21.5 矩形 分层练习 2025--2026学年冀教版八年级数学下册

**基本信息** 冀教版八年级下册矩形分层练习，以性质应用→判定→综合应用为路径，分层设计梯度清晰，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|矩形性质单一应用（角度、线段长、面积计算）|以选择填空为主，如角度计算选择题，夯实几何直观与运算能力| |判定理解层|矩形判定条件辨析与补充（选择、条件添加）|含“不能判定矩形的条件”等辨析题，培养推理意识| |综合提升层|性质与判定综合应用（证明、实际问题、综合求解）|结合窗框检测等实际情境题，发展模型意识与创新意识|

冀教版（2024）八年级下册 21.5 矩形 分层练习 根据矩形的性质求角度 1、两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A.α﹣90° B.180°﹣α C.α﹣45° D.270°﹣α 2、如图，点E是矩形ABCD外一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G．∠2＝118°．则∠1的度数为（　　） A.12° B.18° C.22° D.28° 3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝        °． 4、如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG． （1）若AB＝2，AD＝3，则EF的长为     ； （2）求证：BG＝DG； （3）连接BD，求∠BDG的度数． 5、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E． （1）求对角线AC的长． （2）求∠AOE的度数． 根据矩形的性质求线段长 1、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥OB于点E，当E为OB中点时，则AC的长为（　　） A. B.4 C. D.8 2、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点F是边AD上的一点，且DF＝3，连接BF，BF的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB于点P，连接EF交CD于点H，点H为边CD的中点，则AF的长为（　　） A.8 B.7 C.4 D.3 3、在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，若P是射线AD上一个动点，连接BP，点A关于直线BP的对称点为M，连接MP，MC，当P，M，C三点共线时，AP的长为           ． 4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝2，AB＝3，求AF的长． 根据矩形的性质求面积 1、如图，长方形ABCD中，E、F分别在边AD和AB上，连接BE、CE、CF、DF，BE与CF、DF分别交于G、H，CE交DF于点K，若S四边形AFHE＝60，S△BFG＝25，S△EKD＝20，S△BGC＝80，S△CKD＝70，则图中阴影部分的面积为（　　） A.96 B.100 C.105 D.106 2、将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为（　　） A. B. C. D. 3、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A.10 B.12 C.16 D.18 4、如图是长方形中，E点是CD的中点，阴影部分三角形EFC的边CE上的高是长方形宽的，阴影部分与空白部分的面积比是             ． 5、如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝60°，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC于点E，F，连结BF，DE． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）分别取DE，BF的中点M，N，连结FM，EN．若AD＝4，求四边形MFNE的面积． 利用矩形的性质证明 1、如图，点E为矩形ABCD的边BC上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，DP的延长线交AB于G．下列结论：①PF＝2.5；②PF⊥DG；③．其中结论正确的有（　　） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3、如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是             4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长BD至点E，延长DB至点F，使BF＝DE． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若∠ECA＝90°，∠CEF＝30°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由． 5、如图，AC为矩形ABCD的对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF． （2）求证：四边形BFDE是平行四边形． 判断所给条件能否判定矩形 1、下列说法不能判定四边形是矩形的是（　　） A.有一个角为90°的平行四边形 B.四个角都相等的四边形 C.对角线相等的平行四边形 D.对角线互相平分的四边形 2、下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　　） A.一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B.有三个角是直角 C.两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D.一组对边平行，另一组对边相等 3、各图中，是矩形的是（　　） A. B. C. D. 4、在四边形ABCD中，有以下四个条件： ①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC． 从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是           ． 5、对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有        ． 6、在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），C（﹣a，﹣b），D（﹣a，﹣c）（a≠0，b≠c）．若要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由． 添加一条件使四边形是矩形 1、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使▱ABCD为矩形，可以添加下列哪个条件？（　　） A.AC⊥BD B.∠ACB＝∠ACD C.AB＝AD D.OA＝OB 2、如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　） A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4 3、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　） A.OB＝5 B.OD＝5 C.AB＝5 D.BC＝8 4、如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是               ．（只需写出一个符合要求的条件） 5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，E是AO中点，BE的延长线与BD的平行线AF交于点F． （1）求证：AF＝BO． （2）当平行四边形ABCD满足条件              时，四边形AODF是矩形（只添加一个你认为正确的条件即可）． （3）在上一步的条件下，证明四边形AODF是矩形． 证明四边形是矩形 1、已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为        ． 2、如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有         （填序号）． 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE、DE，DE交AC于点O，且DE∥AB． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明． 4、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G． （1）求证：DF∥AC； （2）连结DE、CF，如果BF＝2AB，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形． 矩形的判定定理的实际应用 1、如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 2、如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（　　） A.有三个角是直角的四边形是矩形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 3、如图所示，工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行． 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB＝CD，EF＝GH． （1）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，它的依据是                                         ． （2）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是矩形，它的依据是                                     ． 4、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等： 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等． 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是       ． 5、木匠师傅要检查一下一扇窗是否是矩形的，可是他身上只带一把卷尺，你能说明一下木匠师傅可以用什么样的方法进行检验吗？请你说明这样操作的依据是什么？ 6、检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理． 综合应用矩形的判定和性质求解 1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A. B.13 C. D. 2、我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形ABCD就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形ABCD面积的是（　　） A.BM与DM的积 B.BE与DE的积 C.BM与DE的积 D.BE与DM的积 3、如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是（　　） A.1 B.2 C. D. 4、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，连接CD、EF交于点G．若EG＝FG，CG＝DG，AE＝6，EF＝10，则边AC的长为         ． 5、如图，在线段AB上有一点C（不与端点A、B重合）且AB＝9，分别以A、B为直角顶点构造两个等腰直角△ACD和△BCE，点F为边CE上一点，连接DE、DF，点M是DF的中点，连接BM，则BM的最小值是     ． 6、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE为矩形； （2）连接OF，若AD＝3，EC＝2，∠ABF＝60°，求OF的长． 7、如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，CD＝AE，∠ADC的角平分线交BC于F，连接AF． （1）求证：四边形AFCE为矩形． （2）若AD＝3，CD＝2，求点A到线段DF的距离AG的长． 综合应用矩形的判定和性质证明 1、已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（　　） A.AC⊥BD B.AC＝BD C.AB＝BC D.AB＝AC 2、如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A.1 B.2 C.3 D.4 3、我们在学习直角三角形斜边的中线定理时，小明同学证明的过程有点缺失，你能帮他找回缺失的部分吗？已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，求证：BO＝2AC证明：如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD．… ∴AC＝BD＝2OB，∴．下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形ABCD是平行四边形；②∵∠ABC＝90°；③∵OA＝OC，OB＝OD；④∴四边形ABCD是矩形．则正确的顺序为（　　） A.③①②④ B.③②①④ C.②③①④ D.②①③④ 4、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D在线段BC上，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，点G，H分别是EF，BC的中点，若AB＝4，则下列结论正确的是         .（写出所有正确结论的序号） ①； ②EF的最小值是； ③△DEF的面积始终保持不变； ④△DGH是等腰三角形． 5、如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为                          ． 6、如图，BD平分∠ABF，点A是射线BM上一点，过点A作AD∥BN交BG于点D，过A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）在BF上取点C使得CF＝BE，连接AC、CD．求证：AD=AB． 7、如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，连接AC，DE．求证：AC＝DE． 冀教版（2024）八年级下册 21.5 矩形 分层练习（参考答案） 1根据矩形的性质求角度 1、两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A.α﹣90° B.180°﹣α C.α﹣45° D.270°﹣α 【答案】B 【解析】如图： ∵四边形ABCD，四边形EFGH都是矩形， ∴∠B＝∠EHG＝90°， ∵∠1是△EBH的一个外角， ∴∠3＝∠1﹣∠B＝α﹣90°， ∴∠2＝∠EHG﹣∠3 ＝90°﹣（α﹣90°） ＝180°﹣α， 故选：B． 2、如图，点E是矩形ABCD外一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G．∠2＝118°．则∠1的度数为（　　） A.12° B.18° C.22° D.28° 【答案】D 【解析】点E是矩形ABCD外一点，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G，∠2＝118°， ∴AD∥BC， ∴∠EFD＝∠2＝118°， ∵EG⊥AE， ∴∠E＝90°， ∵∠EFD＝∠1+∠E， ∴∠1＝∠EFD﹣∠E＝28°， 故选：D． 3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝        °． 【答案】35 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠AOD＝110°， ∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°； 故答案为：35． 4、如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG． （1）若AB＝2，AD＝3，则EF的长为     ； （2）求证：BG＝DG； （3）连接BD，求∠BDG的度数． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝3， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE＝45°， ∴∠BEA＝∠BAE＝45°， ∴BE＝AB＝2． ∴CE＝BC﹣BE＝3﹣2＝1． ∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°， ∴∠F＝∠CEF＝45°， ∴CE＝CF＝1， 在Rt△CEF中，利用勾股定理可得： ． （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD，BC∥DA，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠BCF＝∠BCD＝90°， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF＝45°， ∴∠F＝∠DAF＝45°， ∴DF＝DA， ∴BC＝DF， ∵CG⊥AF于点G， ∴∠CGF＝90°， ∴∠GCF＝∠F＝45°， ∴∠GCF＝∠F＝45° 在△BCG和△DFG中， ∴△BCG≌△DFG（SAS）， ∴BG＝DG． （3）解：∵△BCG≌△DFG， ∴∠CBG＝∠FDG， ∴∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CBG+∠BDG＝∠CBD+∠FDG+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°， 又∵BG＝DG ∴∠GBD＝∠BDG， ∴∠BDG＝45°， ∴∠BDG的度数是45°． 5、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E． （1）求对角线AC的长． （2）求∠AOE的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， 又∵AB＝4， ∴OA＝AB＝4， ∴AC＝OA+OC＝8． （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠ABE＝90°，OA＝OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴AB＝BE， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB＝AB，∠ABO＝60°， ∴∠OBE＝∠ABE﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝BE，OB＝AB， ∴OB＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO， ∴， ∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°． 2根据矩形的性质求线段长 1、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥OB于点E，当E为OB中点时，则AC的长为（　　） A. B.4 C. D.8 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE⊥OB，E为OB中点， ∴AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴OA＝AB＝OB＝4， ∴BD＝2OB＝8＝AC． 故选：D． 2、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点F是边AD上的一点，且DF＝3，连接BF，BF的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB于点P，连接EF交CD于点H，点H为边CD的中点，则AF的长为（　　） A.8 B.7 C.4 D.3 【答案】C 【解析】矩形ABCD中，H是CD的中点，AB＝8， ∴CH＝DH＝×8＝4， 在△DFH和△CEH中， ， ∴△DFH≌△CEH（ASA）， ∴DF＝CE＝3，FH＝EH， 在Rt△DEH中，FH＝＝5， ∴EF＝2FH＝10， ∵EH垂直平分BF， ∴BE＝EF＝10， ∴BC＝AD＝7． ∴AF＝AD﹣DF＝4， 故选：C． 3、在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，若P是射线AD上一个动点，连接BP，点A关于直线BP的对称点为M，连接MP，MC，当P，M，C三点共线时，AP的长为           ． 【答案】1或9． 【解析】①当P，M，C三点共线时，如图1所示： 在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠A＝∠D＝90°， ∵点A关于直线BP的对称点为M， ∴∠A＝∠BMP＝90°，BM＝AB＝3，AP＝MP， ∴CM＝＝＝4， 设AP＝x， 则PD＝AD﹣AP＝5﹣x，CP＝CM+PM＝4+x， 在Rt△PDC中，根据勾股定理得：PC2＝PD2+CD2， ∴（4+x）2＝（5﹣x）2+32， ∴x＝1， ∴AP的长为1； ②如图2，由轴对称的性质得AP＝MP，∠APB＝∠MPB， 由平行线的性质得∠APB＝∠CBP ∴∠CPB＝∠CBP， ∴CP＝CB＝5， 在RtABCM中，BM＝AB＝3，由勾股定理得CM＝4， ∴MP＝CP+CM＝9， ∴AP＝9， 综上所述：AP的长为1或9， 故答案为：1或9． 4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝2，AB＝3，求AF的长． 【答案】解：如图，连接AE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°． ∵BE＝2，AB＝3， ∴． ∵EF是AC的垂直平分线， ∴CE＝AE， ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠ECO，∠AFE＝∠CEF． 又∵AO＝CO， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE． ∵， ∴． 3根据矩形的性质求面积 1、如图，长方形ABCD中，E、F分别在边AD和AB上，连接BE、CE、CF、DF，BE与CF、DF分别交于G、H，CE交DF于点K，若S四边形AFHE＝60，S△BFG＝25，S△EKD＝20，S△BGC＝80，S△CKD＝70，则图中阴影部分的面积为（　　） A.96 B.100 C.105 D.106 【答案】C 【解析】如图，连接CH， ∵S△BFG＝25，S△BGC＝80， ∴FG：CG＝25：80＝5：16， ∴S△HGF：S△HGC＝5：16， 设S△HGF＝5a，则S△HGC＝16a， ∵S△EKD＝20，S△CKD＝70， ∴EK：CK＝20：70＝2：7， ∴S△HKE：S△HKC＝2：7， 设S△HKE＝2b，则S△HKC＝7b， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴S△ABE+S△DCE＝S△BCE，S△ADF+S△BCF＝S△DCF， ∴， 整理得， ①+②，得32a+14b＝210， ∴16a+7b＝105， ∴S阴影＝S△HGC+S△HKC＝16a+7b＝105， 故选：C． 2、将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得：CF＝BC＝1，∠F＝∠B＝90°， ∴∠BAC＝∠CAF， ∵AF∥CE， ∴∠ACG＝∠CAF， ∴∠ACG＝∠BAC， ∴AG＝CG， 设AG＝x，则CG＝x，BG＝2﹣x， 在Rt△CGB中，由勾股定理得：CG2＝CB2+BG2， ∴12+（2﹣x）2＝x2， ∴x＝， ∵两张完全相同的矩形纸片， ∴CH∥AG，AH∥CG， ∴四边形AHCG是平行四边形， ∴重叠部分图形的面积＝AG•BC＝×1＝． 故选：D． 3、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A.10 B.12 C.16 D.18 【答案】B 【解析】作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∵MP＝AE＝2 ∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6， ∴S阴＝6+6＝12， 故选：B． 4、如图是长方形中，E点是CD的中点，阴影部分三角形EFC的边CE上的高是长方形宽的，阴影部分与空白部分的面积比是             ． 【答案】1：11． 【解析】∵E点是CD的中点， ∴CE＝， ∵阴影部分三角形EFC的边CE上的高是长方形宽的， ∴阴影部分三角形EFC的边CE上的高＝， ∴阴影部分的面积＝， ∵长方形ABCD的面积＝CD•BC， ∴阴影部分与空白部分的面积比＝＝1：11， 故答案为：1：11． 5、如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝60°，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC于点E，F，连结BF，DE． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）分别取DE，BF的中点M，N，连结FM，EN．若AD＝4，求四边形MFNE的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥|BC， ∴∠DAF＝∠ACB＝60°， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴DF∥BE，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴DF＝BE， ∵DF∥BE， ∴四边形BEDF为平行四边形． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠DCB＝90°，BC＝DA， ∵DF⊥AC， ∴∠ADF＝30°， ∴AF＝AD＝2， ∴DF＝＝2， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AC＝2AD＝4， ∵△ADF≌△CBE（AAS）， ∴EC＝AF＝2， ∴EF＝AC﹣AF﹣EC＝8﹣2﹣2＝4， ∴S△DEF＝EF•DF＝×4×2＝4， ∵DE的中点M， ∴S△FME＝S△FDE＝×4＝2； 同理可得：S△FNE＝2， ∴四边形MFNE的面积为S△FME+S△FNE＝4． 4利用矩形的性质证明 1、如图，点E为矩形ABCD的边BC上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD， ∵DF＝AB， ∴DF＝CD， ∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝∠DFE＝90°， 在Rt△DEF和Rt△DEC中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），①正确； ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， 在△ABE和△DFA中， ， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴S△ABE＝S△ADF；②正确； ∴BE＝AF，④正确，③不正确； 故选：C． 2、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，DP的延长线交AB于G．下列结论：①PF＝2.5；②PF⊥DG；③．其中结论正确的有（　　） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】D 【解析】连接GF，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P， 得PF＝BF＝CF＝2.5，故①对； 由DE＝AD＝BC＝BF，DE∥BF， 得四边形BEDF是平行四边形， 得BE∥DF， 得CP⊥DF， 由PF＝CF， 得CP垂直平分DF， 得PD＝CD＝3， 得△DPF≌△DCF（SSS）， 得∠DPF＝∠DCF＝90°，即PF⊥DG，故②对； 由∠GPF＝∠GBF＝90°，PF＝BF，GF＝GF， 得△GPF≌△GBF（HL）， 得BG＝PG＝x， 由AG2+AD2＝GD2， 得（3﹣x）2+52＝（3+x）2， 得PG＝x＝，故③对． 故选：D． 3、如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是             【答案】①②③④ 【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝AB， ∵AD＝AB， ∴AE＝AD， 在△ABE和△AHD中， ， ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE＝DH， ∴AB＝BE＝AH＝HD， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED，故①正确； ∵AB＝AH， ∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等）， ∴∠OHE＝67.5°＝∠AED， ∴OE＝OH， ∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠DHO＝∠ODH， ∴OH＝OD， ∴OE＝OD＝OH，故②正确； ∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD， 在△BEH和△HDF中， ， ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确； ∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD， ∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确； 故答案为：①②③④． 4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长BD至点E，延长DB至点F，使BF＝DE． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若∠ECA＝90°，∠CEF＝30°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BF＝DE． ∴OF＝OE， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：BD＝， 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD＝AO＝CO， ∵∠ACE＝90°，∠CEF＝30°， ∴OC＝OE， ∴OD＝OE， ∵OF＝OE， ∴OB＝， ∴BD＝． 5、如图，AC为矩形ABCD的对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF． （2）求证：四边形BFDE是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 5判断所给条件能否判定矩形 1、下列说法不能判定四边形是矩形的是（　　） A.有一个角为90°的平行四边形 B.四个角都相等的四边形 C.对角线相等的平行四边形 D.对角线互相平分的四边形 【答案】D 【解析】根据矩形的判定，可得A、B、C可判定四边形为矩形，D不能． 故选：D． 2、下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　　） A.一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B.有三个角是直角 C.两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D.一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解析】A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角的四边形是矩形，故A不符合题意； B．有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意； C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形是矩形，故C不符合题意； D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，故D符合题意． 故选：D． 3、各图中，是矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意； B、只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意； C、不是四边形，也不是矩形，不符合题意； D、该四边形是有三个直角的四边形，则该四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 4、在四边形ABCD中，有以下四个条件： ①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC． 从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是           ． 【答案】①②④ 【解析】当具备①③④这三个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA（AAS）， ∴∠ACB＝∠DCA， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； 故答案为：①③④． 5、对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有        ． 【答案】①④． 【解析】∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，则四边形ABCD是矩形，故①正确； 由∠B＝∠C＝∠D不可以得到矩形，故②错误； ∠A＝∠B，∠C＝∠D，邻角相等并不能得到四个角是直角，故③错误； ∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确； 故答案为：①④． 6、在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），C（﹣a，﹣b），D（﹣a，﹣c）（a≠0，b≠c）．若要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由． 【答案】解：要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足的条件是b＝﹣c， 理由是：∵A（a，b），B（a，c），C（﹣a，﹣b），D（﹣a，﹣c）， ∴AB2＝（a﹣a）2+（b﹣c）2＝（b﹣c）2，BC2＝（a+a）2+（c+b）2，AC2＝（a+a）2+（b+b）2， 要使四边形ABCD是矩形， 必须∠B＝90°， 即AC2＝AB2+BC2， ∴（b﹣c）2+（a+a）2+（c+b）2＝（a+a）2+（b+b）2， 整理得：b＝±c， ∵b≠c， ∴b＝﹣c， 即要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足的条件是b＝﹣c． 6添加一条件使四边形是矩形 1、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使▱ABCD为矩形，可以添加下列哪个条件？（　　） A.AC⊥BD B.∠ACB＝∠ACD C.AB＝AD D.OA＝OB 【答案】D 【解析】若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：OA＝OB（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故选：D． 2、如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　） A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4 【答案】D 【解析】添加OD＝4时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵OA＝OC＝4，OB＝OD＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD＝8， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故选：D． 3、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　） A.OB＝5 B.OD＝5 C.AB＝5 D.BC＝8 【答案】B 【解析】添加OD＝5， 理由：∵∠ABC＝90°，AO＝OC＝5， ∴OB＝AO＝OC＝5， ∵OD＝5， ∴OA＝OC＝OB＝OD＝5， ∴AC＝BD＝10， ∴四边形ABCD为矩形， 故选：B． 4、如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是               ．（只需写出一个符合要求的条件） 【答案】AC⊥BD 【解析】添加的条件是AC⊥BD， ∵BD∥EF，BD∥GH， ∴EF∥GH， 同理EH∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EF∥BD，AC⊥BD， ∴EF⊥AC， ∵EH∥AC， ∴EF⊥EH， ∴∠E＝90°， ∴平行四边形EFGH是矩形， 故答案为：AC⊥BD． 5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，E是AO中点，BE的延长线与BD的平行线AF交于点F． （1）求证：AF＝BO． （2）当平行四边形ABCD满足条件              时，四边形AODF是矩形（只添加一个你认为正确的条件即可）． （3）在上一步的条件下，证明四边形AODF是矩形． 【答案】（1）证明：∵AF∥BD， ∴∠AFB＝∠OBF， ∵E是AO中点， ∴AE＝OE， 在△FAE和△BOE中， ， ∴△FAE≌△BOE（ASA）， ∴AF＝BO； （2）解：添加条件AC⊥BD即可使得四边形AODF是矩形； （3）证明：∵AF＝BO，BO＝DO， ∴AF＝DO， ∵AF∥BD， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形AODF为矩形． 7证明四边形是矩形 1、已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为        ． 【答案】矩形 【解析】四边形ABCD为矩形． 理由：∵AD＝BC，AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案为：矩形． 2、如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有         （填序号）． 【答案】①④． 【解析】①∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF；故①正确； ②当AC⊥BD时，CE＝CF；故②错误； ③∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF＝＝13， ∴OC＝EF＝6.5；故③错误； ④当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． 理由：当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形．故④正确； 故答案为：①④． 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE、DE，DE交AC于点O，且DE∥AB． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AD＝BE， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴AD＝EC， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形， 选择②AB＝AC， ∵AB＝AC，点E是BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴▱AECD是矩形． 4、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G． （1）求证：DF∥AC； （2）连结DE、CF，如果BF＝2AB，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO， ∵BE＝EF， ∴OE是△BDF的中位线， ∴OE∥DF， 即DF∥AC； （2）证明：如图所示：连接DE， 由（1）得：DF∥AC， ∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE， ∵G是CD的中点， ∴DG＝CG， 在△DFG和△CEG中， ， ∴△DFG≌△CEG（AAS）， ∴FG＝EG， ∴四边形CFDE是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵2AB＝BF， ∴2CD＝BF， 又∵EF＝BE， ∴CD＝EF， ∴平行四边形CFDE是矩形． 8矩形的判定定理的实际应用 1、如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 2、如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（　　） A.有三个角是直角的四边形是矩形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】如图， ∵两组对边的长度分别相等，AD＝BC，AB＝DC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD为矩形． 故选：B． 3、如图所示，工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行． 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB＝CD，EF＝GH． （1）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，它的依据是                                         ． （2）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是矩形，它的依据是                                     ． 【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】（1）它的依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）它的依据是：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 4、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等： 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等． 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是       ． 【答案】丁． 【解析】根据两组对边分别相等的四边形不一定是矩形，甲说法错误； 根据对角线相等的四边形不一定是矩形，乙说法错误； 根据一组邻边相等的四边形不一定是矩形，丙说法错误； 根据两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，丁说法正确； 故答案为：丁． 5、木匠师傅要检查一下一扇窗是否是矩形的，可是他身上只带一把卷尺，你能说明一下木匠师傅可以用什么样的方法进行检验吗？请你说明这样操作的依据是什么？ 【答案】解：可以先用卷尺测量一下这个四边形的两组对边是否相等，如果相等，那么这个四边形就是平行四边形，再用卷尺测量这个四边形的两条对角线是否相等，如果相等那么这个平行四边形就是矩形． 6、检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理． 【答案】解：因为两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形． 所以，先量两组对边的长度是否相等，确定是不是平行四边形，再量两条对角线是否等长，确定是矩形． 根据对角线相等的平行四边形是矩形． 9综合应用矩形的判定和性质求解 1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A. B.13 C. D. 【答案】C 【解析】∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12， ∴BC＝＝13， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD， ∴AD＝＝， ∴MN的最小值为； 故选：C． 2、我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形ABCD就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形ABCD面积的是（　　） A.BM与DM的积 B.BE与DE的积 C.BM与DE的积 D.BE与DM的积 【答案】A 【解析】设小正方形EFCG的边长为x，设BM＝BF＝a，DG＝DM＝b， 则AB＝a+x，BC＝b+x， ∴AC＝a+b， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2， 即（a+b）2＝（a+x）2+（b+x）2， 整理得，x2+（a+b）x＝ab， 矩形的面积为：（a+x）（b+x）＝x2+（a+b）x+ab＝2ab， ∴该矩形的面积为2ab． ∴矩形的面积是BM与DM的积， 故选：A． 3、如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是（　　） A.1 B.2 C. D. 【答案】C 【解析】过点G作GM⊥OC于点M，过点P作PN⊥MG于点N， ∵∠AOB＝90°，PE⊥OA，PG⊥OB， ∴四边形OEPG为矩形， ∴OE＝PG， ∵PN⊥MG，PF⊥OC，MG⊥OC， ∴∠PNM＝∠PFM＝∠NMF＝90°， ∴四边形FMNP为矩形， ∴PN＝MF， ∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB， ∴∠MOG＝45°， ∴OG＝OM， 同理PG＝PN， ∴OE＝MF， ∴＝＝． 故选：C． 4、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，连接CD、EF交于点G．若EG＝FG，CG＝DG，AE＝6，EF＝10，则边AC的长为         ． 【答案】14． 【解析】如图，连接DE、DF， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝45°， ∵EG＝FG，CG＝DG， ∴四边形EDFC是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴平行四边形EDFC是矩形， ∴∠EDF＝∠CED＝90°，CE＝DF， ∴∠AED＝90°， ∴AE＝DE＝6， ∵EF＝10， ∴DF＝＝8， ∴CE＝8， ∴AC＝AE+CE＝14， 故答案为：14． 5、如图，在线段AB上有一点C（不与端点A、B重合）且AB＝9，分别以A、B为直角顶点构造两个等腰直角△ACD和△BCE，点F为边CE上一点，连接DE、DF，点M是DF的中点，连接BM，则BM的最小值是     ． 【答案】． 【解析】∵等腰直角三角形ACD和BCE， ∴∠DCA＝∠ECB＝45°， ∴∠DCE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 如图所示，取DC，DE的中点Q，N，CE的中点P，连接NP，NQ，PB， ∴QN∥CE，NP∥QC， ∴四边形CQNP是平行四边形， 又∵∠DCE＝90°， ∴四边形CQNP是矩形， 又∵△CBE是等腰直角三角形， ∴∠BPC＝90°， ∴P在NB上， ∴BN⊥NQ， ∵点M是DF的中点， ∴当F在CE上运动时，M在QN上运动， ∴当M点在N点时，BM最小，最小值为 ， 又∵AB＝9，设AC＝a，则 ，CB＝（9﹣a）， ∴， ∴， 故答案为：． 6、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE为矩形； （2）连接OF，若AD＝3，EC＝2，∠ABF＝60°，求OF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC且AB＝DC， ∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∵∠DFC＝90°， ∴平行四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝3，CD＝AB，OB＝OD， ∴BE＝CF＝BC﹣EC＝1， ∴BF＝BC+CF＝4， 在Rt△ABE中，∠ABE＝60°， ∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝30°， ∴AB＝2BE＝2， ∴DF＝AE＝＝＝， ∴BD＝＝＝， ∵∠DFB＝90°，OB＝OD， ∴OF＝BD＝． 7、如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，CD＝AE，∠ADC的角平分线交BC于F，连接AF． （1）求证：四边形AFCE为矩形． （2）若AD＝3，CD＝2，求点A到线段DF的距离AG的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CD＝CF， 又∵CD＝AE， ∴CF＝AE， 又∵CF∥AE， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AFCE为矩形； （2）解：∵AD＝3，CD＝2，CD＝AE， ∴AE＝2， ∴DE＝AD﹣AE＝3﹣2＝1， 在Rt△CED中，由勾股定理得DE2+CE2＝CD2， ∴， ∵四边形AFCE为矩形， ∴，∠FAD＝90°， 在Rt△FAD中，由勾股定理得AF2+AD2＝DF2， ∴， ∵， ∴． 10综合应用矩形的判定和性质证明 1、已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（　　） A.AC⊥BD B.AC＝BD C.AB＝BC D.AB＝AC 【答案】B 【解析】∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，一定成立，故B符合要求； AB＜AC，不成立，故D不符合要求； AC⊥BD，AB＝BC，不一定成立，故A、C不符合要求； 故选：B． 2、如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】①∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故①正确，符合题意； ②由①可知，四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∵点O，F分别是AC，CE的中点， ∴OF是△ACE的中位线， ∴AE＝2OF， ∵CD＝4OF， ∴CD＝AB＝2AE， ∴点E是AB的中点，故②正确，符合题意； ③当点E与点D重合时，OF的值最大， ∵AD＝BC＝4， ∴AE的最大值是4， ∴OF＝＝2， 即线段OF长度的最大值是2，故③正确，符合题意； ④当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OBA＝60°， ∴∠FON＝60°， ∵∠BEN＞∠OAB， ∴∠OFN≠60°， ∴△OFN不是等边三角形，故④错误，不符合题意； 综上所述，其中正确的有3个， 故选：C． 3、我们在学习直角三角形斜边的中线定理时，小明同学证明的过程有点缺失，你能帮他找回缺失的部分吗？已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，求证：BO＝2AC证明：如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD．… ∴AC＝BD＝2OB，∴．下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形ABCD是平行四边形；②∵∠ABC＝90°；③∵OA＝OC，OB＝OD；④∴四边形ABCD是矩形．则正确的顺序为（　　） A.③①②④ B.③②①④ C.②③①④ D.②①③④ 【答案】A 【解析】如图： ③∵OA＝OC，OB＝OD， ①∴四边形ABCD是平行四边形， ②∵∠ABC＝90°， ④∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝2OB， ∴BO＝AC， 故选：A． 4、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D在线段BC上，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，点G，H分别是EF，BC的中点，若AB＝4，则下列结论正确的是         .（写出所有正确结论的序号） ①； ②EF的最小值是； ③△DEF的面积始终保持不变； ④△DGH是等腰三角形． 【答案】①④． 【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴∠EDB＝∠B＝∠C＝∠FDC＝45°， ∴∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC＝90°， ∵点G是EF的中点， ∴DG＝EF， 故①正确； 连接AD、AH， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点H是BC的中点， ∴BC＝＝4，AH⊥BC，BH＝CH， ∴AH＝BH＝CH＝BC＝2， ∵AD≥AH， ∴AD≥2， ∵∠AED＝∠AFD＝∠EDF＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∴AD＝EF， ∴EF≥2， ∴EF的最小值为2， 故②错误； ∵∠EDF＝90°，BE＝DE，DF＝AE＝4﹣BE， ∴S△DEF＝DE•DF＝BE（4﹣BE）＝﹣（BE﹣2）2+2， ∴S△DEF的大小随BE的变化而变化， 故③错误； 连接FH、EH， ∵∠HAF＝∠HAB＝∠BAC＝45°， ∴∠HAF＝∠B， ∵AF＝DE，BE＝DE， ∴AF＝BE， 在△HAF和△HBE中， ， ∴△HAF≌△HBE（SAS）， ∴∠AHF＝∠BHE， ∴∠EHF＝∠AHF+∠AHE＝∠BHE+∠AHE＝∠AHB＝90°， ∴HG＝EF， ∴DG＝HG， ∴△DGH是等腰三角形， 故④正确， 故答案为：①④． 5、如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为                          ． 【答案】DF＝DE且DF⊥DE． 【解析】如图，连接AD． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC， ∴AD＝BD＝DC，∠C＝∠BAD＝45°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AFP＝∠AEP＝∠EAF＝90°， ∴四边形AFPE是矩形，∠C＝∠EPC＝45°， ∴PE＝AF，PE＝EC， ∴AF＝EC， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE， ∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDP， ∴∠FDE＝∠ADC＝90° 故答案为DF＝DE且DF⊥DE． 6、如图，BD平分∠ABF，点A是射线BM上一点，过点A作AD∥BN交BG于点D，过A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）在BF上取点C使得CF＝BE，连接AC、CD．求证：AD=AB． 【答案】证明：（1）∵AE⊥BN，DF⊥BN， ∴AE∥DF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BN， ∴四边形AEFD是矩形； （2）∵四边形AEFD是矩形， ∴AD∥EF，AD＝EF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AD＝AB． 7、如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，连接AC，DE．求证：AC＝DE． 【答案】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠DCB＝180°， ∵∠DCB＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ADC＝∠DCB＝∠AEC＝90°， ∴四边形AECD是矩形， ∴AC＝DE． 学科网（北京）股份有限公司 $