专题03 一次函数7大考点（期末真题汇编，湖南专用）八年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 聚焦一次函数核心考点，整合湖南多地期末真题，分层设计兼具基础巩固与综合应用，覆盖函数概念、图象性质、实际应用及几何综合等关键能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择填空|约30题|函数概念、自变量取值、图象性质、平移|结合“中国诗词大会”“快递时效”等情境，考查函数表示与图象辨析| |解答题|约20题|待定系数法、方程不等式关系、实际应用|以“世界读书日购书架”“草莓采摘收费”等现实问题为载体，压轴题融合坐标系与菱形、垂直关联点等几何变换|

专题03 一次函数 高频考点概览 考点01函数的概念与表示法 考点02一次函数的概念 考点03一次函数的图象与性质 考点04 待定系数法求一次函数的表达式 考点05 一次函数的应用 考点06 一次函数与方程、不等式的关系 考点07 一次函数与几何综合（压轴题） 考点01 函数的概念与表示法 1.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【答案】A 【分析】本题考查常量和变量，根据常量就是固定不变的量；变量就是随时变化的量解答即可． 【详解】在三角形面积公式中，当底边为定值时，和均为固定不变的常量。面积随高的变化而变化，因此和是变量 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）下列式子中不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定唯一的一个值，那么我们称是的函数，由函数的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、对于，给定一个的值，计算能得到唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意； B、对于，任意给定一个的值，的结果唯一确定，有唯一值对应，所以是的函数，不符合题意； C、对于，在（即的范围内，给定一个的值，能得出唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意； D、对于，当取一个非正数的值时（因为右边，比如，则，，即一个值对应两个值，不满足函数定义中“有唯一确定值对应”的要求，所以不是的函数，符合题意． 故选：D． 3.（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）下列图象中，表示y不是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查函数的定义，解题关键在于注意掌握在函数变化的过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应． 函数有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，结合选项即可作出判断． 【详解】解：A、B、C选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义， 只有D选项对于x的每一个确定的值，可能会有两个y与之对应，不符合函数的定义． 故选：D． 4.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 5.（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性即可得． 【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：， 解得：，故C正确． 故选：C． 6.（24-25八年级下·湖南·期末）在函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故答案为：． 7.（24-25八年级下·湖南·期末）如图，折线描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系．其中正确的说法是（    ） A．汽车共行驶了120千米 B．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时 C．汽车在整个行驶过程中的平均速度为40千米/时 D．汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度在减少 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．直接观察图象，逐项判断，即可求解． 【详解】解：观察图象得：汽车共行驶了千米，故A选项错误，不符合题意； 汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为千米/时，故B选项正确，符合题意； 汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时，故C选项错误，不符合题意； 汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度为千米/时， 所以汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度不变，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 8.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）小明观看了主题为“人生自有诗意”的《中国诗词大会》，受此启发赋诗一首：“老铁学成今日返，老夫早早车站盼，老铁到后细打量，携手同欢把家还”，若用y轴表示老铁与老夫行进中离家的距离，用x轴表示老夫离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图像，能根据题目中的语句得到老夫与老铁离家距离的变化过程即可解答本题． 【详解】解：根据题意可知老夫离家的距离在这个过程中分为3段，先远离后不变最后到家，并且先到达车站；老铁离家的路程也分为3段，先离家越来越近，再停止，最后到家． 故选D． 9.（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）某电信公司有A、B两款移动收费方案，下图展示了每个月通话时长x（分钟）和对应方案费用y（元）的关系，下列说法正确的是（   ） ①若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案始终便宜10元； ②两种方案永远不可能在某一通话时刻费用相同； ③在通话时间超过200分钟时，A方案的费用始终高于B方案的费用 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意弄清函数图象横纵坐标及交点坐标的实际意义是解题的关键． 根据通话时间少于120分钟时，A、B两方案的费用可判断①；根据时，两函数图象交点的实际意义可判断②；根据在通话时间超过200分钟时，A方案对应的函数图象始终位于B方案对应图象的上方，可判断③． 【详解】解：①若通话时间少于120分钟，A方案所需费用为40元，B方案所需费用为50元， 方案比方案始终便宜10元，故①正确； ②由图象可知，当通话时间在120分钟到200分钟之间的某一数值时，A、B两种通话方案所需费用相同，故②错误； ③在通话时间超过200分钟时，A方案对应的函数图象始终位于B方案对应图象的上方， 即方案的费用始终高于B方案费用，故③正确； 故选：B． 10.7．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．则乙车出发后________小时追上甲车． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．先求出两车的速度，再根据乙车出发后追上甲车时，两车行驶的路程相等列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：甲车的速度为千米/时，乙车的速度为千米/时， 根据题意得：， 解得：， 即乙车出发后小时追上甲车． 故选：B 11．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）李华早上7点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早5分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为2000米；②爸爸回家的速度为；③小明在公园锻炼的时间是25分钟；④小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇．以上说法正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查实际问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，从图象中获得相关信+息，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】根据图象可得：公园与家的距离为2000米，故①正确； 爸爸的速度为：，故②正确； ∵， ∴小明在公园锻炼的时间是15分钟，故③错误； 小明的速度为：， 设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇， 根据题意得，， 解得，， ∴小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇，故④正确； 综上所述，以上说法正确的有3个． 故选：C． 12.（24-25八年级下·湖南永州·期末）与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值．根据奇函数的定义可得，将代入求出，从而求出即可． 【详解】解：∵是奇函数， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）根据背景素材，探索完成任务． 项目背景 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，该校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个用于摆放书籍． 项目素材 素材1 甲型号书架的单价比乙型号书架的单价低100元/个． 素材2 购买2个甲型号书架和3个乙型号书架共需要1300元． 项目任务 任务1 （1）求出甲、乙两种型号书架的单价． 任务2 （2）设购买个甲型号书架，购买这30个书架所需总费用为元，求与之间的函数表达式． 【答案】（1）甲型号书架的单价是元/个，乙型号书架的单价是元/个（2） 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，列出函数表达式等知识点，解题的关键是准确找出等量关系． （1）设甲型号书架的单价是元/个，则乙型号书架的单价是元/个，根据花费的总钱数列出方程求解即可； （2）根据总费用等于两种型号书架的费用之和，列出函数表达式即可． 【详解】解：（1）解：设甲型号书架的单价是元/个，则乙型号书架的单价是元/个， 依题意得：， 解得：， （元）， 答：甲型号书架的单价是元/个，乙型号书架的单价是元/个. （2）解：由题意可得与之间的函数表达式为： . 考点02 一次函数的概念 1.（24-25八年级下·湖南省张家界市慈利县·期末）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B．     C．    D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意． B．，含常数项1，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意． C．，不符合正比例函数的形式，不符合题意． D．，次数为2，不符合正比例函数的定义，不符合题意． 故选：A． 2.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）若函数是正比例函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解答此题的关键．一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，据此解答即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，且， ∴． 故选：B． 3.（24-25八年级下·湖南·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 4.（23-24八年级下·湖南·期末）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（，为常数）的函数为一次函数． 根据定义得：且，求出的值即可． 【详解】解：由已知可得且 解得且 ∴． 故一次函数解析为： 故答案为：． 5.（21-22八年级下·湖南常德·期末）已知函数（m、n为常数）．当m、n分别为________、________时，y是x的正比例函数． 【答案】 -1 0 【分析】根据正比例函数的定义，可得答案． 【详解】解：由题意得：，且，． 解得，， 当、分别为、0时，是的正比例函数． 故答案为：，0． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如，、是常数）的函数，叫做一次函数；形如是常数，的函数叫做正比例函数． 6.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数，当时，函数y的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的函数值，根据，故把把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ 依题意，把代入得， 故答案为： 7.（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）定义：对于给定的一次函数（a、b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】找出一次函数的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值． 【详解】由定义知，一次函数的“衍生函数”为， ∵点在一次函数的“衍生函数”图象上， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数的“衍生函数”是解题的关键． 8.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）若y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式、求自变量的值： （1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把点代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：∵y与成正比例， ∴设，     ∵当时，，则， ∴，     ∴函数的表达式． （2）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴m的值为． 考点03 一次函数的图象与性质 1．（23-24八年级下·湖南·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象经过第一、三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．掌握正比例函数的性质是解题关键． 根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，A选项错误； B、把代入，得，B选项错误； C、因为，所以y随x的增大而增大，C选项错误； D、 因为，所以图象经过第一、三象限， D选项正确． 故选D． 2.（24-25八年级下·湖南永州·期末）已知函数的图象经过二、四象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象与系数的关系，熟知对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限．据此即可解答． 【详解】解：∵函数的图象经过二、四象限， ∴． 故选：A． 3.（23-24八年级下·湖南湘西·期末）若正比例函数的图象经过点，则a的值为（    ）． A． B．2 C．0.5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征：函数图象经过点，则该点的坐标满足函数解析式；据此解答即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 即； 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数，且随的增大而增大， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 5.（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．值随值的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；当时，直线与轴的交点在轴的正半轴，当时，直线与轴的交点在轴的负半轴，当时，直线过原点．解决本题的关键是根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：当时，， 图象不经过点， 故A选项错误； B选项：函数的比例系数，， 图象经过第一、二、四象限，而非第一、二、三象限， B选项错误； C选项：， 随的增大而减小， 故C选项错误； D选项：当时，可得：， 解得：， 的比例系数， 随着的增大而减小， 当时，， 故D选项正确． 故选：D． 6.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象与直线平行 C．随自变量的增大而减小 D．函数图象经过第一、三、四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质，分析各选项的正确性． 【详解】A．当时，，故图象与轴交于，结论正确，不符合题意； B．直线与的自变量系数均为4，故两直线平行，结论正确，不符合题意； C．，因此随的增大而增大，而非减小，结论错误，符合题意； D．因，图象从左向右上升，且，故经过第一、三、四象限，结论正确，不符合题意； 故选：C． 7.（24-25八年级下·湖南永州·期末）一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象所在的象限，掌握一次函数图象与系数的关系成为解题的关键． 直接根据当，时，函数图象经过二、三、四象限即可解答． 【详解】解：∵，时， ∴函数图象经过二、三、四象限，故B正确． 故选：B． 8.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系中，若，则一次函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵一次函数的， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限， 选项B的图象满足该条件． 故选：B． 9.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，解题的关键是用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数与一次函数的自变量系数分别是k和，则两直线相交．故B、C不符合题意； A、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 10.（24-25八年级下·湖南·期末）正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确判断k的大小是解决本题的关键． 根据正比例函数的函数值随的增大而减小，可以判断；再根据判断出的图象的大致位置即可． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选：B． 11.（24-25八年级下·湖南娄底·期末）当直线经过第二、三、四象限时，k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数中与对函数图象的影响是解题的关键．根据一次函数的性质，当，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解． 【详解】解：∵经过第二、三、四象限， ． 解得：． 故答案是：． 12.（24-25八年级下·湖南常德·期末）将直线向上平移2个单位长度后所得的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数图象的平移法则“左加右减，上加下减”法则运算即可． 【详解】解：将直线的图象向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式是 ． 故选：A． 13.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）将直线沿轴向上平移5个单位，得直线的函数解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．根据“上加下减”的平移规律可直接求得答案． 【详解】解：将直线沿轴向上平移5个单位，得直线的函数解析式为，即． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）将直线向下平移3个单位长度得到的直线为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移规律，熟练掌握是解题关键． 根据一次函数的平移规律作答即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度得到的直线为， 故答案为：． 15.（24-25八年级下·湖南永州·期末）若点，，在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， 又点，，在一次函数的图象上，且， ． 故选：A． 16.（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知一次函数，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，可得出y随x的增大而减小，结合，即可求出y的最小值． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：． 17.（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知正比例函数． (1)若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围． (2)若点在它的图象上，求它的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象经过第二、四象限，可得，即可求解； （2）将点代入函数解析式中，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：函数图象经过第二、四象限 ∴，即k的取值范围是； （2）将点代入函数解析式中，得：， 解得：， 所以正比例函数解析式为． 18.（24-25八年级下·湖南·期末）已知一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． (2)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质， （1）根据“一次函数，，为任何数，随的增大而增大，，为任何数，随的增大而减小，”列出不等式求解即可； （2）根据“一次函数图象经过原点，，”列式求解即可； （3）根据“一次函数的图象经过一、二、三象限时，，， ”列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小， ∴， ∴， （2）当m、n是满足时，即时函数图象经过原点； （3）若图象经过一、二、三象限，则，． 解得． 19.（24-25八年级下·湖南·期末）已知一次函数，当m为何值时， (1)y随x值的增大而减小？ (2)一次函数的图象与直线平行？ (3)一次函数的图象与x轴交于点？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数性质时，y的值随x值的增大而减小即可； （2）根据两直线平行k值相等即可； （3）把点代入即可． 【详解】（1）由题意，得，解得， ∴时，y随x值的增大而减小． （2）由题意，得，，解得， ∴时，一次函数的图象与直线平行． （3）把点代入， 得，解得， ∴时，一次函数的图象与x轴交于点． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 考点04 待定系数法求一次函数的表达式 1.（24-25八年级上·湖南常德·期末）若直线平行于直线，且经过点，则直线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先设直线的解析式为，再将点代入计算即可得． 【详解】解：∵直线平行于直线， ∴设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 2.（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知一次函数的图象与的图象平行，而且经过点，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先根据两个一次函数的图象平行可得，再将点代入求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴该一次函数的解析式为， 故答案为：． 3.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）若y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式、求自变量的值： （1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把点代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：∵y与成正比例， ∴设，     ∵当时，，则， ∴，     ∴函数的表达式． （2）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴m的值为． 4.（25-26八年级上·湖南张家界·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）设一次函数的表达式为，根据“当时，；当时”计算即可； （2）把代入一次函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为 因为当时，；当时， 代入得， 解得，， 所以； （2）解：把代入得： ． 5.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）已知，在一次函数图象上，求这个一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，熟练掌握此方法是解题的关键． 根据待定系数法解题即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为：，依题可知，在函数图象上，则 ， 解得：， ∴这个一次函数表达式为． 6.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）已知直线的图象经过点，． (1)求直线的解析式； (2)点为直线上一点，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，解题的关键是明确一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据待定系数法即可求得函数的解析式； （2）根据求得的解析式可求出，再代入三角形的面积公式即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点，            解得，           ∴一次函数解析式为 （2）∵点为直线上一点 ∴ ∴           ∴ 7.（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)坐标平面内有一点，将一次函数图象向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求一次函数的解析式及一次函数的平移问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法和图象“左加右减，上加下减”的平移规律． （1）先确定A、B两点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）根据题意求得平移后的直线的解析式，把的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：依题意可得平移后的一次函数表达式为   ， 把代入可得：， 解得：． 8.（24-25八年级下·湖南常德·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点“坐标是 _______ ； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是 _______ ； (2)若点的“美好点”在直线上，求a的值． 【答案】(1)①；②； (2)a的值为． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． （1）①直接根据“美好点”的定义求解； ②设P点坐标为，再根据“美好点”的定义得到，，然后解方程求出a、b，从而得到点P的坐标； （2）先根据“美好点”的定义得到点的“美好点”为，然后把代入直线解析式中得到，最后解关于a的方程即可． 【详解】（1）解：①点的“美好点“坐标为； 故答案为：； ②设P点坐标为， 根据题意得，， 解得，， ∴点P的坐标为； 故答案为：； （2）解∶ 点的“美好点”为， 把代入中得， 解得， 即a的值为． 考点05 一次函数的应用 1.（24-25八年级下·湖南永州·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快______里/日． 【答案】90 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象特殊点的坐标解答即可． 【详解】解：由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第12日出发．劣马比良马早出发12日， 当时，两直线有交点，代表良马追上劣马，此时良马出发日， 良马行走4800里用了20日，故速度为里/日，劣马行走4800里用了32日，故速度为里/日， 所以良马的速度比劣马的速度快里/日 故答案为： 2.（24-25八年级下·湖南·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 【答案】4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 3.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示． (1)求降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式； (2)当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？ 【答案】(1) (2)千克 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式； （2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元． 【详解】（1）解：设降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式为； （2）解：设当销售量为a千克时，小李销售此种水果的利润为150元，根据题意得： ， 解得：， 答：当销售量为180千克时，小李销售此种水果的利润为150元． 4.（24-25八年级下·湖南永州·期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为（元），用水量为（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元 不超过10立方米 每立方米2.5元 超过10立方米 超过的部分每立方米3.5元 （1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； （2）若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ （3）若某户居民某月交水费27元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】（1）当时，，当时，y=3.5x-10；（2）17.5；（3） 【分析】（1）根据收费用量区间与收费标准列出两种收费解析式，当时，用收费标准×使用水量；当时，基础收费+超出部分费用； （2）先确定用量范围，再求代数式值即可； （3）先根据费用确定解析式，列方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 当时，； （2）∵7＜10， ∴当时，（元， 答：应交水费17.5元； （3）∵27＞25， ∴当时，， ， 答：该户居民用水立方米． 【点睛】本题考查列分段一次函数解析式应用收水费问题，掌握收费区间与标准，代数式的值，列解方程是解题关键． 5.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）某快递公司的快递员小赵，他的月收入与该月的派件量之间成一次函数关系，其图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)小赵在没有派件量时的收入是 元； (2)求小赵的月收入y（元）关于月派件量x（件）的函数表达式； (3)若小赵要想月收入达到17000元，则小赵当月的派件量要达多少件？ 【答案】(1)2000 (2) (3)小赵当月的派件量要达1000件 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据图象解答即可． （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出（2）所求函数关系式中当时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图象可得小赵在没有派件量时的收入是2000元， 故答案为：2000； （2）解：设一次函数表达式为， 把和代入，得：，     解得：，     则一次函数表达式为． ∴小赵的日收入y（元）关于日派件量x（件）的函数表达式为． （3）解：当时，， 解得：． 答：小赵当月的派件量要达1000件． 6.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）岳阳特产长乐甜酒和黄茶备受大家喜爱，为了迎接暑假旅游购物高峰，某特产店欲加购岳阳长乐甜酒和岳阳黄茶礼盒若干．该专柜负责人欲查询两种商品的进货价格，发现进货单已被墨水污染． 进货单 商品 进价/（元/件） 数量/件 金额/元 长乐甜酒 岳阳黄茶 商品采购员李经理对采购情况回忆如下：两种商品共采购了件，采购费共元，且岳阳黄茶礼盒的进价比长乐甜酒礼盒的进价多元． (1)请问长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为多少元？ (2)若长乐甜酒每件的售价为元，岳阳黄茶每件的售价为元，考虑到市场需求，特产店计划再次采购这两种特产共件，且长乐甜酒的数量不少于件．设购买长乐甜酒件，总利润为元． ①请写出总利润（元）与（件）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②根据函数关系式说明应怎样进货才能使特产店在销售完这批特产时获利最多？最大利润为多少元？ 【答案】(1)长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为元和元 (2)①；②当购买长乐甜酒礼盒件件，岳阳黄茶礼盒140件时，获得的利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用； （1）设长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为元和元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）①设购买长乐甜酒礼盒件，则岳阳黄茶礼盒件，根据题意列出一次函数关系式； ②根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为元和元， 根据题意，得，           解得；           答：长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为元和元； （2）解：①设购买长乐甜酒礼盒件，则岳阳黄茶礼盒件， 根据题意，得： ，           ②∵，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴，有最大值，； 答：当购买长乐甜酒礼盒件件，岳阳黄茶礼盒件时，获得的利润最大，最大利润为元． 7.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）运动服是全民健身的重要装备，设计舒适的运动服不仅能提升运动体验，还能传递健康生活理念．某运动用品店计划购进一批A、B两种款式的运动服尝试销售，据了解：1件A款运动服、2件B款运动服的进价共计140元；3件A款运动服、1件B款运动服的进价共计170元． (1)求A、B两种运动服每件的进价分别为多少元？ (2)若该店计划用800元购进这两种运动服（两种均购买），且B款运动服的数量不超过A款的3倍，试计算有几种购买方案？ (3)若销售1件A款运动服可获利10元，销售1件B款运动服可获利5元，在（2）的购买方案中，全部售出后哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种运动服每件进价40元，B件运动服每件50元； (2)有三种购进方案； (3)，时，利润的最大值为元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组和函数关系式，是解题的关键： （1）设A、B两种运动服每件进价分别为元，根据题意，列出方程组，即可； （2）设用800元购进m件A运动服，n件B运动服，由题意得到，，求出正整数解即可； （3）设利润为P，列出函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设A、B两种运动服每件进价分别为元，依题意得： ，解得 ； A种运动服每件进价40元，B件运动服每件50元； （2）设用800元购进m件A运动服，n件B运动服，则有 ，，且均为大于0的整数， ∴， ∴或或， 故有三种购进方案． （3）设利润为P，则 P随m的增大而增大， 在（2）的两种方案中时，P的最大值为（元）． 8.（24-25八年级下·湖南怀化·期末）某商场计划购进甲、乙两种衣服进行销售．已知甲种衣服的进货单价比乙种衣服的进货单价贵50元，购进3件甲种衣服的费用与购进4件乙种衣服的费用相等．进货后，商场确定甲衣服的售价为每件250元，乙衣服的售价为180元/件． (1)求甲、乙两种衣服的进货单价各是多少元？ (2)若商场准备购进甲、乙两种衣服共100件，但进货总金额不能超过18000元．若设甲种衣服购进件，销售完100件甲、乙两种商品的总利润为元，求与之间的函数关系式，并求的最大值． 【答案】(1)200元/件，150元/件 (2)；4200 【分析】本题考查了一次函数，一元一次方程，一元不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙种衣服的进件为元/件，则甲种衣服的进价为元/件，根据“购进3件甲种衣服的费用与购进4件乙种衣服的费用相等”建立一元一次方程求解； （2）根据利润等于每件的利润乘以数量建立总利润为关于的一次函数，再由进货总金额不能超过18000元，列不等式求出的取值范围，最后由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙种衣服的进件为元/件，则甲种衣服的进价为元/件． 根据题意得： 解得： 经检验：是原方程的解， ∴ 答：甲种衣服的进价为200元/件，乙种衣服的进价为150元/件． （2）解： ∴随的增大而增大， ∵ ∴ ∴当时，有最大值为4200． 9.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况： 欣欣草莓园优惠大放送：亲！采摘的草莓40元/千克．若您采摘超过2千克，则超过部分按六折付款． 乐乐草莓园活动细则：原价：40元/千克．现优惠价：八折！！！ (1)若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为y欣，y乐元，请你直接写出两个草莓园付款金额y欣，y乐关于采摘草莓的重量x千克的函数表达式及自变量x的取值范围． (2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳一家人共采摘千克草莓，请你通过计算说明去哪家草莓园采摘更划算！ 【答案】(1)， (2)当时，去乐乐草莓园；当时，两个都一样；当时，去欣欣草莓园 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据题意，当时，；当时，，而；； （2）分三种情况列不等式（或方程）即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当时，； 当时，， ∴； ； （2）由已知得：当时，   ，解得： 当时， ，  解得： 当时，   ，解得： 答：当时，去乐乐草莓园；当时，两个都一样；当时，去欣欣草莓园． 10.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）随着网购的普及，让“线上下单、快递到家”成为主流消费模式，电商对物流的强依赖进一步强化了快递的核心地位，促使了快递行业的迅速崛起．有人就这样形容现在的快递“早上下单挑，午后拆盒瞧；从前半月遥，如今半日到”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是_______千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)70 (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图象，结合路程除以时间，即可求解； （2）先求得乙车的速度，进而得出，利用待定系数法求得解析式即可； 【详解】（1）解：由图可知甲车的速度是： （千米/时）， 故答案为：70； （2）解：由图可知乙车的速度是： （千米/时）， 之间的距离为千米， ∴乙车从点到达点所需的时间为： （小时）， ∴乙车由网点地驶往网点行驶时间为（小时）， 所以， 设线段的函数解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴线段的函数解析式为． 考点06 一次函数与方程、不等式的关系 1．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）直线与x轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一次函数与x轴的交点坐标，求出时x的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，，解得， ∴直线与x轴的交点坐标是， 故选：A． 2.（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的方程的解是________． 【答案】/ 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程结合的问题，解题的关键是数形结合思想在一次函数与一元一次方程中的运用．先利用待定系数法求得k、b，再解一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴所求方程为， 解得， 故答案为：． 3.（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）已知一次函数与（k是常数）的图像的交点坐标是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 本题考查一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与（k是常数）的图像的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故答案为：． 4.（24-25九年级上·湖南湘西·期末）直线的图象如图所示，则不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解，从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：直线的图象经过点，且函数值随的增大而减小， 不等式的解集是． 故答案为：． 5.（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）已知一次函数，当时，x的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数与不等式，由可得，再进一步求解即可. 【详解】解：当时，， ∴， 故答案为：． 6.（24-25八年级下·湖南永州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，当时，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式．数形结合是解题的关键． 由题意知，不等式的解集为的函数值在0到3之间，结合图象作答即可． 【详解】解：由图象可得，不等式的解集为． 故答案为：． 7.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴关于x的不等式的解集是． 故答案为：． 8.（24-25八年级下·湖南永州·期末）如图，直线与直线交于点，当______时，． 【答案】 【分析】本题考查了两条直线的交点与一元一次不等式，数形结合是解题的关键；，从数来看自变量x取何值时，函数值大于函数值；从图来看，表明直线位于直线的上方；为此只要观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象知，当时， 故答案为：． 9.（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（    ） A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大 B．方程的解为 C． D．方程组的解为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键． 根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【详解】解：A、由图象可知：的值随着值的增大而减小， 故A错误，不符合题意； B、一次函数的图象过点， ， ， ， 当时，， ∴， 方程的解为， 故B错误，不符合题意； C、直线过， ， ， ； 故C错误，不符合题意； D、由图象可知：方程组的解为， 故D正确，符合题意 故选：D． 10.（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知一次函数（a， b是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 0 2 4 6 8 下列说法中，错误的是（    ） A．图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而减小 C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数图像的性质， 根据表格中x与y的对应值，选取两组数据代入一次函数解析式求出a和b的值，进而分析各选项的正确性． 【详解】解：当时，；当时，代入 ， 解得， 所以一次函数解析式为． 因为，，图象经过第一、二、三象限，所以A正确； 因为，函数值y随x的增大而增大，所以B不正确； 因为方程的解为，所以C正确； 因为不等式的解集为，所以D正确． 故选：B． 考点07 一次函数与几何综合（压轴题） 1.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为 ，则对角线的长度为（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，先求出和坐标，再在中利用勾股定理列方程求解，得到点的坐标即可解答． 【详解】解：∵直线的函数解析式为， ∴当时，，则； 当时，，解得，则； ∴， ∵菱形， ∴，， ∴点 C的纵坐标为， 设，则，点 C的坐标为， ∵在中， ∴， 解得， ∴点 C的坐标为，点 A的坐标为， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标之和等于8的点称为“吉星点”，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“吉星点”；②第三象限内不存在“吉星点”；③已知点，，若点P是“吉星点”且在坐标轴上，则点P到直线的距离为2；④已知点O为坐标原点，若点Q是第一象限内的“吉星点”，则的最小值为．其中正确的是________（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理，点到直线的距离等知识．熟练掌握坐标与图形，点到直线的距离是解题的关键． 根据第一、三象限点坐标的特征，可判断①②的正误；由点是“吉星点”且在坐标轴上，可得或，由点坐标，可知直线轴，则点到直线的距离为或2，可判断③的正误；由题意知，是第一象限中直线图象上的一点，当时，最短，再根据面积法求解，即可判断④的正误． 【详解】解：由题意知 ，第一象限内有无数个“吉星点”， ①正确，故符合题意； ∵第三象限的点，横、纵坐标均为负，和为负， ∴第三象限内不存在“吉星点”，②正确，故符合题意； ∵点是“吉星点”且在坐标轴上， ∴或， ∵点，， ∴直线轴， ∴点到直线的距离为或2，③错误，故不符合题意； 如图，由题意知，是第一象限中直线图象上的一点， ∴当时，最短， 对于直线，时，则， 解得：， ∴， 当， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意， 故答案为：①②④． 3.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在轴上能否找到一点，使的面积为6？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)能找到，点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形、求正比例函数的解析式，熟练掌握坐标与图形、分类讨论是解题的关键． （1）根据点的横坐标为3，的面积为3，求出，由点在第四象限，得出点坐标为，把代入求解，即可得出正比例函数的解析式； （2）由（1）得，由要在轴上能否找到一点，使的面积为6，求出，分“当点在轴的负半轴上时”和“当点在轴的正半轴上时”两种情况，得出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为3， ∴， ∴， 解得：， ∵点在第四象限， ∴点坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵由（1）得，要在轴上能否找到一点，使的面积为6， ∴， 解得：， ∴当点在轴的负半轴上时，点的坐标为； 当点在轴的正半轴上时，点的坐标为． ∴在轴上能找到点，使的面积为6，点的坐标为或． 4.（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，直线交两坐标轴于点，． (1)求直线的解析式； (2)点C的坐标为，连接．证明：且线段． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，构造辅助线：是解决本题的关键． （1）将点，代入函数解析式，求解关于k和b的二元一次方程组即可求解解析式． （2）过点C作轴于E，根据点A，B，C三点的坐标，可得，，根据勾股定理可求解与的边长，再由三角形全等得到即可证明垂直． 【详解】（1）解：直线线经过点，， ，解得， 直线的解析式为． （2）证明：过点C作轴于E，如图1， 则与都是直角三角形，， ，，， ，， ，， ， 在与中， 由， ∴≌， ， ，即， ． 5.（24-25八年级下·湖南湘西·期末）在平面直角坐标系中，已知点．如果存在点，满足，，则称点为点的“非常点”． (1)如图1，在，，中，点的“非常点”是______； (2)若点在第一象限，且，判断的形状并证明； (3)直线与轴、轴分别交于、两点，若线段上存在点的非常点，则线段长度的最大值为_________． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 (3) 【分析】（1）根据“非常点”的定义，即可得到答案； （2）根据勾股定理及其逆定理，即可判断答案； （3）将点Q的坐标代入，并化简为，即得点P的运动路径是一条线段，根据点Q的运动范围，即可求得点P在线段上运动，分别求得点P在线段两端点位置时的长，即得的最大值． 【详解】（1）解：若点为点的“非常点”，则，， 即， 所以满足题意； 故答案为：； （2）证明：，， ，，， ， 是直角三角形， 同时， 是等腰直角三角形； （3）解：点在线段上， ， 整理得， 点的非常点为点Q， 点是直线上的动点， 点在线段上， 当点在点G处时，点P在点A处，当点在点H处时，点P在点B处， 即点P在线段上运动， 当点P在点A处时，点Q在点G处， 令，则， 解得， ， 由（2）知，是等腰直角三角形， ， 即此时，， 当点P在点B处时，点Q在点H处， 令，则， ， 由（2）知，是等腰直角三角形， ， 即此时，， 的最大值为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的动点路径问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，求一次函数的解析式，探求动点P的运动路径是解题的关键． 6.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点．函数的图象与轴交于点． (1)求和的值； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点为或 【分析】本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出点坐标，代入解析式即可； （2）根据点、坐标结合三角形面积公式即可计算； （3）由（2）知，分两种情况分类讨论，或，进而求解． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， 又在函数的图象上， ∴． （2）解：∵函数的图象与轴交于点， ∴， 又函数与轴，轴分别交于点、两点， 当时，；当时，； ∴． ∴． ∴． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，， ∴， ①若，则， ∴， ∵， ∴； ②若，则， ∴， 过点作交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当点为或时，为等腰直角三角形． 7.（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B． (1)直接写出A的坐标 ，B的坐标 ； (2)如图2，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点． ①若点P在第二象限，且的面积为14，求点P的坐标； ②点Q是y轴上的一个动点，是否存在以A，B，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①点P为；②存在，， 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，待定系数法，平行四边形的性质． （1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标； （2）①将B点坐标代入一次函数，求出直线的表达式，再求出点C的坐标，则，由点P在第二象限得，则，求出，再代入直线的表达式，即可求出点P的坐标； ②分两种情况讨论：当Q在y轴的正半轴上时，根据平行四边形的性质可求点P的坐标；当Q在y轴的负半轴上时，根据平行四边形的性质先求出直线的解析式，则可求点Q的坐标，再求出直线的解析式，求出线和直线的交点坐标，即为点P的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B, 当时，， 当时，则，解得， ∴A的坐标为，B的坐标为， 故答案为：，； （2）解：①将B点坐标代入一次函数得：， ∴直线的表达式为， 当时，， 解得， 则C点坐标为， ∴， ∵点P在第二象限， ∴， ∴，即， 解得， 将代入， 解得， ∴点P为； ②分以下两种情况讨论： 如图，当Q在y轴的正半轴上时， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵，将代入中，， ∴点P为； 如图，当Q在y轴的负半轴上时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设直线为， 将点代入有：， ∴， ∴直线为，令，则， ∴； ∵， ∴， 设直线为，将点代入有：， ∴直线为， 将直线与直线联立有：， 解得：， ∴点P为． 综上，存在点，符合题意． 8.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为 (2)点C的坐标为或； (3)存在，、或时，与全等 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）利用三角形的面积关于y的方程，再求出点C的坐标即可； （3）利用勾股定理列式求出，然后根据，然后分三种情况：当与是对应边时，利用全等三角形对应边相等求出，再写出点C的坐标即可；②与是对应边时，过点C作轴于E，利用面积法求出，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵点，的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在， 在中，∵， ∴， ∵点C是直线上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线与y轴相交于点D， ∴， 当与是对应边时，    ∵， ， ∴， ∴点； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：，    ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为、或． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质，关键在于根据题意得到，从而确定出三角形的对应边，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 9.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，，直线：经过点A，交x轴于点C． (1)求直线的解析式． (2)如图2，点D是y轴负半轴上一点，点E是x轴上一动点，若，求的最小值． (3)如图3，点P是线段上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，平面内有一个动点M，四边形是平行四边形，当平行四边形的面积等于3时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数和几何的综合应用，涉及到求一次函数的解析式以及线段长度和的最值问题以及通过平行四边形求点的坐标问题，熟练掌握求一次函数的解析式的方法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）过点作,交于点，利用锐角三角函数求出，然后利用勾股定理即可求解； （3）假设，，通过平行四边形的对边相等和面积公式列出方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：由直线：得，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过点作,交于点， 在中，， 由直线：得， 当时，解得，， ∴， ∴， 解得， ∴， 当点在同一直线上时，值最小，即值最小， 此时，为等腰直角三角形， 由勾股定理得，， 即， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示， 假设，， 根据题意得，，即，整理得； ， 解得， ∴， ． 10.（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，，两点位置不同，将点绕着点顺时针旋转后得到点，称点为点关于点的顺时针“垂直关联点”，将点绕着点逆时针旋转后得到点，称点为点关于点的逆时针“垂直关联点”． (1)如图2，已知点坐标为，点坐标，求出点关于点的逆时针“垂直关联点”坐标．小明提出连接，作，使，点为点关于点的逆时针“垂直关联点”，作轴于点，作轴于点，可以证明，则，，则点关于点的逆时针“垂直关联点”坐标为________； (2)如图3，已知直线与轴，轴分别交于，两点，求出点关于点的顺时针“垂直关联点”的坐标； (3)如图4，已知直线与轴，轴分别交，两点，点在第二象限内，点坐标为，若点关于点的“垂直关联点”刚好落在直线上，求点关于点的“垂直关联点”的坐标． 【答案】(1)坐标为 (2) (3)点关于点的“垂直关联点”的坐标为或 【分析】（1）由，，得坐标为； （2）作，使，点为点关于点的顺时针“垂直关联点”，作轴于点，易证，进而得出的坐标为     （3）当逆时针旋转时，如图4，过点作轴，作于，作于，同（2）可证，得出，根据点关于点的“垂直关联点”刚好落在直线上，可得得出；当顺时针旋转时，过点作轴，作于，作于，同理求得，进而代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴坐标为； 故答案为：． （2）解：如图3，作，使，则点为点关于点的顺时针“垂直关联点”， 作轴于点， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 对于直线，当时，， ∴，即． 当时，， ∴，即． ∴，， ∴， ∴， ∴点关于点的顺时针“垂直关联点”的坐标为． （3）解：由（2）可知，，； 当逆时针旋转时，如图4，过点作轴， 作于，作于， ∵点坐标为 ∴， 同（2）可证，， ∴， ∴           ∵点关于点的“垂直关联点”刚好落在直线上 ∴ ∴， ∴           如图5，当顺时针旋转时，过点作轴， 作于，作于， ∵点坐标为， ∴，， 同（2）可证，， ∴，， ∴， ∵点关于点的“垂直关联点”刚好落在直线上， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点关于点的“垂直关联点”的坐标为或 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，全等三角形判定与性质，旋转的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 11.（24-25八年级下·湖南永州·期末）【新知学习】已知线段的中点为，点、点的坐标分别为，则的中点的坐标为 【问题探究】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段的中点．点为的中点，，连接． (1)点坐标为______，点坐标为______； (2)求直线的函数表达式； (3)点在轴上，点在直线上，是否存在以点为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)的坐标为或 【分析】（1）在中，分别令、即可求解； （2）依题意求得C、D两个点的坐标，由待定系数法即可求得直线的函数表达式； （3）由题意求得点E的坐标，设，；分三种情况：①若为平行四边形的对角线；②若为平行四边形的对角线；③若为平行四边形的对角线；利用平行四边形对角线的交点是两对角线的中点，列出方程组即可求解． 【详解】（1）解：在中，令， 解得，则； 令，则，故； 故答案为：；； （2）解：∵点为的中点，且， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， 把C、D两点坐标分别代入得， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：∵点是线段的中点，且，； ∴； ∵点在轴上，点在直线上， ∴设，； ①若为平行四边形的对角线， 则，解得：， ∴； ②若为平行四边形的对角线， 则，解得：， ∴； ③若为平行四边形的对角线， 则，解得：， ∴； 综上，的坐标为或． 【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，解二元一次方程组，中点坐标公式等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 12.（24-25八年级下·湖南娄底·期末）【提出问题】 探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 【探究过程】 小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 小芳尝试把变形为，并用代入时，也就是说当时，无论k取何值时，． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组讨论得出：无论k取何值，一次函数的图象一定会经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”． 已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是________． (2)已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数的几何应用； （1）把化为，再进一步求解即可； （2）求解，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵ ∴， 由，得， 当时，， ； （2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B， 当，则， ∴， 的面积为3， ， 解得或． 13.（24-25八年级下·湖南·期末）如图，四边形是平行四边形，点在轴上，点在轴上，边所在直线的函数解析式为． (1)求点的坐标； (2)如图，若点的坐标为，点为的中点，点为边上一点，连接，满足，求的长； (3)如图，若点的坐标为，点分别为边上的点，连接，点关于直线的对称点恰好落在轴上，连接交于点，点恰好为的中点，且，求直线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）把和分别代入函数解析式解答即可求解； （）延长交于点，可证，得到，即可得，得到，即得到，进而根据解答即可求解； （）证明，得到，进而得，可得，再利用平行线和轴对称的性质可得，即得，得到，即得到，最后利用待定系数法解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴； （2）解：延长交于点， ∵是平行四边形， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题03 一次函数 ☆高频考点概览 考点01函数的概念与表示法 考点02一次函数的概念 考点03一次函数的图象与性质 考点04待定系数法求一次函数的表达式 考点05一次函数的应用 考点06一次函数与方程、不等式的关系 考点07一次函数与几何综合（压轴题） 目目 考点01 函数的概念与表示法 1.(24-25八年级下湖南衡阳期末)在ABC中，它的底边是a,底边上的高是，则三角形面积S= 2h, 当a为定值时，在此式中() A.S,h是变量，，a是常量 B.S,,a是变量，是常量 C.S,a是变量，，h是常量 D.S是变量，，a,h是常量 2.(24-25八年级下.湖南怀化期末)下列式子中y不是x的函数的是() A.y=5-4x B.y=x2 C.y=v2x+1 D.y2=-3x 3.(24-25八年级下·湖南邵阳·期末)下列图象中，表示y不是x的函数的是() 2025 4.(2425八年级下·湖南衡阳·期末)在函数y= 中，自变量x的取值范围是 x-6 5.(24-25九年级上·湖南衡阳·期末)函数y=√2-x的自变量的取值范围是() A.x2-2 B.x>-2 C.x≤2 D.x<2 6(2425八年级下湖南期末)在函数y=x-一1中，自变量x的取值范围是 3x+1 7.(24-25八年级下·湖南·期末)如图，折线ABCDE描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发 地的距离（千米）和行驶时间t(小时)之间的函数关系.其中正确的说法是() 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 s干米 120 80 E 1.52 4.5/小时 A.汽车共行驶了120千米 B.汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时 C.汽车在整个行驶过程中的平均速度为40千米时 D.汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在减少 8.(24-25八年级下·湖南郴州·期末)小明观看了主题为“人生自有诗意”的《中国诗词大会》，受此启发赋诗 一首：“老铁学成今日返，老夫早早车站盼，老铁到后细打量，携手同欢把家还”，若用y轴表示老铁与老夫 行进中离家的距离，用x轴表示老夫离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是() B 9.(2425八年级下·湖南邵阳·期末)某电信公司有A、B两款移动收费方案，下图展示了每个月通话时长x (分钟)和对应方案费用y(元)的关系，下列说法正确的是() (元) A方 B方案 60 50 40 0 120200250x(分钟) ①若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案始终便宜10元； ②两种方案永远不可能在某一通话时刻费用相同； ③在通话时间超过200分钟时，A方案的费用始终高于B方案的费用 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 10.7.(24-25八年级下湖南岳阳·期末)如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中， 2/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 甲、乙两车离A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则乙车出发 后 小时追上甲车. y(km) 300 甲 45h) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 11.(24-25八年级下湖南怀化期末)李华早上7点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出 发的同时，他爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返 回，小明比爸爸早5分钟到家.设两人离家的距离s(m)与小明离开家的时间(mi)之间的函数关系如图所 示，下列说法：①公园与家的距离为2000米；②爸爸回家的速度为50m/min;③小明在公园锻炼的时间是 25分钟；④小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇.以上说法正确的有()个. ←s(m) 2000 10 25 (min) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.(24-25八年级下·湖南永州期末)y与x之间的函数关系可记为y=f(x).例如：函数y=x2可记为 f(x)=x2.若对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f(-x)=f(x,则f(x)是偶函数；若对于自变量 取值范围内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.例如：f(x)=x2是偶函数，f(x=x是 奇函数.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=5x2+1,那么f(-6)=· 13.(24-25八年级下·湖南郴州期末)根据背景素材，探索完成任务， 项目 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某校决定扩 背景 大图书馆面积，增加藏书数量，该校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个用于摆放书籍。 项目 素材1 甲型号书架的单价比乙型号书架的单价低100元/个. 3/20 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 素材 素材2 购买2个甲型号书架和3个乙型号书架共需要1300元. 任务1 (1)求出甲、乙两种型号书架的单价 项目 (2)设购买a个甲型号书架，购买这30个书架所需总费用为w元，求w与Q之间的函数 任务 任务2 表达式 目目 考点02 次函数的概念 1.(24-25八年级下·湖南省张家界市慈利县期末)下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是() A.y=2x B.y=2x+1 c D.y=x2 2.(24-25八年级下·湖南岳阳·期末)若函数y=(k+1)x+b-2是正比例函数，则() A.k≠-1，b=-2B.k≠-1，b=2C.k=1,b=-2 D.k=1,b=2 3.(24-25八年级下·湖南期末)下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是() A.y=x2 B.y=3x+1 C.y= 1 D.y=5x2-2x+3 4.(23-24八年级下·湖南期末)已知y=(m+3)xm-8+m-5是y关于x的一次函数，则一次函数解析式是 5.（21-22八年级下·湖南常德期末)己知函数y=(m-1)x+n(m、n为常数)·当m、n分别为 时，y是x的正比例函数， 6.(24-25八年级下·湖南岳阳期末)已知函数y= 2x+1(x之0)，当x=时，函数y的值为 3xx<0 3 7.(22-23八年级下·湖南岳阳·期末)定义：对于给定的一次函数y=ax+b(a、b为常数，且a≠0)，把形 ax+b(x20) 如y= 的函数称为一次函数y=ax+b的“衍生函数”，已知一次函数y=2x-1,若点 -ax+b(x<0) P(-2,m)在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 8.(24-25八年级下·湖南郴州期末)若y与2x-1成正比例，且当x=-2时，y=5. (I)求y与x之间的函数关系式； 4/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)若点(m,3)在该函数的图象上，求m的值 目目 考点03 次函数的图象与性质 1. Q3-24八年级下湖南期未)已知正比例函数y=,下列结论正确的是( A.图象是一条射线 B.图象必经过点(-1,2】 C.y随x的增大而减小 D.图象经过第一、三象限 2.(24-25八年级下，湖南永州期末)已知函数y=c的图象经过二、四象限，则k的取值范围是() A.k<0 B.k>0 C.k<1 D.k>1 3.(23-24八年级下·湖南湘西期末)若正比例函数y=ar的图象经过点(1,2)，则a的值为()· A.-2 B.2 c.0.5 D.-1 4.(24-25八年级下·湖南岳阳·期末)己知函数y=（2m-1)x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么 m的取值范围是() A.m B.m<2 .1 C.m>0 D.m<0 5.（2425八年级下·湖南邵阳·期末)对于函数y=-2x+1,下列结论正确的是() A.它的图象必经过点1,3) B.它的图象经过第一、二、三象限 C.y值随x值的增大而增大 D.当x>号时，y<0 6.(24-25八年级下·湖南岳阳·期末)对于一次函数y=4x-3,下列结论不正确的是() A.图象与y轴的交点坐标是(0，-3)B.图象与直线y=4x平行 C.y随自变量x的增大而减小 D.函数图象经过第一、三、四象限 7.(24-25八年级下·湖南永州期末)一次函数y=-x-2的图象可能是( B 5/20 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 VA 6. D 8.(24-25八年级下湖南岳阳·期末)在平面直角坐标系中，若k<0,b>0,则一次函数y=x+b的图象大 致是() 六为 9.(24-25八年级下·湖南郴州期末)如图，函数y=与y=-x+(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能 是() V 10.(24-25八年级下·湖南期末)正比例函数y=x(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数 y=-+k的图象大致是() 6/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25八年级下·湖南娄底期末)当直线y=(2-3k)x+k-2经过第二、三、四象限时，k的取值范围 是 。 12.(24-25八年级下，湖南常德期末)将直线y=2x向上平移2个单位长度后所得的直线的解析式为() A.y=2x+2B.y=2x-2 C.y=2x-4 D.y=2x+4 13.(24-25八年级下·湖南岳阳期末)将直线y=x-3沿y轴向上平移5个单位，得直线的函数解析式为 14.(24-25八年级下·湖南湘西期末)将直线y=2x+3向下平移3个单位长度得到的直线为 15.(24-25八年级下·湖南永州期末)若点A-2,y,),B(3,y2),C(1,)在一次函数y=-3x+1的图象上， 则，，⅓的大小关系是() A.y>y3>y2 B.y2>y>y; C.>y2>y3 D.y3>y2>y1 16.(24-25八年级下·湖南湘潭·期末)已知一次函数y=-4x+1,若-2≤x≤1，则y的最小值为 17.(24-25八年级下·湖南湘潭期末)已知正比例函数y=c. ()若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围. (2)若点(2,4)在它的图象上，求它的解析式， 18.(24-25八年级下·湖南·期末)己知一次函数y=(2m+4)x+(3-m). (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围. (②)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围， 19.(24-25八年级下·湖南·期末)己知一次函数y=(m-4)x+3-m,当m为何值时， (1)y随x值的增大而减小？ (2)一次函数的图象与直线y=-2x平行？ 7/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3)一次函数的图象与x轴交于点(2,0)？ 目目 考点04 待定系数法求一次函数的表达式 1.(24-25八年级上湖南常德期末)若直线m平行于直线y=4x+3,且经过点(1，-1)，则直线m的解析式 为 2.(24-25八年级下·湖南郴州期中)已知一次函数y=cx+b的图象与y=3x-4的图象平行，而且经过点 (1,),则该一次函数的解析式为 3.（24-25八年级下·湖南郴州期末)若y与2x-1成正比例，且当x=-2时，y=5. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点(m,3)在该函数的图象上，求m的值. 4.（25-26八年级上·湖南张家界·期末)已知y是x的一次函数，且当x=4时，y=9;当x=6时，y=-1. (①)求这个一次函数的表达式： (2)当x=5时，求y的值. 5.(24-25八年级下·湖南郴州期末)已知A(0,3),B(-1,2)在一次函数图象上，求这个一次函数的表达式. 6.(24-25八年级下·湖南岳阳·期末)己知直线y=x+b的图象经过点A(2,0),B(0,-3). B (I)求直线y=c+b的解析式： (2)点P(4,m)为直线AB上一点，求△OAP的面积， 7.(24-25八年级下·湖南株洲·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象与x轴，y轴 分别交于A,B两点，且点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3. y B (1)求一次函数的表达式； (2)坐标平面内有一点P(4,-2),将一次函数图象向下平移mm>0)个单位长度恰好经过点P,求m的值. 8/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 m=2a 8.(24-25八年级下·湖南常德·期末)在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)和点Q(m,n),若满足： n=2b-1 ,则称点P的“美好点”为点Q.例如，点(2，)的“美好点”是(4，· (1)①点P(-3,2)的“美好点“坐标是 ②若点P的“美好点”为5，-4)，则点P的坐标是 (2)若点P(a,3)的“美好点”在直线y=3x-2上，求a的值. 目目 考点05 一次函数的应用 1.(24-25八年级下·湖南永州·期末)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良 马与劣马行走路程（单位：里）关于行走时间t(单位：日)的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的 速度快 里/日. s里个 良马 劣马 4800 B 0 1232 t/日 2.(24-25八年级下·湖南·期末)某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原 价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款.若付款总数y(元)与顾客一次购买数量x(件)之 间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为元： A元 104 01030 件 3.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末)小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根 据市场行情降价销售，销售额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示. 9/20 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 y 260 B 160 40 80 ()求降价后销售额y(元)与销售量x(千克)之间的函数表达式： (2)当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？ 4.(24-25八年级下·湖南永州期末)某市为了节约用水，采用分段收费标准.设居民每月应交水费为y(元)， 用水量为x(立方米) 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2.5元 超过10立方米 超过的部分每立方米3.5元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式： (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费27元，则该户居民用水多少立方米？ 5.(24-25八年级下·湖南郴州期末)某快递公司的快递员小赵，他的月收入与该月的派件量之间成一次函 数关系，其图象如图所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： 个以元 6000H 5000F 4000 3000 2000 1000 01 100200 300x/件 (1)小赵在没有派件量时的收入是_元； (②)求小赵的月收入y（元)关于月派件量x(件)的函数表达式： (3)若小赵要想月收入达到17000元，则小赵当月的派件量要达多少件？ 6.(24-25八年级下·湖南岳阳·期末)岳阳特产长乐甜酒和黄茶备受大家喜爱，为了迎接暑假旅游购物高峰， 某特产店欲加购岳阳长乐甜酒和岳阳黄茶礼盒若干，该专柜负责人欲查询两种商品的进货价格，发现进货 10/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 单已被墨水污染。 进货单 商品 进价/（元/件） 数量/件 金额/元 长乐甜酒 60 5700 岳阳黄茶 40 商品采购员李经理对采购情况回忆如下：两种商品共采购了100件，采购费共5700元，且岳阳黄茶礼盒的 进价比长乐甜酒礼盒的进价多30元， ()请问长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为多少元？ (2)若长乐甜酒每件的售价为80元，岳阳黄茶每件的售价为120元，考虑到市场需求，特产店计划再次采购 这两种特产共200件，且长乐甜酒的数量不少于60件.设购买长乐甜酒m件，总利润为w元. ①请写出总利润w(元)与m(件)之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； ②根据函数关系式说明应怎样进货才能使特产店在销售完这批特产时获利最多？最大利润为多少元？ 7.(24-25八年级下·湖南岳阳·期末)运动服是全民健身的重要装备，设计舒适的运动服不仅能提升运动体 验，还能传递健康生活理念.某运动用品店计划购进一批A、B两种款式的运动服尝试销售，据了解：1件 A款运动服、2件B款运动服的进价共计140元；3件A款运动服、1件B款运动服的进价共计170元. (1)求A、B两种运动服每件的进价分别为多少元？ (②)若该店计划用800元购进这两种运动服（两种均购买），且B款运动服的数量不超过A款的3倍，试计 算有几种购买方案？ (3)若销售1件A款运动服可获利10元，销售1件B款运动服可获利5元，在(2)的购买方案中，全部售 出后哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 8.(24-25八年级下·湖南怀化期末)某商场计划购进甲、乙两种衣服进行销售.已知甲种衣服的进货单价 比乙种衣服的进货单价贵50元，购进3件甲种衣服的费用与购进4件乙种衣服的费用相等.进货后，商场 确定甲衣服的售价为每件250元，乙衣服的售价为180元/件. (1)求甲、乙两种衣服的进货单价各是多少元？ (2)若商场准备购进甲、乙两种衣服共100件，但进货总金额不能超过18000元.若设甲种衣服购进a件， 销售完100件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与Q之间的函数关系式，并求w的最大值 9.(24-25八年级下·湖南岳阳·期末)随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲 近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱.近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推出采摘 11/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 草莓优惠活动.以下是两个草莓采摘园的活动情况： 欣欣草莓园优惠大放送：亲！采摘的草莓40元/千克.若您采摘超过2千克，则超过部分按六折付款. 乐乐草莓园活动细则：原价：40元/千克.现优惠价：八折！！！ ()若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为y欣，y元，请你直接写出两个草莓园付款金额y欣，y 关于采摘草莓的重量x千克的函数表达式及自变量x的取值范围. (2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验.佳佳一家人共采摘xx>2)千克草莓，请你通过计算 说明去哪家草莓园采摘更划算！ 10.(24-25八年级下·湖南岳阳期末)随着网购的普及，让“线上下单、快递到家”成为主流消费模式，电商 对物流的强依赖进一步强化了快递的核心地位，促使了快递行业的迅速崛起.有人就这样形容现在的快递 “早上下单挑，午后拆盒瞧；从前半月遥，如今半日到”.现有一条笔直的路上依次有A、B、C三个快递网 点，甲车由A网点地驶往B网点，乙车由C网点地驶往A网点，两车同时出发，匀速行驶.如图是甲、乙 两车分别距离B网点的路程、y2(单位：千米)与乙车行驶时间x(单位：小时)之间的函数图象，结合 图象信息，解答下列问题： y(千米)个 420 120 \D 0 6 x(小时) (1)甲车的速度是 千米时： (②)求图象中线段DF的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 目目 考点06 一次函数与方程、不等式的关系 1. (25-26八年级上湖南张家界·期末)直线y=3x-6与x轴的交点坐标是() A.（2,0) B.(0,2 C.(0,6 D.（6,0) 2.(24-25八年级下·湖南怀化期末)如图，已知一次函数y=x+2和y=-x+b的图象交于点P(1,3),则关 于x的方程kx+3=-x+b的解是 12/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 y=-x+b y=k+2 3.(23-24八年级下·湖南衡阳·期末)已知一次函数y=2x+1与y=x(k是常数k≠0)的图像的交点坐标 是1,3，则方程组 2x-y=-1 的解是 x-y=0 4.(24-25九年级上·湖南湘西·期末)直线y=c+b的图象如图所示，则不等式kx+b>0的解集是 5.（24-25八年级下·湖南邵阳·期末)已知一次函数y=-x+3,当y<0时，x的取值范围是 6.(24-25八年级下·湖南永州期末)如图，直线y=c+b与y轴交于点(0,3，与x轴交于点(a,0),当 a=-2时，则不等式0<kx+b<3的解集为· 3 7.(24-25八年级下·湖南郴州期末)如图，一次函数y=ax与y2=x+3的图象交于点A2,m),则当 ax>kx+3时，x的取值范围是 13/20 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 2 8.(24-25八年级下·湖南永州期末)如图，直线l:y1=kx+b与直线l2:y2=k2x+b2交于点A1,2),当x 时，》>y2 9.（24-25八年级下·湖南益阳·期末)如图，一次函数y=2x+b与y=+4的图象如图所示.则下列结论正 确的是() \5 y=2x+b 4 1K1 202 456 2 y=x+4 -3 A.在一次函数y=c+4中，y的值随着x值的增大而增大 B.方程kx+4=0的解为x=2.5 C.k<b<0 y-2x=b x=2 D.方程组 y-a=4 的解为 y=1 10.(24-25八年级下·湖南株洲期末)已知一次函数y=x+b(a,b是常数)，x与y的部分对应值如下 表： -3 2 3 4 -2 0 6 8 14/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 下列说法中，错误的是() A.图象经过第一、二、三象限 B.y随x的增大而减小 C.方程ax+b=0的解是x=-1 D.不等式ax+b>0的解集是x>-1 目目 考点07 次函数与几何综合（压轴题） 1.(24-25八年级下·湖南岳阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,B均在x轴上，点 D在y轴上，已知直线BD的函数解析式为y=-2x+4,则对角线AC的长度为（) A O B A.5V5 B.8 C.4v5 D.9 2.(24-25八年级下·湖南娄底期末)我们规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标之和等于8的点称为“吉 星点”，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“吉星点”；②第三象限内不存在“吉星点”；③已知点A(-2,5),B(-2,0),若点P是 “吉星点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为2；④已知点O为坐标原点，若点Q是第一象限内的“吉 星点”，则00的最小值为42.其中正确的是 (填序号) 3.(24-25八年级下·湖南衡阳·期末)如图，已知正比例函数y=c经过点A,点A在第四象限，过点A作 AH⊥x轴，垂足为点H,点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3. y-kx (1)求正比例函数的解析式； (②)在x轴上能否找到一点P,使△AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. 4.(24-25八年级下·湖南张家界·期末)如图，直线y=x+b(k≠0)交两坐标轴于点A(4,0)，B(0,3). 15/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A X (I)求直线y=c+b的解析式： (②)点C的坐标为-3，-1)，连接BC.证明：AB⊥BC且线段AB=BC. 5.(24-25八年级下·湖南湘西期末)在平面直角坐标系x0y中，己知点P(a,b),如果存在点Q(a',b),满 足a'=a-b,b'=a+b,则称点Q为点P的“非常点”. 4 3 2 2 -5-4-3-2-10 123 45x -5-4-3-2-10 2345x o. 3H -3 图1 备用图 (1)如图1，在Q-1,3),Q2(3,-1),Q（-1,-1中，点P(1,-2的“非常点”是 (2)若点P(a,b)在第一象限，且a>b,判断△POQ的形状并证明； (3)直线y=√5x+2√5与x轴、y轴分别交于G、H两点，若线段GH上存在点P的非常点Q,则线段OP长 度的最大值为 6.(24-25八年级下·湖南郴州期末)如图，在平面直角坐标系中，函数y=x+6的图象与x轴，y轴分别交 于点4、B,与函数)=3x+b的图象交于点C(-2,m.函数)=行+b的图象与轴交于点D. B /A E O D (1)求m和b的值； (2)求△ACD的面积； 16/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3)在x轴上是否存在一点E,使△ACE为等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明 理由 7.(24-25八年级下湖南常德期末)如图1，平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象分别交x轴、y 4 轴于点A,B. B A C 图1 图2 备用图 (1)直接写出A的坐标，B的坐标_； (2)如图2，一次函数y=-x+b的图象经过点B,并与x轴交于点C,点P是直线BC上的一个动点. ①若点P在第二象限，且△ACP的面积为14，求点P的坐标； ②点Q是y轴上的一个动点，是否存在以A,B,P,Q为顶点的四边形是以AB为一边的平行四边形，若存 在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 8.(24-25八年级下·湖南衡阳·期末)如图：直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点， OB,点 0A2 C(x,y)是直线y=x+3上与A、B不重合的动点. B ()求直线y=c+3的解析式： (2)当点C运动到什么位置时△A0C的面积是6： (3)过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与AOB全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由 9.(24-25八年级下·湖南岳阳·期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A,交x轴于点B, LAB0=45°，直线☑：y=-2x+4经过点A,交x轴于点C. 17/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B B 图1 图2 图3 ()求直线的解析式. ②)如图2，点D是y轴负半轴上一点，点E是x轴上一动点，若SD=6,求DE+5BE的最小值」 2 (3)如图3，点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线I于点Q,平面内有一个动点M, 四边形CPQM是平行四边形，当平行四边形的面积等于3时，请直接写出点M的坐标. 10.(24-25八年级下，湖南岳阳·期末)定义：如图1，在平面直角坐标系中，A,B两点位置不同，将点B绕 着点A顺时针旋转90°后得到点C,称点C为点B关于点A的顺时针“垂直关联点”，将点B绕着点A逆时针 旋转90°后得到点D,称点D为点B关于点A的逆时针“垂直关联点”. VA B /y=2x+2 /y=2x+2 JO JO 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，已知点0坐标为(0,0)，点E坐标(6,2)，求出点E关于点0的逆时针“垂直关联点”坐标.小明提 出连接OE,作OF⊥OE,使OF=OE,点F为点E关于点O的逆时针垂直关联点”，作FG⊥y轴于点G, 作EH⊥x轴于点H,可以证明△FG0≌△EH0,则OH=GO=6,FG=EH=2,则点E关于点O的逆时 针“垂直关联点”F坐标为 ； (2)如图3，己知直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于J,K两点，求出点J关于点K的顺时针“垂直关联点” 的坐标； (3)如图4，己知直线y=2x+2与x轴，y轴分别交J,K两点，点P在第二象限内，P点坐标为(-3，m), 若点K关于点P的“垂直关联点”刚好落在直线y=2x+2上，求点K关于点P的垂直关联点”的坐标 11.(24-25八年级下·湖南永州期末)【新知学习】己知线段AB的中点为M，点A、点B的坐标分别为 (,小，小，则B的中点M的坐标为2， +五，乃+边 2 【回题探究】如图，在平面直角标系中，直线一)上+2交x甜于点A,交抽于点B,点E是线 AB的中点.点C为OB的中点，AO=40D,连接CD 18/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E (1)点A坐标为 ，点B坐标为； (2)求直线CD的函数表达式： (3)点M在x轴上，点N在直线CD上，是否存在以点D,E,M,N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出 点M的坐标；若不存在，请说明理由. 12.(24-25八年级下·湖南娄底·期末)【提出问题】 探究一次函数y=kx+k+2(k是不为0的常数)图象的共性特点. 【探究过程】 小明尝试把x=-1代入时，发现可以消去k,竞然求出了y=2, 小芳尝试把y=kx+k+2变形为y=(x+1)k+2,并用x=-1代入时y=0k+2=2,也就是说当x=-1时， 无论k取何值时，y=2. 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y=x+k+2的图象一定会经过定点(-1,2). 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转 直线” 己知一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象是“点旋转直线”. (I)一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象经过的定点P的坐标是 (2)已知一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象与x轴、y轴分别相交于点A,B.若a0BP的面积为3，求k的 值。 13.(24-25八年级下·湖南期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A在y轴上，点B在x轴上，边AB 所在直线的函数解析式为y=3x+12. 19/20 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 PA D F G (图1) (图2) (I)求点A,B的坐标： (2)如图1，若点C的坐标为16，O),点M为AD的中点，点N为边AB上一点，连接MC、MN、CN,满足 MC=MW,求CN的长： (3)如图2，若点C的坐标为 o 点E、F分别为边AD、BC上的点，连接AF,点A关于直线EF的对 称点G恰好落在X上，连接G交CD于点H,点H恰好为CD的巾点，且CG-号求直线EF的解析式 20/20