2026年全国高考押题预测三卷·数学3

绝密★启用前 2026年高考押题预测三卷（三） 数学 (120分钟 150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。) 1.设复数之=3十2i,则的虚部为 A.-3 B.-3i C.3 D.3i 2.已知集合A=女x是20以内的质数，B=女3≥1，则AnB的子集个数为（) A.2 B.4 C.512 D.1024 x2 y2 3.设点F为双曲线C:a一=1(a>0,b>0)的右焦点，点0为坐标原点，过点F作双曲线 其中一条渐近线l的垂线，交渐近线l于点H,再过点F作x轴的垂线，交渐近线l于点M, S△oM=3,则双线曲线的离心率为 若SoFH () A.7 B.√6 C.5 D.√3 4.2025年8月4日，在2025全国锦标赛的男子三级跳远决赛上，广东选手吴瑞庭以17.68米 的成绩夺得冠军，打破尘封近16年之久的亚洲纪录（原纪录为17.5米）.假如决赛时，另一 名运动员甲每次试跳成绩在17米以上的概率均为2，有三次试跳机会，以最好的一次成绩 作为最终成绩，每次试跳的成绩相互独立，则甲的最终成绩超过17米的概率为() A号 3 B.4 7 6 0.8 5.已知函数f(x)在R上有意义，满足f(一x)=一f(一2十x),且x=1是f(x)的一条对称 轴，当x∈(1,3)时，f(x)=log2(2r-a)+log2(a3一2r),其中a>0,则f(-a)=() A.3 B.-3 C.8 D.-8 数学第1页（共1页） 6.已知圆C1与x轴和y轴都相切，且半径为1；圆C2也与x轴和y轴都相切，并且与圆C1 外切.若圆C2的半径小于1，则圆C2的半径为 () A.2-√2 B.2+√2 C.3-22 D.3+22 7.函数f(x)=√1-cos4x十√2cos2x的递增区间可能是() A.0. B.[8 c.o. 8.若x,y,之满足2=3-1=5-2，则x,y,之的大小关系不可能为 A.I<y<z B.I<z<y C.y<I< D.y<z<x 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分。) 9.如图，在棱长相等的正六棱柱ABCDEF一A,B,C1D1E1F,中，棱长为 a,下列说法正确的是 A,△A1BD是直角三角形 B.(AB十AA,)4展开式的第三项为6a C.A1B∥DC1 D.点P在侧棱AA1上运动（包含端点），则BP+PD1取得最小值为√I0a 10.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点，过A、B分别作 准线l:x=一2的垂线交于D、E两点，M为线段DE的中点，则 () A.p=2 B.MF⊥AB C.2DE=3MF D.S△MAB≥16 11.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=5 sin Bsin C,则下列说法正 确的是 () A.、1 大1 tan Btan C=5 且设BC边上的高为负，侧哈-号 C会+后的最大值为v西 D,tan Atan Btan C的最小值为2S 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.若直线y=a.x十1与f(x)=lnx在(e,1)处的切线垂直，则a= 13.已知等比数列{am}的前n项和为Sn,公比q>0,若a1=5,S3=35,则S6= 数学第2页（共1页） 14.光滑平整的桌面上放有三个大小相同的小球，将底面半径为6，高为6√3的圆锥形的生日 帽（帽子的曲面厚度忽略不计）扣在桌面上，使它恰好能完全遮盖住三个小球，三个小球均 与桌面接触，则小球的半径为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15.(本小题满分13分)》 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=3,BC=4, PA=4,PA⊥平面ABCD. (1)求直线PC与平面ABCD所成的角的正切值； (2)求点B到平面PCD的距离. 16.(本小题满分15分) 为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取100家企业 进行调研.统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下： 增幅分组 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50] 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于30%的企业为“高成长型企业” (1)根据以上数据，估计这100家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代 表该组数据)； (2)为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取9家， 再从9家企业中不放回地抽取2家进行实地调研，设抽中[40,50]的数量为Y,写出Y 的概率分布列，并求其数学期望E(Y). 17.(本小题满分15分) 设数列{a,}满足a1=1,且a+1-n十2 (1)证明：{n(n十1)am}为等差数列； (2)设Sn=2n(a.-a+1),求Sn的值。 n= 数学第3页（共1页） 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C无+1口>b>0)的上顶点与右顶点分别为点A和点B,点0为坐标原 点，△AOB的面积SA4B1,且点O到直线AB的距离为0 (1)求椭圆C的标准方程. (2)设点P是直线x=4上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N. (i)求证：直线MN恒过定点. (i)求∠MPN的正切值的最大值， 19.(本小题满分17分) 已知双曲正弦函数的定义为sin=e一e 2· (1)证明：当x≥0时，sin hx≥x； (2)若a∈R,讨论方程sin ha=ax的实数解的个数； (3)已知a>1,xo是方程sin ha=ax在(0，十∞)上的一个零点，证明：ln(2a一1)<xo 数学第1贞（共1贞）数学（三） 1.A 之_3-2i_(3-2i)i2+3i 1;圆C2也与x轴和y轴都相切，并且与圆 2 -1 =-2-3i. C1外切，可知两圆在同一象限，先设C1(1, 故虚部为一3.故选A. 1),设圆C2的半径为r(r>0).圆C2的圆心 2.B易得A={2,3,5,7,11,13,17,19},由 为(r,r),两圆外切，则C1C2=1十r,即 3≥1→4。x3 4 x3x-3≥0→-7 x-3≤0，即 √1-r)+(1-r)=1+r,r<1,W2(1 -r)=1十r,解得r=3-2√2.故选C. 1(x-7)(x-3)≤0→3<x≤7，所以B=(3, 7.Cf(x)=√1-cos4x+√2|cos2x= x一3≠0 7],所以A∩B={5,7},其子集个数为2=4. √2sin22x+√2|cos2x|=√2(cos2x|+ 故选B. |sin2x|)=√2·√(cos2.x+sin2x) 3.D设点F(c,0),取其中一条渐近线y= 6 =W2·W1+2cos2xsin2xT=√2· a x,则1FH1=bcL=lbcl=b,则 V十sin4红，依题意友x≤4x≤受十kx,则 √a2+b c OH|=√OF2-FH=√2-b=a,所以 x≤晋+k∈Z当=0时，x∈[o 4 SAOFH=2OH|FH=2ab,将x=c带 1.故选C 人y= 2中，得到3yw-g,所以Samw= 8.B令2=3-1=5-2=k(k>0),则x= 1 log2k,y=log3k+1,之=log5k+2.当k=1 a 时，x=0,y=1,x=2,此时x<y<之，所以排 IOF1IFM1=号c.c=bc 2c S△oFM= ·一2a,则有Am 除A选项；当=9时，x=log29∈(3,4)，y log39+1=3,x=log9+2∈(3,4)，而3x= bc2 log2729∈(9,10)，3z=1og729+6∈(10,11) 一a=e2=3,解得e=3.故选D. 2a 即3x<3z,此时y<x<之，所以排除C选项； ab 当k=25时，x=log225∈(4,5)，y=1og325+ 2 1∈(3,4)，之=1og25+2=4,此时y<2<x, 4.D由题得甲每次试跳成绩不超过17米的概 所以排除D选项.故选B. 率均为？，因为每次试跳的成绩相互独立，所 9.ABD对于A选项，在等腰△BCD中，BC= a,CD=a,∠BCD=120°，则BD=√3a,∴.在 以甲的最终成绩不超过17米的概率为2，即 △ABD中，BD=√3a,AB=a,AD=2a, BD2+AB2=AD,.BD⊥AB,又A1B在 (（侣》'-日，则甲的最终成绩超过17米的概率 平面ABCDEF上的投影为AB,.BD⊥ A1B,∴.△A1BD是直角三角形，故选项A正 为1一8=8故选D, 1 7 确；对于B选项，(AB十AA,)展开式的第 三项为CAB2·AA=6a,故选项B正确； 5.B 要使得f(x)在x∈(1,3)有意义，则 对于C选项，在正六棱柱中A,B∥DE1,而 a3-2r>0' Q>2在x∈(1,3)时恒成立， 2-a0,即a2 DE1与DC1相交，.A,B与DC1不平行，故 选项C错误；对于D选项，将正六棱柱的侧面 a≤2 ABB1A1与平面ADD1A,沿着侧棱AA,展 又此时2∈(2,8)，所以a3>8,解得a=2,则f 开到同一平面如下图所示，则BP十PD1≥ a>0 BD1,而Rt△BB1D1中，|BD1I2=|BB1I2+ (2)=log2(22-2)+1og(23-22)=1+2=3,在 |B1D12,得|BD1|=√10a,故选项D正确. 式子f(-x)=-f(-2十x)中，令x=2,得f 故选ABD, (一2)=一f(0),又因为f(x)关于x=1对称，所 aA 2a 以f(0)=f(2)=3,所以f(-a)=f(-2)=-f D (0)=一f(2)=-3.故选B. B D 6.C由圆C1与x轴和y轴都相切，且半径为 aA 2a 数学{三)答案弟1页 10.BD由题得-号=一2，所以力=4，故A选 2方且x≠1D,令1=-1>-且1≠0，所 项错误；设A(x1,y1),B(x2,y2),又M( 2,1十y兰)，F(2,0),直线AB的方程为x= 以f()=5(1++2)不存在最小值，故D 2 不正确，故选AC y+2,所以F=(-4,十)，FA=（x1 2 12-e由题得f)-则fx)=lnx在 -2,y),则Fi.FA--4,十8+ 2 e,)处的切线的斜率为了(e)=。又因为 学由化82得yy-16=0,即 这条切线与直线y=a.x十1垂直，所以a· 1 y1y2=-16,所以FM.FA=0,所以FM1 e =-1,所以a=-e. FA,即MF⊥AB,故B选项正确；由B选项 13.315由S3=a1+a2+a3=35,即5+5g+ 可知，Rt△ADM≌Rt△AFM(HL),∴.MD 5q2=35,解得g=2或q=-3(舍去)，所以 =MF,同理ME=MF,∴.DE=2MF,故C S6= 5(1-2) =315. 选项错误；由B选项可知MF⊥AB,∴ 1-2 Su=号AB11MF≥号X8X4=16,故 14. 6W3 5 设三个小球的半径为r,圆锥底面的 D选项正确；故选BD. 圆心为O,由题可知三个小球之间两两外切 1l.AC对于A选项，，'sinA=5 sin Bsin C, 且均与桌面和圆锥的曲面相切.如图1，连接 ∴.sin(B+C)=5 sin Bsin C,即sin Bcos C 三个小球的球心O1,O2,O3,则△O1O2O 十sin Ccos B=5 sin Bsin C,等式两边同除 为边长为2r的等边三角形，设点G为 以血BnC学0，得CrB=5故A △O1O2O3的中心，点M为O2O3的中点 选项正确；对于B选项，，sinA=5 sin Bsin 则0，G=号0，M=号×90,0，=2 3 sin A aa C5正sin Bsin Cbsin C方，放B选项 由对称性可知点G在点O的正上方，取过点 O的轴截面SAB作为截面，如图2，在Rt 错误；对于C选项，，'sinA=5 sin Bsin C,由 正弦定理可得a2=5 bcsin A,结合余弦定理 △SA0中，则有tan∠SA0=6 6 =3, a2=b2+c2-2 bccos A,可得b2+c2=5 bcsin ∠SAO=60°，∠O1AH=30°，∴.AH= A+26 ccos A,左右两边同时除以bc,得户十 am30=3H0=6-V3r=0,G=2 3 =5sin A +2c0s A=29 sin (A+) √29，故C选项正确；对于D选项，由A选项 :5 =6,即r=6V3 3 可知sin Bcos C+sin Ccos B=5 sin Bsin C,两边同除以cos Bcos C≠0，得tanB+ tan C=5tan Btan C,tan A=-tan(B+ 0 tan B+tan C 5tanBtan C C)=一-tan Btan C=tan Btanc一，所 tanA tan Btan C-5tan'Btan'C tan Btan C-,由于 tan B>0,tan C>,5tan Btan C=tan B 图1 图2 +tanC>2√tan Btan C,解得tan Btan C 15.(1)由于PA⊥平面ABCD,直线PC在平面 ABCD上的投影为AC,因此直线PC与平 之2话设an Btan C=z,tan Atan Btan C 面ABCD所成的角即为∠PCA. 5tan2Btan2C 5x2 在直角三角形PAC中，PA=4,AC为矩形 tan Btan C-1=x”fx）三x(x ABCD的对角线，得AC=√AB+BC= W32+4=√/9+16=5. 故学（三）答案第2 因此an∠PCA-股-言放直线PC与平 17.(1)将a+1=n十2a。两边同时乘以 面ABCD所成的角的正切值为5： 4 (n+1)(n+2), …5分 得(n+1)(n+2)am+1=n(n+1)am.又1· (2)由S△BCD=2 2×4X3= XBCXCD= 2·a1=2, 所以{n(n十1)an}为常数列，即 6, {n(n十1)am}为首项为2，公差为0的等差 数列.…………………6分 所以Vp-D=3×SANCD X PA=3X6X4 (2)由(1)知n(n+1)am=2,所以a。 =8. ……7分 2 易知CDLPD,.所以SA=号×CDXPD n(n+1)' n (am一am+1) =号×3X42=6v2 2 2 n(n+1)(n+1)(n+2) 设点B到平面PCD的距离为d,则 (n+2) =2n VB-PCD-3 n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) XS△PCD Xd=Vp-Bcp=8, 4 1 1 ……11分 (n十1)(n+2) n+1n+2: 即号×6v2×d=8,所以d=,8=年=2 2√2√2 所以S=三(a。-a1)=4[(2-3)十 ,11 月1 2, 1 1 故点B到平面PCD的距离为2√2.… `m+1m十2)] ………13分 =42m+2 16.(1)样本平均值计算公式：x 4 5×5+15×20+25×30+35×25+45×20 =2 m+2 …15分 100 1 =28.5, 18.(1)由题意知S△os=2ab=1→ab=2, 所求营业收入增幅的平均值为28.5%.… …………………5分 直线AB的方程为二+义=1→bx十ay一ab a b (2)现采用分层抽样的方式，从[30,40)， =0, [40,50]中选取9家，即[30,40)选5家， 所以点O(0,0)到直线AB的距离d= [40,50]选4家，从9家企业中不放回地抽 取2家进行实地调研，抽中[40,50]的数量 1-abl ab Y可能的取值为0,1,2. √a2+b2Va2+b 5a, P(Y=0)= C9·C_-5 1 →a2=4b2. C 8 所以6 以a2+6=5 C·C5 a>b>0 P(Y=1)= C 9 由ab=2 ,得/a2 a2=4b2 b=1 1 P(Y=2)= C·C9 400.0gt004。 C 6 10分 x2 所以椭圆方程为4十y=1.…5分 因此Y的概率分布列为： (2)(i)设点P(4,t),切点M(x1,y),N Y 0 1 2 (x2,y2),过点M的切线为y一y1=k(x x1), 5 5 1 P 18 9 6 与号+少=1联立：得(+)十( 所以E(Y)=0×18 1× 2k2x1+2ky1)x+(k2x-2ky1x1+y-1) 6-9 =0.…7分 8 故数学期望为 …15分 由4=0可得红=+1，又号 数学{三)答案茱3厨 y好=1，所以k=一4 解，又因为y=sin ha和y=ax均为奇函 数，所以若x。(x。>0)是方程的一个解，则 由于切线也过点P(4,),所以二 x。也是方程的一个解， x1-4 所以只要考虑(0，十∞)上方程sinh.x=a.x 代入+=1，可得十3=1 的解即可。…5分 4y1 令g(x)=sin hx-ax,x>0,则g'(x) 同理，x2+y2t=1. e+e 因此，点M和N均满足方程x十yt=1,故 2 -a,x>0,且g(0)=0, 直线MN的方程为x+yt=1, ①当a≤1时，g'(x)=e+e 2 -a>1-a≥ 对于任意t,当y=0时，x=1,因此直线MN 恒过定点(1,0).……10分 0,则g(x)在(0，十∞)上单调递增， (i)设切线PM和PN的斜率分别为k1和 所以g(x)>g(0)=0,即sin ha=ax在 k2, (0,十∞)上无解，也即sin ha=ax在a∈ 切线方程为y-t=k(x一4)→y=kx+(t （一∞，1]时仅有一个解；…7分 4k), ②当a>1时，g'(0)=e+e0 2 -a=1-a< 代入椭圆方程整理得(1十4k2)x2+8k(t 4k)x+4(t-4k)2-4=0. 0,g'(x)在(0，十∞)上单调递增， 因为直线与椭圆相切，所以令△=0，可得 且当x→十∞时，g'(x)→十∞， 12k2-8tk十(t2-1)=0,…12分 此时g(x)在(0，十∞)上先减后增，又x 8t 2t 所以k1+k,12312=二1 十∞时，g(x)→十∞， 12 所以g(x)=sin ha-ax在(0，十∞)上仅有 一个零点， 所以|k1-k2|=√(k1十k2)2一4k1k2 所以g(x)=sin ha-ax在(-∞，0)上也仅 √t2+3 有一个零点，也即sin ha=ax在a∈(1，十 3 ∞)时有三个解，………10分 k1-k2 4√2+3 (3)令f(x)=sin ha-ax,由于a>1,有f tan∠MPN 。44 1十k1k2 t2+11 (0)=0和f'(0)=1-a<0,因此f(x)在 …14分 (0,十∞)上先递减后递增，存在唯一零点x0 >0.取x1=ln(2a-1), 令x=2十3≥√3，则 f (x)=sin h (In (2a-1))-aln (2a- Ax 4 4 2 1)=2a-1 1 f(x)= x2+8 (当 8 8 2 2 2(2a-1)-aln(2a-1). x十 x …12分 且仅当x=2√2，t=士√5时取等号)， 令t2a1,则a=2得 所以∠MPN的正切值的最大值为？. f(x1)=2- t 2t 2 …………………………17分 19.(1)令f(x)=sin hx-x,则f'(x)= [ -(t+1)lnt. …15分 e +e 2-1. 令ge)=4+1)1nt-1+>1.则8 因为≥e·e1恒成立，所以f =0且ga)=n+}->0,因此8 t (x)≥0恒成立， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增 (t)在(1，+∞)上单调递增，所以g(t)>g 又因为f(0)=e+e”-0=0,所以当r≥0 (1)=0, 2 -(t+1)lnt<0, 时，f(x)≥0恒成立，即sin ha≥x.… 所以1一 …4分 所以f(x1)<0=f(xo),所以x1<xo,即ln (2)易知对任意的a∈R,x=0都是方程的 (2a-1)<x0.…17分 数学{三)答案策4页