七年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷（新教材华东师大版，举一反三，测试范围：七下全册）

**基本信息** 七年级数学拔尖卷整合跨年级真题，以几何直观、推理能力为核心，通过蚂蚁爬行路径比较、扎染正多边形等情境，实现知识覆盖与创新应用的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|方程解、三角形全等判定、不等式组整数解|结合网格图形求角度，渗透空间观念| |填空题|6题/18分|正多边形外角、方程解定值、角平分线最值|以硬纸片拼接考平面镶嵌，体现数学眼光| |解答题|8题/72分|全等证明、网格变换、不等式新定义、实际应用|茶叶包装问题融合方程与函数，培养模型意识；测量距离情境发展应用意识，贴合真题命题趋势|

七年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）下列运算错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的基本性质计算即可． 【详解】解：A、根据等式的基本性质1，将两边同时加，得， ∴A正确，不符合题意； B、由，得， ∴， ∴B正确，不符合题意； C、当时，根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 当时，不定成立， ∴C错误，符合题意； D、根据等式的基本性质2，将的两边同时乘-1，得， 根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得， 根据等式的基本性质1，将的两边同时除以3，得， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 3．（25-26八年级上·山东滨州·期中）根据下列条件，能画出唯一三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的唯一性判定，灵活运用三角形的基本性质与全等判定定理是解题的关键．根据三角形的构成条件（三边关系）、“大边对大角”原则，以及全等三角形的判定定理（、等），逐一分析各选项是否能唯一确定三角形． 【详解】项：，，，，不满足三角形三边关系，不能画出三角形； 项：，，，为钝角，其对边应最大，但，矛盾，不能构成三角形； 项：，，，两边及其夹角对应相等，能画出唯一三角形； 项：，，，仅三个角相等，不能确定边长，不能画出唯一三角形． 故选：． 4．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据加减消元法求解二元一次方程组，结合题意，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ①②得： ∴ 将代入②得： ∵ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）如图所示，在直角中，，，D为的中点，交于点E，若，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形内角和定理，可作于M，交与G，求解与，进而通过角之间的转化，最终可得出结论． 【详解】解：如图，作于M，交于G， ∴，，， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移，根据平移的性质可知两只蚂蚁行走的路程相等，又因为它们爬行的速度相等，所以两只蚂蚁同时回到洞中． 【详解】解：，， ， 两只蚂蚁行走的路程相等， 又它们爬行的速度相等， 两只蚂蚁同时回到洞中． 故选：C． 7．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图所示的网格是由16个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均在格点上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过构造全等三角形和等腰直角三角形，将和的角度关系进行转化． 构造全等三角形，将转化为，再结合等腰直角三角形的角，利用角的和差关系求出． 【详解】解：如图， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，结合个整数解的条件求得．再解方程，消去后得到，容易判断，则，由整数的性质可知是的因数，因此，，，结合，确定的所有可能取值，并求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰有个整数解， ∴， 解得， ， 由④得， 将代入③，得， ， 化简，得， 当时，方程无解，故舍去； 当时，， ∵和都是整数， ∴是的因数， ∴，，，即，，，，，，此时和都是整数， 又∵， ∴，，， ∴所有符合条件的整数的和为． 9．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 10．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据多边形内角和公式求出边数，再利用外角和定理求每个外角度数． 【详解】解：设正多边形的边数为，已知该多边形内角和为， 可得，解得，即该多边形为正边形， 由正多边形的外角和为， 可得每个外角的度数为． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义，一元一次方程有无数个解的条件，代数式的值，根据解的定义，灵活运用转化的思想，把问题转化为一元一次方程有无数个解的问题是解题的关键，根据方程解的定义，把方程转化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解的条件求解即可． 【详解】解：把代入方程， ， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ， 故答案为：． 13．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的整数解个数求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤以及解的情况． 先解不等式组，得到x的取值范围，再根据整数解的个数列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有4个整数解，所以整数解为， 因此， 解得． 故答案为：． 14．（2024·陕西·中考真题）小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 【答案】 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义，理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键．由无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，进行列式计算，即可求解； 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，，若，则的度数为____________． 【答案】/50度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．先由三角形内角和定理求出，再根据“”证明，得，再根据三角形外角性质求得． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，，平分，分别是、边上的动点，求的最小值___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，直角三角形的等面积法求斜边上的高，属于综合题，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于，交于，连接， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∵是边上的动点， ∴， ∴， ∴、、三点在一条直线上，且时，有最小值， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 18．（6分）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的定义去添加； （2）根据中心对称图形的定义添加． 【详解】（1）选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如下图： （2）选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图： 【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键． 19．（8分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”． (1)对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________； (2)对于的不等式（其中）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①且 ②或 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及不等式组，新定义，不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义． （1）根据定义得到“逆不等式”是，“否不等式”为，再联立得到不等式组，再求解即可； （2）①由于和有相同的解集，则为一正一负，分两种情况讨论，分别解不等式即可； ②设，当时，当时，均不成立；当时，解集为，即：；当时，解集为，即：，由于存在唯一的负整数，则或，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，不等式，它的“逆不等式”是，“否不等式”为， ∴， 解得不等式组的解集为：， 故答案为：； （2）解：①由题意得：和有相同的解集， ∵解集的不等号发生了改变， ∴为一正一负， 当时，由解得：；由解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，由解得：；由解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的数量关系为：且； ②设， 当时，由解得：；由解得， 则解集有无数负整数，不符合题意，舍； 当时，由解得：；由解得， 则解集无负整数，不符合题意，舍； 当时，由解得：；由解得， 则解集为， 即：； 当时，由解得：；由解得， 则解集为， 即：， ∵存在唯一的负整数， ∴或， ∴或， ∴或． 20．（8分）（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 21．（10分）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖． （1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？ （2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？ 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）根据题意设盒底边长，接口的宽度，分别为，,根据题意列方程组，再根据长宽高求得体积； （2）分别设第一个月和第二个月的销售量为盒，根据题意列出方程和不等式组，根据不等式确定二元一次方程的解，两个月的销售总量为盒 【详解】（1）设设盒底边长为，接口的宽度为，则盒高是，根据题意得： 解得： 茶叶盒的容积是： 答：该茶叶盒的容积是 （2）设第一个月销售了盒，第二个月销售了盒，根据题意得： 化简得：① 第一个月只售出不到一半但超过三分之一的量 即 由①得： 解得： 是整数，所以为5的倍数 或者 或者 答：这批茶叶共进了或者盒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的求解，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． 22．（10分）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 23．（12分）（25-26七年级上·四川德阳·期中）将连续的奇数排成如图1所示的数阵： (1)如图2，用十字形框按如图所示的方式任意框五个数．若框住的5个数中，正中间的一个数为15，求这5个数的和．设正中间的数为，请用式子表示十字形框内五个数的和，通过你的计算，你发现这5个数的和与正中间的数有什么关系？ (2)十字形框中的五个数之和能等于105吗？能等于2025吗？请说明理由． (3)请仿照图2，设计两个你喜欢的图形，使框住的几个数的和为135，在下面两个图中框出来． 【答案】(1)75；；十字框中的五个数的和是中间数的5倍 (2)和不能等于105；能等于2025，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键． （1）将十字框中的五个数相加即可得出结论； （2）设中间的数为x，其它4个数分别为，令其相加等于135；和2025算出x的值，结合数阵数的特点即可得出结论； （3）根据数阵的特征得到中间的数，即可求解． 【详解】（1）解：这5个数的和为； ∵中间数为a， ∴其余四个数分别为：， 则十字框中五个数之和为； ∴十字框中的五个数的和是中间数的5倍； （2）解：和不能等于105；能等于2025，理由如下： 设中间的数为x，其它4个数分别为， 5个数之和为 若和能等于105，则， 解得：， ∵21在第一列， ∴十字形框无法框中间为21的五个数， 即和不能等于105； 若能等于2025，则， 解得：，405为奇数，且405在中间一列，可以圈出十字框； （3）解：如图，即为所求． 24．（12分）（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷 【新教材华东师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）下列运算错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东滨州·期中）根据下列条件，能画出唯一三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）如图所示，在直角中，，，D为的中点，交于点E，若，（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 7．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图所示的网格是由16个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均在格点上，则（    ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A． B． C． D． 9．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 10．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是______． 13．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 14．（2024·陕西·中考真题）小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 15．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，，若，则的度数为____________． 16．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，，平分，分别是、边上的动点，求的最小值___________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 18．（6分）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 19．（8分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”． (1)对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________； (2)对于的不等式（其中）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 20．（8分）（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 21．（10分）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖． （1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？ （2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？ 22．（10分）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 23．（12分）（25-26七年级上·四川德阳·期中）将连续的奇数排成如图1所示的数阵： (1)如图2，用十字形框按如图所示的方式任意框五个数．若框住的5个数中，正中间的一个数为15，求这5个数的和．设正中间的数为，请用式子表示十字形框内五个数的和，通过你的计算，你发现这5个数的和与正中间的数有什么关系？ (2)十字形框中的五个数之和能等于105吗？能等于2025吗？请说明理由． (3)请仿照图2，设计两个你喜欢的图形，使框住的几个数的和为135，在下面两个图中框出来． 24．（12分）（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $