《4.5三角形的中位线》同步练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 浙教版八年级数学下册《4.5三角形的中位线》同步练，通过基础巩固、中档综合、拓展提升三层设计，实现从单一性质应用到跨知识综合的递进，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中位线定义及基本性质（平行且等于第三边一半）|单选题1-3、填空题8-10直接应用定理，如第1题判断中位线与边的关系，强化抽象能力| |中档|中位线与平行四边形、直角三角形、动点结合|单选题4-6、填空题11-13需推理转化，如第11题动点问题中中位线最小值，发展推理意识| |综合|中位线与全等、折叠、梯形中位线综合应用|解答题15-20及填空题14，如第20题拓展梯形中位线证明，提升模型观念与应用意识|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《4.5三角形的中位线》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在中，．是边中点，是边中点，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，，是平面内的一个动点，且，连接，点是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，点D、点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，平行四边形的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（    ） A．0.5 B．1 C． D．2 5．在四边形中，，E，F分别是和的中点．若，，则为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 6．如图，已知于B，于A，，点E是的中点，则的长为（     ）． A．5 B．6 C． D． 7．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，是的中位线，的平分线交于点，若，则_______°． 9．如图，在中，平分交于点，点在上，且点为的中点，若，则的长为___________． 10．如图，在中，平分是的中点，，则的长度为_________________． 11．如图，在中，，，点分别是边上的动点，连接，点分别为的中点，连接，则的最小值为 __________________． 12．如图，的周长为12，点D，E在边上，的平分线垂直于，垂足为N，的平分线垂直于，垂足为M，若，则的长度为_____ 13．如图，E是平行四边形的对角线上一点，延长到F，使．若，，则的长为________． 14．如图，中，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得，连接，分别与边交于点E，与交于点O．若，则的长为__________． 三、解答题 15．如图，在四边形中，，，分别是边的中点，连接，，连接． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 16．如图，的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形的周长为2，则的周长是______． 17．如图，在中，D、E分别是、的中点，连接，点F是的中点，连接并延长交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 18．如图，中，对角线、交于点O，点E是上一点，延长至点F，使得，且交于点G，连接． (1)求证：； (2)若垂直平分，，，求的长． 19．如图，已知，、相交于点O，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，连接，若，则_____． 20．【知识再现】如图1，已知：在中，点分别是边的中点，请直接写出和的关系． 【应用】如图2，四边形是梯形，，点分别是边上的中点，连接，则叫做梯形的中位线． 【猜想】与之间的关系并证明． 以上解决问题的过程中用到了转化思想． 【拓展】 如图3，在四边形中，，分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点，则．（不必证明） （温馨提示：如图3，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线的性质，可证明） 如图4，在中，，点在上，，分别是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状并证明． 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理．根据勾股定理逆定理，可得 ，再由直角三角形的性质，三角形中位线定理，可得，，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ， 故B错误； 若，则对边，但，故A错误； 是斜边中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，即，故C错误； ∵D是边中点，E是边中点， ∴，，D选项正确，符合题意； 故选：D 2．C 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及圆的相关知识，通过构造辅助三角形，结合圆的性质，利用中位线的性质求解的长度，再由点E的位置求解最值问题是解决本题的关键． 先由勾股定理可求解的长度，由距离不变确定点D的运动轨迹，再通过连接辅助线构造三角形，分别求解三角形的两边长度，再由三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：连接，取的中点记作点F，连接，， 因为，，， 所以， 因为点F为的中点， 由直角三角形斜边中线定理可知，， 因为点是的中点，点F为的中点，， 所以在中，由中位线的性质可知， 因为是平面内的一个动点，且， 所以点D的运动轨迹是以C为圆心，3为半径的圆， 所以当点B，E，F三点共线，且点E在线段的延长线上时，取得最大值， 即， 当点B，E，F三点共线，且点E在线段上时，取得最小值， 即， 所以的最大值与最小值的差为． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，求解，根据直角三角形的性质可得到答案． 【详解】解：∵点D、点E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，，点E是的中点， ∴， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线．先证明，进而求出的长，证明是的中位线，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的对角线相交于点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是中点，， ∴是的中位线， ∴； 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形中位线定理的知识，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，，，证明，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接， ∵E，H分别是和的中点， ，， 同理可得：， ， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理．过点D作，交于点F，延长至点G，使，连接，可得四边形是矩形，从而得到，进而得到，，然后根据三角形中位线定理解答，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交于点F，延长至点G，使，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴． 故选∶D 7．C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，，，； ∴，，； ∴四边形是平行四边形，； ∵ ∴， ∴， 故选：C 8． 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，角平分线的定义，平行线的性质， 先根据三角形中位线的性质得，进而得出，再根据角平分线的定义得，即可得，则此题可解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 9．13 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一得到，结合已知得到为的中位线，那么，则由即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 10．2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线，三角形中位线的判定与性质，首先延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得的长，又根据点D是的中点，可证是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如下图所示，延长、交于点F， 平分，， ， ， 在和中，， ， ，， 又， ， 点D是的中点，是的中位线， ． 故答案为：2． 11． 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵分别为的中点， ∴， ∴的最小值，就是的最小值，当时，最小， ∵在中，，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是确定的最小值，就是的最小值． 12．1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定及性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 先证明，根据全等三角形的性质得到，，同理得到，，根据三角形周长公式求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵的周长为12， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ． 故答案为：1． 13． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，作出辅助线构造中位线是解题的关键．连接，交于点，根据平行四边形的性质和，可推出是的中位线，即，利用求得，即可得到答案． 【详解】解：连接，交于点，如图所示， 四边形是平行四边形 ， 是的中位线 ∵，， 故答案为：． 14．6 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的中位线定理以及全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，三角形的中位线定理是解题的关键． 先得到为的中位线，则，，再证明即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵点D为边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．(1) (2)6 【分析】本题主要考查中位线的判定和性质，勾股定理的运用，等边对等角的性质的运用，掌握中位线的判定和性质，勾股定理是关键． （1）根据中位线的判定得到是的中位线，则，根据等边对等角得到，由即可求解； （2）根据勾股定理得到，再根据中位线的性质即可求解． 【详解】（1）解：分别是边的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，， 在中，， 分别是的中点， ． 16．(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了三角形中点四边形、中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识点，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的概念得到、、、得到、，再根据平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）根据三角形中位线定理求出、、、，再根据三角形的周长公式计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴、、、， ∴、， ∴四边形是平行四边形． （2）解：分别是的中点， 是的中位线， ，即， 同理可得：、、， ∵四边形的周长为2， ∴， ∴的周长是． 故答案为：4． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定以及勾股定理．熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定以及勾股定理是解题的关键． （1）通过“”证明三角形全等得到线段相等，进而根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形； （2）先利用三角形中位线定理求出的长度，再根据平行四边形的性质得出的长度，从而得到的长度，最后在中运用勾股定理求出所求线段长度即可． 【详解】（1）证明：∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 即， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵是的中位线，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，证出是的中位线，得，即； （2）证明，可得，，在中，，，在中，，进一步可得答案. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， 即； （2）证明：由（1）知：， ∴，， 又∵垂直平分 ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴ 在中 ∴ ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的判定与性质，化为最简二次根式等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．知识再现：；猜想：；拓展：是直角三角形，详见解析 【分析】本题考查三角形中位线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； 知识再现：根据是的中位线得到； 猜想：连接并延长交的延长线于点，证明，得到，则是的中位线，即可得到，． 拓展：连接，取的中点，连接，由是的中位线，得到，，同理，，，则和是等边三角形，则，则，得到，即是直角三角形． 【详解】解：知识再现：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 猜想：，证明如下： 如图，连接并延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴． 拓展：是直角三角形． 证明如下： 如图，连接，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $