微专题04 等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题04 等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 基底起点相同型 （1） 求共起点向量线性运算的系数和 （2） 求共起点向量线性运算系数和的最值(范围) （3） 求向量线性运算的系数的线性关系式的最值(范围) （4） 非线性运算的最值(范围) 题型2 基底起点不同型 题型3 基底一方或两方可变 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 注：结论1若三点不共线,点为平面内任一点,则存在唯一实数对,使. 结论2若三点共线,则存在唯一实数,使;反之也成立. 结论3若三点不共线,点在直线上,则存在唯一实数对,使,且;反之也成立. (2) 由三点共线结论推导等和(高)线定理： 如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立． （3）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． （4） 主要类型 向量的等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题,将系数和的代数式运算转化为了距离的比例运算,数形结合思想得到了有效直接的体现.向量的等和线法将复杂的不等式问题、范围问题、数量积问题转化为简单、直接、操作方便的点到直线距离问题,很多时候用相似即可迅速解决.因此,等和线在解决平面向量中双变量代数式求取值范围或最值问题时,具有得天独厚的优势. 1.基底起点相同 ①求共起点向量线性运算的系数和 根据等和线求共起点向量线性运算的系数和的步骤:(1)确定值为1的等和线;(2)平移(旋转或伸缩)该线,作出满足条件的等和线;(3)从长度比或点的位置两个角度,计算满足条件的等和线的值. ②求共起点向量线性运算系数和的最值(范围) 根据等和线求共起点向量线性运算系数和的最值(范围)的步骤:(1)确定值为1的等和线;(2)平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小值;(3)从长度比或点的位置两个角度,计算最大值和最小值. 注：对于动向量问题,如果向量的终点不在等和线上,则这类问题往往涉及求系数和的最值或者范围.对于这类问题,可转化为线段比值的最值或者范围问题来解决. ③求向量线性运算的系数的线性关系式的最值(范围) 有时候所要求解的量是系数的一般线性关系式,而非系数和,考虑到可以通过数乘运算将向量进行同向或者反向伸长、压缩,所以从理论上讲,所有系数的线性关系式都可以通过合理调节向量的基底,将所求系数的线性关系式变为两个新的基向量的系数和. 在利用等和线定理求解两系数的线性关系式的值时,需要先通过变换基底向量,使得需要研究的代数式为基底的系数和,再去找基底向量的等和线,转化为线段比例关系求解. 注：当有的等和线问题并不是直接求向量系数和的值或最值时,而是求类似于(其中为常数)这种形式的相关问题,此时可以转化为两个新向量的等和线问题来解决. 2.基底起点不同 运用等和线定理时,需要注意三个向量应该共起点,对于不是共起点的问题,可通过找相等向量,从而把相关问题转化为等和线问题. 3.基底一方或两方可变 对于动向量问题,向量的终点不在等和线上求系数和的最值或者范围时,可转化为线段比值的最值或者范围问题来解决. 注：当基向量的终点是变化的,使系数和的等和线也是变化的,所以满足条件的等和线也相应保持平行变化,从而求解问题的关键在于探求保持平行变化中满足条件的等和线位置. （5）从平面到空间的拓展 类似地,在空间中,若不共面(如图8),且,直线与平面交于点,记系数和,且过作平行(或重合)于平面的平面,则当点在平面上移动时,容易证明系数和的值恒为不变.我们把平面称为向量的等和面.显然,当点在平面上时,;当点所在平面正向远离点时,系数和的值变大;当点所在平面反向远离点时,的值变小. 题型1 基底起点相同型 （1） 求共起点向量线性运算的系数和 1.在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D．1 2.如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为 ． （2） 求共起点向量线性运算系数和的最值(范围) 3.如图,给定两个长度为1