第10章二元一次方程组章末测试卷-2025-2026学年数学七年级下册人教版

**基本信息** 人教版七年级下册二元一次方程组单元卷，以文化传承与现实应用为情境，梯度覆盖概念理解、解法应用及综合探究，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7题|解的判断、参数问题、几何应用|融入《增删算法统宗》“绳索量竿”问题，培养数学文化素养| |填空题|8题|解的个数、实际应用、新定义|结合数学节得分、纸条叠合等情境，体现模型观念| |解答题|6题|解法应用、实际问题、综合探究|设计“交换系数方程”“亲民点”等新定义题型，发展推理意识与创新思维|

第10章二元一次方程组章末测试卷-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 4．用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 5．《增删算法统宗》是清代数学家梅瑴成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意：有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，可列方程组（   ） A． B． C． D． 6．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列两个结论：①若，则；②若 （其中 ），则或． 则对这两个结论判断正确的是（    ） A．①对、②错 B．①错、②对 C．都错 D．都对 7．小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为的小正方形，则小长方形的面积为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 8．方程组的解为________． 9．已知关于的方程组，都为自然数的解有_____对． 10．已知，其中a，b为常数．已知．则___________． 11．3月14日，我校举办“以数学之正，启万物之泽”的数学节活动，某个活动环节共设置有20道有趣味的题目，答对一题得10分，不答得0分，答错扣5分，小泽有一道题没答，最后得分为85分．设他答对了道题，答错了道，则根据题意可列出方程组为________． 12．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则__________． 13．已知关于，的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中的值为0，则．其中正确的是_____（写出所有正确结论的序号） 14．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数的和是_____． 15．学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 三、解答题 16．解方程组： (1)代入法解方程组； (2)选择合适的方法解方程组． 17．已知x，y满足，我们可以不解这个方程组，用可整体得到的值，求a和b的值． 18．下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组： 解： ，得③……第一步 ，得……第二步 解得……第三步 将代入①，得……第四步 所以原方程组的解为……第五步 (1)任务一：嘉嘉解方程组用的方法是 ；（填“代入法”或“加减法”） (2)任务二：第 步开始出现错误． (3)任务三：写出正确的解方程组的过程． 19．综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 20．根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元 素材二 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 问题解决 (1)任务1：求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)任务2：某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 21．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)请写方程的“交换系数方程”； (2)请求方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，请问的数量关系，并说明理由． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第10章二元一次方程组章末测试卷-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D B A D A A 1．C 【分析】将各选项的的值代入方程，验证方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入中，左边，此时方程左右两边不相同，则不是原方程的解，故此选项不符合题意； B、把代入中，左边，此时方程左右两边不相同，则不是原方程的解，故此选项不符合题意； C、把代入中，左边，此时方程左右两边相同，则是原方程的解，故此选项符合题意； D、把代入中，左边，此时方程左右两边不相同，则不是原方程的解，故此选项不符合题意； 2．D 【分析】把方程组中的两个方程相加可得，利用相反数的性质得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， 即， ∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得． 3．B 【分析】把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， ． 4．A 【分析】设可以做个竖式纸盒，个横式纸盒，根据有张正方形纸板和张长方形纸板，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设可以做个竖式纸盒，个横式纸盒，由题意，得 ， ，得， ∴的值是5的倍数， 故的值可能是2020． 5．D 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， ∵ 绳索量竿时，绳索比竿长尺， ∴； ∵ 将绳索对折后量竿，对折后绳索比竿短尺，对折后绳索的长度为， ∴； 因此可得方程组. 6．A 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，先用m，n表示x，y的式子，结合，得出①正确，再整理得，代入，然后进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把代入①得， 解得， ∵，， ∴ ∴ 故①正确； ∵ （其中 ）， ∴只有两种情况等式成立：，或且指数为偶数； ∴， ∵， ∴， ∴ 把代入得：， 情况1：当时，则，得，符合等式； 情况2：，则，得，此时指数，是奇数， ，不符合， 因此不是解； 结论②认为或是错误的 7．A 【分析】设小长方形的宽为，长为，根据图中大长方形的长、图中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题． 【详解】解：∵个一样大小的小长方形， ∴设小长方形的宽为，长为， ∴由图可得大长方形的边长为或，图中大正方形的边长可表示为或， 据题意得：， 解得：， ∴小长方形的面积． 8． 【分析】观察方程组中的系数互为相反数，可利用加减消元法求解即可． 【详解】解: ， 由①②得， ； 把代入②得， ； 原方程组的解为． 9．3 【分析】先由加减消元法得到，再枚举求解即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 那么继续往后取自然数，均小于0，不符合题意， ∴都为自然数的解有对． 10． 【分析】先根据题意列出方程组即可求出a与b的值，再根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ∴， ∴． 11． 【分析】从题干中提取两个等量关系，再根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：已知总题量为道，小泽有道题未答， 因此答对题目数量与答错题目数量之和等于总题量减去未答题量，可得：，整理得． 根据得分规则，答对题得分，答错题扣分，最终得分为分，总得分等于答对得分减去答错扣分， 可得： ． 联立两个方程可得方程组． 12． 【分析】根据题意列出二元一次方程组，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：， 解得， ． 13．③④/④③ 【分析】通过消元法整理方程组得到关于y的一元一次方程，根据a的不同取值逐一判断四个说法即可． 【详解】解： 由②得 把代入①得， 整理得 当时，，方程有唯一解，因此原方程组有唯一解； 当时，方程化为，方程无解，因此原方程组无解； 不存在使得方程组有无数多解，因此①错误，②错误，③正确； 若，代入得，解得，因此④正确． 综上所述，其中正确的是③④． 14． 【分析】将代入方程，先求出表示的数，再代入求出表示的数，最后计算两个数的和即可． 【详解】解：把代入得， 解得：． 把代入得， 则被遮住的两个数的和为． 15． 【分析】（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，两组同时完成即耗时相等列方程求解，再计算份数之比； （2）根据两组仍同时完成列方程，结合第一天的等式化简得到m与n的关系，根据m，n的取值范围确定的值即可． 【详解】解：（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，由题意得： ， 解得：， ∴； （2）由题意，两组同时完成，耗时相等，得： ， 展开得， 由第一天的结果可知，代入上式得： ， 整理得：， 即， ∵m，n均为小于12的正整数， ∴满足条件的对应值比值恒为， 故． 16．(1) (2) 【分析】（1）先从第二个方程将y用含x的代数式表示，再代入第一个方程求出x，最后回代求出y即可； （2）先将第一个方程去分母化为整系数二元一次方程，再用加减消元法求解． 【详解】（1）解：记原方程组为， 由②得，， 将③代入①得， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为； （2）解：记原方程组为， 得，， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为． 17．， 【分析】由得出，根据可整体得到的值，从而得出，解关于a、b的方程组即可． 【详解】解：， 由得：， 即， 因为可整体得到的值， 所以， 得：， 解得：， 将代入③，得， 解得：． 18．(1)加减法 (2)一 (3)，过程见解析 【分析】（1）根据具体的解题步骤判断求解即可； （2）根据方程两边同时乘以2，计算判断即可． （3）根据方程组的求解步骤，规范求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解题用的是加减法； （2）解：，得，漏乘常数致错， 故错在第一步； （3）解：①，得． ②+③，得，解得． 将代入①，得，解得， 所以方程组的解为． 19．(1)①②③ (2) (3) 【分析】（1）将点代入，进行判断即可； （2）根据题意，易得，代入，进行求解即可； （3）先把代入求出的关系，再把代入，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故①，②，③，三个点均是“亲民点”； （2）解：∵第四象限内的点，到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， ∵点是“亲民点”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵， ∴， 解得． 20．(1)3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个 (2)选择促销方案①更合适，理由见解析 【分析】（1）设3月份该商场购进A款足球个，B款足球个，根据“3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元”建立二元一次方程组求解即可； （2）分别计算两个方案的费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设3月份该商场购进A款足球个，B款足球个． 根据题意得， 解得． 答：3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个； （2）解：选择促销方案①所需费用为（元）； 选择促销方案②所需费用为（（元）， 因为，所以选择促销方案①更合适． 21．(1)或 (2)当“交换系数方程”为时，组成的方程组的解为；当“交换系数方程”为时，组成的方程组的解为； (3)，理由见解析 【分析】（1）根据“交换系数方程”的定义可得答案； （2）根据（1）所求建立方程组，解方程组即可得到答案； （3）根据“交换系数方程”得到方程的“交换系数方程”，再建立方程组求出方程组的解，再把方程组的解代入到方程中，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“交换系数方程”为或； （2）解：当方程的“交换系数方程”为时， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 当方程的“交换系数方程”为时， 得， 把代入③得，解得， ∴原方程组的解为； （3）解：，理由如下： ∵， ∴； 由二元一次方程的定义可知， 当方程的“交换系数方程”为时， ∴方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 得，解得， 把代入①得，即，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解， ∴把代入可得，即， ∴； 当方程的“交换系数方程”为时， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 同理可得原方程组的解为， ∵方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解， ∴把代入可得，即， ∴， 综上所述，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $