河北保定市涞水波峰中学2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题

**基本信息** 高三数学月考卷以文化传承与现实应用为情境，如引用《劝学》设计指数增长问题，结合大学生生活费正态分布考查统计，体现数学眼光观察现实世界与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、函数性质|基础概念辨析，如比较2025⁰.²与对数大小| |多选|3/18|立体几何、三角函数|多选项分层考查，如四面体中向量与位置关系| |填空|3/15|分段函数、正态分布|结合生活实际，如大学生生活费概率计算| |解答|5/77|解三角形、概率统计、导数|综合性强，如工厂机床故障决策问题，导数证明逻辑推理|

2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A＝{﹣3，1，2，3}，集合，则A∩B＝（　　） A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{1，2，3} 2．设a∈R，（a+i）（1﹣ai）＝2，则a＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 3．若a＝20250.2，b＝log0.22025，c＝0.22025，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 4．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 5．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”我们把（1+1%）365看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为1.01365≈37.7834；把（1﹣1%）365看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为0.99365≈0.0255，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍．那么，大约经过（　　）天，“进步”值是“退步”值的20倍． （参考数据：lg2≈0.3，lg101≈2.0043，lg99＝1.9956） A．130天 B．149天 C．120天 D．155天 6．甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点．设事件A＝“4位同学去的景点各不相同”，事件B＝“甲同学独自一人去了一个景点”，则P（A|B）＝（　　） A． B． C． D． 7．若函数f（x）＝﹣x3+x2+ax+b在x＝1处取得极大值3，则f（x）在[﹣2，1]上的值域为（　　） A．[﹣12，3] B．[0，12] C． D． 8．已知双曲线，F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段PF1与y轴交于点E，|PO|＝|PF2|，线段EF2的中点H满足，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在四面体ABCD中（如图），平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等边三角形，AD＝CD，AD⊥CD，M为AB的中点，N在侧面BCD上（包含边界），若，（x，y，z∈R），则（　　） A．若，则MN∥平面ACD B．当|MN|最小时， C．若y＝0，则MN⊥CD D．当|MN|最大时， 10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜φ＜π）的周期为π，且满足，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）在区间上单调递减 B．直线是函数y＝f（x）图象的对称轴 C．f（x）在区间上有两个对称中心 D．若在区间[a，b]上有2024个根，则|b﹣a|的最小值为 11．已知有穷数列{an}，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列{an}为“m数列”．记“m数列”的所有项的和为S（m），则（　　） A．若{an}为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B．若{an}为“m数列”且m＝4n+1﹣2，则S（m）＝2n C．若{an}为“m数列”且S（m）＝2（其中m≤30），则所有m的和为90 D．若{an}为“2k数列”，则 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，则f（﹣3）＝　 　 ． 13．据调查，某高校大学生每个月的生活费X（单位：元）服从正态分布X～N（2000，σ2），又P（2000＜X＜2500）＝0.3，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学，则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有　 　 人． 14．已知函数f（x）的定义域为，且满足，，则的最小值为　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， （1）求角A； （2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c； （3）若，且△ABC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 16．（15分）某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修． （1）若发生故障的车床数为X，求X的分布列； （2）已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润．现该厂准备为该车间招聘k（k＝0，1，2，3）名维修工人，设该车间每月获利的均值为Yk（k＝0，1，2，3）． （i）当k＝1，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值Y1； （ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数k的值，并说明理由． 17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AD＝PD． （1）求证：AC⊥平面PBD； （2）求钝二面角A﹣PB﹣C的余弦值； （3）若存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知动点P（x，y）分别与定点A（﹣1，0）和B（1，0）连线的斜率乘积kPA•kPB＝3． （1）求动点P的轨迹方程E； （2）F是E的右焦点，若l过点F，与曲线E交于C，D两点，是否存在x轴上的点T（t，0），使得直线l绕点F无论怎么转动，都有成立？若存在，求出T的坐标：若不存在，请说明理由． （3）设点P位于第一象限，∠AFP的平分线交AP于点M，求证：|PF|•|MF|＝|AF|•|PM|． 19．（17分）已知函数，且f（x）的最小值为1． （1）求a的值； （2）证明： （i）[xf（x）﹣1]ex+1＞0； （ii）对于任意． 参考答案 一．选择题 1．A． 2．C． 3．C． 4．A． 5．B． 6．A． 7．D． 8．A． 二．多选题 9．BCD． 10．ACD． 11．ACD． 三．填空题 12．2． 13．8． 14．． 四．解答题 15．解：（1）， 由正弦定理知可得， ∴， 即， ∴，即， 又0＜A＜π， ∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得c4﹣8c2+16＝0， 即c＝2（负值舍去），故b＝2． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc，即b2+c2＝3+bc， 所以， 在△ABC中，由正弦定理得， 所以b＝2sinB，c＝2sinC 所以 ， 因为△ABC为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，则2＜bc≤3， 所以， 所以中线AD的取值范围是． 16．解：（1）X可能取0，1，2，3，且X～B（3，）， 所以， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）（i）3台机床都无故障或只有1台有故障，则Y1＝24， 3台机床中有2台有故障，则Y1＝15，3台均有故障，则Y1＝6， 所以， 故Y1的分布列为： Y1 24 15 6 P ； （ii）k＝0时，由题意Y0可能取值：27，18，9，0， Y0的分布列为： Y0 27 18 9 0 P E（Y0）＝18； k＝2时，至多有2台机床发生故障时，Y2＝3×9﹣2×3＝21，有3台发生故障时，Y2＝2×9﹣2×3＝12， ， Y2的分布列为： Y2 21 12 P ； k＝3时，3台机床无论有无故障都能正常获利，所以E（Y3）＝27﹣9＝18， 因为E（Y1）＞E（Y2）＞E（Y0）＝E（Y3）， 所以E（Y1）最大，即招聘维修工人1人． 17．解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC， 又底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又BD∩PD＝D， 所以AC⊥平面PBD； （2）根据题意可建系如图： 设AD＝PD＝1， 则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）， 所以，， 设平面APB的一个法向量，平面PBC的一个法向量， 则，， 取，， 则， 所以钝二面角A﹣PB﹣C的余弦值为； （3）不存在，理由如下： 假设存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球， 则OA＝OB＝OC＝OD＝OP， 因为底面ABCD为正方形， 所以O为对角线AC与BD的交点， 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PD⊥BD，即PD⊥OD， 所以OP＞OD，与OD＝OP矛盾，故假设不成立， 所以不存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球． 18．解：（1）kPA•kPB， 化简得， 即动点P的轨迹方程E为； （2）存在，理由如下： 假设存在点T（t，0），使恒成立， 由已知得F（2，0）， 当直线l斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣2），C（x1，y1），D（x2，y2）， 联立，得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3＝0， Δ＝（﹣4k2）2﹣4（k2﹣3）（4k2+3）＝36k2+36＞0且， 则，， ，， 则 ， 若恒成立， 则（t2﹣4t）k2﹣3t2﹣5k2+3＝0恒成立， 即，解得t＝﹣1； 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝2， 此时，解得y＝±3， 不妨取C（2，3），D（2，﹣3）， 则，， 又， 解得t＝﹣1或t＝5， 综上所述，t＝﹣1， 所以存在点T（﹣1，0），使恒成立； （3）证明：因为∠AFP的平分线交AP于点M， 由角平分线定理可得， 则|PF|•|AM|＝|AF|•|PM|， 则要证|PF|•|MF|＝|AF|•|PM|，只需要证明|AM|＝|MF|即可， 即证∠MFA＝∠PAF，即证∠AFP＝2∠PAF， 由题意P（x，y）（x＞0，y＞0）， 则，，， 因为点P（x，y）在曲线E上， 则， 故y2＝3（x2﹣1）＝3（x+1）（x﹣1）， 则， 所以tan∠PFA＝tan2∠PAF， 又因为∠PAF为锐角，0＜∠PAF＜π， 所以∠PFA＝2∠PAF， 所以∠MFA＝∠PAF， 所以|AM|＝|MF|， 所以|PF|•|MF|＝|AF|•|PM|． 19．解：（1）函数的定义域为（0，+∞）， 当a＝0时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，不符合题意； 当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，不符合题意； 当a＞0时，f′（x），若x∈（0，a），f'（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减； 若x∈（a，+∞），f'（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增， 所以f（x）的最小值为； （2）证明：（i）由（1）可知；，要证明[xf（x）﹣1]ex+1＞0，只需证明xexlnx+1＞0， 因x∈[1，+∞），xexlnx+1＞0显然恒成立， 故只需证明x∈（0，1），xexlnx+1＞0成立，即证：在（0，1）上恒成立． 令h（x）＝xlnx（0＜x＜1），h'（x）＝lnx+1，令，， 故函数h（x）在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，因M（x）在（0，1）上单调递增，则， 故有h（x）＞M（x），即， 故[xf（x）﹣1]ex+1＞0得证． （ii）令F（x）＝x﹣ln（x+1）（x＞0），在（0，+∞）恒成立， F（x）在（0，+∞）单调递增，则F（x）＞F（0）＝0⇒x＞ln（x+1）． 要证， 只需证，即， 由， 又x＞ln（x+1），则，故得， 所以， 又，所以， 所以， 即得． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/20 21:55:25；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $