第十一章 不等式与不等式组 章节（10知识详解+23典例分析）2025-2026学年（人教版）七年级数学下册同步讲义与测试

第十一章 不等式与不等式组 章节（10知识详解+23典例分析） 【知识点01】不等式的概念 1.不等式：用符号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫作不等式.用“≠”“≤”“≥”表示不等关系的式子也是不等式 2. 常见的不等号 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3＋2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3＋3>5 ≤ 小于等于号 不大于、不超过、至多 小于或等于 x≤ 8 ≥ 大于等于号 不小于、不低于、至少 大于或等于 x ≥ 5 ≠ 不等于号 不相等 不相等 4 ≠ 5 注意 (1)有些不等式中不含未知数，例如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知数，例如2x>5中，字母x表示未知数. (2)对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立；否则，不等式不成立. 3. 常见的不等式基本语言及其符号表示 不等式基本语言 a 是正数 a 是负数 a 是非正数 a 是非负数 a，b 同号 a，b 异号 符号表示 a> 0 a< 0 a ≤ 0 a ≥ 0 ab> 0 ab< 0 【知识点02】不等式的解及不等式的解集 1. 不等式的解： 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解 . 判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数是不等式的解，若不成立，则该数不是不等式的解 . 2. 不等式的解集： 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集 . 特别说明： 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 . 3.不等式的解、不等式的解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 示例：不等式x+1>2 x=2，3等 x>1 区别 不等式的解是使不等式成立的未知数的值 不等式的解集是能使不等式成立的所有未知数的值 联系 不等式的解集包含所有不等式的解，所有不等式的解组成不等式的解集 4. 解不等式： 求不等式的解集的过程叫作解不等式 . 5. 在数轴上表示不等式的解集 不等式的解集表示未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来. 一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)： 不等式的解集 x>a x ≥ a x<a x ≤ a 数轴表示 【知识点03】不等式的性质 1. 不等式的基本事实 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实： (1)对称性：交换不等式两边，不等号的方向改变. 如果a>b，那么b<a. (2)传递性：不等关系可以传递. 如果a>b，b>c，那么a>c. 2. 不等式的性质 性质  文字描述  数学语言 不等式的性质 1 不等式两边加 ( 或减 ) 同一个数( 或式子 ) 不等号的方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c 不等式的性质 2 不等式两边乘 ( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变 如果a>b，c>0，那么ac>bc (或>)  不等式的性质 3 不等式两边乘 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b，c<0， 那么ac<bc(或< ) 注意 两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义. 3. 不等式的性质与等式的性质的异同点 不等式 等式 相同点 (1)两边加(或减)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立 不同点 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 等式两边乘(或除以)同一个负数，等式仍成立 【知识点04】一元一次不等式的定义 1. 定义： 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式 . 一元一次不等式的“三 要 素”：(1)不等式的两边都是整式；(2)只含一个未知数；(3)未知数的次数是 1. 2.一元一次不等式与一元一次方程的相同点和不同点 一元一次不等式 一元一次方程 示例 2x+ 3 > - 1  2x+ 3 = - 1 相同点 (1)只含有一个未知数； (2)含有未知数的式子都是整式； (3)未知数的次数是1 不同点 用不等号表示不等关系 用等号表示相等关系 【知识点05】一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化 为 x<a(x≤a)或 x>a(x≥a)的 形 式 . 解 一 元 一 次 不 等式的步骤如下： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数 不等式的性质2，3 (1)不要漏乘不含分母的项；(2)若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) 分配律、去括号法则 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边 不等式的性质1 (1)所移的项要改变符号，不移的项不变号 (2)移项时，不等号的方向不改变 合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变 合并同类项法则 系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数(或乘未知数的系数的倒数)，将不等式化为x ＜ m(x ≤ m)或x>m(x ≥ m)的形式 不等式的性质2，3 当不等式两边都除以(或乘)同一个负数时，不等号的方向要改变 2.解一元一次不等式与解一元一次方程的相同点和不同点 解一元一次不等式 解一元一次方程 相同点 步骤相同：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 不同点 依据 不等式的性质 等式的性质 解的个数 一般有无数个解 只有一个解 解(集)的形式 x<m(x ≤ m)或x>m(x ≥ m) x=m 【知识点06】列一元一次不等式解决实际问题 与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，进而通过解不等式得到实际问题的答案. 列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤如下： 内容 注意事项 审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系 抓住题目中的关键字眼，如“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“超过”等 设 设出适当的未知数 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现 列 根据题中的不等关系列出不等式 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一 解 解不等式，求出其解集 符号不要出错 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意 一满足不等式，二符合实际意义 答 写出答 应把表示不等关系的文字补上 【知识点07】一元一次不等式组 1. 定义：类似于方程组，把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组. 特别解读 1.一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个. 2.未知数的个数必须唯一. 特别提醒：一元一次不等式组必须同时满足两个条件： (1)不等式组中只含有一个相同的未知数； (2)含有两个或两个以上的一元一次不等式. 2. 表示方式： 不等式组可以用“{” 表示， 也可以用形如 的方式表示. 【知识点08】不等式组的解集 1. 定义： 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集 . 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 (a>b) 不等式组的解集在数轴上的表示 不等式组的解集 x>a x<b 无解 b<x<a 口诀  同大取大  同小取小  大大小小无处找 大小小大取中间 【知识点09】一元一次不等式组的解法 1. 解不等式组：求不等式组的解集的过程叫作解不等式组. 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别求出不等组中各个不等式的解集； (2)利用数轴法或口诀法求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集. 【知识点10】列一元一次不等式组解决实际问题 列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤 【题型一】不等式的定义 1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·月考）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）判断下列各式中哪些是不等式． （1）．     （2）． （3）．     （4）． （5）．     （6）． 【题型二】不等式的解集 4．（22-23七年级下·河南新乡·期中）若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东东营·月考）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为千米/时，则的取值范围为______． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【题型三】不等式的性质 7．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若由可得，则x的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 8．由推出，依据不等式的基本性质是______． 9．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解答 (1)已知，判断与的大小关系如何？并说明理由； (2)已知都是负数，且，请判断与的大小关系如何？并说明理由． 【题型四】一元一次不等式的定义 10．（25-26七年级下·上海闵行·期中）下列式子中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 12．（2024七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【题型五】求一元一次不等式的解集 13．（25-26七年级下·广西桂林·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·广西贵港·期中）不等式的解集是__________． 15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式：． 【题型六】求一元一次不等式的整数解 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 17．（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式的最小整数解是_________． 18．（2025·西藏·模拟预测）解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 【题型七】在数轴上表示不等式的解集 19．（25-26七年级下·北京·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________． 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型八】求一元一次不等式解的最值 22．（23-24七年级下·江苏南通·月考）已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 23．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 24．（2025·河北保定·一模）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【题型九】列一元一次不等式 25．（25-26七年级下·吉林长春·期中）据气象台预报，2026年4月22日，长春市最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·河南周口·期中）x的3倍与5的差不大于10，列不等式：_________． 27．（24-25七年级下·全国·单元测试）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔叔计划七月份电费支出不超过200元，请列出关于x的不等式． 【题型十】用一元一次不等式解决实际问题 28．（25-26七年级下·广西桂林·期中）老师和同学们玩猜数游戏．老师在心里想一个100以内的数字，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错．甲问：“小于50吗？”老师摇头．乙问：“不大于75吗？”老师点头．则老师心里想的数字x所在的范围为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）为了激发学生学习数学的积极性，某校举行了主题为“学数学、用数学、爱数学”的知识竞赛活动，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分，大赛规定总分不低于80分获奖，伊伊想获奖，至少要答对_________道题． 30．（25-26七年级下·福建泉州·期中）“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166千米的路程，需要不超过2小时送到，前80分钟已经走了120千米，后40分钟的速度至少为多少才能不延误时间？ 【题型十一】用一元一次不等式解决几何问题 31．（2024·江苏苏州·一模）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 32．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为________度． 33．（22-23七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【题型十二】求不等式组的解集 34．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x、y的二元一次方程组，则下列四个结论正确的个数是（    ） ①若，则上述方程组的解为； ②若，则； ③若，，则k的最小值为； ④若则的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（25-26七年级下·湖南常德·期中）设表示不超过的最大整数，例如．记．则下列说法中：①；②；③的取值范围是；④对任意实数，总有；⑤若，且，则满足条件的的实数有且仅有4个．正确的是_____．（将正确答案的序号填在横线上） 36．（25-26七年级下·广西贵港·期中）解不等式组． 【题型十三】求一元一次不等式组的整数解 37．（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式组 的整数解有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 38．（25-26七年级下·福建泉州·期中）不等式组的整数解有______个． 39．（25-26七年级下·上海·期中）解不等式组，并写出不等式组的最大整数解． 【题型十四】由一元一次不等式组的解集求参数 40．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 42．（24-25七年级下·河南周口·月考）若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 【题型十五】由不等式组解集的情况求参数 43．（25-26七年级下·河南周口·期中）关于x的不等式组 无解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 44．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若关于的不等式组无解，则满足条件的范围为_____． 45．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组 (1)若，解不等式组； (2)若不等式组的解集是． ①求m的取值范围； ②当m为何整数时，不等式的解集为． 【题型十六】不等式组和方程组结合的问题 46．（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（2024七年级下·江西南昌·期末）若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 _________． 48．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）如果方程组：的解满足，求的取值范围． 【题型十七】列一元一次不等式组 49．（25-26七年级下·河南新乡·期中）小明一家在自驾旅游时，发现某段高速公路上对行驶汽车的速度有如下规定：设该段高速公路上小客车的速度为（），则满足的条件是（    ） 最高限速 小客车 大型客车 货车 最低限速 A． B． C． D． 50．（2024七年级下·安徽·专题练习）的5倍在3与7之间（不包括3和7）用不等式（组）表示：____． 51．（23-24七年级下·全国·单元测试）丽丽今年岁，爷爷今年虽不满岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的倍还多，试写出符合爷爷年龄的不等式组． 【题型十八】不等式组的行程问题 52．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 53．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【题型十九】不等式组的经济问题 54．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 55．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 56．（25-26七年级下·河南周口·期中）A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 (1)求A款最少购买多少本； (2)直接写出所有购买方案． 【题型二十】不等式组的分配问题 57．（23-24七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 58．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 59．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【题型二十一】不等式组的方案选择问题 60．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 61．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某工厂计划生产，两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 种产品 种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，问，两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？ 【题型二十二】不等式组的阶梯收费问题 62．（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 63．（2026七年级下·江苏·专题练习）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 64．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【题型二十三】一元一次不等式组的其他应用 65．（25-26七年级下·重庆·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入整数后，程序运行了两次后输出结果，则输入的整数的值可以是（   ） A．1 B．4 C．7 D．10 66．（24-25七年级下·湖南常德·期中）如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围______________ ． 用法用量：口服 每次： 每天：次 67．（25-26七年级下·河南周口·期中）某学校计划购买A、B两种奖品共100件，A奖品每件20元，B奖品每件15元． (1)若购买两种奖品共花费1650元，求A、B两种奖品各购买多少件？ (2)若购买B奖品的数量不少于A奖品数量的倍，总费用不少于1650元，问有几种购买方案？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 章节（10知识详解+23典例分析） 【知识点01】不等式的概念 1.不等式：用符号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫作不等式.用“≠”“≤”“≥”表示不等关系的式子也是不等式 2. 常见的不等号 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3＋2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3＋3>5 ≤ 小于等于号 不大于、不超过、至多 小于或等于 x≤ 8 ≥ 大于等于号 不小于、不低于、至少 大于或等于 x ≥ 5 ≠ 不等于号 不相等 不相等 4 ≠ 5 注意 (1)有些不等式中不含未知数，例如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知数，例如2x>5中，字母x表示未知数. (2)对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立；否则，不等式不成立. 3. 常见的不等式基本语言及其符号表示 不等式基本语言 a 是正数 a 是负数 a 是非正数 a 是非负数 a，b 同号 a，b 异号 符号表示 a> 0 a< 0 a ≤ 0 a ≥ 0 ab> 0 ab< 0 【知识点02】不等式的解及不等式的解集 1. 不等式的解： 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解 . 判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数是不等式的解，若不成立，则该数不是不等式的解 . 2. 不等式的解集： 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集 . 特别说明： 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 . 3.不等式的解、不等式的解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 示例：不等式x+1>2 x=2，3等 x>1 区别 不等式的解是使不等式成立的未知数的值 不等式的解集是能使不等式成立的所有未知数的值 联系 不等式的解集包含所有不等式的解，所有不等式的解组成不等式的解集 4. 解不等式： 求不等式的解集的过程叫作解不等式 . 5. 在数轴上表示不等式的解集 不等式的解集表示未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来. 一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)： 不等式的解集 x>a x ≥ a x<a x ≤ a 数轴表示 【知识点03】不等式的性质 1. 不等式的基本事实 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实： (1)对称性：交换不等式两边，不等号的方向改变. 如果a>b，那么b<a. (2)传递性：不等关系可以传递. 如果a>b，b>c，那么a>c. 2. 不等式的性质 性质  文字描述  数学语言 不等式的性质 1 不等式两边加 ( 或减 ) 同一个数( 或式子 ) 不等号的方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c 不等式的性质 2 不等式两边乘 ( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变 如果a>b，c>0，那么ac>bc (或>)  不等式的性质 3 不等式两边乘 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b，c<0， 那么ac<bc(或< ) 注意 两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义. 3. 不等式的性质与等式的性质的异同点 不等式 等式 相同点 (1)两边加(或减)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立 不同点 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 等式两边乘(或除以)同一个负数，等式仍成立 【知识点04】一元一次不等式的定义 1. 定义： 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式 . 一元一次不等式的“三 要 素”：(1)不等式的两边都是整式；(2)只含一个未知数；(3)未知数的次数是 1. 2.一元一次不等式与一元一次方程的相同点和不同点 一元一次不等式 一元一次方程 示例 2x+ 3 > - 1  2x+ 3 = - 1 相同点 (1)只含有一个未知数； (2)含有未知数的式子都是整式； (3)未知数的次数是1 不同点 用不等号表示不等关系 用等号表示相等关系 【知识点05】一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化 为 x<a(x≤a)或 x>a(x≥a)的 形 式 . 解 一 元 一 次 不 等式的步骤如下： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数 不等式的性质2，3 (1)不要漏乘不含分母的项；(2)若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) 分配律、去括号法则 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边 不等式的性质1 (1)所移的项要改变符号，不移的项不变号 (2)移项时，不等号的方向不改变 合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变 合并同类项法则 系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数(或乘未知数的系数的倒数)，将不等式化为x ＜ m(x ≤ m)或x>m(x ≥ m)的形式 不等式的性质2，3 当不等式两边都除以(或乘)同一个负数时，不等号的方向要改变 2.解一元一次不等式与解一元一次方程的相同点和不同点 解一元一次不等式 解一元一次方程 相同点 步骤相同：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 不同点 依据 不等式的性质 等式的性质 解的个数 一般有无数个解 只有一个解 解(集)的形式 x<m(x ≤ m)或x>m(x ≥ m) x=m 【知识点06】列一元一次不等式解决实际问题 与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，进而通过解不等式得到实际问题的答案. 列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤如下： 内容 注意事项 审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系 抓住题目中的关键字眼，如“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“超过”等 设 设出适当的未知数 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现 列 根据题中的不等关系列出不等式 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一 解 解不等式，求出其解集 符号不要出错 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意 一满足不等式，二符合实际意义 答 写出答 应把表示不等关系的文字补上 【知识点07】一元一次不等式组 1. 定义：类似于方程组，把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组. 特别解读 1.一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个. 2.未知数的个数必须唯一. 特别提醒：一元一次不等式组必须同时满足两个条件： (1)不等式组中只含有一个相同的未知数； (2)含有两个或两个以上的一元一次不等式. 2. 表示方式： 不等式组可以用“{” 表示， 也可以用形如 的方式表示. 【知识点08】不等式组的解集 1. 定义： 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集 . 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 (a>b) 不等式组的解集在数轴上的表示 不等式组的解集 x>a x<b 无解 b<x<a 口诀  同大取大  同小取小  大大小小无处找 大小小大取中间 【知识点09】一元一次不等式组的解法 1. 解不等式组：求不等式组的解集的过程叫作解不等式组. 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别求出不等组中各个不等式的解集； (2)利用数轴法或口诀法求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集. 【知识点10】列一元一次不等式组解决实际问题 列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤 【题型一】不等式的定义 1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】根据 “非负数”就是，按题干描述逐步列式即可得到结果． 【详解】解：∵的可表示为， 的与的差可表示为． 又∵非负数是指大于或等于的数， ∴列出不等式为． 2．（25-26七年级下·吉林长春·月考）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【答案】 ①②⑥ 【知识点】不等式的定义 【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可． 【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式． ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是用等号连接的等式，不是不等式； ④ 是代数式，不是不等式； ⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式； ⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式， 故①②⑥是不等式． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）判断下列各式中哪些是不等式． （1）．     （2）． （3）．     （4）． （5）．     （6）． 【答案】（1）（2）（3）（6）是不等式 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的概念，熟练掌握不等式的概念是解题的关键； 根据不等式的定义逐一判断是否为不等式． 【详解】解：由不等号连接，表示两个量大小关系的式子叫做不等式； （1）由连接，是不等式． （2）由连接，是不等式． （3）由连接，是不等式． （4）由连接，是等式，也是方程；不是不等式． （5）无连接符号，是代数式，不是不等式． （6）由连接，是不等式． 综上所述，（1）（2）（3）（6）是不等式． 【题型二】不等式的解集 4．（22-23七年级下·河南新乡·期中）若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的解集 【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：不等式为，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误． 5．（25-26七年级下·山东东营·月考）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为千米/时，则的取值范围为______． 【答案】 【知识点】不等式的解集 【分析】根据题意确定车辆行驶的车道，观察对应的交通标志牌，读出最高限速和最低限速，即可确定车速的取值范围． 【详解】解：由题意可知，爸爸开小型车走中间车道，观察图片可知，中间车道为“小型车道”，其对应的限速标志显示：最高限速为千米/时，最低限速为千米/时， ∴车速的取值范围是． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．据此判断即可． 【详解】解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 【题型三】不等式的性质 7．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若由可得，则x的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【详解】解：∵由可得， ∴， ∴x的值可以是． 8．由推出，依据不等式的基本性质是______． 【答案】不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的变形过程，对应找出符合的基本性质即可． 【详解】解：对原不等式变形，给不等式两边同时乘以，可得：化简得， 变形过程中，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向发生改变， 符合不等式的基本性质：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变． 9．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解答 (1)已知，判断与的大小关系如何？并说明理由； (2)已知都是负数，且，请判断与的大小关系如何？并说明理由． 【答案】(1) ，详见解析 (2)，详见解析 【知识点】不等式的性质 【分析】（1）利用不等式的性质判断即可． （2）先利用不等式的性质得出，，进而可得出． 【详解】（1）解： ． 理由如下：因为， 所以， 即． （2）解∶ ， 理由如下：因为，， 所以． 因为，， 所以， 所以． 【题型四】一元一次不等式的定义 10．（25-26七年级下·上海闵行·期中）下列式子中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义判断选项即可． 【详解】解：A选项中是等式，不是不等式，不符合要求； B选项中 里，未知数的次数为2，不是1，不符合要求； C选项中含有和两个未知数，不符合要求； D选项中是不等式，只含一个未知数，的次数为1，不等号两边均为整式，符合一元一次不等式的定义． 11．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【答案】0 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解，得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 12．（2024七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式． 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据不等式的定义即可依次判断． 【详解】解：（1）是不等式； （2）是不等式； （3）是不等式； （4）是等式； （5）是代数式； （6）是不等式． 故（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式． 【点睛】此题主要考查不等式的识别，解题的关键是熟知不等式的特点． 【题型五】求一元一次不等式的解集 13．（25-26七年级下·广西桂林·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集 【详解】解： 移项得， 解得． 14．（25-26七年级下·广西贵港·期中）不等式的解集是__________． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集 【详解】解： ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为得：． 15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【详解】解： ∴ ∴ 解得： 【题型六】求一元一次不等式的整数解 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴满足的非负整数为，共个． 17．（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式的最小整数解是_________． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【详解】解： 移项得， 合并同类项得 系数化为，得 ∴不等式的最小整数解是． 18．（2025·西藏·模拟预测）解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 【答案】，非负整数解为：，，． 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可． 本题考查求一元一次不等式的非负整数解，正确计算不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 非负整数解为：，，． 【题型七】在数轴上表示不等式的解集 19．（25-26七年级下·北京·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据“大于向右、小于向左，有等号实心、无等号空心”的规则判断即可． 【详解】解：选项：，正确； 选项：，错误； 选项：，错误； 选项：，错误． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解：根据图示可知：该不等式的解集为． 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，需注意：“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；“或（）时”，数轴上表示数“a”的点用“空心圆点”，“（或）时”，数轴上表示数“a”的点用“实心圆点”． （1）根据大于向右且为空心圆点画图即可； （2）根据小于向左且为空心圆点画图即可； （3）根据大于等于向右且为实心圆点画图即可； （4）根据小于等于向左且为实心圆点画图即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图： （4）解：如图： 【题型八】求一元一次不等式解的最值 22．（23-24七年级下·江苏南通·月考）已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 23．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【知识点】实数的性质、求一元一次不等式解的最值 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 24．（2025·河北保定·一模）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】(1)这个算式的值为 (2)被遮挡的数的最小值为 【知识点】求一元一次不等式解的最值、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． （2）解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 【题型九】列一元一次不等式 25．（25-26七年级下·吉林长春·期中）据气象台预报，2026年4月22日，长春市最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式 【详解】解：∵长春市当天最高气温为，最低气温为， ∴ 当天气温不低于最低气温，也不高于最高气温， ∴． 26．（25-26七年级下·河南周口·期中）x的3倍与5的差不大于10，列不等式：_________． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【详解】解：根据题意，列不等式：． 27．（24-25七年级下·全国·单元测试）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔叔计划七月份电费支出不超过200元，请列出关于x的不等式． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，先判断出用电量是否超过400度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过200元，分和两种情况列不等式即可． 【详解】解： （元）． 因为，李叔叔家计划七月份的电费支出不超过200元， 所以用电量不超过400度， 根据题意，当时，得； 当时，得 综上，关于x的不等式为． 【题型十】用一元一次不等式解决实际问题 28．（25-26七年级下·广西桂林·期中）老师和同学们玩猜数游戏．老师在心里想一个100以内的数字，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错．甲问：“小于50吗？”老师摇头．乙问：“不大于75吗？”老师点头．则老师心里想的数字x所在的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】根据老师的回答转化为对应的不等式，求出x的公共取值范围即可得到结果． 【详解】解：∵甲问“小于50吗”，老师摇头， ∴， ∵乙问“不大于75吗”，老师点头， ∴， ∵x是100以内的数字， ∴． 29．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）为了激发学生学习数学的积极性，某校举行了主题为“学数学、用数学、爱数学”的知识竞赛活动，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分，大赛规定总分不低于80分获奖，伊伊想获奖，至少要答对_________道题． 【答案】18 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】找出不等关系，正确列出一元一次不等式，解答即可． 【详解】解：设伊伊答对x道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解不等式得： ， 为正整数， 的最小值为． 30．（25-26七年级下·福建泉州·期中）“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166千米的路程，需要不超过2小时送到，前80分钟已经走了120千米，后40分钟的速度至少为多少才能不延误时间？ 【答案】后40分钟的速度至少为才能不耽误时间 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】先算出剩余路程和剩余时间，再设后40分钟的速度为，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，总路程为：，总时间上限：，已行驶路程：，已用时间：， ∴剩余路程： ； 剩余时间： ， 设后40分钟的速度为， ∴ 解得， ∴后40分钟的速度至少为才能不耽误时间． 【题型十一】用一元一次不等式解决几何问题 31．（2024·江苏苏州·一模）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 32．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为________度． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、求一个角的余角 【分析】设一个锐角度数为，则它的余角为，根据题意得到不等式，再解不等式即可． 【详解】解：设一个锐角度数为，则它的余角为， 由题意得，， 解得， ∴这个锐角最大为度． 33．（22-23七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 【题型十二】求不等式组的解集 34．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x、y的二元一次方程组，则下列四个结论正确的个数是（    ） ①若，则上述方程组的解为； ②若，则； ③若，，则k的最小值为； ④若则的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】先解出方程组中，关于的表达式，再逐一验证四个结论，统计正确结论的个数即可． 【详解】解:原方程组，两式相加得， ，代入得， ① 当时，，，方程组的解为，故①正确． ② 若，则， ，得，故②正确． ③ 若，，则： ，，得； ，，得； 的取值范围是，可以取到，故的最小值为，③正确． ④ ，由得，代入得： ，若，随增大而增大， 当时，的最大值为，不是，故④错误． 综上，正确的结论共3个，答案选C． 35．（25-26七年级下·湖南常德·期中）设表示不超过的最大整数，例如．记．则下列说法中：①；②；③的取值范围是；④对任意实数，总有；⑤若，且，则满足条件的的实数有且仅有4个．正确的是_____．（将正确答案的序号填在横线上） 【答案】②④ 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题根据取整函数和小数部分的定义，结合不等式性质逐一验证每个命题，即可得到正确结论． 【详解】解：①因为，所以，，不超过的最大整数为，因此，故①错误． ②对任意实数，可写为，其中，则，因为，所以不超过的最大整数为，即，故②正确． ③由的定义可得，不等式三边同时减，得，即，故③错误． ④设，，其中，，则，因为，所以，因此，即，故④正确． ⑤由题意得是整数，满足，代入得，因此，整理得，因为是整数，为整数，所以，解得或，当时，，，当时，，，共个满足条件的实数，故⑤错误． 综上，正确的是②④． 36．（25-26七年级下·广西贵港·期中）解不等式组． 【答案】不等式组的解集为 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①， 去括号得 移项，合并同类项得； 解不等式② 去分母得 移项，合并同类项得 系数化为1得； 不等式组的解集为． 【题型十三】求一元一次不等式组的整数解 37．（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式组 的整数解有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中的所有整数，统计整数的个数即可得到答案． 【详解】解：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为，共个． 38．（25-26七年级下·福建泉州·期中）不等式组的整数解有______个． 【答案】 5 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先分别解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中所有的整数解，统计整数解的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共个． 39．（25-26七年级下·上海·期中）解不等式组，并写出不等式组的最大整数解． 【答案】，最大整数解为 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最大整数解为2． 【题型十四】由一元一次不等式组的解集求参数 40．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰有3个整数解的条件，确定a的取值范围． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为，共个 ∴ 不等式两边同除以，得 41．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：解不等式 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵不等式组的解集是， ∴． 42．（24-25七年级下·河南周口·月考）若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围，先求出两个不等式的解集，根据不等式组只有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解： 由①，得：． 由②，得：． ∵不等式组只有4个整数解， ∴整数解为7，8，9，10， ∴． 解得 ， ∴a的取值范围是 【题型十五】由不等式组解集的情况求参数 43．（25-26七年级下·河南周口·期中）关于x的不等式组 无解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】根据不等式组解集的性质，两个不等式若无公共解集则不等式组无解，据此推导m的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴的取值范围是 ． 44．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若关于的不等式组无解，则满足条件的范围为_____． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解即两个解集无公共部分的条件，列出关于的不等式，即可求出的取值范围. 【详解】解：解不等式 移项得， 系数化为得； 解不等式 去分母得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 因为不等式组无解，两个解集无公共部分，因此， 解得. 45．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组 (1)若，解不等式组； (2)若不等式组的解集是． ①求m的取值范围； ②当m为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2)①；②2，3 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解集情况求参数，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）求出不等式的解集，再求出公共解即可； （2）①根据不等式组的解集是，可得m的取值范围；②由不等式的性质，可得，结合①中结论可得答案． 【详解】（1）解：若，不等式组为 解不等式，得：， 结合不等式，可得不等式组的解集为：； （2）解：①由（1）得，不等式组可变形为， 不等式组的解集是， ； ②由题意，得，且， ， ∴m的整数值为2，3. 【题型十六】不等式组和方程组结合的问题 46．（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式， 将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解： 由得：， ∵， ∴， 解得： 故选C． 47．（2024七年级下·江西南昌·期末）若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 _________． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 48．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）如果方程组：的解满足，求的取值范围． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】先将两方程相加，整理得到根据解不等式即可． 【详解】解：由方程组， 得：， ， ， ， 解得：． 【题型十七】列一元一次不等式组 49．（25-26七年级下·河南新乡·期中）小明一家在自驾旅游时，发现某段高速公路上对行驶汽车的速度有如下规定：设该段高速公路上小客车的速度为（），则满足的条件是（    ） 最高限速 小客车 大型客车 货车 最低限速 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【详解】解：∵由表格信息可得，该段高速公路小客车的最高限速为，所有车辆的最低限速为． ∴小客车速度需要同时满足不低于最低限速和不高于最高限速，即，整理得． 50．（2024七年级下·安徽·专题练习）的5倍在3与7之间（不包括3和7）用不等式（组）表示：____． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查由实际问题列出一元一次不等式组，理解题意并能列出相应的不等式组是解答本题的关键．根据题意写出相应的不等式组即可． 【详解】解：的5倍在3与7之间（不包括3和）用不等式（组）表示是 故答案为：． 51．（23-24七年级下·全国·单元测试）丽丽今年岁，爷爷今年虽不满岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的倍还多，试写出符合爷爷年龄的不等式组． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】根据爷爷今年虽不满70岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的4倍还多，分别得出不等式组成方程组即可． 【详解】解：根据题意可得：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据题意得出正确不等关系是解题关键． 【题型十八】不等式组的行程问题 52．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【知识点】不等式组的行程问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 53．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【知识点】不等式组的行程问题、不等式的性质 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【题型十九】不等式组的经济问题 54．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 55．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 56．（25-26七年级下·河南周口·期中）A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 (1)求A款最少购买多少本； (2)直接写出所有购买方案． 【答案】(1)A最少买20本 (2)第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】（1）设A款买x本，则B款买本，根据总费用不超过260元、A数量不少于B的列不等式组求解即可； （2）根据（1）中x的取值范围写出所有购买方案即可． 【详解】（1）解：设A款买x本，则B款买本，由题意，得 ， 解得， 所以A最少买20本； （2）解：∵， ∴x可取∶20、21、22、……、40，共21种方案， 方案：第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本． 【题型二十】不等式组的分配问题 57．（23-24七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【知识点】不等式组的分配问题、三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 58．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 59．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元 (2)160件或161件或162件或163件或164件 【知识点】不等式组的分配问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162，163，164． 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件． 【题型二十一】不等式组的方案选择问题 60．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用、不等式组的方案选择问题 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 61．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某工厂计划生产，两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 种产品 种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，问，两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？ 【答案】(1)生产A产品8件，生产B产品2件 (2)工厂有3种生产方案 【知识点】不等式组的方案选择问题、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据“工厂计划获利14万元”列出方程即可得出结论； （2）设生产产品件，则生产产品件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出y的取值范围，即可求出方案． 【详解】（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件， 依题意得：， 解得：， 则， 答：生产产品8件，生产产品2件； （2）解：设生产产品件，则生产产品件 根据题意得，， 解得：． ∵为非负整数， ∴或3或4， ∴或7或6， 答：共有3种方案． 【题型二十二】不等式组的阶梯收费问题 62．（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式组的阶梯收费问题 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 63．（2026七年级下·江苏·专题练习）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 【知识点】不等式组的阶梯收费问题 【详解】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 64．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【知识点】不等式组的阶梯收费问题、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、列代数式、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【题型二十三】一元一次不等式组的其他应用 65．（25-26七年级下·重庆·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入整数后，程序运行了两次后输出结果，则输入的整数的值可以是（   ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】列出每一次运算的算式：第一次：，第二次：，再由运算进行2次才停止，列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可知，第一次输出：， 第二次输出：， ∵程序运行了两次后输出结果， ∴， 解得：， 观察4个选项，只有4符合题意． 66．（24-25七年级下·湖南常德·期中）如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围______________ ． 用法用量：口服 每次： 每天：次 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用．由实际问题中的不等关系列出不等式，理解题意是解题关键．根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意知，，即， 故答案为：． 67．（25-26七年级下·河南周口·期中）某学校计划购买A、B两种奖品共100件，A奖品每件20元，B奖品每件15元． (1)若购买两种奖品共花费1650元，求A、B两种奖品各购买多少件？ (2)若购买B奖品的数量不少于A奖品数量的倍，总费用不少于1650元，问有几种购买方案？ 【答案】(1)购买A种奖品30件，则购买B种奖品70件 (2)三种方案 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件，根据题意得，然后解方程即可； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件， 根据题意得， 解得， 则， 答：购买A种奖品30件，则购买B种奖品70件； （2）解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件， 根据题意得，​ 解不等式①得； 解不等式②得， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 综上：共有三种购买方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $