精品解析：四川省安岳中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

初2024级第五学期10月月考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 方程根的情况是（ ） A. 两根一正一负 B. 两根都是负数 C. 两根都是正数 D. 没有实数根 7. 年月日电影《疯狂动物城》在中国内地上映，第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知有理数a、b，满足，若m、n分别表示的整数部分和小数部分，则直线经过的象限是（ ） A. 一、三、四象限 B. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 D. 一、二、四象限 9. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（ ） A. B. C. D. 10. 设为正整数，，，，，…，….，已知，则( ). A. 4011 B. 2020 C. 2019 D. 1806 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 使式子有意义的x的取值范围是_______． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 13. 若，为实数，且，则的值为________． 14. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 15. 若，是方程的两根，则代数式________ 16. 若一个四位数M的各个数位上的数字均不相同，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个四位数M为“公能数”，记M各数位上的数字之和为．若是“公能数”，且，则四位数是______；A、B均为“公能数”，，（，，，，，，且a，b，c，d，x，y均为整数），若，且能被8整除，则满足条件的A的值为______． 三．解答题 17. 计算下列各题 （1）； （2）； （3） 18. 用适当的方法解方程 （1）； （2）（配方法） （3）（公式法） 19. 解决下列问题： （1）先化简，再求值，，其中； （2）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，试化简：． 20. 已知，．求下列代数式的值． （1） （2） （3） 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根； （2）若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为4，求m的值． 22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ② （2）已知关于的方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． （3）若关于的方程（为常数，）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 24. 如图，长方形中（长方形的对边平行且相等，每个角都是），，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为，问： （1）当时，四边形面积是多少？ （2）当为何值时，点和点距离是？ （3）当为何值时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级第五学期10月月考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵的被开方数小于0，无意义，∴选项A不是二次根式； ∵的根指数为3，∴选项B不是二次根式； ∵当时，无意义，∴选项C不一定是二次根式； ∵，∴，∴一定是二次根式． 2. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：是最简二次根式，符合题意． 选项C：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：，不是最简二次根式，不符合题意． 3. 下列式子中运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的乘法计算，化简二次根式，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减计算，二次根式的乘法运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算正确，符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故答案为：C． 4. 若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 5. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 6. 方程根的情况是（ ） A. 两根一正一负 B. 两根都是负数 C. 两根都是正数 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 由，可知方程有两个不相等的实数根，设方程的两根分别为，则，一正一负，然后判断作答即可． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根分别为， ∴， ∴一正一负， 故选：A． 7. 年月日电影《疯狂动物城》在中国内地上映，第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每天票房的增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每天票房的增长率为， 根据题意得，， 故选：． 8. 已知有理数a、b，满足，若m、n分别表示的整数部分和小数部分，则直线经过的象限是（ ） A. 一、三、四象限 B. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 D. 一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先估算的范围得到、的值，代入等式后利用有理数的性质列方程组求、的符号，再判断直线经过的象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 将，代入，得， 展开得，整理得， ∵，为有理数， ∴， 解得， ∵，， ∴直线经过第一、二、四象限． 9. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 10. 设为正整数，，，，，…，….，已知，则( ). A. 4011 B. 2020 C. 2019 D. 1806 【答案】D 【解析】 【分析】利用多项式的乘法把各被开方数进行计算，然后求出A1、A2、A3，的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k=100代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵（n+3）（n-1）+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=（n+1）2， ∴=n+1， ∵（n+5）A1+4=（n+5）（n+1）+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=（n+3）2， ∴A2==n+3， （n+7）A2+4=（n+7）（n+3）+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25（n+5）2， A3==n+5， … 依此类推Ak=n+（2k-1）， ∴A100=n+（2×100-1）=2005， 解得n=1806． 故选 D． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1、A2、A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 使式子有意义的x的取值范围是_______． 【答案】且． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件以及解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于x的一元一次不等式组，解一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：且， 故答案为：且． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 若，为实数，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值和算术平方根都是非负数，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此求出和的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解： ，，且， ，解得， ，解得， 将，代入得， 14. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】 8 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得． ∴． ∵， 是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 15. 若，是方程的两根，则代数式________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用根与系数的关系得到和的值，判断的符号后化简代数式，再代入计算． 【详解】解：∵ ，是方程的两根， ∴ 根据根与系数的关系得，， ∵ ， ∴ ，， ∴， ∵，， ∴． 16. 若一个四位数M的各个数位上的数字均不相同，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个四位数M为“公能数”，记M各数位上的数字之和为．若是“公能数”，且，则四位数是______；A、B均为“公能数”，，（，，，，，，且a，b，c，d，x，y均为整数），若，且能被8整除，则满足条件的A的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：根据公能数定义，列出两个方程，联立求解得到的值，再验证数字互不相同得到四位数． 第二空：先利用公能数性质化简、，代入等式化简得到关于，的方程，试值确定，；再结合能被8整除，确定，求出，验证数字互不相同，得到． 【详解】解：∵是公能数， ，即， ∵， ， 联立， 解得 ∴四位数是． 是公能数， ， ， 是公能数， ， ， ， ， 化简得：， ，为整数，， ，或， 情形一，把代入，， ，解得（舍去）， 能被8整除， 能被4整除， ，为整数， ，，， ，， ， 当时，，数字重复，舍去； 当时，，，数字互不相同，符合条件； 当时，，不是个位数，舍去． 把代入，得， ， 解得（舍去）， 此时，此情形应舍去． 三．解答题 17. 计算下列各题 （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 用适当的方法解方程 （1）； （2）（配方法） （3）（公式法） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 ， ∴，； 【小问2详解】 ， ∴，； 【小问3详解】 方程的判别式为：， ∴， ∴，． 19. 解决下列问题： （1）先化简，再求值，，其中； （2）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，试化简：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先把括号里异分母分式通分合并，再把除法变乘法，约分化简，最后代入已知数值分母有理化求出结果； （2）先根据数轴判断式子正负，再去掉根号与绝对值符号，最后去括号后合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 当时，原式； 【小问2详解】 解：由图可知，，， ∴，，，， ∴，，， ∴ ． 20. 已知，．求下列代数式的值． （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接将a、b代入并运用平方差公式计算即可； （2）先求得，再凑成完全平方式，然后将、代入求值即可； （3）先利用完全平方公式的变形求得，再运用异分母分式加减法变形所求代数式，然后将、代入求值即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：∵． ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根； （2）若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为4，求m的值． 【答案】（1） ， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）先计算 再利用配方的方法证明，从而可得结论； （2）由题意用分别表示方程的两个根（即三角形的两直角边，的长），由根与系数的关系可得：，，根据勾股定理列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由题意用分别表示方程的两个根（即三角形的两直角边，的长）， 则有，，， 又∵的斜边， ∴， ∴， 即， ， ，， ∵，为两个正根， ∴舍去 ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练的运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． 22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】（1）米 （2）花圃的长为9米，宽为5米 （3）解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【解析】 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【小问1详解】 解：∵宽米， ∴长（米）； 【小问2详解】 解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． 【小问3详解】 略 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ② （2）已知关于的方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． （3）若关于的方程（为常数，）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】（1）①不是邻根方程；②是邻根方程（2）或；（3）16 【解析】 【分析】（1）①②根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t=12a-b2，得t与a的关系，从而得出最后结果． 【详解】解：（1）①解方程得：（x-3）（x+2）=0， ∵2≠-3+1， ∴x2-x-6=0不是“邻根方程”； ②， ∵， ∴2x2-2x+1=0是“邻根方程”； （2）解方程得：（x-m）（x+1）=0， ∴x=m或x=-1， ∵方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”， ∴或， ∴m=0或-2； （3）解方程得， ∵关于x的方程ax2+bx+1=0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”， ∴， ∴b2=a2+4a， ∵t=12a-b2， ∴t=8a-a2=-(a-4)2+16， ∵，， ∴a=4时，t的最大值为16． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数的最值，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义． 24. 如图，长方形中（长方形的对边平行且相等，每个角都是），，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为，问： （1）当时，四边形面积是多少？ （2）当为何值时，点和点距离是？ （3）当为何值时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】（1） （2）或秒 （3）或或或秒 【解析】 【分析】（1）当时，分别求出、和，再利用面积法求解四边形面积； （2）过作于，用表示出，在直角三角形中，根据勾股定理列出关于的方程求解即可； （3）分三类讨论：当①、、时，利用辅助线构造直角三角形，再根据勾股定理或三角形相关知识列出关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，， 长方形中，，，，， ． 四边形面积． 【小问2详解】 解：如图所示，过作于，， ， ． ，， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形， ，， ． ， ，即， 解得，，符合题意． 【小问3详解】 解：分三类情况讨论： ①当时，如下图，过作于，同理可得，，， ， 且， ，即，解得秒，符合题意． ②当时，如下图，过作于，同理可证四边形为矩形， ． 且， ， ， ， ，解得，符合题意． ③当时，如下图，，， ， ，即， 解得，负值舍去． 综上，当为或或或秒时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $