2026年甘肃省兰州市中考数学模拟卷（四）

**基本信息** 以谷雨节气、春晚吉祥物、《算法统宗》等传统文化与时代热点为情境，梯度设计覆盖实数、几何、函数等核心知识，突出数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（模型意识）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|无理数、图形变换、概率、方程根的判别|第2题结合谷雨节气考轴对称与中心对称，第4题以春晚吉祥物考概率计算| |填空题|4/12|因式分解、旋转、最短路径、弧长|第15题以水车灌溉为背景考弧长公式，体现传统科技| |解答题|11/75|函数综合、统计、圆的证明、新定义|第20题光的折射材料题融合三角函数应用，第26题新定义“图距离”考查创新思维，契合中考命题趋势|

2026年兰州市中考模拟卷（四） 数学 注意事项: 1.全卷共120分，考试时间120分钟. 2.考生必须将班级、姓名、学号等个人信息填写在答题卡的相应位置上. 3.考生务必将答案直接填写在答题卡的相应位置上. 1、 选择题：（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列各实数中，为无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 2．春雨生百谷，时节至谷雨．作为二十四节气中春季的最后一个节气，年谷雨自月日始，于月日止．此时春雨绵绵、滋养万物，百谷破土萌生，人间满是生机与丰收的希望．下列四幅作品分别代表“谷雨”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．“四骏齐发藏千年文脉密码”——2026年春晚吉祥物共有四位成员，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，与马年春晚“骐骥驰骋势不可挡”的主题完美呼应，满含马到成功、前程似锦的美好寓意．正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率是（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．为增强学生体质，感受中国的传统文化，某校将“抖空竹”定为特色体育项目每天大课间进行训练，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图①所示，若将图①抽象成图②的数学问题：，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点A，B，C在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 第9题图 第11题图 10．如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 11．如图1，在四边形中，，，，M是对角线的中点，点N从点C出发沿方向匀速运动，到达点A时停止．设点N的运动路程为x，的面积为y，y与x的大致图象如图2所示，则的长为（　　） A． B． C．12 D． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12．分解因式： ． 13．如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在边上时，的长为 _____． 第13题图 第14题图 第15题图 14．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为______ ． 15．如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 _______米．（结果保留） 三、解答题：（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解方程：． 18．（5分）先化简，再求值：，其中，． 19．（7分）如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，，求△ABC的面积． 20．（7分）材料阅读： 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的大小； (2)求的长． 21．（7分）尺规作图之旅：如图是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．    (1)还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程． 已知：如图，，    求作：使． 作法：①如图，以为圆心，以______为半径画弧，分别交，于点，； ②画一条射线，以点为圆心，以______长为半径画弧，交于点； ③以______为圆心，以______长为半径画弧，交前面的弧于点， ④作射线，就是所求作的角． (2)如图，，过点画射线，则，    说理：由作法得已知：，，， 求证：， 证明：， ≌．( ) 所以 ．( ) (3)请按照上面的范例，完成尺规作图： ①在图中画出的角平分线； ②在图中直线上找到一点，使它到点A，点的距离相等．    22．（7分）习主席说：“国家安全是民族复兴的根基，社会稳定是国家强盛的前提．”某中学为了提高学生对国家安全知识的了解，在全校开展了主题为“维护国家安全和社会稳定”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：A组为，B组为，C组为，D组为，E组为，F组为，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图表信息解答以下问题： (1)本次调查随机抽取了_________参赛学生的成绩．在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是__________度； (2)补全频数分布直方图，并直接写出学生竞赛成绩的中位数落在_______组； (3)若该校共有3000名学生参赛，请估计该参赛学生成绩不低于80分的约为多少人？ 23．（7分）如图，△ABC内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 24．（8分）在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，求的度数； 25．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，，且，求证：． 26．（9分）对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“图距离”，记作． 已知点． (1)d（点O，直线BC）=_________； (2)线段L是直线上的一部分，若，且L的长度最长时，求线段L两个端点的横坐标； (3)的圆心为，半径为1．若，直接写出t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年兰州中考模拟卷（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C B C D B B D 题号 11 答案 D 1．C 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、是整数，为有理数，不符合题意； B、0是整数，为有理数，不符合题意； C、开方开不尽，是无理数，符合题意； D、是分数，为有理数，不符合题意； 故选：C． 2．A 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 3．C 【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示解集． 【详解】解：， ， 解得， ∴不等式的解集为， 数轴表示为： ． 4．C 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的结果有2种，即、， ∴这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率是． 5．B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握根的判别式与根的情况的关系，计算判别式的值即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，，． 计算判别式 ， 代入数值计算得 ． ， 方程有两个不相等的实数根． 6．C 【分析】过点作，得，根据平行线的性质求出，得出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，可求出． 【详解】解：过点作，如图， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．D 【详解】解：以原点为位似中心，将线段放大得到线段，， 点的坐标与点的坐标的比值为，且符号相反， 点的坐标为， 点的坐标为，即． 8．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设绳尺，竿尺，根据题意列出方程组即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设绳尺，竿尺， 由题意得，， 故选：． 9．B 【分析】先根据圆周角定理计算出，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理即可求出； 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 10．D 【分析】本题考查了统计图表，根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键． 【详解】解：由图形可知： 甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理； 甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习能力是甲的不足，故②合理； 甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故与甲相比，乙需要加强沟通合作能力，故③合理； 乙的各项评分之和为：，甲的各项评分之和为：，因此乙的各项评分之和比甲要高．故④合理； 综上，合理的选项有①②③④． 故选：D． 11．D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质与判定，勾股定理；过点作于点，根据题意得出四边形是平行四边形，根据得出，，进而根据图2得出，，根据三角形中线的性质以及三角形的面积公式得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据图2可得，当时，的面积最大， ∴当重合时，， 又∵是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 12． 【分析】先提取多项式的公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解：． 13．3 【分析】证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，证明是等边三角形是解题的关键． 14． 【分析】连接，可得，四边形是矩形，即得，当时，可知最短，再利用三角形的面积解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形中，，， ∴， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∵是对角线上一点， ∴当时，最短，此时， ∴， ∴的最小值为． 15． 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式进行计算，即可解答，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：（米）， ∴水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是米， 故答案为：． 16． 【分析】先进行零次幂运算、去绝对值、乘方运算、再进行加减运算，即可求解． 解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． 【详解】解： ． 17． 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 18．； 【详解】解： 当时，原式 19．(1)， (2)9 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中点的坐标的特点，三角形的面积公式； （1）将点代入直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出，再代入即可求出； （2）过点作轴于点，交于点，利用反比例函数解析式先求出点坐标，再由三点坐标可求出的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， ， 一次函数的表达式为， 把代入，得， ， 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为． 综上所述：一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：如图，过点作轴于点，交于点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 轴，， ， ，即， . 20．(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）首先求出，，求出，即可得到． 【详解】（1）解：在中，， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵在中，，， ∴，， ， ∴ ∴ ∴． 21．(1)任意长，， ，， (2)，全等三角形对应角相等 (3)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据角平分线的作法补充作法即可； （2）利用SSS证明≌，从而得解； （3）①根据所给作法完成操作即可 ②利用尺规作图的方法画出线段的垂直平分线即可． 【详解】（1）作法： 如图，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 以点为圆心，以为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于； 故答案为：任意长，，，； （2）证明：， ≌， 全等三角形对应角相等； 故答案为：，全等三角形对应角相等； （3）如图，以为圆心，任意长为半径画弧交于，交于， 分别以和为圆心大于为半径画弧交于点， 连接即为角平分线；    如图，连接， 分别以A，点点为圆心，大于为半径画弧，在两侧的交点分别为点和点， 连接交于点．    【点睛】本题考查尺规作图——角平分线的作法和垂直平分线的作法，掌握这两个基本的尺规作图方法和原理是解题的关键． 22．(1)50名；28.8 (2)见解析，D (3)该参赛学生成绩不低于80分的约为2520人 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、中位数以及用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握中位数的定义是解答本题的关键． （1）用频数（率）分布直方图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比可得本次调查随机抽取的学生人数；用乘以本次调查中F的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）求出D组的人数，补全频数分布直方图即可；根据中位数的定义可得答案． （3）根据样本估计总体计算即可． 【详解】（1）解：（1）本次调查随机抽取了（名）参赛学生的成绩． 在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是． 故答案为：50；28.8． （2）解：D组的人数为（人） 补全频数分布直方图如图所示． 将50名学生的成绩按照从小到大的顺序排列， 排在第25和26位的成绩都落在D组， ∴学生竞赛成绩的中位数落在D组． 故答案为：D． （3）解：， 答：该参赛学生成绩不低于80分的约为2520人． 23．(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即可得到是的切线； （2）由直径性质可得，推出，利用勾股定理得到，根据，得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．(1)见解析 (2) (3)7 【分析】（1）因为正方形对角线平分对角，所以可证；也可证明和全等，利用全等三角形对应边相等得出结论． （2）连接，证明和全等，得，结合，四边形内角和性质，可得，可得，结合等腰直角三角形的角度特点推导的度数． （3）延长到，使，得，，证明，得，由，，可得． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，是对角线， ，. 是公共边， ， . （2）解：连接， 四边形是正方形，是对角线， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， . ， ， ， ， ， . ， ， 即. （3）解：延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， . 25．(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的性质； （1）利用二次函数的对称性进行求解； （2）①利用二次函数的顶点坐标及，建立方程求解即可；②利用方程的根及根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，． 对称轴为直线， ， ； （2）解：①二次函数的最大值为， ，， 又， ， 解得， ， ，则， ； ②由①知，方程为：，即， 若是一元二次方程的两个实数根， 则，， ． 26．(1)2 (2)最小值-1，最大值 (3)t＝﹣4或0≤t≤4﹣2或t＝4+2 【分析】(1)根据点到直线的距离最短，确定计算即可． (2)根据题意，分别利用最小距离直接是1和垂线段最短，距离为1，两种情况计算即可． (3)圆在三角形外部的左边，三角形内部，三角形外部的右边三种情况计算即可． 【详解】（1）如图，∵B(-2，-2)，C(6，-2) ∴BC∥x轴，O到BC的距离为2， 故d（点O，直线BC）=2， 故答案为：2． （2）设AC与x轴的交点为M，y=x与直线AC的交点为N， ∵， ∴AB=6-(-2)=8，BC=6-(-2)=8，BC∥x轴，BA∥y轴， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠C=∠AMO=∠NOM= 45°， ∴ON⊥AC， 设直线AC的解析式为y=kx+b， 根据题意，得， 解得， ∴直线AC的解析式为y= -x+4， ∴(2，2)在直线y= -x+4， ∴点N的坐标为(2，2)， ∵，且L的长度最长， ∴EN=1，或过点D作DG⊥BC，交BC于G，交x轴于点H，且DG=1， 此时ED最长，此时点D的横坐标最小，为-1； ∵ON=， ∴OE=ON-EN=， 过点E作EF⊥x轴，垂足为F， ∴OF=OEcos45°==， ∴线段L两个端点的横坐标最小值-1，最大值． （3）当在AB的左侧时， ∵的圆心为，半径为1． ∴当t=-3时，圆与直线AB相切， ∵， ∴t=-4； 当在三角形的内部时， ∵的圆心为，半径为1， ∴TG=GF=2， ∴TF=， ∴OT=OF-TF=， ∵与直线x=-1是相切的， ∴t＞0， 故t的取值范围是0≤t≤； 当在AC的外部时， ∴TF=， ∴OT=OF+TF=， 故t的取值范围是t=； 故t的取值范围是t＝﹣4或0≤t≤4﹣2或t＝4+2． 【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用，切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的切线的性质，特殊角的函数值，勾股定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $