故D选项计算错误． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得，， 故选：A． 7．B 【分析】由可知，一次函数中随的增大而减小，把四个选项中的点分别代入解析式求出值验证即可． 【详解】解：和是一次函数的图象上的两点，且，， 一次函数中随的增大而减小， ， A选项：把点代入， 可得：， ， 故A选项不符合题意； B选项：把点代入， 可得：， ， 故B选项符合题意； C选项：把点代入， 可得：， 故C选项不符合题意； D选项：把点代入， 可得：， ， 故D选项不符合题意． 8．A 【分析】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据三角形的中位线定理求出的长，问题即可解答． 【详解】解：，为的中位线， D为 斜边的中点， ， 为的中位线， ， ． 9．B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．原计划每天铺设米，实际工作效率提高，即每天铺设米，管道总长米，根据“原计划天数减实际天数等于提前的天”列式即可． 【详解】解：原计划天数，实际天数，提前天数原计划天数实际天数， ． 故选：B． 10．C 【分析】根据圆周角定理的推论可得，，根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 11．A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、解直角三角形，过点作于，根据等边三角形的性质及解直角三角形可得，，利用三角形面积公式可得，当时，当时，利用勾股定理可得，进而可求解，熟练掌握基础知识，添加适当辅助线解决问题是解题的关键． 【详解】解：过点作于，如图： 是等边三角形，且边长为4， ，，， ，为一次函数， 当时，， 在中，根据勾股定理得： ，二次函数， 当时，， 在中，根据勾股定理得： ，二次函数， 综上所述，为二次函数，为一次函数， 故选A． 12． 【详解】解：． 13． 【分析】先确定原点，再建立平面直角坐标系，即可解答． 【详解】解：∵A的坐标为 ∴点A向左1个单位长度，再向下4个单位长度，即为原点，以原点向东为x轴的正方向，向北为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图 ∴点C的坐标为． 14．2 【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的边与角的特征是解题关键． 矩形的对角线相等，每个内角都是直角，在直角中，使用勾股定理计算出，结合，计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 15． 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 氢 氦 锂 铍 氢 （氢，氦） （氢，锂） （氢，铍） 氦 （氦，氢） （氦，锂） （氦，铍） 锂 （锂，氢） （锂，氦） （锂，铍） 铍 （铍，氢） （铍，氦） （铍，锂） 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是金属元素的情况有种， 故这两种元素恰好都是金属元素的概率为． 16． 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则和完全平方公式与平方差公式是解题的关键． 根据题意，先用平方差公式和完全平方公式化简，再按整式的混合运算法则计算，即可求解． 【详解】解： ． 17． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 18．， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握配方法．根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 解得，． 19．(1)， (2)或 【分析】（1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最后求出反比例函数解析式即可； （2）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； （2）解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握仰俯角解直角三角形的方法是解题的关键． （1） 在中，根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2） 根据勾股定理可得，设，由等腰三角形的性质可得，在中，根据解直角三角形的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ， ， 的长为． （2）解：由题意得， 在中，， ， ∴， 在中，设， ， ， ， 如解图，过点作，垂足为， 由题意得，， ， ， 在中， ， ， ， 解得， ， 塔的高度约为． 21．（1）见解析；（2）垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换；（3）见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，性质，角平分线的作法，熟知相关性质是解题的关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出结果即可； （3）作的垂直平分线和的平分线交于点，即可解答． 【详解】（1）解：如图，所示即为所求， ； （2）证明： （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） （等量代换）， 故答案为：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换； （3）解：如图所示，即为所求， 22．(1)86，87 (2)八年级，理由见解析 (3)小凡 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数、众数、方差的意义即可判断； （3）根据加权平均数的公式分别计算小凡和小乐的最后成绩，再比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：将七年级的测试成绩从小到大排列，第8位的成绩为86分， ∴； 八年级的测试成绩出现次数最多的是87分，故众数为87分， ∴； （2）解：八年级的学生人工智能技术的总体水平较好，理由： 从中位数看，八年级成绩的中位数比七年级的高； 从众数看，八年级成绩的众数比七年级的高； 从方差看，八年级成绩的方差比七年级的小，即八年级的测试成绩更稳定； 所以八年级的学生人工智能技术的总体水平较好； （3）解：小凡的最后成绩为， 小乐的最后成绩为， ∵， ∴小凡的最后成绩较高， 即最终入选的是小凡． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用切线和垂直得出，可得，再利用同弧所对的圆周角相等，得出，再证明，即可求证； （2）连接，先求出，结合，得出，可得，再利用三角函数得出，，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为． 24．(1)； (2)；，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）结合正方形的性质，证明即可； （2）根据正方形，正方形的性质证明，得到，证明，即可得到答案． （3）由可得重合，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：正方形，正方形， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）解：；，理由如下： 正方形，正方形， ， ， ， ， 正方形， ， ， 即； （3）解：连接，连接与交于点， ，， ， ， 在上， 重合， ． 25．(1)①；② (2)证明见解析 【分析】（1）①把代入，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可；②根据平移方式求出平移后的两点坐标，代入①中所求关系式，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； （2）把点，分别代入，结合得出，根据平方的非负数性质即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为． ②∵， ∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为， ∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上， ∴， 解得：． （2）证明：∵， ∴， ∵点，是该函数图象上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴． 26．(1)①、；② (2) 【分析】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可； ②当直线经过点时，可得b的最小值，当直线经过点时，可得b的最大值，由此可解； （2）当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值，列出不等式分别求得t的最小值和最大值即可． 【详解】（1）解：①如图1，∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴绕着点逆时针旋转得到的对应点在线段上， 绕着点顺时针旋转得到的对应点在线段上， 线段上不存在点Q，使得，绕着点Q旋转得到的对应点在线段上， ∴、是线段的“关联点”， ，不是线段的“关联点”， 故答案为：、； ②如图2，当直线经过点时，可得b的最小值， 当直线经过点时，可得b的最大值， 把代入，得， 解得； 把代入，得； 解得； ∴b的取值范围为； （2）解：根据“关联点”的定义可知：当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值， 则， 解得 ∴t的取值范围为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转变换，圆的性质，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 27．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）先将代入函数解析式求出，再根据二次函数的性质求解即可； （2）（ⅰ）先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； （ⅱ）根据点在函数的图象上，得出，再将通分后求出，然后根据二次函数的对称性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴． ∴该抛物线的对称轴为． （2）（ⅰ）解：由（1）可得， ∴该函数的解析式为． ∴函数图象的顶点坐标为． ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得，或（舍去）． ∴该二次函数的表达式为． （ⅱ）证明：∵点在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ． ∴，即． 不妨设， ∴． ∵该抛物线的对称轴为， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $