精品解析：上海市朱家角中学2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题

上海市朱家角中学2025学年度第二学期期中质量监测 高一数学 （满分120分，考试时间90分钟） 2026.4 一､填空题（本大题共12题，每题4分） 1. 函数的最小正周期是___________． 【答案】 【解析】 【详解】的最小正周期是， 故答案为： 2. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则计算得到，从而求出的虚部. 【详解】，故虚部为-1. 故答案为：-1 3. 已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将角度化为弧度，结合弧长公式运算求解即可. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，即为弧度， 且半径，所以扇形的弧长为. 故答案为：. 4. 角为第一象限角，，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系直接计算即可． 【详解】角为第一象限角，， ． 故答案为：． 5. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的关系化简即可. 【详解】 . 故答案为： 6. 若，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】，，， 故. 7. 已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解. 【详解】由于与平行，故设， 即，而向量与不平行， 故，解得， 故答案为： 8. 已知向量，，则在的方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式求解. 【详解】投影向量. 故答案为：. 9. 已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 10. 已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 11. 定义，若函数，给出下列四个命题： ①该函数是周期函数，且最小正周期是； ②该函数的值域是； ③该函数是偶函数； ④对任意，恒成立. 上述命题中错误的序号是____________． 【答案】①② 【解析】 【分析】根据题意化简得：据此逐项分析即可 【详解】令，解得：， 同理，解得：， 对于①，若最小正周期是，则成立， 所以，最小正周期不是，①错误 对于②，当时，， ，值域为， 当时，， ，值域为， 综上，该函数的值域是，②错误 对于③，定义域为，关于原点对称 ， ， 是偶函数，③正确 对于④，当时， ， 当时， ， 综上，对任意，恒成立，④正确 故答案为：①② 12. 在中，若，则的最大值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直可得，利用数量积的运算律及正余弦定理化简可得，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值，从而求出的最大值. 【详解】由题意，，则， ，即， ，所以， 化简可得：， ， 当且仅当，即时等号成立， 在中，为锐角，要使最大，则取最小值， ， ， 的最大值为. 故答案为：. 二､选择题（本大题共4题，每题4分） 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 终边相同的角一定相等； B. 1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角； C. ； D. 锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角． 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的相关概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，终边相同的角不一定相等，故A选项错误； 对于B选项，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角为1弧度，故B选项错误； 对于C选项，由于，是第三象限角，故； 对于D选项，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．正确. 故选：D 14. 已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可. 【详解】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 15. 关于函数的判断，正确的是（ ） A. 振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B. 振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C. 振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D. 振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可． 【详解】， 则振幅为，值域为， 当，即时，函数单调递减， 则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调， 故在上是单调增函数，在区间上不单调， 故选：D． 16. 已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到与在方向上的数量投影相同，再结合图象即可求解. 【详解】因为，所以与在方向上的数量投影相同. 将，，…，，平移到同一起点， 以所在直线为轴，同一起点为坐标原点建系， 因为，所以，，…，的终点在半径为1或2的圆上， 如图，作与轴垂直的直线，并左右平移，与两个圆最多是4个交点， 此时在上的数量投影为相同值的向量，最多有4个. 故选：B. 三､解答题（本大题共56分） 17. 已知都是锐角，且，， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正切公式进行求解； （2）利用同角三角函数的基本关系式分别求出，，的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 18. 已知的周长为，且. （1）求边长的值； （2）若，求角的余弦值. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边建立方程，求解参数即可. （2）利用三角形面积公式求出关键参数值，结合余弦定理并利用配方法可求余弦值. 【小问1详解】 由正弦定理角化边得： 由题意得， 所以解得，. 【小问2详解】 由面积公式得， 由余弦定理得. 19. 已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 【答案】（1）i或i；（2）． 【解析】 【分析】（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组即可． （2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，再根据向量的数量积即可求出 【详解】（1）设i， 由复数满足，的虚部为2． 可得，解得或， 故i或i； （2）当i时，i，i， 所以，，， 所以. 20. 设向量，，函数. （1）求的单调减区间； （2）在中，若角满足，且边，求周长的取值范围. 【答案】（1）的单调减区间为，. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积坐标运算求出表达式，再用三角恒等变换把式子化成 的形式再结合正弦函数单调递减区间列不等式，解出的范围即可得到单调减区间. （2）先代入求出角的大小，再由已知边结合正弦定理把另外两边转化为角的正弦形式，将周长整理为单一三角函数形式，最后根据角的范围求出三角函数值域，进而得到三角形周长的取值范围. 【小问1详解】 . 由，，解得，. 所以的单调减区间为，. 【小问2详解】 由，得，即. 因为，所以，即. 已知，由正弦定理. 所以，. 又，， 则周长 . 由，得，所以. 即周长的取值范围是. 21. 已知函数的定义域为，若存在一个向量，对于任意，均有成立，则称向量为函数的“伴随向量”． （1）判断是否是函数的伴随向量，并说明理由； （2）判断函数是否存在伴随向量．若存在，求出函数的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由： （3）若，都是函数的“伴随向量”．当时，；当时，．求当时，函数的解析式和零点． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）存在，和， （3），零点为 【解析】 【分析】（1）利用题设定义，给合诱导公式，得，即可求解； （2）先假设的伴随向量为，根据题设定义得，再利用基本不等式和三角函数的性，即可求解； （3）根据条件得且，从而得，再结合题设条件，求出在上的解析式，再利用周期性，即可求解，利用解析式即可得零点. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因此向量是函数的伴随向量． 【小问2详解】 若存在伴随向量，则， 所以，得到， 即（其中为辅助角）， 由题知，上式对任意的都成立，则， 即，由于，当且仅当时，等号成立， 所以，又因为，故 当时，，，： 当时，，，． 故函数的“伴随向量”为和， 【小问3详解】 因为，都是函数的“伴随向量”， 所以且，由，得， 所以，则， 故函数是以4为周期的函数．又当时，；当时，， 当，则，此时； 由，，得， 所以当，则，此时； 当，则，此时， 由，得，又，所以，又， 所以，又，是以4为周期的函数， 故 当时，函数的零点为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市朱家角中学2025学年度第二学期期中质量监测 高一数学 （满分120分，考试时间90分钟） 2026.4 一､填空题（本大题共12题，每题4分） 1. 函数的最小正周期是___________． 2. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为________. 3. 已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 4. 角为第一象限角，，则___________ 5. 化简：__________． 6. 若，，则__________. 7. 已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 8. 已知向量，，则在的方向上的投影向量的坐标为______. 9. 已知向量、的夹角为，且，，则___________ 10. 已知复数满足，则的值为______． 11. 定义，若函数，给出下列四个命题： ①该函数是周期函数，且最小正周期是； ②该函数的值域是； ③该函数是偶函数； ④对任意，恒成立. 上述命题中错误的序号是____________． 12. 在中，若，则的最大值是____________． 二､选择题（本大题共4题，每题4分） 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 终边相同的角一定相等； B. 1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角； C. ； D. 锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角． 14. 已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 关于函数的判断，正确的是（ ） A. 振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B. 振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C. 振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D. 振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 16. 已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 三､解答题（本大题共56分） 17. 已知都是锐角，且，， （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知的周长为，且. （1）求边长的值； （2）若，求角的余弦值. 19. 已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 20. 设向量，，函数. （1）求的单调减区间； （2）在中，若角满足，且边，求周长的取值范围. 21. 已知函数的定义域为，若存在一个向量，对于任意，均有成立，则称向量为函数的“伴随向量”． （1）判断是否是函数的伴随向量，并说明理由； （2）判断函数是否存在伴随向量．若存在，求出函数的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由： （3）若，都是函数的“伴随向量”．当时，；当时，．求当时，函数的解析式和零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $