专题10.1 二元一次方程组【六大考点+六大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本初中数学讲义聚焦二元一次方程组核心知识点，系统梳理二元一次方程（组）的概念、解的定义及应用，从概念理解到解的判断，再到参数求解和实际问题解决，构建循序渐进的学习支架。 资料以题型探究为特色，通过典例与变式分层训练，结合矩阵、坐标系等跨情境应用，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力，强化数学语言的模型意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

专题10.1 二元一次方程组 【考点梳理】 · 考点一：二元一次方程的概念理解 · 考点二：二元一次方程的解 · 考点三：二元一次方程组的概念 · 考点四：判断是否是二元一次方程组的解 · 考点五：二元一次方程组的解求参数 · 考点六：二元一次方程组的应用 【知识梳理】 知识点一：二元一次方程的概念 含有两个未知数,并且未知数的指数都是 1的方程叫做二元一次方程。 知识点二：二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。二元一次方程的解有无数个，可以理解为在一条直线上的点的坐标。 知识点三：二元一次方程组 把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。即两个二元一次方程组成的方程组称二元一次方程组。（两个方程中的未知数相同） 技巧归纳：二元一次方程组的特点： 1.有两个未知数.(二元) 2.含未知数的指数都为1.(一次) 3.两个一次方程组成.(方程组) 知识点四：二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解只有一个，可以理解为两条直线相交点的坐标。 【题型探究】 题型一：二元一次方程的概念理解 【典例1】．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程的定义判断各选项，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】解：∵ 选项A中，项的次数为，不符合条件③，∴ A错误. ∵ 选项B中，方程 是整式方程，含两个未知数，且含未知数的项的次数都是，满足所有条件，∴ B正确. ∵ 选项C中，项的次数为，不符合条件③，∴ C错误. ∵ 选项D中，是分式，方程不是整式方程，不符合条件①，∴ D错误. 【变式1】．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义依次对选项判断即可． 【详解】解：∵ 二元一次方程的定义是：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程， ∴选项A：只含有1个未知数，属于一元一次方程，不符合定义； 选项B：中，未知数的次数是2，不符合定义； 选项C：中，不是整式，不符合定义； 选项D：含有两个未知数和，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意． 【变式2】．（25-26七年级下·重庆·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数x，y的次数为1且对应系数不为0，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且，且， 解得，， ∴． 题型二：二元一次方程的解 【典例2】．（25-26七年级下·广东广州·期中）若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 解得． 【变式1】．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二元一次方程的解的定义可得，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ． 【变式2】．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的解得到的值，再代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解， ∴ 将， 代入， 得 ， ∴ ． 题型三：二元一次方程组的概念 【典例3】．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中第二个方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程组； 选项B中方程组含有三个未知数，不符合定义，不是二元一次方程组； 选项C中两个方程均为整式方程，仅含两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 选项D中第一个方程含二次项，次数不为1，不符合定义，不是二元一次方程组． 【变式1】．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程组中两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组是二元一次方程组，符合题意； C、方程组中方程中含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组中方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 【变式2】．（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 题型四：判断是否是二元一次方程组的解 【典例4】．（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【变式1】．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 【答案】③ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键；通过分别验证每组解代入二元一次方程组中，看方程组是否成立即可． 【详解】解：①把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ②把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ③把代入方程组得： ，， ∴是方程组的解； ④把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解． 【变式2】．（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 题型五：二元一次方程组的解求参数 【典例5】．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 【答案】B 【分析】先将已知的代入，求出第二个被遮盖的的值，再将和的值代入，求出第一个被遮盖的数，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入，得， 解得，即第二个被遮盖的数为， 再将，代入，得，即第一个被遮盖的数为， 因此被遮盖的前后两个数分别为、． 【变式1】．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 【变式2】．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：把代入方程组， 得：，解得：，． 题型六：二元一次方程组的应用 【典例6】．（25-26七年级下·北京西城·期中）在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：________； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， （2）解：∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． （3）解：∵矩阵对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：， 则， ∴． 【变式1】．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，我们将关于，的二元一次方程称为点的“特征方程”．例如点的“特征方程”为． (1)若点的“特征方程”的一个解是，求的值． (2)已知是点的“特征方程”的一个解，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，若是点的特征方程的一个解，求的最小整数值，并写出此时和的值． 【答案】(1) (2)3，的值可以为，的值可以为 【详解】（1）解：根据题意，点的“特征方程”为：， ∵点的“特征方程”的一个解是， ∴， 解得：； （2）解：根据题意可知：点的“特征方程”为， ∵是的一个解， ∴， ∵点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点， ∴， ∴点的“特征方程”为， ∵是点的“特征方程”的一个解， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小整数值为3． 即：的值可以为，的值可以为． 【变式2】．（25-26七年级下·全国·周测）在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程需满足三个条件，①是整式方程，②含有两个未知数，③所有含未知数的项的次数都为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】A．的次数为2，不满足条件，故A错误； B．是分式，方程不是整式方程，不满足条件，故B错误； C．项的次数为，不满足条件，故C错误； D．是整式方程，含两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，满足二元一次方程的定义，故D正确． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，据此解答即可． 【详解】解：A、时，左边右边，不是该方程的解，故本选项不符合题意； B、时，左边右边，是该方程的解，故本选项符合题意； C、时，左边右边，不是该方程的解，故本选项不符合题意； D、时，左边右边，不是该方程的解，故本选项不符合题意； 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知是方程的解，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用二元一次方程解的定义求解，方程的解满足方程，将已知解代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二元一次方程的是（    ） A．①④ B．①⑥ C．①②⑥ D．①②④⑥ 【答案】A 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都为1，据此逐个判断即可． 【详解】解：① 方程中是二元一次方程； ② 方程不是整式方程，不是二元一次方程； ③ 方程中，含未知数的项的次数为，不是二元一次方程； ④ 方程，整理得，是二元一次方程； ⑤ 方程中只含有一个未知数，不是二元一次方程； ⑥ 方程，不是整式方程，不是二元一次方程； 综上，是二元一次方程的是①④． 5．（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入原方程得： ， 整理得 ， 移项计算得 ， 解得 ． 6．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于x，y的方程组的解是，其中的值被遮住了，但仍能求出的值是（   ） A．10 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把代入方程求出y的值，再把x、y的值代入即可求出m的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， ∴． 7．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若是关于x，y的二元一次方程 的一组解，则的值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】本题利用二元一次方程解的定义，将已知解代入原方程得到m，n的关系式，再通过整体变形计算出目标代数式的值． 【详解】解：∵ 是二元一次方程 的解． ∴ 将 代入方程得 整理得 等式两边同乘2得 ∵ ∴ ． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C．9 D．3 【答案】D 【分析】利用方程得到，进而得到的值． 【详解】解：根据题意得，方程组， 得：， 即， 解得， 将代入得：． 二、填空题 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）若是方程组 的解，则_____． 【答案】3 【分析】根据方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，求出a和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵是方程组 的解， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为______． 【答案】12 【分析】根据二元一次方程的解的定义得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，将代入中， 得， ． 11．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）是关于x，y的二元一次方程，则___． 【答案】 2 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ，且， 解，得或， 由，得， ． 12．（25-26七年级下·山东聊城·期中）若关于，的二元一次方程的全体整数解可以表示为（为整数），则_______． 【答案】3 【分析】将已知的整数解代入原二元一次方程，消去参数后，解关于的一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：把代入得 ， 展开得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为得． 13．（25-26七年级下·重庆永川·期中）若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程组中，得到，①+②得，，可求得，即可求解． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴①+②得，， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知（m为常数）是方程组的解，则关于x，y的二元一次方程“☆”可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，先代入计算得的值，设☆为：，将代入得关系式，最后选取数值得到方程． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 设☆为：（不全为0）， 将代入，得：， 只要满足上述关系且即可， 令， 则， 则此时的方程为：． 三、解答题 15．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 16．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得∴将代入，则 ∴， ∴-． 17．（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 18．（25-26八年级上·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 【答案】(1) (2)，，，方程的正整数解是 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键． （1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可； （2）由题意得到，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 19．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)11(2) (3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； （3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 二元一次方程组 【考点梳理】 · 考点一：二元一次方程的概念理解 · 考点二：二元一次方程的解 · 考点三：二元一次方程组的概念 · 考点四：判断是否是二元一次方程组的解 · 考点五：二元一次方程组的解求参数 · 考点六：二元一次方程组的应用 【知识梳理】 知识点一：二元一次方程的概念 含有两个未知数,并且未知数的指数都是 1的方程叫做二元一次方程。 知识点二：二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。二元一次方程的解有无数个，可以理解为在一条直线上的点的坐标。 知识点三：二元一次方程组 把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。即两个二元一次方程组成的方程组称二元一次方程组。（两个方程中的未知数相同） 技巧归纳：二元一次方程组的特点： 1.有两个未知数.(二元) 2.含未知数的指数都为1.(一次) 3.两个一次方程组成.(方程组) 知识点四：二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解只有一个，可以理解为两条直线相交点的坐标。 【题型探究】 题型一：二元一次方程的概念理解 【典例1】．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·重庆·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．9 题型二：二元一次方程的解 【典例2】．（25-26七年级下·广东广州·期中）若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型三：二元一次方程组的概念 【典例3】．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 题型四：判断是否是二元一次方程组的解 【典例4】．（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 【变式2】．（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 题型五：二元一次方程组的解求参数 【典例5】．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 【变式1】．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 题型六：二元一次方程组的应用 【典例6】．（25-26七年级下·北京西城·期中）在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：________； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 【变式1】．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，我们将关于，的二元一次方程称为点的“特征方程”．例如点的“特征方程”为． (1)若点的“特征方程”的一个解是，求的值． (2)已知是点的“特征方程”的一个解，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，若是点的特征方程的一个解，求的最小整数值，并写出此时和的值． 【变式2】．（25-26七年级下·全国·周测）在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知是方程的解，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二元一次方程的是（    ） A．①④ B．①⑥ C．①②⑥ D．①②④⑥ 5．（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 6．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于x，y的方程组的解是，其中的值被遮住了，但仍能求出的值是（   ） A．10 B． C．8 D． 7．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若是关于x，y的二元一次方程 的一组解，则的值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C．9 D．3 二、填空题 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）若是方程组 的解，则_____． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为______． 11．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）是关于x，y的二元一次方程，则___． 12．（25-26七年级下·山东聊城·期中）若关于，的二元一次方程的全体整数解可以表示为（为整数），则_______． 13．（25-26七年级下·重庆永川·期中）若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知（m为常数）是方程组的解，则关于x，y的二元一次方程“☆”可以是________．（写出一个即可） 三、解答题 15．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 16．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 17．（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 18．（25-26八年级上·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 19．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 2 学科网（北京）股份有限公司 $