专题11.1不等式【五大考点+五大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦“不等式”核心知识点，系统梳理不等式的定义、解集（含式子与数轴表示）、性质（性质1至3），并延伸至参数问题及综合性问题，构建从基础概念到应用拓展的递进式学习支架。 资料以“考点-知识-题型-达标”四维设计为特色，知识梳理培养抽象能力，题型探究通过典例与变式发展推理意识，双基达标结合实际问题（如年龄比较、篱笆最短问题）强化模型意识。课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固练习、查漏补缺。

11.1不等式 【考点梳理】 · 考点一：不等式的定义 · 考点二：不等式的解集 · 考点三：不等式的性质 · 考点三：不等式的参数问题 · 考点四：不等式的综合性问题 【知识梳理】 知识点一、不等式及其解集 不等式：用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，不等号包括： ≥、 ≤、>、< 、≠ 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 知识点二：不等式解集的表示方法： 第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如x>a或x<a)来表示. 第二种:利用数轴表示不等式的解集. 用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画; 有等号(≥ ,≤)画实心点,无等号(>,<)画空心圆. 知识点三、不等式的性质 性质1 ：如果 a>b, 那么 a+c>b+c 或 a-c>b-c 即：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc (或 ) 即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc（或） 即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 【题型探究】 题型一：不等式的定义 【典例1】．（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】．（25-26七年级下·上海·阶段检测）在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：不等式的解集 【典例2】．（24-25七年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【变式2】．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 题型三：不等式的性质 【典例3】．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·重庆万州·期中）若，则下列各式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 题型四：不等式的参数问题 【典例4】．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知，其中m为正整数，则m的值为____． 【变式1】．（25-26七年级下·北京西城·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【变式2】．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的解集为，则的取值范围是________． 题型五：不等式的综合性问题 【典例5】．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知三个实数满足． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【变式1】．（25-26七年级下·海南海口·期中）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：，① ．② ．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的全部解题过程； (3)尝试证明：若，则． 【变式2】．（24-25七年级下·山东临沂·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲．证明：∵，∴． ∵，∴______，∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）不等关系在现实生活中普遍存在．已知小颖和小红现在的年龄分别为a岁、b岁，小颖对小红说：“我现在的年龄比你大，n年后我的年龄依然比你大．”结合两人的对话，可提炼出的数学原理是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（25-26七年级下·重庆·期中）已知，则整数值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26七年级下·海南海口·期中）如图1，图2，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26七年级下·湖南常德·期中）已知为实数且，则下列说法中：，，③，④，⑤，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果、、、都是负数，且，，那么 二、填空题 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期中）用不等式表示：x的平方与3的和大于5______． 11．（23-24七年级下·云南大理·期中）比较大小：____________；___________ ，(填“”“”“”） 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知不等式，有，则的取值范围是_______________． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 14．（25-26七年级下·上海普陀·期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： (1)设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． (2)设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大，请写出一个这样的两位数． 16．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 17．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)的最小值为_____； (2)当时，式子的最小值为_____； (3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的、各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1不等式 【考点梳理】 · 考点一：不等式的定义 · 考点二：不等式的解集 · 考点三：不等式的性质 · 考点三：不等式的参数问题 · 考点四：不等式的综合性问题 【知识梳理】 知识点一、不等式及其解集 不等式：用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，不等号包括： ≥、 ≤、>、< 、≠ 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 知识点二：不等式解集的表示方法： 第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如x>a或x<a)来表示. 第二种:利用数轴表示不等式的解集. 用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画; 有等号(≥ ,≤)画实心点,无等号(>,<)画空心圆. 知识点三、不等式的性质 性质1 ：如果 a>b, 那么 a+c>b+c 或 a-c>b-c 即：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc (或 ) 即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc（或） 即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 【题型探究】 题型一：不等式的定义 【典例1】．（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】不等式定义为：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式定义逐一判断式子，统计个数即可得到结果． 【详解】解： ①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③，用等号连接，是等式，不是不等式； ④，是代数式，无不等号连接，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ∴不等式共有3个． 【变式1】．（25-26七年级下·上海·阶段检测）在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①含有不等号，是不等式； ②含有不等号，是不等式； ③是等式，不含不等号，不是不等式； ④是代数式，没有表示不等关系，不是不等式； ⑤含有不等号，是不等式； 所以共有3个不等式． 【变式2】．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解： ①，② ，⑤，⑥都含有不等号，是用不等号连接表示不等关系的式子，属于不等式；③是等式，④是代数式，都不是不等式，所以不等式共有4个． 题型二：不等式的解集 【典例2】．（24-25七年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 【变式1】．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 【变式2】．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 题型三：不等式的性质 【典例3】．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不等式两边同时减2，不等号方向不变，得，故A错误； B．不等式两边同时乘正数6，不等号方向不变，得，故B错误； C．不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，当时，满足 ， ， ，即，故C错误； D．不等式两边同时除以4，不等号方向不变，得，故D正确． 【变式1】．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，即若，则，故选项A错误； B．由，可得，又 ，即，所以 ，即选项B正确； C．不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，即若，则，故选项C错误； D．不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，即若，则，故选项D错误． 【变式2】．（25-26七年级下·重庆万州·期中）若，则下列各式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 选项A：不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，因此A错误． 选项B：不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得 ，因此B正确． 选项C：当时，，原式不一定成立，因此C错误． 选项D：不等式两边同除以正数，不等号方向不变，可得，因此D错误． 题型四：不等式的参数问题 【典例4】．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知，其中m为正整数，则m的值为____． 【答案】4 【详解】解：∵，∴，即，∴， 即， 又∵ ，且为正整数， ∴． 【变式1】．（25-26七年级下·北京西城·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【答案】 【详解】解：，， ， 不等式同乘得，， 不等式两边同时加得， ， 是的整数部分， ， 是的小数部分， ， ． 【变式2】．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会改变。我们需要根据解集反推出系数的符号，从而求出的取值范围． 【详解】解：已知的解集为． 根据不等式的基本性质：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变． 由此可得，系数， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是牢记“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，并能根据解集的变化反推系数的符号． 题型五：不等式的综合性问题 【典例5】．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知三个实数满足． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．（25-26七年级下·海南海口·期中）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：，① ．② ．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的全部解题过程； (3)尝试证明：若，则． 【详解】（1）解：小华的解题过程中，从步骤②开始出现错误； （2）解：∵， ∴． ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．（24-25七年级下·山东临沂·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲． 证明：∵，∴． ∵，∴______， ∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题干例子可知，材料中“▲”处空缺的内容为：； 故答案为：； （2）证明：， ．（依据：不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变） ， ， ．故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用不等号连接，是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 符合不等式定义的式子共有个． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知， 对A选项，∵不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 对B选项，∵，不等式两边同乘得，不等式两边同加，不等号方向不变， ∴，故B正确； 对C选项，∵不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴，故C错误； 对D选项，∵不等式两边同减，不等号方向不变， ∴，故D错误． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）不等关系在现实生活中普遍存在．已知小颖和小红现在的年龄分别为a岁、b岁，小颖对小红说：“我现在的年龄比你大，n年后我的年龄依然比你大．”结合两人的对话，可提炼出的数学原理是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】将题干中的年龄关系转化为不等关系，进而提炼出数学原理即可． 【详解】解：由题意，现在小颖年龄为岁，小红年龄为岁，小颖现在年龄比小红大， ∴， 年后，小颖年龄为岁，小红年龄为岁，此时小颖年龄依然比小红大， ∴， 因此提炼出的数学原理为：若，则， 4．（25-26七年级下·重庆·期中）已知，则整数值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴ ，且为整数 ． 5．（25-26七年级下·海南海口·期中）如图1，图2，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等式的性质将和都用表示，进而比较大小即可． 【详解】解：由图1可知，， ， ∴， 由图2可知，， ， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将代入化简得，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小整数值为2． 7．（25-26七年级下·湖南常德·期中）已知为实数且，则下列说法中：，，③，④，⑤，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用不等式性质逐个判断说法，统计正确个数即可得到结果． 【详解】解：已知，逐个判断： ①，不等式两边同乘，不等号方向改变，得，两边同加2，不等号方向不变，得，①正确； ② 举反例，取，满足，此时，，，不满足，②错误； ③ 举反例，取，满足，此时，不满足，③错误； ④ 当时，，不满足，④错误； ⑤对任意实数，，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得，⑤正确； 综上，正确的说法共2个． 8．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果、、、都是负数，且，，那么 【答案】C 【详解】选项A：可举反例：，满足, ， 但， ∴A错误． 选项B：可举反例：，满足， 但，， ∴B错误． 选项C：已知，所有数均为正数： ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得； ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得； ∴， ∴C正确． 选项D：负数中，数值越大绝对值越小， 可举反例：， 满足条件， 但， ∴D错误 ． 二、填空题 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ①，是用不等号连接的式子，是不等式； ②，是用不等号连接的式子，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤是用不等号连接的式子，是不等式； ⑥，是用不等号连接的式子，是不等式； 综上所述，是不等式的有①②⑤⑥． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期中）用不等式表示：x的平方与3的和大于5______． 【答案】 【详解】解：根据题意列不等式为：． 11．（23-24七年级下·云南大理·期中）比较大小：____________；___________ ，(填“”“”“”） 【答案】 【详解】解：①比较与的大小： ∵，，，且，， ∴； ②比较与的大小： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知不等式，有，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据不等式的性质解题即可． 【详解】解：由 和 可知，不等式两边乘以 后不等号方向改变， ∴ ， 解得 ． 故答案为： ． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． （4）解：由题意，得，即． 14．（25-26七年级下·上海普陀·期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： (1)设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． (2)设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析． 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大，请写出一个这样的两位数． 【答案】，12（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的应用，不等式的基本性质，正确理解题意并列不等式求解是关键．由题意得，原来的两位数是，对调后的两位数是，则，根据不等式的基本性质可求得，再举例即可． 【详解】解：原来的两位数是，对调后的两位数是， 由题意可知，， 由不等式的基本性质1和2，可得， 这样的两位数举例：12（答案不唯一）． 16．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查不等式的基本性质： （1）根据和即可求得答案； （2）根据，可变形得到，据此即可求得答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 17．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)的最小值为_____； (2)当时，式子的最小值为_____； (3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的、各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【答案】(1) (2) (3)为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 【分析】本题主要考查基本不等式的应用，利用平方根的含义解方程，解题的关键是运用题中，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号． （1）当时，按照公式（当且仅当时取到等号）来计算即可． （2）当时，则，则也可以按公式（当且仅当时取到等号）来计算． （3）设，，则，再照公式（当且仅当时取到等号）来计算求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，的最小值为6． （2）解：∵， ∴， ， 当时，式子的最小值为． （3）解：设，， 则，欲使最小， ， ， 当且仅当时取得等号， 由， 解得或（舍去） 即为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $