12.3 证明-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

小于它的余角， 条件：一个角是锐角 结论：这个角小于它的余角 6.B解析：点到直线的距离是指这 点到直线的垂线段的长度，故①是假 命题：两平行线被第三条直线所截，同 位角相等，故②是假命题；平移时，连 接对应点的线段平行且相等或相等且 在同一条直线上，故③是假命题：在同 一平面内，有无数条直线与已知直线 垂直，故④是假命题：过直线外一点有 且只有一条直线与已知直线平行，故 ⑤是其命题.综上所述，属于其命题的 有⑤，共1个 7.D解析：x3是单项式，故选项A 是真命题，不符合题意.二元一次方程 有无数个解，故选项B是真命题，不 符合题意.六边形的内角和为720°，故 选项C是真命题，不符合题意.若 |a=6,则a=土6，故选项D是假命 题，符合题意. 8.A9.真命题过直线外一点有 且只有一条直线与已知直线平行 10.①②③解析：①原命题：在同 一平面内，垂直于同一条直线的两条 直线平行，是真命题.逆命题：在同一 平面内，平行的两条直线垂直于同一 条直线，是真命题.②原命题：若ab 0且a十b<0,则a<0且b<0,是真 命题.逆命题：若a<0且b<0,则 ab>0且a+b<0,是真命题.③原命 题：x=2是方程2.x+4=8的解，是真 命题.逆命题：方程2x十4=8的解是 x=2,是真命题.综上所述，原命题和 逆命题都为真命题的是①②③： 11.平面内有两个点经过这两个点 有且只有一条直线如果平面内有两 个点，那么经过这两个点有且只有一 条直线真 12.(1)条件：两条直线被第三条直线 所截： 结论：同旁内角互补 (2)条件：两个三角形等底等高 结论：这两个三角形的面积相等。 (3)条件：某个数的绝对值等于3， 结论：这个数是3， (4)条件：∠DOE=2∠EOF. 结论：OF是∠DOE的平分线： 13.(1)已知3a=3,则a=b其真 (2)若a>b,则ac2>bc2其假 (3)两个相等的角是同角的余角 真假 (4)个位数字是5的自然数能被5整 除假真 (5)如果∠αa和∠3的平分线互相垂 直，那么∠α和∠3是邻补角真假 14.(1)逆命题：两条直线被第三条直 线所截，如果这两条直线平行，那么内 错角相等。 原命题和逆命题都是真命题 (2)逆命题：如果一个数能被6整除， 那么这个数也能被3整除. 原命题是假命题，逆命题是真命题. (3)逆命题：已知两数a,b.如果a b>0,那么a+b>0. 原命题和逆命题都是假命题 15.①②④ 16.答案不唯一，如选②③作为条件， ①作为结论. 如果AB∥DE,BC∥EF,那么 ∠B=∠E. 理由：因为AB∥DE, 所以∠B=∠DOC. 因为BCEF, 所以∠E=∠DOC」 所以∠B=∠E. 12.3证明 1.C2.C3.B4.(1)ab内 错角相等，两直线平行(2)AB DC同旁内角互补，两直线平行 ∠C两直线平行，内错角相等65 5.答案不唯一，如①②：③. :BE是∠ABC的平分线， ∴.∠2=∠CBE. ∠E=∠2， '.∠CBE=∠E .AE∥BC 43 '.∠A+∠ABC=180° :∠1+∠ABC=180°， .∠A=∠1. .DF∥AB. 6.C 7.5解析：：AB∥CD∥EF, '.∠AOE=∠BAC=∠ACD. .AC平分∠BAD,.∠DAC= ∠BAC.BC∥AD,∴.∠DAC= ∠ACB.:'∠AOE=∠COF, '.∠AOE=∠BAC=∠ACD= ∠DAC=∠ACB=∠COF.'.与 ∠AOE相等的角（除∠AOE)有5个. 8.对顶角相等两直线平行，同位角相 等量代换☒=之∠RB 等立 9.(1)是. 8-6=3-1=2,8≠3， .8631是“双减数”，此时N(8631)= 86-31=55. (2)是真命题 理由：设千位数字为a,十位数字为b, 则百位数字为a一2，个位数字为b 2,且a≠b. '.对于“双减数”A,N(A)=10a十 (a-2)-[10b+(b-2)]=11(a-b). ∴.对于任意“双减数”A,N(A)都能 被11整数. 10.(1)①∠B+∠E=180°：∠B= ∠E 理由：如题图①，.EF∥BC, .∠DPB=∠E DE∥AB, .∠B+∠DPB=180°. .∠B+∠E=180°. 如题图②，EFBC, ∴.∠DPC=∠E. .DE∥AB, ∴.∠B=∠DPC .∠B=∠E. ②如果两个角的两边互相平行，那么 这两个角相等或互补 (2)设这两个角的度数分别为x和 2x-30. 由题意，得x=2x一30°或x+2x 30°=180°，解得x=30或x=70. .2x-30°=30或110. .这两个角的度数为30°，30°或 70°，110. 一方法归纳 画出符合题意的图形感受 分类讨论的数学思想 解决这类图形不确定问题时 通常先根据问题中的条件，画出符 合题意的图形，再根据图形的相关 性质、条件进行推理或判断，得出 结论.这类问题往往渗透分类讨论 的数学思想。 12.4定理 第1课时三角形内角和 定理及其推论 1.D2.B3.90°4.110 5.(1)∠ACD=∠B+∠BAC, ∠B=25°，∠BAC=31°， .∠ACD=25°+31°=56. (2)AD⊥BD, .∠D=90」 :'∠ACD=56,CE平分∠ACD, ·∠E0D=7∠ACD=28 ∴.∠AEC=∠ECD+∠D=28°+ 90°=118°」 6.D 7.B 解析：BE⊥AC, .∠BEC=90°..∠A=60°， ∴.∠ABE=90°-60°=30.又 CD⊥AB,.∠BDP=90. ∴.∠BPC=∠BDP+∠ABE= 120° 8.C解析：BD是AC边上的高， .∠FDC=90°..'.∠FCD=90° ∠DF℃=90°-52°=38.CE是 ∠ACB的平分线，.∠ECB= ∠DCF=38.∴.∠ABC=∠AEC ∠ECB=80°-38°=42° 9.47°解析：延长AC交直线m于 点D,设BC交直线m于点O.直 线m∥n,∴.∠3=∠ODC..∠a与 ∠DOC是对顶角，∴.∠a=∠DOC. 又：∠ACB=∠COD+∠ODC 90°，.∠a+∠3=90.∠3=43， ∴.∠a=90°-∠3=90°-43°=47°. 10.66.5°解析：：三角形的外角 ∠DAC和∠ACF的平分线交于点E, :∠CAE=7∠DAC=(∠B+ ∠ACB),∠ACE=2∠ACP= 合（∠B+∠BAC.·∠CAE+ ∠ACE=∠B+∠ACB)+ 2(☑B+∠BAC)=号（∠B十 ∠AB+∠B+∠BAC)=名X (180°+47)=113.5°.∴.在△ACE 中，∠E=180°-（∠CAE+ ∠ACE)=180°-113.5°=66.5. 11.40°解析：，CE平分∠ACD, .∠1=∠ECF.FG∥EC, ∴.∠F=∠ECF.∠FCD=∠3十 ∠BAC,∠BAC=∠2+∠F, ∴.∠FCD=∠3+∠2+∠F. ∴.∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F. .∠3=∠1-∠2.又.∠1=70°， ∠2=30°，∴.∠3=70°-30°=40°. 12.(1):∠ADC是△ABD的外 角，∠BAD=60°，∠B=45°， .∠ADC=∠BAD+∠B=105. ∵∠B=∠C=45°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=90. ∠DAE=∠BAC-∠BAD=30°， .∠ADE=∠AED=75. '.∠CDE=∠ADC-∠ADE= 105°-75°=30° (2)∠BAD=2∠CDE. 理由：∠B=∠C=45°， .∠BAC=90° 设∠BAD=x. ∴.∠ADC=∠BAD+∠B=x+45°， ∠DAE=∠BAC-∠BAD= 90°-x. ·∠ADE=∠AED=90+2 2 44 ∴.∠CDE=∠AIDC-∠ADE=x+ 45°-90°+x1 2 2x. ∴.∠BAD=2∠CDE. (3)设∠BAD=t. ∴.∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+ t,∠DAE=∠BAC-∠BAD= 180°-2∠C-t. ∴.∠ADE=∠AED= 150DE-∠c+ 2 ∠B=∠C, .∠CDE=∠ADC-∠ADE= ∠B+1-(∠c+2)=. .∠BAD=2∠CDE 13.(1)12. (2)35支()解折：不坊设∠C 为△ABC的最小角.当∠A与∠C互 为“开心角”时，易得最小角的度数为 35°.当∠B与∠C互为“开心角”时， 设最小角∠C的度数为之.∴之十 22=180°-70°..之= (10).综上 3/ 所述，这个三角形中最小的内角的度 数为35或( (3)∠A是最小的内角，并且是其 中的一个“开心角”， .另一个“开心角”是2∠A. .第三个内角是180°-3∠A. ∠A是最小的内角， ∴.∠A≤180°-3∠A,且∠A< 2∠A. ∴.0<∠A≤45. (4):AD平分△ABC的内角 ∠BAC, ∴.∠CAE=∠BAE=a. .∠PAC=180°-2a. 设∠PCA=x. ,CD平分△ABC的外角∠BCF, ∴.∠BCD=∠DCF=x. .∴.∠ACB=180°-2x ∠P=30°， '.∠PAC+∠PCA=150°，即180°- 2a+x=150°.拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 12.3 自基础进阶 1.下列推理正确的是 A..'a<b,∴.a+2<b+1 B..∵a<b,∴.a-1<b-2 C..a>b;..a+c>b+c D..'a>b,∴.a+c>b-d 2.如图，下列结论正确的是 A.若∠1=∠4，则m0 B.若∠1=∠2，则a% C.若∠1+∠3=180°，则n∥c D.若∠2+∠3=180°，则mm (第2题) (第3题) 3.如图，有下列推理：①.'∠B=∠BEF ∴.AB∥EF;②.∠B=∠CDE,.AB∥ CD;③.·∠DCE+∠AEF=180°，∴.AB∥ EF;④.∠A+∠AEF=180°，.AB∥ EF.其中，正确的是 () A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 4.(1)如图①，.∠1=60°，∠2=60°（已知）， ( (2)如图②，.·∠A十∠D=180(已知)， .∠1= .∠1=65°（已知）， ∴.∠C= (等量代换). (第4题) 120 拍照批改 证明 “答案与解析”见P43 5.如图，∠1+∠ABC=180°，请你从下面三个 条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为 结论，组成一个真命题， ①BE是∠ABC的平分线；②∠E=∠2； ③DF∥AB. 你选的条件是 ,结论是 .请 加以证明. 2△ (第5题) 幻素能攀升 6.如图，有下列条件：①∠BAD=∠ADC; ②∠DAC=∠BCA;③∠ABD=∠CDB; ④∠ADC+∠BCD=180°.其中，能使AD∥ BC的是 A.①② B.③④ C.②④ D.①③④ D 2 (第6题) (第7题) 7.如图，AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC平分 ∠BAD,且与EF交于点O,则与∠AOE相 等的角（除∠AOE)有 个 8.如图，直线AB∥CD,直线EF与直线AB交 于点G,与直线CD交于点H,且GN平分 ∠BGB.求证：∠3=3∠1 B (第8题) 证明：.CD与EF相交于点H(已知)， ∴.∠1=∠2( ABCD(已知)， ∴.∠2=∠EGB( .GN平分∠EGB(已知)， .∠3 ∠EGB(角平分线的定义). :∠1=∠2，∠2=∠EGB(已证)， .∴.∠1=∠EGB( (已证)， ∠3=2∠1（等量代换）.， 9.新考向·学科内综合若一个四位正整 数P满足千位数字比百位数字大 2,十位数字比个位数字大2，千位数答案讲解 字与十位数字不相等且各个数位上的数字都 不为零，则称P为“双减数”.将“双减数”P 的千位和百位数字组成的两位数与十位和个 位数字组成的两位数的差记为N(P).例如： 四位正整数7564，.7一5=6-4=2，且7≠ 6,∴.7564是“双减数”，此时N(7564)= 75-64=11. (1)判断8631是否是“双减数”？若是，请求 出N(8631)的值；若不是，请说明理由， (2)命题“对于任意‘双减数’A,N(A)都能 被11整除”是真命题还是假命题？请说明 理由. 第12章定义命题证明 思维拓展 10. ★新考法·探究题]已知∠B,画 ∠E,使得DE∥AB,EF∥BC,且 DE交BC于点P.试探究∠B与答案讲解 ∠E之间有怎样的数量关系 (1)我们发现∠B与∠E之间有两种位置 关系，如图①②所示 ①图①中，∠B与∠E之间的数量关系为 ;图②中，∠B与∠E之间的 数量关系为 请说明理由. ②由①，可得一个真命题（用文字叙述）： (2)运用②中的真命题，解决问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角的度 数比另一个角度数的2倍少30°，求这两个 角的度数. D B E 1 (第10题)》 121