期末提升03：长方体和正方体解决问题(专项训练）2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 以“知识点梳理+分层训练”构建长方体和正方体解决问题体系，提炼核心技巧，衔接概念与实际应用，培养空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表面积应用|基础达标2、6、15等|无盖/贴瓷砖少1面，防撞条算部分棱长|从底面积（长×宽）拓展到实际表面积计算，区分完整与部分表面积| |体积计算|基础达标3、10、12等|排水法（底面积×上升高度），锻造体积不变|以体积公式为核心，衍生不规则物体体积、等积变形等应用| |实际问题综合|能力进阶16、21、27等|装箱算长/宽/高容纳量，挖洞表面积加切面|整合表面积与体积，解决生活情境问题，发展模型意识与推理能力|

期末专项提升训练03：长方体和正方体 解决问题 【知识点梳理+固本拓能训练】 知识点梳理 1.表面积与占地面积 占地面积： 通常指底面的面积，即长×______。 无盖/贴瓷砖/抹水泥： 计算时通常少______个面（通常是上面或底面）。 防撞条/彩灯线/棱长和： 只需要计算部分棱的长度（如：长方体底面周长是2条长+2条宽）。 2.体积与容积 体积公式： 长方体体积 = 长×宽×______；正方体体积 = 棱长×棱长×______。 排水法求体积： 不规则物体的体积 = 上升部分水的体积 = 底面积 × ______。 锻造/熔铸问题： 形状改变但______不变。 3.实际应用技巧 装箱/堆放问题： 需计算沿长、宽、高各能放几层，总数 = 沿长数量 × 沿宽数量 × ______。 挖洞/切割问题： 切割后的总表面积 = 原表面积 + ______的面积。 单位换算： 1立方分米 = ______立方厘米；1升 = 1 ______。 参考答案 1. 表面积与占地面积 宽 1（或具体数字，视情况而定，如无盖鱼缸少1个面） （此部分为计算逻辑，无需填空） 2. 体积与容积 高 棱长 水面上升高度 体积 3. 实际应用技巧 沿高数量 新增切面 1000；立方分米 固本拓能训练 一、基础达标 1．一根方木，长是4米，它的截面是一个边长为4分米的正方形。求这根方木的表面积。 【答案】672平方分米 【分析】截面是一个边长为4分米的正方形，说明这个方木的宽是4分米，高是4分米，长是4米，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答，注意统一单位。 【详解】4米＝40分米 （4×40＋4×40＋4×4）×2 ＝（160＋160＋16）×2 ＝（320＋16）×2 ＝336×2 ＝672（平方分米） 答：这根方木表面积是672平方分米。 2．一个长方体游泳池，长50米，宽20米，深2米。 (1)这个泳池的占地面积是多少平方米？ (2)在池底和四壁贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ (3)为了保证游泳者有足够的空间进行各种游泳动作，又能在一定程度上确保安全，一般注入水深1.8米，需要多少立方米水？ 【答案】(1)1000平方米 (2)1280平方米 (3)1800立方米 【分析】（1）占地面积指的是底面积，长方体底面积＝长×宽； （2）贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2； （3）水的体积＝长×宽×水深。 【详解】（1）50×20＝1000（平方米） 答：这个泳池的占地面积是1000平方米。 （2）50×20＋50×2×2＋20×2×2 ＝1000＋200＋80 ＝1280（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1280平方米。 （3）50×20×1.8＝1800（立方米） 答：需要1800立方米水。 3．一个棱长为6分米的正方体铁块，被锻造成一个长8分米，宽3分米的长方体铁块（锻造前后体积不变），这个长方体铁块的高是多少分米？ 【答案】 9分米 【分析】根据题意可知，正方体铁块锻造成长方体铁块后，形状改变但体积不变。先利用正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，计算出铁块的总体积，再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，推出用总体积除以长和宽的积，求出长方体的高。 【详解】 （分米） 答：这个长方体铁块的高是9分米。 4．为弘扬传统文化，培养学生体验美、创造美的能力，学校组织学生到吴川市文化馆学习制作吴川泥塑。如图，小芳将一个长方体泥块沿着一个斜面切去一块，你能求出剩下部分的体积是多少吗？ 【答案】108000立方分米 【分析】组合图形体积等于原长方体的体积减去切去部分的体积。原长方体体积＝长×宽×高；切去部分是一个三棱柱，其体积等于底面积乘高，底面为直角三角形，两直角边分别为长方体的长和切去部分的高度，高为长方体的宽。 【详解】60×40×50－60×10÷2×40 ＝2400×50－600÷2×40 ＝120000－300×40 ＝120000－12000 ＝108000（立方分米） 答：剩下部分的体积是108000立方分米。 5．小宝宝刚学会走路，为了安全，张阿姨打算给长方体的茶几各边装上防撞条（底部的四边不装），如图所示，张阿姨至少需要买多长的防撞条？ 【答案】68分米 【分析】长方体茶几有12条棱，底部四边不装，因此需要安装的棱为：2条长、2条宽、4条高，将这些棱的长度相加即为防撞条的长度。 【详解】18×2＋6×2＋5×4 ＝36＋12＋20 ＝48＋20 ＝68（分米） 答：张阿姨至少需要买68分米长的防撞条。 6．今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏（如图），长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要，工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置，请问安装散热装置的面积是多少平方米？ 【答案】625平方米 【分析】根据题意，安装散热装置的面积是这个长方体上面和四周的面积之和。上面的面积＝长×宽，前后两个面的面积＝长×高×2，左右两个面的面积＝宽×高×2。 【详解】20×0.5＋20×15×2＋0.5×15×2 ＝10＋600＋15 ＝625（平方米） 答：安装散热装置的面积是625平方米。 7．一年一度的白马山小学“书香班级”评选开始啦，五（2）班的孩子们设计做成一个无盖的纸盒来收集大家的阅读手抄报，需要用到一块长35厘米、宽30厘米的硬纸壳。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，这个纸盒的容积是多少？这个纸盒的表面积是多少？ 【答案】2500立方厘米，950平方厘米 【分析】四个角各切掉边长5厘米的正方形，所以纸盒的长是35－5×2，宽是30－5×2，高是5厘米，再用长方体的体积公式求出它的容积。 用长方形原面积减去切掉的四个小正方形的面积即可得到纸盒的表面积。 【详解】纸盒的长： 35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 纸盒的宽： 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 高：5厘米 25×20×5 ＝500×5 ＝2500（立方厘米） 35×30＝1050（平方厘米） 5×5×4＝100（平方厘米） 1050－100＝950（平方厘米） 答：这个纸盒的容积是2500立方厘米，表面积是950平方厘米。 8．“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？ 【答案】432平方厘米 【分析】由题意可知，将大正方体竖切1刀分成2个相同的长方体，此时大正方体的表面积增加了2个切面的面积；如果大正方体再横切2刀，此时的表面积又增加了4个切面的面积，由此可知，切开后6个小长方体的表面积总和比原来大正方体的表面积增加了6个切面的面积，先根据“”求出大正方体的表面积，再加上6个切面的面积。 【详解】（1＋2）×2 ＝3×2 ＝6（个） 6×6×6＋6×6×6 ＝216＋216 ＝432（平方厘米） 答：切开后6个小长方体的表面积总和是432平方厘米。 9．快递小哥要将500个棱长为5厘米的魔方发往外地，他用一个箱内长50厘米，宽40厘米，高32厘米的长方体纸箱进行打包。用这个纸箱能装下这500个魔方吗？ 【答案】不能 【分析】根据求一个数里面有几个另一个数，用一个数除以另一个数。分别计算沿纸箱的长、宽、高方向各能摆放多少个魔方（商是小数时用去尾法取整数部分），再将三个方向的数量相乘得到实际能装下的最大数量，最后与500进行比较，小于500不能装下，大于500则能装下。 【详解】沿长摆放的数量： 50÷5＝10（个） 沿宽摆放的数量： 40÷5＝8（个） 沿高摆放的数量： 32÷5＝6.4≈6（个） 最多能装的数量： 10×8×6 ＝80×6 ＝480（个） 480＜500 答：用这个纸箱不能装下这500个魔方。 10．一个长方体水槽，从里面量长6分米、宽4分米、水深3.5分米。放入一块铁块后（完全浸没），水面上升到6分米。这块铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】60立方分米 【分析】用减法，求出水面上升的高度；水面上升部分体积，就是铁块的体积；铁块的体积＝长方体水槽的底面积×水面上升的高度，据此解答。 【详解】6×4×（6－3.5） ＝6×4×2.5 ＝24×2.5 ＝60（立方分米） 答：这块铁块的体积是60立方分米。 11．一块长35厘米、宽30厘米的长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为6厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？它的容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】906平方厘米；2484立方厘米 【分析】（1）用原长方形面积减去4个切掉的小正方形面积，即可求出铁皮用量； （2）长方体盒子的长和宽分别为原长和原宽减去2个切掉的正方形边长，高为切掉的正方形边长，再利用长方体体积＝长×宽×高计算即可。 【详解】（1）铁皮的面积： （平方厘米） （2）盒子的长： （厘米） 盒子的宽： （厘米） 盒子的高：6厘米 盒子的容积： （立方厘米） 答：这个盒子用了906平方厘米的铁皮，它的容积是2484立方厘米。 12．一个长方体水槽长是30厘米，宽是25厘米，高是40厘米，里面浸没一个棱长为15厘米的正方体，这时水深是20厘米，当把正方体取出时，水槽里面水深是多少厘米？ 【答案】15.5厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。已知长方体的长是30厘米，宽是25厘米，浸没一个正方体后的水深是20厘米，代入长方体体积公式后求出水和正方体混合后的体积，再根据正方体的体积公式，将棱长15厘米代入后求出正方体的体积，用水和正方体混合后的体积减去正方体的体积求出水的体积。最后根据水深＝体积÷长÷宽进行计算，求出正方体取出时，水槽里面的水深。 【详解】水和正方体混合后的体积： （立方厘米） 正方体的体积： （立方厘米） 取出正方体后水的体积： （立方厘米） 取出正方体后的水深： （厘米） 答：水槽里面水深是15.5厘米。 13．一个新建的游泳池长100米，长是宽的2倍，深2.8米，现在要在游泳池的四周和池底贴上瓷砖，如果每平方米瓷砖要36.5元，瓷砖一共要多少钱？ 【答案】213160元 【分析】根据题意，游泳池是一个长方体，贴瓷砖的部分包括底面和四周的侧面，共5个面。首先根据长是宽的2倍求出宽，再利用长方体表面积公式计算出需要贴瓷砖的总面积，最后根据单价乘数量等于总价，求出所需的总钱数。 【详解】100÷2＝50（米） 100×50＋100×2.8×2＋50×2.8×2 ＝5000＋560＋280 ＝5840（平方米） 5840×36.5＝213160（元） 答：瓷砖一共要213160元。 14．工程队计划修建一个长方体污水沉淀池，用于改善城市水环境。沉淀池长30米，宽25米，深2米，施工时需要在沉淀池的内壁和底面抹上水泥进行防渗处理，顶部开口不抹水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？ 【答案】970平方米 【分析】沉淀池顶部开口不抹水泥，需要抹水泥的部分包括1个底面和4个侧面。先计算底面面积，再计算4个侧面的面积，最后将两部分面积相加。底面面积等于长乘宽，侧面面积等于（长乘高加宽乘高）乘2。可得出答案。 【详解】30×25＋（30×2＋25×2）×2 ＝750＋（60＋50）×2 ＝750＋110×2 ＝750＋220 ＝970（平方米） 答：抹水泥部分的面积是970平方米。 15．为迎接五一劳动节，工人叔叔要在一个活动中心四周装上彩灯（地面的四边不装），已知活动中心的长65米，宽30米，高22米，工人叔叔需要多长的彩灯线？ 【答案】278米 【分析】需要彩灯线的长度＝2条长＋2条宽＋4条高，据此解答。 【详解】65×2＋30×2＋22×4 ＝130＋60＋88 ＝190＋88 ＝278（米） 答：工人叔叔需要278米长的彩灯线。 二、能力进阶 16．一个长方体水箱，从里面量长是40厘米，宽是35厘米，水箱中浸没一个钢球（水未溢出），水深15厘米。取出钢球后，水深12厘米。如果每立方分米钢重7.8千克，这个钢球重多少千克？ 【答案】32.76千克 【分析】根据题意，从长40厘米、宽35厘米、水深15厘米的长方体水箱中取出一个完全浸没的钢球，水深变成12厘米，水面下降了（15－12）厘米；那么水下降部分的体积等于这个钢球的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，求出钢球的体积，并根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位。最后用每立方分米钢的重量乘钢球的体积，即可求出这个钢球的重量。 【详解】水面下降的高度：15－12＝3（厘米） 钢球的体积：40×35×3 ＝1400×3 ＝4200（立方厘米） 4200立方厘米＝4.2立方分米 钢球的重量：4.2×7.8＝32.76（千克） 答：这个钢球重32.76千克。 17．学校要粉刷教室，已知每间教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗和黑板的面积共25平方米，每平方米需花费6.5元的涂料费。 (1)每间教室需要粉刷的面积是多少平方米？ (2)粉刷3间这样的教室需要花费多少钱？ 【答案】(1)134平方米 (2)2613元 【分析】（1）粉刷教室通常只粉刷四面墙壁和天花板，地面不需要粉刷。因此，需要计算长方体5个面的面积之和，再减去门窗和黑板的面积。即：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗黑板面积。 （2）已知每间教室的粉刷面积和每平方米的费用，先求出粉刷一间教室的费用，再乘教室的数量3，即可求出总费用。 【详解】（1）9×7＋（9×3＋7×3）×2－25 ＝63＋（27＋21）×2－25 ＝63＋48×2－25 ＝63＋96－25 ＝159－25 ＝134（平方米） 答：每间教室需要粉刷的面积是134平方米。 （2）134×6.5×3 ＝871×3 ＝2613（元） 答：粉刷3间这样的教室需要花费2613元。 18．有一个长方体鱼缸，小军从不同的方向测量两个面，结果如图所示。则这个鱼缸的占地面积是多少？ 【答案】625平方厘米 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，前面看到的是长方体的长和高，右面看到的是宽宽和高，由此可以确定这个长方体的长是25厘米，宽是25厘米，高是55厘米，求占地面积，就是求这个长方体鱼缸的底面积，根据底面积＝长×宽，据此解答。 【详解】长方体的长是25厘米，宽是25厘米，高是55厘米。 25×25＝625（平方厘米） 答：这个鱼缸的占地面积是625平方厘米。 19．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8分米、宽4分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元，买玻璃需要多少钱？ 【答案】152平方分米；608元 【分析】长方体无盖玻璃鱼缸，即少上面，说明只需要计算长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是制作这个鱼缸至少需要玻璃的面积。 根据“总价＝单价×数量”，用每平方分米玻璃的单价乘玻璃的总面积，求出买玻璃需要的钱数。 【详解】8×4＋8×5×2＋4×5×2 ＝32＋80＋40 ＝152（平方分米） 4×152＝608（元） 答：制作这个鱼缸至少需要152平方分米的玻璃，买玻璃需要608元。 20．一个正方体油箱，棱长6分米，里面装满油。如果把这些油倒入一个长8分米、宽6分米的长方体油箱中，油深多少分米？（油箱厚度忽略不计） 【答案】4.5分米 【分析】已知正方体油箱的棱长6分米，根据正方体的容积公式V＝a3，求出油的体积；再把这些油倒入一个长方体油箱中，油的体积不变，根据长方体的高h＝V÷a÷b，求出长方体油箱中油的深度。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216÷8÷6 ＝27÷6 ＝4.5（分米） 答：油深4.5分米。 21．在一个长6米、宽4米、高3米的鱼缸里装满水，然后把一个长2米、宽1.5米、高5米的假山石立着放入鱼缸中，鱼缸溢出的水的体积是多少？ 【答案】9立方米 【分析】立着放入鱼缸，排出的水的体积就是浸入水中假山石的体积，浸入水中假山石的高是鱼缸的高，用假山石长×宽×鱼缸高即可。 【详解】2×1.5×3 ＝3×3 ＝9（立方米） 答：鱼缸溢出的水的体积是9立方米。 22．一个长方体蓄水池，长40米，长是宽的2倍，深4.5米，现在要在蓄水池的四周和底面涂防水涂料，每平方米需要7元。 (1)涂完一共需要多少元？ (2)这个蓄水池最多能蓄水多少立方米？ 【答案】(1) 元 (2) 立方米 【分析】（）根据长是宽的倍，利用除法求出宽。蓄水池四周和底面涂涂料，说明只需计算个面的面积（不含上面），求出总面积后，乘每平方米的费用即可得到总钱数。 （）小题求蓄水池能蓄水多少立方米，即求长方体的容积，根据长方体体积公式长×宽×高列式计算。 【详解】（1）（米） （平方米） （元） 答：涂完一共需要元。 （2） （立方米） 答：这个蓄水池最多能蓄水立方米。 23．有一块长35厘米、宽25厘米的长方形铁皮，在四个角上分别剪去面积相等的正方形后，正好折成一个深5厘米的无盖铁盒。（铁皮厚度忽略不计） (1)求这个铁盒的容积。 (2)做这个铁盒需要多少铁皮？ 【答案】(1)1875立方厘米 (2)775平方厘米 【分析】（1）铁盒深5厘米，这个深度就是剪去的正方形的边长，也就是铁盒的高；用原来的长减去两个5厘米就是铁盒的长，用原来的宽减去两个5厘米，就是铁盒的宽；长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数值计算即可。 （2）无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数值计算即可。 【详解】（1）35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 25－5×2 ＝25－10 ＝15（厘米） 25×15×5 ＝375×5 ＝1875（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是1875立方厘米。 （2）25×15＋25×5×2＋15×5×2 ＝375＋125×2＋75×2 ＝375＋250＋150 ＝625＋150 ＝775（平方厘米） 答：做这个铁盒需要775平方厘米铁皮。 24．如图是一个长方体玻璃鱼缸（无盖）。 (1)制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ (2)往水中放入一些鹅卵石，水面上升了0.5分米，这些鹅卵石的体积是多少立方分米？ (3)根据上图的长方体玻璃鱼缸，请你提出一个数学问题（不要和以上两题相同）并解答。 【答案】(1)152平方分米 (2)16立方分米 (3)见详解 【分析】（1）所需的玻璃面积就是长方体五个面的面积，即一个底面和四个侧面。计算公式为：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）鹅卵石的体积相当于上升的水的体积，水的体积是长为8分米，宽为4分米，高为0.5分米的长方体体积，长方体体积＝长×宽×高。 （3）根据题中的信息，提出一个和（1）、（2）不同的数学问题即可，例如：这个鱼缸的容积是多少升（玻璃厚度不计）？长方体的容积＝长×宽×高，计算出结果后注意换算单位。（合理即可，答案不唯一） 【详解】（1）8×4＋（8×5＋4×5）×2 ＝8×4＋（40＋20）×2 ＝8×4＋60×2 ＝32＋120 ＝152（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要152平方分米的玻璃 （2）8×4×0.5 ＝32×0.5 ＝16（立方分米） 答：这些鹅卵石的体积是16立方分米。 （3）这个鱼缸的容积是多少升（玻璃厚度不计）？ 8×4×5 ＝32×5 ＝160（立方分米） 160立方分米＝160升 答：这个鱼缸和容积是160升。（合理即可，答案不唯一） 25．小明同学用数学课中所学的方法进行探究铅球体积的实验操作（如图）。请你根据实验数据求出这个铅球的体积是多少立方厘米？ 【答案】1440立方厘米 【分析】根据排水法原理，铅球完全浸没在水中后，上升的那部分水的体积就是铅球的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高计算。 【详解】20×18×（13－9） ＝20×18×4 ＝1440（立方厘米） 答：这个铅球的体积是1440立方厘米。 26．爸爸购买了一件礼品。 包装盒型号 （单位：cm） A B C (1)有三种型号的包装盒，要装下这件礼品，应选择( )型包装盒。 (2)制作这个包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】(1)B (2)2700平方厘米 【分析】（1）要装下这件礼品，包装盒的尺寸要大于礼品的尺寸才可以。 （2）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算即可。 【详解】（1）A包装盒：30＞25，15＞12，15＜18。不能装下。 B包装盒：30＞25，20＞18，15＞12。能装下。 C包装盒：20＞18，15＞12，20＜25。不能装下。 综上，应选择B型包装盒。 （2）（30×20＋30×15＋20×15）×2 ＝（600＋450＋300）×2 ＝1350×2 ＝2700（平方厘米） 答：制作这个包装盒至少需要2700平方厘米的纸板。 27．如下图，有一个长方体容器，高24厘米，其中一个侧面距离上表面4厘米处有一个边长3厘米的正方形开口，往容器里倒水，直到水面不会上升，然后将容器倒过来摆放，水会减少780立方厘米，这个容器里最初倒入多少毫升的水？（容器厚度忽略不计） (1)要解决这个问题，先求出正放和倒放时容器内水的高度。 正放时水的高度为：______    倒放时水的高度为：______    水减少的高度为：______ (2)从题中可知，容器从正放变成倒放的过程中，水减少了( )立方厘米，据此可以求出长方体容器的( )。 (3)列式计算解决“这个容器里最初倒入多少毫升的水”这个问题。 【答案】(1) 17 4 13 (2) 780 底面积 (3)1020毫升 【分析】（1）用容器总高度减去开口到上表面的距离，再减去正方形开口边长，求出正放水高；再确定倒放水高，两者相减得到水减少的高度。 （2）用减少的水的体积除以减少的高度，求出长方体容器的底面积。 （3）用底面积乘正放时水的高度，算出最初倒入水的体积并换算单位。 【详解】（1）正放水高：24－4－3＝17（厘米） 倒放水高：4厘米 减少高度：17－4＝13（厘米） （2）从题中可知，容器从正放变成倒放的过程中，水减少了780立方厘米，据此可以求出长方体容器的底面积。 （3）780÷13＝60（平方厘米） 60×17＝1020（立方厘米） 1020立方厘米＝1020毫升 答：这个容器里最初倒入1020毫升的水。 28．小雷家有一只长方体垃圾桶，从里面量得底面是边长0.2米的正方形，高0.3米。 (1)如果小雷家平均每天产生这样满满2桶的垃圾，且他所在学校的1500名学生，每家每天产生的垃圾和小雷家的同样多，全校学生一天家里产生的垃圾有多少立方米？ (2)一种清洁车的垃圾箱形状是长方体的，从里面量长、宽、高分别是2.5米、2米、1.2米。全校学生家里一天产生的垃圾，需要这种清洁车几次才能运完？ 【答案】(1)36立方米 (2)6次 【分析】（1）长方体体积（容积）＝长×宽×高，求出每个垃圾桶的容积，再乘2算出每家每天产生的垃圾体积，最后乘全校学生总数（即家庭总数）得到全校学生一天家里产生的垃圾总体积。 （2）长方体体积（容积）＝长×宽×高，求出每辆清洁车的容积，再用全校学生一天家里产生的垃圾总体积除以清洁车的容积，即可得出需要运送的次数。 【详解】（1）0.2×0.2×0.3 ＝0.04×0.3 ＝0.012（立方米） 0.012×2＝0.024（立方米） 0.024×1500＝36（立方米） 答：全校学生一天家里产生的垃圾有36立方米。 （2）2.5×2×1.2 ＝5×1.2 ＝6（立方米） 36÷6＝6（次） 答：需要这种清洁车6次才能运完。 29．某小区准备修建一个长方体地下停车场（如下图）。 (1)挖出的泥土用一辆限载16立方米的运土车装走，要运多少次才能全部运完？ (2)在停车场的底面和内壁抹一层水泥，每平方米水泥2.4元，一共需要多少钱？ 【答案】(1)94次 (2)2424元 【分析】（1）如图，该长方体地下停车场长50米，宽15米，高2米。根据“长方体体积＝长×宽×高”，先求出地下停车场的体积，再除以运土车每次能运走的体积，结果用进一法向上取整，据此解答。 （2）在停车场的底面和内壁抹一层水泥，就是求长方体的一个底面加四个侧面的面积，用总面积×每平方米水泥的价格，即可求出一共需要多少钱。 【详解】（1）50×15×2＝1500（立方米） 1500÷16≈94（次） 答：要运94次才能全部运完。 （2）50×15＋（50×2＋15×2）×2 ＝50×15＋（100＋30）×2 ＝50×15＋130×2 ＝750＋260 ＝1010（平方米） 1010×2.4＝2424（元） 答：一共需要2424元。 30．如图，有一个长方体容器，高24厘米，其中一个侧面距离上表面4厘米处有一个边长3厘米的正方形开口，往容器里倒水，直到水面不会上升，然后将容器倒过来摆放，水会减少780立方厘米，这个容器里最初倒入多少毫升的水？（容器厚度忽略不计） (1)要解决这个问题，先求出正放和倒放时容器内水的高度。 正放时水的高度为：_________________________________。 倒放时水的高度为：_________________________________。 水减少的高度为：___________________________________。 (2)从题中可知，容器从正放变成倒放的过程中，水减少了( )立方厘米，据此可以求出长方体容器的( )。 (3)列式计算解决“这个容器里最初倒入多少毫升的水”这个问题。 【答案】(1) 17厘米 4厘米 13厘米 (2) 780 底面积 (3)1020毫升 【分析】（1）正放时，水的高度等于容器高减去开口距上表面的距离，再减去开口的边长；倒放时，水的高度就是开口距离上表面的高度；水减少的高度为正放时水的高度减去倒放时水的高度。 （2）由题知，水减少的体积是780立方厘米，水减少的体积是由于高度变化引起的，根据长方体体积公式V＝Sh可知，用减少的水的体积除以水减少的高度，可求出容器底面积。 （3）结合上述分析利用底面积乘正放时水的高度求出最初倒入水的体积。再按照1立方厘米＝1毫升换算单位即可。 【详解】（1）正放时：24－4－3＝17（厘米） 倒放时：4厘米 减少高度：17－4＝13（厘米） （2）容器从正放变成倒放的过程中，水减少了780立方厘米，据此可以求出长方体容器的底面积。 （3）780÷13＝60（平方厘米） 60×17＝1020（立方厘米） 1020立方厘米＝1020毫升 答：这个容器里最初倒入1020毫升的水。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专项提升训练03：长方体和正方体 解决问题 【知识点梳理+固本拓能训练】 知识点梳理 1.表面积与占地面积 占地面积： 通常指底面的面积，即长×______。 无盖/贴瓷砖/抹水泥： 计算时通常少______个面（通常是上面或底面）。 防撞条/彩灯线/棱长和： 只需要计算部分棱的长度（如：长方体底面周长是2条长+2条宽）。 2.体积与容积 体积公式： 长方体体积 = 长×宽×______；正方体体积 = 棱长×棱长×______。 排水法求体积： 不规则物体的体积 = 上升部分水的体积 = 底面积 × ______。 锻造/熔铸问题： 形状改变但______不变。 3.实际应用技巧 装箱/堆放问题： 需计算沿长、宽、高各能放几层，总数 = 沿长数量 × 沿宽数量 × ______。 挖洞/切割问题： 切割后的总表面积 = 原表面积 + ______的面积。 单位换算： 1立方分米 = ______立方厘米；1升 = 1 ______。 固本拓能训练 一、基础达标 1．一根方木，长是4米，它的截面是一个边长为4分米的正方形。求这根方木的表面积。 2．一个长方体游泳池，长50米，宽20米，深2米。 (1)这个泳池的占地面积是多少平方米？ (2)在池底和四壁贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ (3)为了保证游泳者有足够的空间进行各种游泳动作，又能在一定程度上确保安全，一般注入水深1.8米，需要多少立方米水？ 3．一个棱长为6分米的正方体铁块，被锻造成一个长8分米，宽3分米的长方体铁块（锻造前后体积不变），这个长方体铁块的高是多少分米？ 4．为弘扬传统文化，培养学生体验美、创造美的能力，学校组织学生到吴川市文化馆学习制作吴川泥塑。如图，小芳将一个长方体泥块沿着一个斜面切去一块，你能求出剩下部分的体积是多少吗？ 5．小宝宝刚学会走路，为了安全，张阿姨打算给长方体的茶几各边装上防撞条（底部的四边不装），如图所示，张阿姨至少需要买多长的防撞条？ 6．今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏（如图），长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要，工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置，请问安装散热装置的面积是多少平方米？ 7．一年一度的白马山小学“书香班级”评选开始啦，五（2）班的孩子们设计做成一个无盖的纸盒来收集大家的阅读手抄报，需要用到一块长35厘米、宽30厘米的硬纸壳。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，这个纸盒的容积是多少？这个纸盒的表面积是多少？ 8．“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？ 9．快递小哥要将500个棱长为5厘米的魔方发往外地，他用一个箱内长50厘米，宽40厘米，高32厘米的长方体纸箱进行打包。用这个纸箱能装下这500个魔方吗？ 10．一个长方体水槽，从里面量长6分米、宽4分米、水深3.5分米。放入一块铁块后（完全浸没），水面上升到6分米。这块铁块的体积是多少立方分米？ 11．一块长35厘米、宽30厘米的长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为6厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？它的容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 12．一个长方体水槽长是30厘米，宽是25厘米，高是40厘米，里面浸没一个棱长为15厘米的正方体，这时水深是20厘米，当把正方体取出时，水槽里面水深是多少厘米？ 13．一个新建的游泳池长100米，长是宽的2倍，深2.8米，现在要在游泳池的四周和池底贴上瓷砖，如果每平方米瓷砖要36.5元，瓷砖一共要多少钱？ 14．工程队计划修建一个长方体污水沉淀池，用于改善城市水环境。沉淀池长30米，宽25米，深2米，施工时需要在沉淀池的内壁和底面抹上水泥进行防渗处理，顶部开口不抹水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？ 15．为迎接五一劳动节，工人叔叔要在一个活动中心四周装上彩灯（地面的四边不装），已知活动中心的长65米，宽30米，高22米，工人叔叔需要多长的彩灯线？ 二、能力进阶 16．一个长方体水箱，从里面量长是40厘米，宽是35厘米，水箱中浸没一个钢球（水未溢出），水深15厘米。取出钢球后，水深12厘米。如果每立方分米钢重7.8千克，这个钢球重多少千克？ 17．学校要粉刷教室，已知每间教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗和黑板的面积共25平方米，每平方米需花费6.5元的涂料费。 (1)每间教室需要粉刷的面积是多少平方米？ (2)粉刷3间这样的教室需要花费多少钱？ 18．有一个长方体鱼缸，小军从不同的方向测量两个面，结果如图所示。则这个鱼缸的占地面积是多少？ 19．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8分米、宽4分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元，买玻璃需要多少钱？ 20．一个正方体油箱，棱长6分米，里面装满油。如果把这些油倒入一个长8分米、宽6分米的长方体油箱中，油深多少分米？（油箱厚度忽略不计） 21．在一个长6米、宽4米、高3米的鱼缸里装满水，然后把一个长2米、宽1.5米、高5米的假山石立着放入鱼缸中，鱼缸溢出的水的体积是多少？ 22．一个长方体蓄水池，长40米，长是宽的2倍，深4.5米，现在要在蓄水池的四周和底面涂防水涂料，每平方米需要7元。 (1)涂完一共需要多少元？ (2)这个蓄水池最多能蓄水多少立方米？ 23．有一块长35厘米、宽25厘米的长方形铁皮，在四个角上分别剪去面积相等的正方形后，正好折成一个深5厘米的无盖铁盒。（铁皮厚度忽略不计） (1)求这个铁盒的容积。 (2)做这个铁盒需要多少铁皮？ 24．如图是一个长方体玻璃鱼缸（无盖）。 (1)制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ (2)往水中放入一些鹅卵石，水面上升了0.5分米，这些鹅卵石的体积是多少立方分米？ (3)根据上图的长方体玻璃鱼缸，请你提出一个数学问题（不要和以上两题相同）并解答。 25．小明同学用数学课中所学的方法进行探究铅球体积的实验操作（如图）。请你根据实验数据求出这个铅球的体积是多少立方厘米？ 26．爸爸购买了一件礼品。 包装盒型号 （单位：cm） A B C (1)有三种型号的包装盒，要装下这件礼品，应选择( )型包装盒。 (2)制作这个包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 27．如下图，有一个长方体容器，高24厘米，其中一个侧面距离上表面4厘米处有一个边长3厘米的正方形开口，往容器里倒水，直到水面不会上升，然后将容器倒过来摆放，水会减少780立方厘米，这个容器里最初倒入多少毫升的水？（容器厚度忽略不计） (1)要解决这个问题，先求出正放和倒放时容器内水的高度。 正放时水的高度为：______    倒放时水的高度为：______    水减少的高度为：______ (2)从题中可知，容器从正放变成倒放的过程中，水减少了( )立方厘米，据此可以求出长方体容器的( )。 (3)列式计算解决“这个容器里最初倒入多少毫升的水”这个问题。 28．小雷家有一只长方体垃圾桶，从里面量得底面是边长0.2米的正方形，高0.3米。 (1)如果小雷家平均每天产生这样满满2桶的垃圾，且他所在学校的1500名学生，每家每天产生的垃圾和小雷家的同样多，全校学生一天家里产生的垃圾有多少立方米？ (2)一种清洁车的垃圾箱形状是长方体的，从里面量长、宽、高分别是2.5米、2米、1.2米。全校学生家里一天产生的垃圾，需要这种清洁车几次才能运完？ 29．某小区准备修建一个长方体地下停车场（如下图）。 (1)挖出的泥土用一辆限载16立方米的运土车装走，要运多少次才能全部运完？ (2)在停车场的底面和内壁抹一层水泥，每平方米水泥2.4元，一共需要多少钱？ 30．如图，有一个长方体容器，高24厘米，其中一个侧面距离上表面4厘米处有一个边长3厘米的正方形开口，往容器里倒水，直到水面不会上升，然后将容器倒过来摆放，水会减少780立方厘米，这个容器里最初倒入多少毫升的水？（容器厚度忽略不计） (1)要解决这个问题，先求出正放和倒放时容器内水的高度。 正放时水的高度为：_________________________________。 倒放时水的高度为：_________________________________。 水减少的高度为：___________________________________。 (2)从题中可知，容器从正放变成倒放的过程中，水减少了( )立方厘米，据此可以求出长方体容器的( )。 (3)列式计算解决“这个容器里最初倒入多少毫升的水”这个问题。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $