专题11.3一元一次不等式组【十大考点+十大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，系统梳理概念、解集及解法步骤，强调与二元一次方程组解法的区别，构建从不等式解法到实际应用的学习支架，助力学生掌握列不等式组解应用题的完整流程。 资料亮点在于十大考点全覆盖，题型分层设计典例与变式，结合经济、分配等实际问题，通过参数问题培养数学推理能力，列不等式组强化模型意识，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题11.3一元一次不等式组 【考点梳理】 · 考点一：解不等式组及其坐标表示 · 考点二：不等式组的整数解问题 · 考点三：由一元一次不等式组的解求参数问题 · 考点四：由不等式组的解集情况求参数 · 考点五：不等式组和方程组结合的问题 · 考点六：列不等式方程组题 · 考点七：不等式组的经济问题 · 考点八：不等式组的分配问题 · 考点九：不等式组的方案选择问题 · 考点十：一元一次不等式组的新定义问题 【知识梳理】 知识点一、一元一次不等式组： 1、 概念：几个一元一次不等式组成的不等式组叫一元一次不等式组。 一般的，组成不等式组的几个不等式用大括号联立起来。 2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组里所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 如果没有公共部分，则这个一元一次不等式组无解（或叫空集）。 而求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。 知识点二、一元一次不等式组的解法： 步骤：⑴、分别求出不等式组中各个不等式的解集； ⑵、利用数轴表示出这些不等式解集的公共部分，即为这个不等式组的解集。 技巧归纳：口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没得找（即无解）。 注：要将一元一次不等式组的解法与前面学过的二元一次方程组的解法加以区别：在解方程组时，两个方程不是独立存在的（由代入法、加减法本身就说明了这点），而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，在解答时先要独立解不同的不等式，再找出它们的解集的公共解集，即解一元一次不等式组时，不能用加减消元法。另外，组成不等式组的不等式的个数可以是2个以上。 知识点三、列不等式组解实际应用题： 一般步骤：审题→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验、作答 。 注：利用不等式组解决实际问题时，关键在于根据实际问题中的等量关系、不等关系列出方程或不等式组，要把所有的等量关系、不等关系找全。 【题型归纳】 题型一：解不等式组及其坐标表示 【典例1】．（2026七年级下·全国·专题练习）解不等式组并把解集在数轴上表示． 【答案】，数轴表示见解析 【详解】解：， 由①，得：， 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集如图： 【变式1】．（25-26七年级下·四川乐山·期中）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为：，解集在数轴上表示见解析 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 【变式2】．（2026七年级下·全国·专题练习）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： 题型二：不等式组的整数解问题 【典例2】．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由①得：由②得： ∴不等式组解集：， ∵不等式组有3个整数解， ∴不等式组有3个整数解为、0、1． ∴的取值范围是． 【变式1】．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：，解不等式得：；解不等式得：； 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解之和为． 【变式2】．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解不等式组：解第一个不等式：∵ ∴ ． 解第二个不等式：∵ 两边乘： 展开： 移项： ∴ ． 即 ． ∴ 不等式组的解集为 ． ∵ 最小整数解是 ∴ 不是解，故 ． 又 ∵ 是解，故 ∵ ∴ ． 即 ． ∵ 且 ∴ ． 即 ． ∴ ． 故选：B． 题型三：由一元一次不等式组的解求参数问题 【典例3】．（24-25七年级下·山东威海·期末）若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：先解不等式组，解不等式①，得；解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有2个整数解，结合，可知整数解为2、1， ∴，解得． 再解关于的方程，得， ∵方程的解为非正数，即， ∴，解得． 结合与，得，符合条件的整数为2、3， ∵它们的和为， ∴符合条件的整数的和是5． 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 【变式2】．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为，共个 ∴ 不等式两边同除以，得 题型四：由不等式组的解集情况求参数 【典例4】．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组解集的“同大取大”法则，确定m的取值范围． 【详解】解：不等式， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 由于不等式组的解集为， 则． 【变式1】．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集情况计算即可． 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： ∴， ∵关于的不等式组的整数解共有3个，即， ∴． 【变式2】．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， 不等式组有个整数解， 这个整数解为，，， ， 由，得：， 由，得：， ． 题型五：不等式组和方程组结合的问题 【典例5】．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如果关于y的方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：先解关于的方程 去分母得： 整理得： ∵为正整数 ，且为偶数，即，且为奇数，为整数， 再解不等式组 解第一个不等式得： 解第二个不等式得： ∵不等式组的解集为，根据同大取大原则，得 解得 综上可得，满足条件的满足，且为奇数，因此符合条件的整数为， 所有符合条件的的和为：． 【变式1】．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 【变式2】．（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 题型六：列不等式方程组题 【典例6】．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 【变式1】．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 题型七：不等式组的经济问题 【典例7】．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 【变式1】．（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【详解】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 【变式2】．（2026·湖北随州·一模）国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元 (2)①15；②18 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解； （2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解； ②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元， 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元； （2）解：①由题意知：乙种纪念品购买件， 由题意得，， 解得，； ②由题意知：乙种纪念品购买件， 活动一付费：， 活动二付费：， 由题意知：， 解得：， m为整数， m的值为18． 题型八：不等式组的分配问题 【典例8】．（25-26七年级下·上海·期中）为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． (1)每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 【答案】(1)每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元 (2)购进A种徽章的个数是40个 【分析】（1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是个． 【变式1】．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件 (2)至少需要购买67个“滨滨”摆件 (3)能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 【详解】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； （2）解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； （3）解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 【变式2】．（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元 (2)该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 依题意，得：， 解得：； 答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元． （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃， 依题意，得：解得： 是整数， ， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商家有3种进货方案， 方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个； 方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个； 方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个． 题型九：不等式组的方案选择问题 【典例9】．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． (1)求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ (2)学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 【答案】(1)种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元 (2)共有种购买方案，最省钱方案费用为元 【分析】（1）列二元一次方程组，根据已知的购买数量和总价求出两种垃圾桶的单价； （2）列一元一次不等式组，确定购买数量的取值范围，然后判断最省钱方案． 【详解】（1）解：设种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元， 可得， 解得， 故种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元． （2）解：设购买种垃圾桶个，则购买种垃圾桶为个， 可得， 解得， ∵是正整数， ， ∴共有种购买方案， ∵种垃圾桶单价高于种垃圾桶， ∴当种垃圾桶的数量最少，即种垃圾桶个，种垃圾桶个时，总费用最低， ∴最省钱方案费用：（元）． 【变式1】．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)小王共有种采购方案，其中购进纪念徽章个、吉祥摆件个的方案最省钱 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， 根据题意可得 ， 解得． 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件 个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数， 所以m的取值为34，35，36，共3种采购方案， 设总费用为W元，则， 时，； 时，； 时，； 可得当时，W取得最小值，此时． 答：小王有3种采购方案，其中购进纪念徽章34个、吉祥摆件66个的方案最省钱． 【变式2】．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）为改善河流水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元． (1)求x，y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元，且月处理污水量不低于2024吨，为了节约资金，请问该公司有几种购买方案，并找出哪种最省钱？ 【答案】(1)x的值为11，y的值为9 (2)该公司有两种方案，购买A型设备1台，B型设备9台最省钱 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得， 答：x的值为11，y的值为9； （2）解：设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备台，由题意，得 ， 解得 ， ∵a为整数， ∴或2， ∴该公司有以下两种方案： 方案一：当时，，即A型设备1台，B型设备为9台； 买设备所需资金为：万元； 方案二：当时，，即A型设备2台，B型设备为8台； 买设备所需资金为：万元； ∵， ∴购买A型设备1台，B型设备9台最省钱． 题型十：一元一次不等式组的新定义问题 【典例10】．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【问题原型】阅读下面问题的解答过程并补充完整． 问题：x，y满足，，且，，求a的取值范围． (1)解：列关于x、y的方程组，解得，又因为，，所以，解得a的取值范围是______； (2)[问题探究]已知，且，，求的取值范围： (3)【问题解决】若x、y满足，，直接写出s的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． （2）解：设，则， 解得， ∵，， ∴， 解得，即． （3）解：由得，则， ∴， 将代入中，得， ∴当时，s取最小值为， 当时，s取最大值为， ∴s的取值范围为． 【变式1】．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：方程①的解为， 方程②的解为， 方程③的解为， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的关联方程是③； （2）解：， 解不等式⑥得：， 解不等式⑦得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数， ∴这个关联方程可以是（答案不唯一）； （3）解：方程的解为， 方程的解为， ， 解不等式⑧得：， 解不等式⑨得：， 则不等式组的解集为， ∵方程都是关于的不等式组的关联方程， ∴， 解得． 【变式2】．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 或 (3) 【详解】（1）解：解①得：，故不是①的“梦想解”， 解②得：，故不是②的“梦想解”， 解③得：，故是③的“梦想解”， 是方程和不等式③的“梦想解”； （2）解方程组，得， ， 方程组的解是不等式组的“梦想解”， ， 解不等式组得：， 为整数， 或； （3）解方程：，得：， 解不等式组，得：， 关于x的方程和关于x的不等式组有“梦想解”， ， 解不等式组得：， 因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1，2，3，4， ，解得：， 综上：． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）关于的不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的解集在数轴上表示为： 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若不等式组无解，则m（    ） A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是 【答案】A 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组无解的条件列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：解第一个不等式得， 原不等式组化为 ∵不等式组无解， ∴ 解得 ∴ m的最大值是4． 3．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）若关于的不等式组，恰有3个整数解，则字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合端点验证确定a的取值范围． 【详解】解：∵ 不等式组恰有3个整数解 ∴ 不等式组的解集为． 小于3的最大的三个整数为2, 1, 0，即不等式组的整数解为2, 1, 0． 验证端点：当 时，解集为 ，整数解为0, 1, 2，共3个，符合要求；当 时，解集为 ，整数解为1, 2，共2个，不符合要求． ∴ 可得． 4．（25-26七年级下·安徽池州·期中）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为（   ） A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】B 【分析】根据程序图得到关于的一元一次不等式组求解，进而得出、的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得：， 所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n， ，， ． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．甲同学看完之后说：“老师，这道题无解，不能在数轴上表示．”乙同学看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”根据甲、乙两人的对话可知，甲可能将数字3抄成了数字（　　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设甲将数字3抄成参数a，先分别解两个不等式，再根据不等式组无解得到a的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：设甲将数字3抄成了，得到甲所用的不等式组为 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 选项中只有满足，因此甲将3抄成了5． 6．（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C．11 D．9 【答案】B 【分析】首先解方程组得到，然后根据求出；然后解不等式组得到，然后根据不等式组恰好有三个整数解，进而求解即可． 【详解】解： 得，， ∵ ∴ ∴； 解不等式组得， ∵关于的不等式组恰好有三个整数解， ∴三个整数解为，0，1， ∴， ∴， ∴ ∴整数，， ∴． ∴符合条件的所有整数的和是． 7．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】当时，方程为，再把两个方程相加可判断①，由两个方程相减，再建立方程可判断②；解方程组求解可判断③；解方程组可得，再建立不等式组可判断④． 【详解】解：当时， 方程组为， 解得： 代入，与已知矛盾，故①不符合题意； ∵， （4）（3）得：； ∵， ∴，解得，故②符合题意； ∵ ∴（3）+（4）得：； 而可得； ∴， ∴，故③符合题意； ∵， 解方程组可得：， 若点落在第三象限，需满足且， 即， 解可得：； 解可得：， ∴不等式组无解， ∴将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限；故④符合题意； 综上所述，正确的有3个． 二、填空题 8．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）不等式组的解集是_____ 【答案】 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组的解集是． 9．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若关于的不等式组无解，则满足条件的范围为_____． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解即两个解集无公共部分的条件，列出关于的不等式，即可求出的取值范围. 【详解】解：解不等式 移项得， 系数化为得； 解不等式 去分母得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 因为不等式组无解，两个解集无公共部分，因此， 解得. 10．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）关于的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组恰好有2个整数解，即可确定m的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 则不等式组的解集是， ∵不等式组恰好有2个整数解， ∴不等式组的整数解为， ∴， 解得． 11．（25-26七年级下·北京·期中）取整符号表示不超过实数的最大整数，如．若，则的值为______． 【答案】2或3或4 【分析】先由有意义得，设，利用取整符号的定义联立不等式，解得；再分区间讨论的范围，得到的所有可能值． 【详解】解：由题意得，对于任意有理数，有， ∵有意义 ∴， 设（为非负整数）， ∴ ， 由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴当时，x的范围为； 当时，x的范围为； 当时，，无解； 综上所述，的取值范围是， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， 综上所述，的值为2或3或4． 【点睛】解题核心是利用取整符号定义的不等式性质，通过设元法将条件转化为不等式组，先确定的取值范围，再分段讨论的范围，避免漏解． 三、解答题 12．（25-26七年级下·重庆·期中）解不等式组，并写出所有奇数解． 解：解不等式①得_________解不等式②得________． 在同一条数轴上表示不等式①和②的解集： 所以原不等式组的解集为__________，所以，原不等式组的所有奇数解为________． 【答案】；；数轴见解析；；，，， 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 在同一条数轴上表示不等式①和②的解集： 所以原不等式组的解集为，原不等式组的所有奇数解为，，，． 13．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）已知关于，的二元一次方程组，其中为非负数，为正数． (1)求出，的值，并写出的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： 得， 解得：， 将代入①得， ∴； ∵为非负数，为正数， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某运输公司现有180吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均要使用且满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输180吨物资所有可行的运输方案． 【答案】(1)A：20吨/次，B：15吨/次； (2)方案一：安排A种货车3辆，B种货车8辆，可将全部货物一次运完；方案二：安排A种货车6辆，B种货车4辆，可将全部货物一次运完 【详解】（1）解：设A种货车每辆每次可以运送物资x吨， B种货车每辆每次可以运送物资y吨，依题意，得 ，解得， 答：A种货车每辆每次可以运送物资20吨， B种货车每辆每次可以运送物资15吨． （2）解：设安排A种货车a辆，B种货车b辆，可将全部货物一次运完，依题意，得 ， 则， ∴， ∵，且a，b都是正整数， ∴必须是正整数，且， ∴a为3的倍数，且， ∴或6， 当时，， 当时，， 答：方案一：安排A种货车3辆，B种货车8辆，可将全部货物一次运完；方案二：安排A种货车6辆，B种货车4辆，可将全部货物一次运完． 15．（25-26七年级下·安徽六安·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解为？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 由②①得：， 将代入①得：，解得， ∵这个方程组的解满足非正数，为负数， ∴， 解得． （2）解：由（1）已得：， ∴，， ∴ ． （3）解：∵关于的不等式的解为， ∴， 解得， 又由（1）已得：， ∴， ∴的整数值为． 16．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． (1)求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过9250元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则有哪几种进货方案？ (3)该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 【答案】(1)甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元 (2)共有种进货方案 (3) 【详解】（1）解：设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元， 依题意得：， 解得：， 甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元； （2）解：设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 根据题意得：， 解得：， 又是整数， 可以取：、、， 共有种进货方案； （3）解：设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 甲种茶叶单件的利润为：， 乙种茶叶单件的利润为：， 总利润为：， 无论如何进货，这件茶叶销售总利润保持不变， ， 解得：． 17．（25-26七年级下·吉林长春·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是________；（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，则的取值范围为________； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)②④ (2) (3) 【详解】（1）解：解不等式组，得， ①解方程得：； ②解方程得：； ③解方程得：， ④解方程得：， ∴②④是不等式组的“友好方程”， （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“友好方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“友好方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， ③当时，不等式无解，不符合题意； 所以m的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3一元一次不等式组 【考点梳理】 · 考点一：解不等式组及其坐标表示 · 考点二：不等式组的整数解问题 · 考点三：由一元一次不等式组的解求参数问题 · 考点四：由不等式组的解集情况求参数 · 考点五：不等式组和方程组结合的问题 · 考点六：列不等式方程组题 · 考点七：不等式组的经济问题 · 考点八：不等式组的分配问题 · 考点九：不等式组的方案选择问题 · 考点十：一元一次不等式组的新定义问题 【知识梳理】 知识点一、一元一次不等式组： 1、 概念：几个一元一次不等式组成的不等式组叫一元一次不等式组。 一般的，组成不等式组的几个不等式用大括号联立起来。 2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组里所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 如果没有公共部分，则这个一元一次不等式组无解（或叫空集）。 而求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。 知识点二、一元一次不等式组的解法： 步骤：⑴、分别求出不等式组中各个不等式的解集； ⑵、利用数轴表示出这些不等式解集的公共部分，即为这个不等式组的解集。 技巧归纳：口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没得找（即无解）。 注：要将一元一次不等式组的解法与前面学过的二元一次方程组的解法加以区别：在解方程组时，两个方程不是独立存在的（由代入法、加减法本身就说明了这点），而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，在解答时先要独立解不同的不等式，再找出它们的解集的公共解集，即解一元一次不等式组时，不能用加减消元法。另外，组成不等式组的不等式的个数可以是2个以上。 知识点三、列不等式组解实际应用题： 一般步骤：审题→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验、作答 。 注：利用不等式组解决实际问题时，关键在于根据实际问题中的等量关系、不等关系列出方程或不等式组，要把所有的等量关系、不等关系找全。 【题型归纳】 题型一：解不等式组及其坐标表示 【典例1】．（2026七年级下·全国·专题练习）解不等式组并把解集在数轴上表示． 【变式1】．（25-26七年级下·四川乐山·期中）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式2】．（2026七年级下·全国·专题练习）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 题型二：不等式组的整数解问题 【典例2】．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：由一元一次不等式组的解求参数问题 【典例3】．（24-25七年级下·山东威海·期末）若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：由不等式组的解集情况求参数 【典例4】．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型五：不等式组和方程组结合的问题 【典例5】．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如果关于y的方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：列不等式方程组题 【典例6】．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 题型七：不等式组的经济问题 【典例7】．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【变式2】．（2026·湖北随州·一模）国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 题型八：不等式组的分配问题 【典例8】．（25-26七年级下·上海·期中）为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． (1)每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 【变式1】．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式2】．（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 题型九：不等式组的方案选择问题 【典例9】．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． (1)求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ (2)学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 【变式1】．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【变式2】．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）为改善河流水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元． (1)求x，y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元，且月处理污水量不低于2024吨，为了节约资金，请问该公司有几种购买方案，并找出哪种最省钱？ 题型十：一元一次不等式组的新定义问题 【典例10】．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【问题原型】阅读下面问题的解答过程并补充完整． 问题：x，y满足，，且，，求a的取值范围． (1)解：列关于x、y的方程组，解得，又因为，，所以，解得a的取值范围是______； (2)[问题探究]已知，且，，求的取值范围： (3)【问题解决】若x、y满足，，直接写出s的取值范围． 【变式1】．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【变式2】．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）关于的不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若不等式组无解，则m（    ） A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是 3．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）若关于的不等式组，恰有3个整数解，则字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽池州·期中）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为（   ） A．32 B．33 C．34 D．35 5．（25-26七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．甲同学看完之后说：“老师，这道题无解，不能在数轴上表示．”乙同学看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”根据甲、乙两人的对话可知，甲可能将数字3抄成了数字（　　　） A．1 B．2 C．4 D．5 6．（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C．11 D．9 7．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）不等式组的解集是_____ 9．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若关于的不等式组无解，则满足条件的范围为_____． 10．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）关于的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是__________． 11．（25-26七年级下·北京·期中）取整符号表示不超过实数的最大整数，如．若，则的值为______． 三、解答题 12．（25-26七年级下·重庆·期中）解不等式组，并写出所有奇数解． 解：解不等式①得_________解不等式②得________． 在同一条数轴上表示不等式①和②的解集： 所以原不等式组的解集为__________，所以，原不等式组的所有奇数解为________． 13．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）已知关于，的二元一次方程组，其中为非负数，为正数． (1)求出，的值，并写出的取值范围； (2)化简：． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某运输公司现有180吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均要使用且满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输180吨物资所有可行的运输方案． 15．（25-26七年级下·安徽六安·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解为？ 16．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． (1)求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过9250元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则有哪几种进货方案？ (3)该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 17．（25-26七年级下·吉林长春·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是________；（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，则的取值范围为________； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $