专题11.2 一元一次不等式【七大考点+七大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦一元一次不等式核心知识点，系统梳理从定义、解与解集（含数轴表示、整数解）到解法步骤（类比一元一次方程），再到列不等式解决实际问题和几何问题的完整脉络，构建从概念理解到应用实践的学习支架。 资料以题型分层（典例+变式）和情境化设计为特色，通过购物优惠、健步活动等实际情境培养数学眼光，解法步骤对比强化推理意识，列不等式过程训练数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后双基达标练习帮助学生查漏补缺。

专题11.2 一元一次不等式 【考点梳理】 · 考点一：一元一次不等式的定义 · 考点二：一元一次不等式的解 · 考点三：一元一次不等式的解在数轴上表示 · 考点四：一元一次不等式的整数解 · 考点五：列一元一次不等式 · 考点六：一元一次不等式解决实际问题 · 考点七：一元一次不等式解决几何问题 【知识梳理】 知识点一：一元一次不等式定义 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 知识点二：解一元一次不等式的方法与步骤： 同于解一元一次方程，都是：去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数系数化为1 技巧归纳： ①、去分母时，注意每一项都要乘到，特别是本身没有分母的项；去括号时，注意括号前面如果是负号时，去掉括号后，各项都要改变符号。 ②、解不等式时，常把小数系数化为分数系数以简化计算，统一系数形式后，再按一般的解一元一次不等式步骤解题即可。 知识点三、实际问题与一元一次不等式： 列不等式解实际应用问题，和列方程解实际应用问题一样，基本思路都是：审→设→列→解→答。 其中，审题与找出题中的不等量关系是列一元一次不等式的关键，找题中不等关系时要着重理解题中的关键字、句，如“便宜”、“提前”、“不超过”、“不低于”、“至多”等等。此外，解出不等式的解集后，要加以检验，看所得的解集符不符题目的实际意义。 【题型探究】 题型一：一元一次不等式的定义 【典例1】．（25-26七年级下·上海·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，里未知数的最高次数为2，不符合一元一次不等式的定义，该项错误． 选项B中，是等式，不是不等式，不符合要求，该项错误． 选项C中，含有两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，该项错误． 选项D中，是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边均为整式，符合一元一次不等式的定义，该项正确． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数的次数为1，左右两边为整式． 【详解】解： A． 含有两个未知数，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； B． 中未知数的最高次数是2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； C． 含有两个未知数，且未知数的最高次数为2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； D． 只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边都是整式，满足一元一次不等式的定义，符合要求． 【变式2】．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：（1）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （2）是一元一次不等式； （3）是一元一次不等式； （4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式， 综上所述：一元一次不等式有2个 故选：B． 题型二：一元一次不等式的解 【典例2】．．（2026七年级下·全国·专题练习）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：，，，． 【变式1】．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，，； （2）解：，，，，， ． 【变式2】．（25-26八年级下·山东青岛·期中）解下列不等式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 题型三：一元一次不等式的解在数轴上表示 【典例3】．．（25-26七年级下·吉林长春·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：移项，得 ， 合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集在数轴上为 【变式1】．（25-26八年级上·山东聊城·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下： ． 【变式2 】．（25-26七年级下·山西长治·期中）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解不等式，得； 在数轴上表示解集，在数字3处，实心，方向向左． 题型四：一元一次不等式的整数解 【典例4】．．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）关于x的不等式的非负整数解有_________个． 【答案】3 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式的非负整数解为，共个． 【变式1】．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）若关于的不等式的最小整数解为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，先将a看作常数解关于x的不等式，得，根据最小整数解为，得，解出a即可． 【详解】解：移项， 移项，得， 解得， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， 解得． 【变式2】．（25-26七年级下·全国·周测）不等式的非负整数解为_________． 【答案】0，1 【分析】先求解不等式，得到的取值范围，再找出非负整数解． 【详解】解： ， 两边同乘得 ，去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 即 ． 非负整数解为和． 故答案为． 题型五：列一元一次不等式 【典例5】．．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据题中数量关系，结合“不低于”表示大于等于的含义，即可列出正确不等式． 【详解】解：∵总题数为25道，答对x道题， ∴答错或不答的题数为道， 根据题意得． 【变式1】．（25-26八年级下·山西晋中·期中）2025年春晚机器人动作机械，2026年已实现灵活流畅的舞台表演．这一变化直观体现了我国人形机器人技术在一年内的快速迭代升级．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目的数量关系，结合“不低于”的含义列出不等式即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得． 【变式2】．（25-26七年级下·海南海口·期中）海口2026年（第七届）万人健步活动已于4月19日顺利举行．此次活动以“建功自贸港劳动筑梦想”为主题，行程首次解锁长影奇幻乐园内部道路，全程．王老师沿活动路线先以60米/分的平均速度行走了1小时，路过某景点后，加快了速度．若王老师走完全程的时间少于140分钟，则他后半程的平均速度x（米/分）满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：全程米． ∵王老师先以60米/分的速度行走1小时，1小时分钟， ∴前60分钟行走的路程为米． ∵走完全程的时间少于140分钟， ∴后半段实际用时小于分钟，后半段路程， 因此可得不等式． 题型六：一元一次不等式解决实际问题 【典例6】．．（25-26七年级下·广西桂林·期中）当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： (1)当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ (2)当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ (3)若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 【答案】(1)选择线上方案更省钱，省了元 (2)当时，线下方案比线上方案更省钱 (3)原价的最大值为元 【分析】（1）分别计算两种方案对应的花费，即可解得； （2）先根据两种优惠规则计算不同情况下的实际花费，再列不等式求解即可； （3）分类讨论求x的最大值即可解答． 【详解】（1）解：当原价元时，线下花费：（元）， 线上花费：（元）， 因为，且（元）， 答：选择线上方案更省钱，省了元． （2）解：当时，线下花费元，线上仅满个元，实际花费为元， ∵线下方案比线上方案更省钱， ∴， 解得：， ∴， 答：当时，线下方案比线上方案更省钱． （3）解：预算不超过元，即线上实际花费不超过元， 分类讨论： 当时，无优惠，实际花费，此时； 当时，优惠元，则，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 比较所有情况可得，的最大值为元． 答：原价的最大值为元． 【变式1】．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）“文房四宝”即笔、墨、纸、砚，是我国独有的书法绘画工具，某校为了丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”共100套．已知某商场甲种型号的“文房四宝”的售价为每套80元，乙种型号的“文房四宝”的售价为每套100元． (1)若学校从该商场购进甲、乙两种型号的“文房四宝”共用去8500元，则学校从该商场购进甲、乙两种型号的“文房四宝”各多少套？ (2)若学校准备用不多于9700元从该商场购进这两种型号的“文房四宝”，则学校从该商场购进甲种型号的“文房四宝”至少多少套？ 【答案】(1)购进甲种型号的“文房四宝”75套，乙种型号的“文房四宝”25套 (2)购进甲种型号的“文房四宝”至少15套 【分析】（1）设学校从该商场购进甲种型号的“文房四宝”x套，乙种型号的“文房四宝”y套，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设学校从该商场购进甲种型号的“文房四宝”a套，根据题意，列出不等式进行求解即可. 【详解】（1）解：设学校从该商场购进甲种型号的“文房四宝”x套，乙种型号的“文房四宝”y套． 根据题意，得， 解得， 答：学校从该商场购进甲种型号的“文房四宝”75套，乙种型号的“文房四宝”25套． （2）解：设学校从该商场购进甲种型号的“文房四宝”a套． 根据题意，得． 解得． ∵a为整数， ∴a的最小值为15． 答：学校从该商场购进甲种型号的“文房四宝”至少15套． 【变式2】．（25-26七年级下·重庆万州·期中）某文体用品店销售、两种规格的跳绳，跳绳的进价为每根元，跳绳的进价为每根元．下表中是该文体用品店近两周这两种跳绳的销售情况．（进价保持不变） 销售时段 周销售数量 周销售总额 第一周 根跳绳 根跳绳 元 第二周 根跳绳 根跳绳 元 (1)若这两周售价保持不变，求这两种规格跳绳的售价分别为每根多少元？ (2)第三周，该店决定恰好用元购进、两种跳绳，跳绳按售价打九折进行促销，而跳绳则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为元，且、两种跳绳全部售完，求第三周最多进跳绳多少根？ 【答案】(1)跳绳的售价为每根元，跳绳的售价为每根元 (2)第三周最多进跳绳根 【详解】（1）解：设跳绳的售价为每根元，跳绳的售价为每根元， 根据题意得， 解得， 答：跳绳的售价为每根元，跳绳的售价为每根元； （2）解：设购进种跳绳根，种跳绳根， 由题意可得， 整理得， 第三周总利润至少为元，且、两种跳绳全部售完， ，即， 解得，又、为正整数， 为的倍数， 最大为， 第三周最多进跳绳根． 题型七：一元一次不等式解决几何问题 【典例7】．．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 【变式1】．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足，线段与轴相交于点，点在轴上， (1)求，的值； (2)如图1，若三角形的面积大于，求的取值范围； (3)如图2，点，点在线段上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次不等式的应用． （1），根据绝对值与平方数的非负性求解、； （2），过点作轴，设，根据，先求出点坐标，再根据三角形面积公式列出不等式求解； （3），先说明是的中点，进而利用面积关系得出，根据得出，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）因为，又因为，， 所以， 两式相加得， 解得， 把代入，得， 解得． （2）如图，过点作轴，设 ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得： ∴． ∵点在轴上， ∴， ∵， ∴， ，即或， 解得或． （3）∵ ∴是的中点， ∴ ∴，则 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 连接，如图， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 【变式2】．（24-25七年级上·湖北孝感·月考）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，，∴，∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的解有无数个 【答案】C 【详解】解：∵把代入不等式，得，成立，∴是不等式的一个解，A说法正确，不符合题意； ∵把代入不等式，得，成立，∴是不等式的一个解，B说法正确，不符合题意； ∵解不等式，两边同除以3，不等号方向不变，得解集为，不是，∴C说法错误，符合题意； ∵不等式包含所有小于6的数，因此解有无数个，∴D说法正确，不符合题意． 2．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1得，， 画数轴如图所示， 3．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将原不等式右边变形，可得： . ∵原不等式的解集为，不等号方向没有改变， ∴. 解得． 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）“五一”期间，某商场推出一款蓝牙耳机，进价为元/个，标价为元/个．为了吸引顾客，商场决定打折销售，但要保证每件商品的利润率不低于，该耳机最多可以打几折，下列选项正确的是（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】C 【分析】根据利润率不低于的条件，列不等式，求解即可得到最大折扣． 【详解】解：设该耳机打折销售，则售价为元，根据题意，得 ， 整理得， 解得， 即该耳机最多可以打折． 5．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）在《九章算术》中，经常用数学解决农作物的产量问题．小明根据“今有中等禾，每捆产出稻米55斗，_____．设上等禾每捆产出稻米x斗”列出不等式，则“_____”上应是（    ） A．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 B．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 C．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 D．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 【答案】A 【分析】根据未知数定义，不等式各项和不等号的含义，即可推得横线上的内容． 【详解】解：∵设上等禾每捆产出稻米斗，中等禾每捆产出稻米斗， ∴表示捆上等禾的总产量， 表示捆中等禾的总产量， ∵不等号的实际意义为“不少于”， ∴该不等式表示：取上等禾捆、中等禾捆，产出的稻米不少于斗． 6．（25-26七年级下·河南开封·期中）关于的方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组得到，再根据，列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：方程组， 得：， ∵关于的方程组的解满足， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·河南周口·期中）若不等式的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解集的不等号方向，判断x的系数的符号即可求解m的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为，不等号方向发生改变， 根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ 解得． 8．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）我们规定一种新运算，对于实数a，b，c，d，有．若正整数x满足，则满足条件的x的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】先根据列出不等式，求出，再得出正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴满足条件的正整数值有1，2共2个． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可通过方程组变形直接得到的表达式，再解一元一次不等式得到的取值范围． 【详解】解： 将得 整理得 两边同除以2得 ∵方程组的解满足 ∴ 解得 ． 10．（2023七年级下·浙江·竞赛）在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位、十位、个位上的数），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师．于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设，则魔术师求出的数为（   ） A．902 B．680 C．458 D．236 【答案】D 【分析】设原三位数，其中，，为整数，令，根据，得到，再通过确定的可能取值，逐一验证得到结果． 【详解】解：设原三位数，其中，，为整数，令， ，这六个数的和中，在百位、十位、个位上各出现次， 这六个数的和为， 即，可得， ， ，即， 解得， 为整数， ， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，舍去； ． 二、填空题 11．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于的不等式的每一个解都能使成立，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据两个解集之间的关系，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵不等式的每一个解都能使成立， ∴． 12．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求出方程的解，再根据该解为正数列出不等式，求解即可． 【详解】解：解方程，得， ∵该方程的解为正数， ∴， 解得． 13．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 14．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于、的二元一次方程组，如果，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先由二元一次方程组得到，再根据得，即可求解． 【详解】解：， 得， ∴， ∵， ∴， 解得， 即的取值范围是． 15．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）已知方程组的解x与y的和为负数，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】两式相加求得，根据题意得到关于k的不等式，可求出k的取值范围． 【详解】解：解方程组， 得，即， ∵x与y的和为负数， ∴，即， 解得：． 三、解答题 16．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）解方程组或不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得，， 得，代入①得， ， 解得； ∴该方程组的解为； （2）解： ． 17．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知关于，的二元一次方程组（为常数）． (1)若，求的值； (2)满足，求符合条件的的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得：，再把代入即可求出的值； （2）由得：，结合可得，再解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：， 得：， 又， 所以， 解得； （2）解：得：， 又， 所以，解得， 则的最小整数值为． 18．（25-26七年级下·安徽六安·期中）为响应国家“绿色低碳、全民节能”号召，助力安徽省“千村万户”光伏惠民工程，某新能源配件店销售A，B两种型号的家用光伏配件，进价分别为70元、50元，如表是该店近两天的销售情况： 销售量/件 销售收入/元 A型光伏配件 B型光伏配件 第一天 3 4 600 第二天 6 5 975 (1)求A，B两种型号光伏配件的销售单价； (2)若该店为某乡镇光伏项目购进这两种配件总计50件，购进总费用不超过2900元． ①最多可以购进A型光伏配件多少件？ ②该店销售这50件配件的总利润能否超过1340元？若能，请给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型光伏配件销售单价为100元，B型光伏配件销售单价为75元 (2)①最多可以购进A型光伏配件20件，②能，购进方案为：方案一：购进A型配件19件，B型配件31件；方案二：购进A型配件20件，B型配件30件 【分析】（1）设A型光伏配件销售单价为元，B型光伏配件销售单价为元，由题意易得，然后求解即可； （2）设购进A型光伏配件件，则购进B型光伏配件件，①根据题意可得不等式，进而问题可求解；②由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设A型光伏配件销售单价为元，B型光伏配件销售单价为元，由题意得： ， 解得：； 答：A型光伏配件销售单价为100元，B型光伏配件销售单价为75元； （2）解：设购进A型光伏配件件，则购进B型光伏配件件， ①由题意得： ， 解得：； 答：最多可以购进A型光伏配件20件 ②该店销售这50件配件的总利润能超过1340元，理由如下： 由题意得： ， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴的值为， ∴或； 答：能，购进方案为：方案一：购进A型配件19件，B型配件31件；方案二：购进A型配件20件，B型配件30件． 19．（25-26七年级下·重庆万州·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”的方式以达到节水的目的，收费标准如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ (1)某居民用户9月份用水9，应缴水费　　　元； (2)某居民用户10月份缴水费44元，求该用户10月份的用水量； (3)若用户11月份、12月份共用水18（12月份用水量超过11月份用水量），设11月份用水，求该户居民11月份、12月份两个月共交水费多少元？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)24 (2) (3)当时，水费共交元；当时，水费共交元；当时，水费共交48元 【分析】（1）居民用户9月份用水9，处于第二档，根据收费标准计算即可； （2）若该用户10月份用水超过不超过，最多应收水费元，得到该用户10月份用水量超过了．设该用户10月份用水量为，根据收费标准列方程求解即可； （3）该户居民11月份、12月份两个月共用水，设11月份用水，则设12月份用水，由12月份用水量超过了11月份，得到，再根据，，分情况讨论，分别根据两个月所处的位置结合收费标准列式计算即可． 【详解】（1）解：某居民用户9月份用水9，处于第二档，应缴水费（元）； （2）解：若该用户10月份用水不超过，最多应收水费元， 若该用户10月份用水超过不超过，最多应收水费元， 该户居民10月份水费为44元，因为， 所以该用户10月份用水量超过了． 设该用户10月份用水量为， 由题意得：， 解得：， 答：该居民10月份用水量为； （3）解：该户居民11月份、12月份两个月共用水，设11月份用水，则12月份用水， ∵12月份用水量超过了11月份， ∴， 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 所以，当时，水费共交元；当时，水费共交元；当时，水费共交48元． 20．（25-26七年级下·重庆·期中）在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： 【分析】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解：， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 一元一次不等式 【考点梳理】 · 考点一：一元一次不等式的定义 · 考点二：一元一次不等式的解 · 考点三：一元一次不等式的解在数轴上表示 · 考点四：一元一次不等式的整数解 · 考点五：列一元一次不等式 · 考点六：一元一次不等式解决实际问题 · 考点七：一元一次不等式解决几何问题 【知识梳理】 知识点一：一元一次不等式定义 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 知识点二：解一元一次不等式的方法与步骤： 同于解一元一次方程，都是：去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数系数化为1 技巧归纳： ①、去分母时，注意每一项都要乘到，特别是本身没有分母的项；去括号时，注意括号前面如果是负号时，去掉括号后，各项都要改变符号。 ②、解不等式时，常把小数系数化为分数系数以简化计算，统一系数形式后，再按一般的解一元一次不等式步骤解题即可。 知识点三、实际问题与一元一次不等式： 列不等式解实际应用问题，和列方程解实际应用问题一样，基本思路都是：审→设→列→解→答。 其中，审题与找出题中的不等量关系是列一元一次不等式的关键，找题中不等关系时要着重理解题中的关键字、句，如“便宜”、“提前”、“不超过”、“不低于”、“至多”等等。此外，解出不等式的解集后，要加以检验，看所得的解集符不符题目的实际意义。 【题型探究】 题型一：一元一次不等式的定义 【典例1】．（25-26七年级下·上海·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：一元一次不等式的解 【典例2】．．（2026七年级下·全国·专题练习）解不等式： (1)； (2)． 【变式1】．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26八年级下·山东青岛·期中）解下列不等式： (1) (2)． 题型三：一元一次不等式的解在数轴上表示 【典例3】．．（25-26七年级下·吉林长春·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·山东聊城·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2 】．（25-26七年级下·山西长治·期中）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 题型四：一元一次不等式的整数解 【典例4】．．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）关于x的不等式的非负整数解有_________个． 【变式1】．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）若关于的不等式的最小整数解为，则的取值范围是______． 【变式2】．（25-26七年级下·全国·周测）不等式的非负整数解为_________． 题型五：列一元一次不等式 【典例5】．．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·山西晋中·期中）2025年春晚机器人动作机械，2026年已实现灵活流畅的舞台表演．这一变化直观体现了我国人形机器人技术在一年内的快速迭代升级．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·海南海口·期中）海口2026年（第七届）万人健步活动已于4月19日顺利举行．此次活动以“建功自贸港劳动筑梦想”为主题，行程首次解锁长影奇幻乐园内部道路，全程．王老师沿活动路线先以60米/分的平均速度行走了1小时，路过某景点后，加快了速度．若王老师走完全程的时间少于140分钟，则他后半程的平均速度x（米/分）满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 题型六：一元一次不等式解决实际问题 【典例6】．．（25-26七年级下·广西桂林·期中）当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： (1)当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ (2)当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ (3)若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 【变式1】．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）“文房四宝”即笔、墨、纸、砚，是我国独有的书法绘画工具，某校为了丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”共100套．已知某商场甲种型号的“文房四宝”的售价为每套80元，乙种型号的“文房四宝”的售价为每套100元． (1)若学校从该商场购进甲、乙两种型号的“文房四宝”共用去8500元，则学校从该商场购进甲、乙两种型号的“文房四宝”各多少套？ (2)若学校准备用不多于9700元从该商场购进这两种型号的“文房四宝”，则学校从该商场购进甲种型号的“文房四宝”至少多少套？ 【变式2】．（25-26七年级下·重庆万州·期中）某文体用品店销售、两种规格的跳绳，跳绳的进价为每根元，跳绳的进价为每根元．下表中是该文体用品店近两周这两种跳绳的销售情况．（进价保持不变） 销售时段 周销售数量 周销售总额 第一周 根跳绳 根跳绳 元 第二周 根跳绳 根跳绳 元 (1)若这两周售价保持不变，求这两种规格跳绳的售价分别为每根多少元？ (2)第三周，该店决定恰好用元购进、两种跳绳，跳绳按售价打九折进行促销，而跳绳则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为元，且、两种跳绳全部售完，求第三周最多进跳绳多少根？ 题型七：一元一次不等式解决几何问题 【典例7】．．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【变式1】．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足，线段与轴相交于点，点在轴上， (1)求，的值； (2)如图1，若三角形的面积大于，求的取值范围； (3)如图2，点，点在线段上，若，求点的坐标． 【变式2】．（24-25七年级上·湖北孝感·月考）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的解有无数个 2．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）“五一”期间，某商场推出一款蓝牙耳机，进价为元/个，标价为元/个．为了吸引顾客，商场决定打折销售，但要保证每件商品的利润率不低于，该耳机最多可以打几折，下列选项正确的是（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 5．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）在《九章算术》中，经常用数学解决农作物的产量问题．小明根据“今有中等禾，每捆产出稻米55斗，_____．设上等禾每捆产出稻米x斗”列出不等式，则“_____”上应是（    ） A．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 B．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 C．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 D．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 6．（25-26七年级下·河南开封·期中）关于的方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·河南周口·期中）若不等式的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）我们规定一种新运算，对于实数a，b，c，d，有．若正整数x满足，则满足条件的x的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2023七年级下·浙江·竞赛）在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位、十位、个位上的数），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师．于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设，则魔术师求出的数为（   ） A．902 B．680 C．458 D．236 二、填空题 11．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于的不等式的每一个解都能使成立，那么的取值范围是_______． 12．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_____． 13．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 14．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于、的二元一次方程组，如果，那么的取值范围是___________． 15．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）已知方程组的解x与y的和为负数，则k的取值范围是_______． 三、解答题 16．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）解方程组或不等式： (1)； (2)． 17．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知关于，的二元一次方程组（为常数）． (1)若，求的值； (2)满足，求符合条件的的最小整数值． 18．（25-26七年级下·安徽六安·期中）为响应国家“绿色低碳、全民节能”号召，助力安徽省“千村万户”光伏惠民工程，某新能源配件店销售A，B两种型号的家用光伏配件，进价分别为70元、50元，如表是该店近两天的销售情况： 销售量/件 销售收入/元 A型光伏配件 B型光伏配件 第一天 3 4 600 第二天 6 5 975 (1)求A，B两种型号光伏配件的销售单价； (2)若该店为某乡镇光伏项目购进这两种配件总计50件，购进总费用不超过2900元． ①最多可以购进A型光伏配件多少件？ ②该店销售这50件配件的总利润能否超过1340元？若能，请给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 19．（25-26七年级下·重庆万州·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”的方式以达到节水的目的，收费标准如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ (1)某居民用户9月份用水9，应缴水费　　　元； (2)某居民用户10月份缴水费44元，求该用户10月份的用水量； (3)若用户11月份、12月份共用水18（12月份用水量超过11月份用水量），设11月份用水，求该户居民11月份、12月份两个月共交水费多少元？（用含a的代数式表示） 20．（25-26七年级下·重庆·期中）在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $