12.3 证明 巩固练习 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 苏科版七年级下册数学“12.3证明”同步练，通过“典型例题-举一反三-巩固练习”三层设计，覆盖命题、平行判定与证明，梯度从基础概念到综合应用，培养推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |典型例题|命题真假、平行判定、证明步骤|基础概念示范，如命题真假判断（例2）、证明过程补全（例5）| |举一反三|命题变式、反例构造、简单推理|针对性变式训练，如反例说明假命题（变式2）、作图应用（变式6）| |巩固练习|综合证明、实际应用、探究拓展|综合能力提升，如多步推理（题12）、“猪蹄模型”应用（题15）|

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 12.3证明 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】如图，在下列给出的条件中，不能判定的是(     ) A． B． C． D． 【例2】下列命题中是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 若，则 C. 平行于同一直线的两条直线平行 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【例3】命题“如果与是同位角，那么”是 命题（填“真”或“假”）． 【例4】如图，，，则的度数是          ． 【例5】填空：请补全下列证明过程及括号内的推理依据 已知：如图，，求证：． 证明：已知，__________________， 等量代换， __________________． ________________________． 又已知 ______等量代换． ______    ________________________． 两直线平行，内错角相等． 【例6】如图，在四边形中，，． 求的度数； 若平分，交于点，，求证：． 【举一反三】 【变式1】下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 若，则 C. 同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 三角形的一个外角等于两个内角的和 【变式2】下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【变式3】“对顶角相等”的逆命题是______（填“真”或者“假”）命题． 【变式4】如图，已知，，，，那么 ． 【答案】 【变式5】如图，已知直线，，被所截，且，试说明：． 解：因为已知， ___________， 所以______________________等量代换， 所以___________   ______________________． 又因为已知， 所以___________  ______________________ 【变式6】如图，在中，，，请用无刻度直尺和圆规作图．（标注字母，保留作图痕迹，不要求写作法） （1）图①，在边上找一点，使得； （2）图②，是上一点，在边上作点，使． 【巩固练习】 1.下列语句中，是定义的是(     ) A. 两点之间，线段最短 B. 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 C. 三角形的角平分线是一条线段 D. 同角的余角相等 2.有下列四个命题：一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3.反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（   ） A．三角形中没有内角大于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中三个内角都大于 D．三角形中有两个内大于 4.如图，直线，，，则（ ） A. B. C. D. 5.如图，将绕点C逆时针旋转度后得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接与交于点F，点A，B，E，F在同直一线上，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 6.下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 7. 如图，已知：，平分，如果，那么________． 8.如图，，，，，，则______． 9.如图，，．若，则___________． 10.如图，，．若，则___________． 11.完成下面的证明． 如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，求证． 证明：，                      ，                      ． 如图，和相交于点，，求证． 证明：，， 且          ，           ．            12.如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 13.（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 14.已知的两边与的两边平行，即，．    (1)如图①，若，则　　； (2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题． 15.【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，在下列给出的条件中，不能判定的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B  【例2】下列命题中是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 若，则 C. 平行于同一直线的两条直线平行 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】C 【例3】命题“如果与是同位角，那么”是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【例4】如图，，，则的度数是          ． 【答案】70° 【例5】填空：请补全下列证明过程及括号内的推理依据 已知：如图，，求证：． 证明：已知，__________________， 等量代换， __________________． ________________________． 又已知 ______等量代换． ______    ________________________． 两直线平行，内错角相等． 【答案】证明：已知，对顶角相等， 等量代换． 同位角相等，两直线平行． 两直线平行，同位角相等． 又已知， 等量代换， 内错角相等，两直线平行 ． 两直线平行，内错角相等． 【例6】如图，在四边形中，，． 求的度数； 若平分，交于点，，求证：． 【答案】(1)∵AD // BC， ∴∠B＋∠BAD＝180°． ∵∠B＝80°， ∴∠BAD＝100° ． (2)∵AE平分∠BAD， ∴． ∵ AD // BC， ∴∠AEB＝∠DAE＝50°． ∵∠C＝50°， ∴∠AEB＝∠C， ∴AE // DC． 【举一反三】 【变式1】下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 若，则 C. 同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 三角形的一个外角等于两个内角的和 【答案】C 【变式2】下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【变式3】“对顶角相等”的逆命题是______（填“真”或者“假”）命题． 【答案】假 【变式4】如图，已知，，，，那么 ． 【答案】 【变式5】如图，已知直线，，被所截，且，试说明：． 解：因为已知， ___________， 所以______________________等量代换， 所以___________   ______________________． 又因为已知， 所以___________  ______________________ 【答案】解：因为已知， 对顶角相等， 所以等量代换， 所以同位角相等，两直线平行． 又因为已知 所以平行于同一直线的两条直线互相平行． 【变式6】如图，在中，，，请用无刻度直尺和圆规作图．（标注字母，保留作图痕迹，不要求写作法） （1）图①，在边上找一点，使得； （2）图②，是上一点，在边上作点，使． 【答案】（1）解：如图，点即为所求， ∵，， ∴ ∵平分 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习】 1.下列语句中，是定义的是(     ) A. 两点之间，线段最短 B. 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 C. 三角形的角平分线是一条线段 D. 同角的余角相等 【答案】B  2.有下列四个命题：一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 3.反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（   ） A．三角形中没有内角大于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中三个内角都大于 D．三角形中有两个内大于 【答案】C 4.如图，直线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5.如图，将绕点C逆时针旋转度后得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接与交于点F，点A，B，E，F在同直一线上，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 6.下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【答案】① 7. 如图，已知：，平分，如果，那么________． 【答案】 8.如图，，，，，，则______． 【答案】 9.如图，，．若，则___________． 【答案】 10.如图，，．若，则___________． 【答案】 11.完成下面的证明． 如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，求证． 证明：，                      ，                      ． 如图，和相交于点，，求证． 证明：，， 且          ，           ．            【答案】(1)解：∵DE // BA， ∴∠FDE＝∠BFD （两直线平行，内错角相等）． ∵DF // CA， ∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）． ∴∠FDE＝∠A． (2)解：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD， 且∠COA＝∠BOD（对顶角相等）， ∴∠C＝∠D． ∴AC // DB（内错角相等，两直线平行）． 12.如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：是真命题． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13.（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 14.已知的两边与的两边平行，即，．    (1)如图①，若，则　　； (2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题． 【答案】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）， 理由：∵，， ∴，， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴，， ∵， ∴； （4）解：通过上面（1）、（2）、（3），可得到的真命题是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补． 15.【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $