专题11.4 一元一次不等式组（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，系统梳理定义、解集求法（同大取大等四种情况）及解法步骤，构建从基础概念到含参问题、再到实际应用的递进式学习支架，助力学生形成完整知识脉络。 资料设计亮点突出，通过“即学即练”与题型变式实现分层练习，含参问题与特殊解训练强化推理意识，实际应用案例（如温度范围、购买方案）培养模型意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学思维解决问题的能力。

专题11.4 一元一次不等式组 教学目标 1. 掌握一元一次不等式组的定义并能够熟练的判断不等式组。 2. 能够熟练地解不等式组，判断不等式的解集。 3. 掌握列一元一次不等式组解决实际问题的基本步骤，并能够熟练的解决应用。 教学重难点 1. 重点 （1）一元一次不等式组及其解法； （2）一元一次不等式组的实际应用。 2. 难点 （1）根据一元一次不等式组的解的情况求未知字母； （2）一元一次不等式组的特殊解及其实际应用。 知识点01 一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的定义： 把含有 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 2. 一元一次不等式组的解集： 几个一元一次不等式的解集的 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。 3. 一元一次不等式组的解集的求法： 先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 。 4. 不等式组的解的情况与图示： ①同大取大：，图示：，解集为 。 ②同小取小：，图示：，解集为 。 ③大小小大中间找：，图示：，解集为 。 ④大大小小无解答：，图示，解集为 。 【即学即练1】 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练2】 2．不等式组的解集是（　　） A．x＜3 B．x＞2 C．2＜x＜3 D．无解 【即学即练3】 3．关于x的不等式组的解集是x＞a，那么a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a≥2 C．a＜2 D．a＞2 【即学即练4】 4．已知0＜b＜a，那么下列不等式组中，无解的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练5】 5．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 　 ； （2）解不等式②，得 　 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为　 　 ． 【即学即练6】 6．解不等式组：． 【即学即练7】 7．不等式组的整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练8】 8．若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10 知识点02 列一元一次不等式组解决实际问题 1. 列一元一次不等式组解决实际问题的基本步骤： ①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要准确理解他们的含义。 ②设：设出适当的未知数。 ③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式，从而组成不等式组。 ④解：解出所列的不等式组的解集。 ⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案。 【即学即练1】 9．野生兰草适宜生长在温度为18℃～22℃的山区．已知海拔每升高1000m，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为100m．设野生兰草在海拔高度为xm的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 10．某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】 11．学校准备打造雅博书苑，计划购进甲，乙两种规格书柜放置书籍，甲书柜可放置四层书籍共100本，乙书柜可放置六层共200本书籍，书柜厂家报价：若购买甲书柜10个，乙书柜8个，共需资金5400元；若购买甲书柜5个，乙书柜10个共需资金5100元． （1）甲，乙两种书柜的单价分别是多少钱？ （2）若学校准备投入不超过6920元购买甲，乙两种书柜共20个，并且保证书苑的藏书量至少为3200本．请问一共有几种购买方案？ 【即学即练4】 12．某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 题型01 判断一元一次不等式组 【典例1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 根据不等式组的解集的情况求值 【典例1】已知一元一次不等式组的解集为x≤4，那么a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a＞3 C．a≤3 D．a＜3 【变式1】若不等式组的解集为x≥﹣6，则a的取值范围是（　　） A．a＞6 B．a＜6 C．a≥6 D．a≤6 【变式2】若不等式组有解，则下列各式正确的是（　　） A．a≥b B．a≤b C．a＞b D．a＜b 【变式3】关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 　 ． 题型03 解一元一次不等式组 【典例1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】解不等式组： （1）； （2）． 【变式2】22．已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 【变式3】（1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围； （2）若关于x，y的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 题型04 一元一次不等式组的特殊解及求值 【典例1】不等式组的整数解共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（　　） A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3≤m≤﹣2 C．﹣3＜m≤﹣2 D．﹣3≤m＜﹣2 【变式2】解关于x的不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（　　） A．6＜a＜7 B．6≤a＜7 C．6≤a≤7 D．6＜a≤7 【变式3】对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则n的取值范围是（　　） A．9＜n≤10 B．9≤n＜10 C．10＜n≤11 D．10≤n＜11 题型05 一元一次不等式组的实际应用 【典例1】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如表： 原料甲 原料乙 A型 0.5千克/个 0.3千克/个 B型 0.2千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为x，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【变式2】2026年阅读比赛活动中，某校八年级（1）班决定到晨光文具店采购一批本子和笔对活动中表现优异的学生作为奖励．已知购买3个本子，4支笔需要花费29元；购买2个本子，5支笔需要花费24元． （1）试问本子和笔的单价分别是多少钱？ （2）班级决定购进本子和笔共150件，要求购买本子的数量不低于购买笔的，且购买本子和笔所用班费不超过525元，请通过计算设计出所有可能的购买方案． 【变式3】为落实劳动教育，培养学生责任意识，学校组织各班开展绿植养护实践活动．某班计划花费不超过228元，采购绿萝与吊兰两种绿植共20盆，用于班级角落布置，根据同学喜好，采购绿萝的数量不少于吊兰数量的2倍．已知购买1盆绿萝和2盆吊兰共需30元，购买2盆绿萝和5盆吊兰共需69元． （1）求采购1盆绿萝、1盆吊兰各需多少元？ （2）室内正常光照下，每盆绿萝每天可吸收二氧化碳约0.12克，每盆吊兰每天可吸收二氧化碳约0.10克．怎样采购才能使这20盆绿植每天吸收二氧化碳总量最大？最大吸收总量是多少？ 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若关于x的不等式组的解集是x＞3，则a的取值范围是（　　） A．a≤3 B．a＜3 C．a≥3 D．a＞3 3．若点P（t，1﹣2t）在第四象限，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D．t＜0 4．一元一次不等式组的最小整数解是（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．0 5．在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为x人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（　　） A． B． C． D． 6．关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m≤0 B．﹣3≤m＜﹣1 C．﹣3＜m≤﹣1 D．﹣2≤m＜﹣1 7．若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．定义：符号T（a，b，c，d）＝ad﹣bc，例如：T（1，2，3，4）＝1×4﹣3×2＝﹣2，若关于m的不等式组，恰好有4个整数解，则k的取值范围为（　　） A．6＜k＜13 B．6＜k≤13 C．6≤k＜13 D．6≤k≤13 9．小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将600cm3的水倒进两个容积为750cm3的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（　　） A．50cm3 B．45cm3 C．40cm3 D．36cm3 10．按照如图程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 11．若点P（m+1，8﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是　 ． 12．小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个20g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的取值范围是　 　 ． 13．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则（5a+1）（b﹣2）的值为　 　 ． 14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足﹣1＜x+y≤2，那么m的取值范围为　 ． 15．关于x的不等式组，有下列四个结论： ①当a＝6时，原不等式组的整数解为x＝3； ②当a＝4时，原不等式组的整数解为x＝2； ③当6≤a＜8时，原不等式组有1个整数解； ④若原不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围为10≤a＜12． 以上结论正确的序号为 ． 16．（1）解不等式：5x﹣3≥2（x+3）； （2）解不等式：； （3）解不等式组，并把它的解表示在数轴上； （4）解不等式组，并把它的解表示在数轴上． 17．先阅读理解下列文字，再按要求完成任务． 求不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集．这个不等式是一元二次不等式，解法的根本原则是降次，将一元二次转化为一次不等式，通过求一元一次不等式组求得一元二次不等式的解集．转化的过程如下： 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得①或②． 解不等式组①得x＞2，解不等式组②得x＜﹣2． 所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2． 根据以上的转化方法解决下列问题． （1）求不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集； （2）求不等式的解集． 18．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m+5|+|m﹣6|． 19．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”． 例如：已知方程3x﹣6＝0和不等式x﹣1＞0，对于未知数x，当x＝2时，使得3×2﹣6＝0，x﹣1＝2﹣1＝1＞0同时成立，则称x＝2是方程3x﹣6＝0与不等式x﹣1＞0的“和谐解”． （1）x＝3是否是方程3x﹣9＝0与不等式3（x﹣2）＜6的“和谐解”？　 　 ；（填“是”或“不是”） （2）x＝2是方程4x﹣5＝3与不等式（组）①，②，③中　 　 的“和谐解”；（只填序号） （3）如果x＝2是关于x的方程3x﹣a＝0与关于x的不等式组的“和谐解”，那么a＝　 　 ，b的取值范围是 　 ； （4）如果x＝n是关于x的方程x+2m＝3与关于x的不等式组的“和谐解”，求出n的取值范围． \ 20．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元． 素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.4 一元一次不等式组 教学目标 1. 掌握一元一次不等式组的定义并能够熟练的判断不等式组。 2. 能够熟练地解不等式组，判断不等式的解集。 3. 掌握列一元一次不等式组解决实际问题的基本步骤，并能够熟练的解决应用。 教学重难点 1. 重点 （1）一元一次不等式组及其解法； （2）一元一次不等式组的实际应用。 2. 难点 （1）根据一元一次不等式组的解的情况求未知字母； （2）一元一次不等式组的特殊解及其实际应用。 知识点01 一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的定义： 把含有 相同 未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 2. 一元一次不等式组的解集： 几个一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。 3. 一元一次不等式组的解集的求法： 先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的 公共部分 。 4. 不等式组的解的情况与图示： ①同大取大：，图示：，解集为 。 ②同小取小：，图示：，解集为 。 ③大小小大中间找：，图示：，解集为 。 ④大大小小无解答：，图示，解集为 无解 。 【即学即练1】 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：根据一元一次不等式组的定义可知①②⑥是一元一次不等式组． 故选：C． 【即学即练2】 2．不等式组的解集是（　　） A．x＜3 B．x＞2 C．2＜x＜3 D．无解 【答案】C 【解答】解：由“大小小大中间找”可知不等式组的解集2＜x＜3． 故选：C． 【即学即练3】 3．关于x的不等式组的解集是x＞a，那么a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a≥2 C．a＜2 D．a＞2 【答案】B 【解答】解：关于x的不等式组的解集是x＞a， ∴a≥2， 故选：B． 【即学即练4】 4．已知0＜b＜a，那么下列不等式组中，无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵0＜b＜a， ∴﹣a＜﹣b＜0， A、不等式组的解集是﹣a＜x＜b，故此选项不符合题意； B、不等式组无解，故此选项符合题意； C、不等式组的解集是﹣b＜x＜a，故此选项不符合题意； D、不等式组的解集是﹣a＜x＜﹣b，故此选项不符合题意； 故选：B． 【即学即练5】 5．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得x≤﹣1　 ； （2）解不等式②，得x≥﹣4　 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为　﹣4≤x≤﹣1　 ． 【答案】（1）x≤﹣1； （2）x≥﹣4； （3）作图如下： （4）﹣4≤x≤﹣1． 【解答】解：（1）2x≥3x+1 移项得2x﹣3x≥1， 合并同类项得﹣x≥1， 系数化为1得x≤﹣1； 故答案为：x≤﹣1； （2）2x+7≥﹣1 移项得2x≥﹣1﹣7， 合并同类项得2x≥﹣8， 系数化为1得x≥﹣4； 故答案为：x≥﹣4； （3）数轴表示如下所示： （4）由（3）可知，原不等式组的解集为﹣4≤x≤﹣1． 故答案为：﹣4≤x≤﹣1． 【即学即练6】 6．解不等式组：． 【答案】﹣1≤x＜4． 【解答】解：解不等式4x≥2（x﹣1）得：x≥﹣1， 解不等式得：x＜4， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4． 【即学即练7】 7．不等式组的整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：解不等式2x﹣3≤0得，， 解不等式x+2＞0得，x＞﹣2， 故不等式组的解集为， 其整数解为﹣1，0，1，共3个． 故选：C． 【即学即练8】 8．若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10 【答案】A 【解答】解：， 解不等式①，得x， 解不等式②，得x≥3， ∵关于x的不等式组的解集只有3个整数解，（3个整数解是3，4，5）， ∴56， ∴10＜a≤12， 故选：A． 知识点02 列一元一次不等式组解决实际问题 1. 列一元一次不等式组解决实际问题的基本步骤： ①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要准确理解他们的含义。 ②设：设出适当的未知数。 ③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式，从而组成不等式组。 ④解：解出所列的不等式组的解集。 ⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案。 【即学即练1】 9．野生兰草适宜生长在温度为18℃～22℃的山区．已知海拔每升高1000m，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为100m．设野生兰草在海拔高度为xm的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意得：， 即18≤2422． 故选：D． 【即学即练2】 10．某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 【即学即练3】 11．学校准备打造雅博书苑，计划购进甲，乙两种规格书柜放置书籍，甲书柜可放置四层书籍共100本，乙书柜可放置六层共200本书籍，书柜厂家报价：若购买甲书柜10个，乙书柜8个，共需资金5400元；若购买甲书柜5个，乙书柜10个共需资金5100元． （1）甲，乙两种书柜的单价分别是多少钱？ （2）若学校准备投入不超过6920元购买甲，乙两种书柜共20个，并且保证书苑的藏书量至少为3200本．请问一共有几种购买方案？ 【答案】（1）甲书柜单价为220元，乙书柜单价为400元； （2）一共有3种购买方案． 【解答】解：（1）设甲书柜单价为x元，乙书柜单价为y元， 根据题意列二元一次方程组可得：， 解得， 即甲书柜单价为220元，乙书柜单价为400元， 答：甲书柜单价为220元，乙书柜单价为400元； （2）设甲书柜购买a个，乙书柜购买（20﹣a）个， 根据题意列一元一次不等式组可得：， 解得6≤a≤8， ∵a为正整数， ∴a＝6或7或8， 故一共有3种购买方案． 【即学即练4】 12．某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【答案】（1）可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件 【解答】解：（1）设甲款服装x件，则乙款服装（300﹣x）件， 由题意列一元一次方程得：700x+800（300﹣x）＝230000， 整理得，100x＝10000， 解得x＝100， ∴300﹣x＝300﹣100＝200； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）设甲款服装m件，则乙款服装（500﹣m）件， 根据题意列一元一次不等式组得： ， 解得：， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 题型01 判断一元一次不等式组 【典例1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵是一元二次不等式组， ∴选项不符合题意； ∵是二元一次不等式组， ∴选项不符合题意； ∵是一元一次不等式组， ∴选项不符合题意； ∵是分式不等式组， ∴选项不符合题意， 故选：C． 【变式1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A中两个不等式所含未知数不同，不符合题意， B中第二个不等式不是一元一次不等式，不符合题意， C中不等式符合一元一次不等式组的定义，符合题意， D中第一个不等式不是一元一次不等式，不符合题意， 故选：C． 【变式2】下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念， ∴它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 题型02 根据不等式组的解集的情况求值 【典例1】已知一元一次不等式组的解集为x≤4，那么a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a＞3 C．a≤3 D．a＜3 【答案】B 【解答】解：∵一元一次不等式组的解集为x≤4， ∴4＜a+1， 解得a＞3． 故选：B． 【变式1】若不等式组的解集为x≥﹣6，则a的取值范围是（　　） A．a＞6 B．a＜6 C．a≥6 D．a≤6 【答案】A 【解答】解：∵不等式组的解集为x≥﹣6， ∴﹣a＜﹣6， ∴a＞6． 故选：A． 【变式2】若不等式组有解，则下列各式正确的是（　　） A．a≥b B．a≤b C．a＞b D．a＜b 【答案】D 【解答】解：∵不等式组有解， ∴a＜b； 故选：D． 【变式3】关于x的不等式组无解，则m的取值范围是m≥3　 ． 【答案】m≥3． 【解答】解：根据题意，可得：2m﹣3≥3， ∴2m≥6， 解得m≥3． 故答案为：m≥3． 题型03 解一元一次不等式组 【典例1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：解不等式3﹣2x＜1得x＞1； 解不等式得x≤2； ∴该不等式组的解集为1＜x≤2， 在数轴上表示解集为 故选：A． 【变式1】解不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）x＜2； （2）x≤1． 【解答】解：（1）解不等式①得x， 解不等式②得x＜2， 所以不等式组的解集为x＜2； （2）解不等式①得x＜4， 解不等式②得x≤1， 所以不等式组的解集为x≤1． 【变式2】22．已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 【答案】a的取值范围是a＞2． 【解答】解：， 解不等式①，得 x≥a+4， 解不等式②，得 x＜2a+2， 由题意得，a+4＜2a+2， 解得a＞2， ∴a的取值范围是a＞2． 【变式3】（1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围； （2）若关于x，y的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 【答案】（1）m≤0； （2）2≤a＜3． 【解答】解：（1）解关于x的方程得：， 解不等式组得：x≤﹣2， 所以，解得：m≤0． （2）解关于x，y的方程组得：， 解不等式组得：1≤x＜4， 所以，解得：2≤a＜3． 题型04 一元一次不等式组的特殊解及求值 【典例1】不等式组的整数解共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：解不等式2x+1＞﹣1得x＞﹣1， 解不等式3x﹣6≤0得x≤2， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2 ∴解集中的整数解为0，1，2，共3个． 故选：B． 【变式1】若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（　　） A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3≤m≤﹣2 C．﹣3＜m≤﹣2 D．﹣3≤m＜﹣2 【答案】C 【解答】解：解不等式1﹣6x＞﹣2得：x， 解不等式x﹣m≥0得：x≥m， ∴不等式组的解集是：m≤x， ∵不等式组有3个整数解，则整数解是﹣2，﹣1，0， ∴﹣3＜m≤﹣2． 故选：C． 【变式2】解关于x的不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（　　） A．6＜a＜7 B．6≤a＜7 C．6≤a≤7 D．6＜a≤7 【答案】D 【解答】解：由x﹣a＜0得，x＜a， 由7﹣2x≤1得，x≥3， 因为该不等式组的整数解有4个， 所以6＜a≤7． 故选：D． 【变式3】对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则n的取值范围是（　　） A．9＜n≤10 B．9≤n＜10 C．10＜n≤11 D．10≤n＜11 【答案】D 【解答】解：当0＜x＜2时，F（x，2）＞3， ∴2﹣x＞3，不合题意（舍）； 当x≥2时，则x﹣2＞3， ∴x＞5， 由F（﹣1，x）≤n，得x+1≤n， ∴x≤n﹣1， ∴5＜x≤n﹣1， ∵有4个整数解， ∴整数解为6，7，8，9， ∴9≤n﹣1＜10， ∴10≤n＜11． 故选：D． 题型05 一元一次不等式组的实际应用 【典例1】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如表： 原料甲 原料乙 A型 0.5千克/个 0.3千克/个 B型 0.2千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 【变式1】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为x，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意可列不等式组为， 故选：C． 【变式2】2026年阅读比赛活动中，某校八年级（1）班决定到晨光文具店采购一批本子和笔对活动中表现优异的学生作为奖励．已知购买3个本子，4支笔需要花费29元；购买2个本子，5支笔需要花费24元． （1）试问本子和笔的单价分别是多少钱？ （2）班级决定购进本子和笔共150件，要求购买本子的数量不低于购买笔的，且购买本子和笔所用班费不超过525元，请通过计算设计出所有可能的购买方案． 【答案】（1）本子单价是7元，笔的单价是2元． （2）购进本子43件，笔购进107件； 购进本子44件，笔购进106件； 购进本子45件，笔购进105件． 【解答】解：（1）设本子单价是x元，笔的单价是y元，由题意得， ， 解得， 答：本子单价是7元，笔的单价是2元． （2）设购进本子a件，则笔购进（150﹣a）件，由题意得， ， 解得42a≤45， ∵a为整数， ∴a＝43，44，45． ∴有三种购买方案：购进本子43件，笔购进107件； 购进本子44件，笔购进106件； 购进本子45件，笔购进105件． 【变式3】为落实劳动教育，培养学生责任意识，学校组织各班开展绿植养护实践活动．某班计划花费不超过228元，采购绿萝与吊兰两种绿植共20盆，用于班级角落布置，根据同学喜好，采购绿萝的数量不少于吊兰数量的2倍．已知购买1盆绿萝和2盆吊兰共需30元，购买2盆绿萝和5盆吊兰共需69元． （1）求采购1盆绿萝、1盆吊兰各需多少元？ （2）室内正常光照下，每盆绿萝每天可吸收二氧化碳约0.12克，每盆吊兰每天可吸收二氧化碳约0.10克．怎样采购才能使这20盆绿植每天吸收二氧化碳总量最大？最大吸收总量是多少？ 【答案】（1）采购1盆绿萝需12元，1盆吊兰需9元； （2）当购买16盆绿萝，4盆吊兰时，每天吸收二氧化碳总量最大，最大吸收总量是2.32克． 【解答】解：（1）设采购1盆绿萝需x元，1盆吊兰需y元， 根据题意得：， 解得：． 答：采购1盆绿萝需12元，1盆吊兰需9元； （2）设购买m盆绿萝，则购买（20﹣m）盆吊兰， 根据题意得：， 解得：m≤16， 又∵m为正整数， ∴m可以为14，15，16， ∴共有3种采购方案， 方案1：购买14盆绿萝，6盆吊兰，每天吸收二氧化碳的总量为0.12×14+0.10×6＝2.28（克）； 方案2：购买15盆绿萝，5盆吊兰，每天吸收二氧化碳的总量为0.12×15+0.10×5＝2.3（克）； 方案3：购买16盆绿萝，4盆吊兰，每天吸收二氧化碳的总量为0.12×16+0.10×4＝2.32（克）， ∵2.28＜2.3＜2.32， ∴当购买16盆绿萝，4盆吊兰时，每天吸收二氧化碳总量最大，最大吸收总量是2.32克． 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 4，第二个不等式中分母含有未知数，不是一元一次不等式组； ⑤，含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ⑥是一元一次不等式组； ⑦，整理得，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：C． 2．若关于x的不等式组的解集是x＞3，则a的取值范围是（　　） A．a≤3 B．a＜3 C．a≥3 D．a＞3 【答案】A 【解答】解：， 解不等式①得 x＞3， ∵该不等式组的解集为 x＞3， ∴a≤3． 故选：A． 3．若点P（t，1﹣2t）在第四象限，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D．t＜0 【答案】A 【解答】解：∵点P（t，1﹣2t）在第四象限， ∴可得不等式组 ， 解不等式1﹣2t＜0， 移项得﹣2t＜﹣1， 不等式两边同除以﹣2，不等号方向改变，得， 结合t＞0，取公共解集得． 故选：A． 4．一元一次不等式组的最小整数解是（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解答】解：， 解①得：x≥﹣1； 解②得：x＞﹣2； ∴不等式组的解集为x≥﹣1， ∴最小整数解为﹣1． 故选：A． 5．在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为x人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可列不等式组为：， 故选：B． 6．关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m≤0 B．﹣3≤m＜﹣1 C．﹣3＜m≤﹣1 D．﹣2≤m＜﹣1 【答案】B 【解答】解：由m﹣x＜0得，x＞m， 由3x﹣2＜1+2x得，x＜3， 所以该不等式组有且仅有2个奇数解， 所以这两个奇数解为﹣1，1， 所以﹣3≤m＜﹣1． 故选：B． 7．若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：， 解不等式①得：x＞2﹣m， 解不等式②得：x＜n+4， ∴原不等式组的解集为：2﹣m＜x＜n+4， 由条件可知2﹣m＝1，n+4＝2， ∴m＝1，n＝﹣2， ∴原式＝（﹣1）2025＝﹣1， 故选：A． 8．定义：符号T（a，b，c，d）＝ad﹣bc，例如：T（1，2，3，4）＝1×4﹣3×2＝﹣2，若关于m的不等式组，恰好有4个整数解，则k的取值范围为（　　） A．6＜k＜13 B．6＜k≤13 C．6≤k＜13 D．6≤k≤13 【答案】B 【解答】解：根据题意得：， 由①得：m≥﹣1， 由②得：m， ∵关于m的不等式组，恰好有4个整数解， ∴2， ∴6＜k≤13， 故选：B． 9．小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将600cm3的水倒进两个容积为750cm3的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（　　） A．50cm3 B．45cm3 C．40cm3 D．36cm3 【答案】D 【解答】解：设这样的一个玻璃球的体积为xcm2， 则由题意可得，， 解得30＜x＜37.5， 故选：D． 10．按照如图程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【解答】解：由程序图可得，， 解得， ∵输入正整数x，程序操作了两次后停止，所有符合条件的正整数x的最大值为m，最小值为n， ∴m＝24，n＝9， ∴m﹣n＝24﹣9＝15． 故选：B． 11．若点P（m+1，8﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是 m＞4　 ． 【答案】m＞4 【解答】解：∵点P（m+1，8﹣2m）在第四象限， ∴， 解得m＞4， ∴m的取值范围是m＞4． 故答案为：m＞4． 12．小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个20g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的取值范围是　10＜m＜20　 ． 【答案】10＜m＜20． 【解答】解：由题意，得， 解得：10＜m＜20． 故答案为：10＜m＜20． 13．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则（5a+1）（b﹣2）的值为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由3x﹣a＜7， 得x； 由x﹣2b＞﹣3， 得x＞2b﹣3． ∴2b． 又∵﹣1＜x＜2， ∴2b﹣3＝﹣1， 2， 解得b＝1，a＝﹣1 ∴（5a+1）（b﹣2）＝﹣4×（﹣1）＝4． 故答案为：4． 14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足﹣1＜x+y≤2，那么m的取值范围为　　 ． 【答案】． 【解答】解：， ②﹣①得：2x+2y＝6m﹣6， ∴x+y＝3m﹣3， ∵﹣1＜x+y≤2， ∴﹣1＜3m﹣3≤2， 解得：． 故答案为：． 15．关于x的不等式组，有下列四个结论： ①当a＝6时，原不等式组的整数解为x＝3； ②当a＝4时，原不等式组的整数解为x＝2； ③当6≤a＜8时，原不等式组有1个整数解； ④若原不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围为10≤a＜12． 以上结论正确的序号为　①③④　 ． 【答案】①③④． 【解答】解：①当a＝6时，不等式组的解集是2＜x≤3，则原不等式组的整数解为x＝3，原说法正确，符合题意； ②当a＝4时，不等式组需要同时满足x＞2和x≤2，无解，则原说法不正确，不符合题意； ③第二个不等式为，当6≤a＜8时，则，且x＞2，原不等式组有1个整数解，即x＝3，原说法正确，符合题意； ④原不等式组恰好有3个整数解，即为3、4、5，此时需满足，解得10≤a＜12， 验证，当a＝10时，不等式组的解集是2＜x≤5，则原不等式组的整数解为3、4、5； 取a＝12时，不等式组的解集是2＜x≤6， 由于a≠12，则不等式组的解集是2＜x＜6，则原不等式组的整数解为3、4、5； 原说法正确，符合题意； 故答案为：①③④． 16．（1）解不等式：5x﹣3≥2（x+3）； （2）解不等式：； （3）解不等式组，并把它的解表示在数轴上； （4）解不等式组，并把它的解表示在数轴上． 【答案】（1）x≥3； （2）x＜﹣1； （3）x＜2， 它的解集表示在数轴上为： ； （4）x≤4， 它的解集表示在数轴上为： 【解答】解：（1）5x﹣3≥2x+6， 5x﹣2x≥6+3， 3x≥9， 所以x≥3； （2）3（x+1）＜5﹣x﹣6， 3x+3＜5﹣x﹣6， 3x+x＜5﹣6﹣3， 4x＜﹣4， 所以x＜﹣1； （3）， 解不等式①得x＜2， 解不等式②得x＜3， 所以不等式组的解集为x＜2， 它的解集表示在数轴上为： （4）， 解不等式①得x≤4， 解不等式②得x， 所以不等式组的解集为x≤4， 它的解集表示在数轴上为： 17．先阅读理解下列文字，再按要求完成任务． 求不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集．这个不等式是一元二次不等式，解法的根本原则是降次，将一元二次转化为一次不等式，通过求一元一次不等式组求得一元二次不等式的解集．转化的过程如下： 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得①或②． 解不等式组①得x＞2，解不等式组②得x＜﹣2． 所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2． 根据以上的转化方法解决下列问题． （1）求不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）x＞3或x＜﹣4； （2）﹣3＜x＜2． 【解答】解：（1）根据题意得①或②， 解不等式组①得x＞3，解不等式②得x＜﹣4， 所以不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集为x＞3或x＜﹣4； （2）根据题意得①或②， 解不等式组①得﹣3＜x＜2，不等式②无解， 所以不等式的解集为﹣3＜x＜2． 18．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m+5|+|m﹣6|． 【答案】（1）﹣2＜m≤2； （2）11． 【解答】解：（1）解方程组， 得， 又∵x为非正数，y为负数． ∴， 解①得m≤2，解②得m＞﹣2， m的取值范围是：﹣2＜m≤2； （2）由（1）知，﹣2＜m≤2， ∴m+5＞0，m﹣6＜0， ∴|m+5|+|m﹣6|＝m+5+6﹣m＝11． 19．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”． 例如：已知方程3x﹣6＝0和不等式x﹣1＞0，对于未知数x，当x＝2时，使得3×2﹣6＝0，x﹣1＝2﹣1＝1＞0同时成立，则称x＝2是方程3x﹣6＝0与不等式x﹣1＞0的“和谐解”． （1）x＝3是否是方程3x﹣9＝0与不等式3（x﹣2）＜6的“和谐解”？　是　 ；（填“是”或“不是”） （2）x＝2是方程4x﹣5＝3与不等式（组）①，②，③中　③　 的“和谐解”；（只填序号） （3）如果x＝2是关于x的方程3x﹣a＝0与关于x的不等式组的“和谐解”，那么a＝　6　 ，b的取值范围是b≥14　 ； （4）如果x＝n是关于x的方程x+2m＝3与关于x的不等式组的“和谐解”，求出n的取值范围． 【答案】（1）是； （2）③； （3）6，b≥14； （4）﹣2＜n＜7． 【解答】解：（1）由3x﹣9＝0得，x＝3， 当x＝3时，3（x﹣2）＝3×（3﹣2）＝3＜6， 所以x＝3是方程3x﹣9＝0与不等式3（x﹣2）＜6的“和谐解”． 故答案为：是； （2）由①得，x＞3； 由②得，x＜1； 由③得，1＜x＜3； 因为2＜3，2＞1，1＜2＜3， 所以x＝2是方程4x﹣5＝3与不等式组③得“和谐解”． 故答案为：③； （3）由题知， 3×2﹣a＝0， a＝6． 由得，x＜6， 由2﹣3（x﹣a）≤b得，， 则， 解得b≥14． 故答案为：6，b≥14； （4）由题知， n+2m＝3， 则m． 将x＝n代入不等式组得， ， 解得﹣2＜n＜7， 所以n的取值范围是﹣2＜n＜7． 51．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元． 素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】（任务1）A种仙桃礼盒每件的售价为80元，B种仙桃礼盒每件的售价为100元； （任务2）共有3种销售方案， 方案1：销售A种仙桃礼盒598件，B种仙桃礼盒402件； 方案2：销售A种仙桃礼盒599件，B种仙桃礼盒401件； 方案3：销售A种仙桃礼盒600件，B种仙桃礼盒400件； （任务3）销售A种仙桃礼盒598件，B种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元． 【解答】解：（任务1）设A种仙桃盒每件的售价为a元，则B种仙桃礼盒每件的售价为b元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种仙桃礼盒每件的售价为80元，B种仙桃礼盒每件的售价为100元； （任务2）设销售A种仙桃礼盒m盒，则销售B种仙桃礼盒（1000﹣m）盒， 根据题意得：， 解得：598≤m≤600， 又∵m为正整数， ∴m可以为598，599，600， ∴共有3种销售方案， 方案1：销售A种仙桃礼盒598件，B种仙桃礼盒402件； 方案2：销售A种仙桃礼盒599件，B种仙桃礼盒401件； 方案3：销售A种仙桃礼盒600件，B种仙桃礼盒400件； （任务3）选择方案1可获得的收益为（80﹣50）×598+（100﹣60）×402＝34020（元）； 选择方案1可获得的收益为（80﹣50）×599+（100﹣60）×401＝34010（元）； 选择方案1可获得的收益为（80﹣50）×600+（100﹣60）×400＝34000（元）， ∵34020＞34010＞34000， ∴销售A种仙桃礼盒598件，B种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $