山东省泰安市泰山区2025-2026学年高二下学期期末考试数学模拟卷

**基本信息** 山东省泰安市泰山区2026年高中数学期末模拟卷，以AI绘画调查、智能机器人比赛等现实情境为载体，融合导数应用、概率统计、二项式定理等知识，考查数学眼光观察现实、数学思维分析问题、数学语言表达规律的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题40分|导数几何意义、排列组合、函数图像|通过导函数图像判断原函数（题3），渗透逻辑推理| |多项选择题|3题18分|函数极值与零点、二项式定理|多选项设计（题9），考查批判性思维| |填空题|3题15分|切线方程、随机事件概率、相关系数|切线与曲线交点问题（题12），融合几何直观| |解答题|5题180分|概率统计（AI调查）、导数应用、二项式定理选条件|AI绘画调查独立性检验（题19）体现数据观念；二项式定理选条件（题16）设置层次性任务|

山东省泰安市泰山区2026年期末考试模拟卷 一、选择题(共40分) 1．（5分）如果函数在处的导数为1，则(      ) A.1 B. C.2 D. 2．（5分）甲、乙、丙、丁四名同学可以随机地选修王老师、张老师、李老师中任何一位老师开设的课程，则不同的选课方案有(      ) A.24种 B.36种 C.64种 D.81种 3．（5分）已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如图所示，则该函数的图像是(   ). A. B. C. D. 4．（5分）的展开式的常数项为(      ) A.2430 B.4860 C.4680 D.2340 5．（5分）甲箱中有2个红球和3个白球,乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中所有的球仅颜色不同）,先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,再从乙箱中随机取出两球,设“从甲箱中取出的球是红球”,“从乙箱中取出的两球都是红球”,则(      ) A. B. C. D. 6．（5分）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是(      ). A. B. C. D. 7．（5分）某市高二数学统考,满分为150分.假设学生考试成绩,如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级,则A等级分数线大概为(      ) （参考数据:若,则） A.134 B.120 C.116 D.110 8．（5分）已知变量x,y的数据如下： x 3 4 6 7 y 2.5 3 m 5.9 若x与y的回归直线方程为,则(      ) A.3.5 B.4 C.4.2 D.5 二、多项选择题(共18分) 9．（6分）已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则下列说法正确的是(      ) A.有且只有一个极值点 B.有且只有一个零点 C.若，则 D.过坐标原点仅有一条直线与曲线相切 10．（6分）已知，则(   ) A.展后式中的第4项为 B.展开式中的常数项为60 C.展出式中的各项系数之和为1 D.展开式中第4项的二项式系数最大 11．（6分）小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件B为“只有小张去甲景点”，则( ) A.这四人不同的旅游方案共有64种 B.“每个景点都有人去”的方案共有72种 C. D.“四个人只去了两个景点”的概率是 三、填空题(共15分) 12．（5分）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点,则____________. 13．（5分）已知两个随机事件A,B，若，，则________. 14．（5分）已知样本相关系数,则成对样本数据,,,,的相关系数为_____________. 四、解答题(共180分) 15．（13分）从5名男生和3名女生中选出3人,分别求符合下列条件的选法数. （1）男同学甲、女同学乙必须被选出; （2）至少有2名女生被选出; （3）让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3种不同职务,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任. 16．（15分）在下面两个条件中任选一个，补充在后面问题中的横线上，并完成解答. 条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37； 条件②：第3项与第7项的二项式系数相等. 问题：在二项式的展开式中，已知_________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）设，求的值； （3）求的展开式中的系数. 17．（15分）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛. (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列. 18．（17分）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围. 19．（120分）人们曾经相信,艺术家将是最后被AI所取代的职业,但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕,这可能是AI第一次引起人类的恐慌.由novalAI,DALL-E2等软件创作出来的绘画作品风格各异,乍看之下,已与人类绘画作品无异.AI会取代人类画师吗?某机构随机对60人进行了一次调查,统计发现认为会取代的有42人,30岁以下认为不会取代的有12人,占30岁以下调查人数的. （1）根据以上数据完成如下列联表: 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下     12     30岁及以上             总计 42     60 （2）依据小概率值的独立性检验,能否认为年龄与理解情况有关? 附: 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式:,其中. 参考答案 1．答案：C 解析：因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 2．答案：D 解析：甲、乙、丙、丁四名同学每名同学选课均有王老师、张老师、李老师共3种选择，根据分步乘法计数原理共有种选择. 故选：D. 3．答案：B 解析：由图可知，导函数的先增大后减少. 当单调递增时，，此时是凹函数； 当单调递減时，，此时是凸函数， 所以原函数应该是先凹后凸.故选B. 4．答案：B 解析：二项式的展开式的通项为 ， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 5．答案：C 解析：由题意得：, 根据全概率公式可得：, 所以, 故选：C. 6．答案：D 解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则， 因为，所以由均值不等式得， 又，则，即，所以.故选D. 7．答案：D 解析： 8．答案：B 解析：由题意可得,, 则,解得. 故选：B. 9．答案：BC 解析：由得，令，则，令，解得，所以是函数的极小值点.又的极值点是函数的零点，所以，解得.此时. 对于A，且等号不恒成立，所以函数为R上的增函数，则没有极值点，故A错误； 对于B，由A知，函数为R上的增函数，且，即有且只有一个零点，故B正确； 对于C，，则，因为函数为R上的增函数，所以由，即可得，即，故C正确； 对于D，不妨设切点为，由，可得切线斜率为，则切线方程为，由切线过原点，得，整理得，解得或，即过坐标原点有两条直线与曲线相切，故D错误.故选BC. 10．答案：BCD 解析：的展开式的通项， 对于A，展开式中的第4项为，所以A不正确； 对于B，令，解得，所以展开式中的常数项为，所以B正确； 对于C，令，得展开式中各项系数之和为，所以C正确； 对于D，由可知展开式共有7项，所以展开式中第4项的二项式系数最大，所以D正确.故选BCD. 11．答案：CD 解析：A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误； B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人， 故有种方案，B错误； C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人， 由B选项可知，，又事件AB，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，故，所以，C正确； D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，第一，有3人去了同一个景点，其余一人去另一个景点，则有种方案，第二，2人去了同一个景点，其余2人去另一个景点，则有种方案，由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确.故选CD. 12．答案：0或 解析：因为,所以, 所以当时,,即切线的斜率为2, 所以由点斜式得即, 联立整理得, 因为切线与曲线只有一个公共点, 所以方程只有一个根, 当时,方程为只有一个根,满足题意； 当时,,即,解得, 综上或, 故答案为:0或. 13．答案： 解析：， . 故答案为：. 14．答案： 解析：因为,, , , 所以. 故答案为：. 15．答案：（1）6 （2）16 （3）90 解析：（1）根据题意,先选出男同学甲,女同学乙,再从其它6个人中再选1人即可,共有种选法; （2）从8人中任选3人,有种选法,没有女学生入选,即全选男生的情况有种情况, 只有1名女生入选,即选取1女4男,有种选法,故所有符合条件选法数为:种; （3）选出一个男生担任体育班委,有种情况, 再选出1名女生担任文娱班委,有种情况, 剩下的6人中任取1人担任其它班委,有种情况, 用分步计数原理可得到所有方法总数为:种. 16．答案：（1） （2）0 （3）560 解析：选择①，由，解得. 选择②，由，解得. （1）展开式中二项式系数最大的项为. （2）令，则， 令，则，所以. （3）因为， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为560. 17．答案：(1) (2)分布列见解析 解析：(1)设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， “随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”， 则， 且， 由全概率公式，可得 . (2)设在一轮比赛中的得分为随机变量X， 则X可能取值为-2，0，2， 则， ， ， 所以得分X的分布列为： X -2 0 2 P 18．答案：（1）； （2） 解析：（1）当时，函数，可得， 所以，当时，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）由条件可得，则当时，恒成立. 令，则. 令，则当时，， 所以在上为减函数. 又，则在上，； 在上，，所以在上为增函数，在上为减函数，则，故. 19．答案：（1）答案见解析 （2）年龄与理解情况无关 解析：（1）完成列联表如下: 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 18 12 30 30岁及以上 24 6 30 总计 42 18 60 （2）零假设为:年龄与理解情况相互独立,即年龄与理解情况无关, 由题意,. 所以根据小概率值的独立性检验,我们推断成立. 即认为年龄与理解情况无关,此推断犯错误的概率不大于0.010. 学科网（北京）股份有限公司 $