上海市市北中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

市北中学2025学年度第二学期高一年级数学期中考试试卷参考答案 一、填空题 1.v1o 2.23.（2,4)4.4 5.x=kπ，k∈Z 6.cosa-sina 10 . 8.等腰三角形 10.202511.√512.{0,1，-} 二、选择题 13.C 14.A 15.D 16.C 三、解答题 17.(1)由题意得(1+3i)(3+bi)=(3-3b)+(9+b)i, (1+3i)z是纯虚数， 3-3b=0 9+b≠0’ ∴.b=1, ∴.z=3+i. e4-8g}-2号- 7.1 而=5 --1. 18.(1)由a/1b,可得1×x=2×2,得x=4,故b=(2,4), 由a1c,可得1×y+2×3=0,得y=-6,故c=(6,3),∴b+C=V65. (2)由(1)，2a+b=2(1,2)+(2,4)=(4,8),a-c=(1,2)-(-6,3)=(7,-1), 设向量2a+b与a-c的夹角为0， 则cos0= (2a+b)(a-c 4×7-8 =10 2a+,a-dV4+82×V72+1101 所以向量2a+万与a-c的夹角为acos 10 1 191)由图可知：号音音-子所以T至径所以w=4 :A>0,由图易得A=子，则f()=sin(4x+p), 又)后+p5则m眉*9小-1，则肾+e=版+受kez。 所以e=2a+后ke2,结合0<e<号故@=看 6 故d-写n4+引 (2)令号2a≤4+后受+2eZ,解得号+ kmxs+kmk∈Z, 62 32 故单词递减区间为后+片红号+如] cZ, 令4x+π=π 62 +kπ，则x= 元+kπ，keZ, 124 故对称轴方程为x=+k红，k∈Z. Γ124 (3)先将函数y=f(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变)，可得 y-sin) 然后将)=m4+的函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得y-sm2x+》,最后将y-sn2+)的图像向右平移年个单位后得到函数 4 a=m--2x引当[吾引后]时，s2 所以=g国-1[ 20.(1)注意到∠EAM+∠AEM=90°，又∠AE'F'=90°， 则∠AEM+∠AEE=90°→∠MAE=∠AE'F'=0. 则EE=Frcm0=5x号=4， 又0引，则ma-号c=Esn0=- (2)由图，d=AM=E'E-AE+ME, 又由1。则d=AM=5os0+m0-2s,即do)=5as0+m0-,9(后引： (3)由(2)，3=5cos0+sin0-→10cos9+5sin0=11.则sin0=1-10cos9 2 2 5 则sin20+cos20= 11-10cos0)2 5 +cos20=1, 2 化简得：125cas0-20c0s0+96=0,解得cos0-号或os0 25 因0（层引则e0<9,故aw0有m0 5 设改造后停车位数量最大值为n. M A A H2 As H. E E A G G E F2 F 如图，过停车位顶点Gn做射线MA垂线，垂足为H. 则顶点Gn到线段ME距离为：dn=MA+AA+A4+…AnAn+A,Hn· 又由图及题意可得：A'A=AA=…=An-1An,AH2=AH3=…=AnHn, d,=MA'+AH+(n-1AA. 注意到∠E'AM+∠E,A'A=∠E2AA,+∠E,A,A',则∠EA'M=∠E2A,A'=6. ∠E2AA+∠G,A,H2=∠G,A,H2+∠A,G,H2,则∠E,AA=∠A,G,H2=0. 则-5。空444g,sin0-3,又M=f50=2 则d,=M+4H+(a-)《4=5+爱a-, 令4≤50→2a-小s495→is1594, 即改造后最大停车位数量为159，则改造后的停车位比改造前增加59个. 21.（1）由题意得/)-2sn+}4sn女-引-2 i.co名+osxm引-4osx 6 6 2sin x3+2cosx 4cosx=3sinx-3cos 0M=(5,-3,oM=3+9=23 (2)'函数f(x)为向量OM=(5,-1)的伴随函数， ---f9 n-jorj-2n(-引 f=1,0-248-1m44-8-8或4-君- 即A=或A=元（舍）， 又c=23,由弦定理得，aC+,即sin sinC子 ∴s如8sinC-c-g,即he=6 16 由余弦定理，得b2+c2-2 becos60°=12→(b+c)2-2bc-bc=12,即b+c=√30，即AB+AC=√30 (3)证明：先证必要性.由题可知，OM=-ON OM =(cosa,sina),ON=(-cosa,-sina) OP=OM+uON=(cosa,sina)+u(-cosa,-sina)=((-u)cosa,(-u)sina)(>0,u>0) h(x)=(-u)cosasinx+(-u)sinacosx=(A-u)sin(x+a) →p元-4 再证充分性.由p=入-4， OM =(cosa,sina),ON =(cos B,sin B),p=(cosa+ucos B,asina+usin B) ..h(x)=(acosa+ucos B)sinx+(asina+usin B)cosx ..p=(cosa+ucosB)+(sina+usin B)2=a-ut .++2u(cosacosB+sinasin B)=(-u) 因为2>0，u>0,所以OM.ON=-1, 又因为OM=ON=1,所以cos(OM,ON)=-1,得到(OM,ON)=元 根据OM=ON=1,得OM=-ON 综上，向量OM=-ON的充要条件是p=2-4. 4市北中学2025学年度第二学期高一年级数学期中考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.若点P(-3,1)是角&终边上一点，则sing的值为 2.已知复数z满足z=(2-i)i,则复数z的虚部为 3.已知向量AB=(3,4),点A的坐标为(-1,0)，则点B的坐标为 4.若扇形的面积是16cm2,圆心角为2弧度，则半径是 cm. 5.函数y=tanx的零点为 6.已知0<a<牙，化简-sm2a的结果是 .函数y=o-引0 的值域为 8.在△ABC中，角A、B、C分别对应边a、b、C,且a=2 bcos C,则此三角形的形状 为 9.已知向量a=(1,2),b=（-1,3),则a在b方向上的投影向量的坐标为 10.设函数f(x)=3cos x+ 2025 若对任意的x∈R都有f(x)≤f(x)≤f(x,)成立， 026 则x-的最小值为 11.如图，在△ABC中，AD⊥AB,BC=√BBD,AD=1,则AC.AD= 12.已知oe(0,π)，pe[0,2π)，函数f(x)=sin(x+p),对任意正整数n,有f(n+4)=f(n), 且集合A={xx=f(n),n∈N且n≥1的元素个数为3，则满足要求的f(I)的取值集合 M= 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13.下列函数中是奇函数的是() A.y=x.sinx B.y=sinx C.y=x+sinx D.=x+COSx 1 14.“a=2kr+年(k∈Z)”是“na=1”的（)条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 15.已知函数f(x)=sin x(o>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则w的取值范围是 ( A.(0,1) B.(0,] 16.向量集合S={aa=(y),xyeR,对于任意a,万∈S,以及任意元∈[0，，都有 a+(1-)b∈S,则称集合S是“凸集”，现有四个命题： ①集合M={aa=(x,y),y≥x是“凸集”； ②若s为“凸集”，则集合N={2aeS也是“凸集”： ③若A,A都是“凸集”，则AUA,也是“凸集”： ④若A,A都是“凸集”，且交集非空，则A∩A,也是“凸集”. 其中，所有正确说法的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 己知复数z=3+bi(b∈R),且(1+3i)z为纯虚数， (1)求复数z; ②若复数m2,求复数0-号的模 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知向量a=(1,2),b=(2,x),c=(y,3),且a∥b,a⊥c. (1)求6+d: (2)求向量2a+b与a-c的夹角.（结果用反三角表示） 2 19.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分) 已知函数f()=4sn(ox+pj4>0,w>0.0<< 的图像如图所示. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数∫(x)的单调递减区间以及对称轴方程； (3)先将函数y=∫(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得 到的函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图像向右平移 个单位后得到函数y=g(x)的图像.若g()-m+1=0在x∈ ππ 4’2 有解，求实数m的取值 范围. 20.(本题满分16分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题8分) 某学校附近有一条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD),路的一侧划有 100个长5米，宽2.5米的停车位（一个停车位形如图1中的矩形AEFG).由于停车位不足， 放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改 变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（改 造后的一个停车位形如图2中的矩形AEFG').记绿化带被压缩的宽度AM=d（米)，改造 后的停车位相对道路倾斜的角度∠MAE=0,其中O∈ ππ 63 绿化带 绿化带 G 汽车通道 汽车通道 图1（改造前） 图2（改造后） 3 4 (1)若cos0=5,求EE和EM的长： (2)求d关于0的函数表达式d(O): (3)若d=3,按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 定义：若非零向量OM=(a,b),函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcosx,则称f(x) 为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量. 1)若向量oM为函数(a)=2sm+}4snx-到的件随向量，求OM: (2)若函数f(x)为向量OM=(N3,-1)的伴随函数，在△ABC中，BC=25,f(A)=1,且 sin BsinC-3 求AB+4C的值： (3)已知OM=ON=1,OM的“伴随函数”为f(x),ON的“伴随函数”为g(x),设 OP=OM+uON(>0,u>0),且OP的伴随函数为h(x),其最大值为P.求证：向量 OM=-ON的充要条件是p=2-4. 4