第10章二元一次方程组章末巩固卷-2025-2026学年数学七年级下册人教版

**基本信息** 人教版七年级下册二元一次方程组章末巩固卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合数学文化与现实情境，培养抽象能力、模型意识和推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二元一次方程定义、解法选择、更相减损术|结合《九章算术》文化，考查数学抽象| |填空题|6题|解的意义、参数问题、实际应用|设计墨水遮挡题，培养推理意识| |解答题|6题|方程组求解、购物/研学应用、整体换元|融入《哪吒2》玩具、研学情境，体现模型应用|

第10章二元一次方程组章末巩固卷-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．以下两个方程组：①，②，在解的过程中，用简便的方法，下列叙述正确的是（    ） A．①②均用代入法 B．①②均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法 4．若方程组与有相同解，则的值为（    ） A．2026 B． C．1 D． 5．用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：．如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍，则这两个正整数中较大数是（    ） A． B． C． D．或 6．若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 7．高速广安至重庆段从广安到重庆全长约为．一辆小汽车、一辆货车同时从广安、重庆两地相向开出，经过分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行，设小汽车和货车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 9．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 10．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知是关于、的二元一次方程，则________． 12．若方程组的解，满足，则的取值_____． 13．已知方程组，则________． 14．张老师和李老师为了奖励各班上期数学竞赛成绩优异的同学，在某文具店购买了圆规和三角尺作为奖品，购买明细见下表： 圆规（个） 三角尺（副） 总费用（元） 张老师 14 8 120 李老师 6 12 90 王老师也在该店购买了这种圆规和三角尺各15件，共需要用________元． 15．小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较小的一个数的值是________． 16．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 三、解答题 17．解方程组： (1) (2) 18．《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场．已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： (1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ (2)若小军现有200元，买了两种玩具后恰好用完，写出一种购买方案． 19．定义：对于任意实数，若点满足，则称点为和谐点． (1)若点是和谐点，则 ． (2)判断点是否为和谐点，并说明理由． (3)已知关于的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是和谐点？ 20．如图1，这是东阳最具代表性的地标建筑《走向世界》，象征东阳人团结、奋进、开拓的精神．为了亮化雕像，如图2，设置了四条长度相同的彩灯带，且于点，雕像交汇处夹角 ，又在处各安装一盏可旋转的探照灯来回旋转，射出的光线近似看成射线，分别从同时开始按顺时针方向旋转，光线的旋转速度为每秒，光线的旋转速度为每秒，且满足 ． (1)求的值． (2)求光线开始旋转几秒时，第一次与平行？ (3)两盏探照灯同时从起始位置开始旋转，在光线第一次和重合的过程中，当与平行时，求旋转的时间． 21．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 22．综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生； ②型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人； ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金． (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第10章二元一次方程组章末巩固卷-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C D A D B D D 1．B 【分析】先明确二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为的整式方程，再逐一判断选项即可． 【详解】解：A、中的次数为，不符合定义，故此选项错误； B、含有两个未知数，且含未知数的项次数都是，是整式方程，符合定义，故此选项正确； C、只含有个未知数，不符合定义，故此选项错误； D、含有三个未知数，不符合定义，故此选项错误． 2．D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 3．C 【分析】本题根据二元一次方程组消元法的适用特点，判断两个方程组分别适合的简便解法，根据方程组的结构选择代入消元法或加减消元法即可． 【详解】解：对于方程组①，∵第一个方程已经直接将表示为的一次代数式， ∴使用代入消元法可以直接消元，计算简便； 对于方程组②，∵两个方程中l的系数分别为和，互为相反数， ∴将两个方程相加即可直接消去l，得到关于的一元一次方程，使用加减消元法计算简便，因此①用代入法，②用加减法． 4．C 【分析】先求出的解，然后将方程组的解代入含a、b的方程中组成二元一次方程组，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：由题意，得：， ，得：， ∴， 把代入②得：， ∴， 解得， 将代入，得， ，得， 解得：， 把代入④得， 解得：， ， ． 5．D 【分析】令较大的正整数为x，较小的正整数为y，则，然后分四步进行解答即可得到答案． 【详解】解：令较大的正整数为x，较小的正整数为y， ， ，， 第一步，，此时两个数为和y； 第二步，，此时两个数为和y； 第三步：，此时两个数为和y， 第四步有两种情况： 当时，， 两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为， ， 解得； 当时，， 两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为， ， 解得； 综上可得，这两个正整数中较大数是或． 6．A 【分析】将方程组看作关于a、b的二元一次方程组可求得，然后代入化简即可解答． 【详解】解：将方程组看作关于a、b的二元一次方程组： 可得：，解得：， 将代入可得． 7．D 【分析】先统一时间单位，再根据两个等量关系列方程组，一是相遇时两车行驶路程和等于全程，二是相遇时小汽车行驶路程比货车多． 【详解】解：∵速度单位为，需将相遇时间分钟化为小时单位， ∴. ∵两车相向而行，相遇时路程和等于全长，小汽车行驶路程为，货车行驶路程为， ∴，即：， 又∵相遇时小汽车比货车多行， ∴，即， ∴可得方程组． 8．B 【分析】解三元一次方程组时，优先消去系数最简单、最易消去的未知数，观察方程组中各未知数的系数，y的系数更便于直接消元，能让计算更简便． 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 9．D 【分析】设小长方形的长为，宽为，则根据图形，列二元一次方程组，求得小长方形的长和宽，再根据阴影部分面积等于长方形减去5个小长方形的面积，即可求得答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得： ， 解得：， 阴影部分图形的总面积为：． 10．D 【分析】根据方程组的形式列式求解即可． 【详解】解：方程组的解是， ∴， 解得，， 故选：D ． 11．16 【分析】由二元一次方程的定义求出，，再代入所求代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程， ∴，， ∴，， ∴． 12．16 【分析】将方程组内的两方程求和，再结合得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：， ①+②得， 将代入可得：，解得：． 13．8 【分析】将乘以2，得，再减去即可得到解答． 【详解】解：， 由得：， 由得：． 14． 【分析】设每个圆规x元，每副三角尺y元，根据张老师和李老师的购买费用求出进而求出即可得到答案． 【详解】解；设每个圆规x元，每副三角尺y元， 由题意得 ，得： ，即， ∴， ∴王老师也在该店购买了这种圆规和三角板各15件共用元， 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键． 15． 【分析】先把代入可求出，然后把代入，计算得出■所遮住的数，即可比较得出． 【详解】解：把代入，得， 解得， 把代入， 得， ， 数■和▲中较小的一个数的值是． 16． 【分析】先将已知原方程组的解代入原方程组求出a，b的值，再代入所求二元一次方程组，解关于m，n的二元一次方程组即可得到结果． 【详解】解：将代入原方程组得， 解得：， 代入关于，的方程组得： 化简得：， 解得． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：， 将①代入②，得 解得， 将代入①，得 ， ∴； （2）解：， ，得， 将代入①，得 ， 解得， ∴． 18．(1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元 (2)购买哪吒玩具2个，则购买敖丙玩具7个（答案不唯一） 【分析】（1）设哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是x元和y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设小军可以购买哪吒玩具个，则购买敖丙玩具个，根据小军现有200元，买了两种玩具后恰好用完列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设哪吒玩具的单价是元和敖丙玩具的单价是元． 由题意可得：． 解得：， 答：哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元； （2）解：设小军可以购买哪吒玩具个，则购买敖丙玩具个， 由题意得：， ∵m,n为正整数， ∴， ∴购买方案有：购买哪吒玩具2个，购买敖丙玩具7个； 或购买哪吒玩具4个，购买敖丙玩具4个或购买哪吒玩具6个，购买敖丙玩具1个． 19．(1)3 (2)点是和谐点，理由见解析 (3)当时，以方程组的解为坐标的点是和谐点 【分析】(1) 根据和谐点的定义，代入和谐点满足的等式，解方程即可； (2) 根据和谐点的定义，把点代入和谐点满足的等式左边，计算出结果为8，等式成立即可得出结论； (3)首先，解出关于的方程组的解，然后，根据题意将点代入和谐点满足的等式，变为关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：点是和谐点，理由如下： 根据题意，得， ∴点是和谐点； （3）解：， 解得， 根据题意，得， 解得， ∴当时，以方程组的解为坐标的点是和谐点． 20．(1)， (2)5秒 (3)旋转时间为15秒或60秒 【分析】（1）非负性求出的值即可； （2）作，根据平行线的性质，求出的度数，即可得出结果； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 由（1）知：， ∴； 故光线开始旋转5秒时，第一次与平行； （3）解：当光线第一次和重合时，所需时间为（秒）； ∴光线共旋转， 当与第一次平行时，如图：作， 则，，， ∴， ∴， ∴； 当与第二次平行时，如图，作， 则，，， ∴， ∴， ∴； 此时回到原位置，如图： 综上：当与平行时，旋转时间为15秒或60秒． 21．(1) (2) 【分析】本题考查利用“整体换元”法解二元一次方程组，读懂材料是解题的关键． （1）令，，根据方程组的解为，可得，进而可解； （2）令，，仿照材料中的作法，通过“整体换元”求解． 【详解】（1）解：令，， 关于的方程组的解为， ， 解得， 故答案为：； （2） 解：令，， 则原方程组可化为， 解得，即， 解得． 22．(1) ， (2) 共有种租车方案，最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元 (3) 能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆 【分析】（1）根据若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生；型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人；列二元一次方程组求解； （2）设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆，根据租车的数量是整数，可知共有种租车方案，分别计算出种方案所需费用，通过比较得出最省钱的租车方案； （3）由（2）可知共有种租车方案：分别计算出降价后种租车方案所需租金，得到符合要求的租车方案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：， 答：型号大巴车最大载客数为人，型号大巴车最大载客数为人； （2）解：设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆， 为整数且， 解得：， 且为整数， 当时，， 当时，， 共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； ， 最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元； （3）解：由（2）可知共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 学校的计划能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $