八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷（新教材沪科版，举一反三，测试范围：八下全册）

**基本信息** 沪科版八年级数学期末拔尖卷，精选多地区期末真题，24题（选择10/30、填空6/18、解答8/72）覆盖二次根式、几何综合、统计与方程等，以项目学习（收纳盒制作）、动态几何探究等发展抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式合并、数据离差平方和、程序框图运算|跨地区真题改编，基础概念辨析| |填空题|6/18|二次根式估值、多边形内角和、根的判别式|结合几何图形，强化空间观念| |解答题|8/72|平行四边形证明、类勾股三角形、差根方程、收纳盒制作、矩形动态问题|分层设计，项目学习体现应用意识，动态几何发展推理能力|

八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了离差平方和．先计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值的差的平方和，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵数据：10，11，12，10，12， 则平均值， 依题意， ， 即这组数据的离差平方和为4， 故选：B． 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先判断，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴输出的值为2． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点A作，证得四边形是正方形，再利用正方形的性质求得，，最后利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点E， ∵，是直角， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 如图可得，，， 在中，根据勾股定理可得， ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且，设，（），代入表达式计算a，b，c，再比较大小． 【详解】解：∵m，n，k为连续整数，且， ∴，（）． ∴， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形两条对角线的长，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用一元二次方程的根得出的值，再求得方程的两根，再结合菱形的对角线利用勾股定理求出边长，即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，解得：， ∴方程为， 解得：，， ∵这个方程的两个根恰好是菱形两条对角线的长， ∴设对角线，，与交于点， 如图， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 7．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格与勾股定理，角平分线的判定，，，利用勾股定理求出，证明得到从而得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 设每个方格的长度为1， ，，，， ， 又， ， ，即为的平分线， 点符合题意，，，不符合题意， 故选：A． 8．已知α，β是方程的两个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用方程根的定义化简所求式子，再根据两根之积得出，最终计算结果． 【详解】解：∵α是方程的根， ∴． 对变形，得. 同理可得，. ∴原式． ∵ α，β是方程的两个根，得． ∴原式． 9．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 10．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论： ①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确； ③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确； ②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论． ④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正确； 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG＝AB，故①正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确； ∵连接CG， ∵O、G分别是AC，AD的中点， ∴， ∴S△ACD＝4S△AOG， ∵， ∴S△AOG＝S△BOG， ∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确； 连接FD，如图： ∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD， ∴F到△ABD三边的距离相等， ∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF， ∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误； 正确的是①③④， 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，先有理化分母化简和，得到，；再确定的整数部分和的小数部分，最后计算．掌握化简的方法和计算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴，， ∴的整数部分，的整数部分为， ∴的小数部分， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，五边形的一个内角，则等于_________． 【答案】 【分析】本题考查多边形外角和定理，内角与外角的关系，掌握多边形外角和定理是解题关键． 先求出的外角，再用减去该外角，即可得到． 【详解】解： ， 的外角为， ． 故答案为：． 13．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是___________ ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根， ， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解题的关键． 14．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 15．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定，证出四边形是矩形是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质得到，，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】作，交于点，连接交于点，由平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，即可推得，，根据等角对等边得出，根据平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定和性质得出，，，，推得，根据平行线的判定定理得出，根据平行四边形的判定和性质得出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：解：作，交于点，连接交于点，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，的平分线分别交于点，， ∴，， ∵， ∴，， 故，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，等角对等边，勾股定理等知识，正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）由平行线的性质得到，，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明四边形是平行四边形，，则可证明四边形的周长，同理可得四边形的周长，则可推出，再根据三角形的周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ，， ∵O为对角线的中点， ∴ ∴， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长； 同理可得四边形的周长， ∵四边形与四边形的周长分别是16与10， ∴， ∴， ∴的周长． 18．（6分）（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． ()根据证明过程补全即可； ()根据已知结论，得出，求出的值即可； ()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：； （2）解：由题意可知，， ∴，即， 故答案为：. （3）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得： ∴， ∴， ∴． 19．（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【答案】(1)假 (2) (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）在线段上取一点，使，连，过作交于，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：在类勾股中，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形， 命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题， 故答案为：假； （2）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 整理得， 是“类勾股三角形”． 20．（8分）（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）设直角三角形两直角边，根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义； ② ，因式分解得根，，不符合． 故答案为：①． （2）解：方程中，，， 因为是差根方程，所以， 平方得： ， 代入得，即， 解得． （3）解：设直角三角形两直角边， 由勾股定理得： ， 因为是差根方程的两根，所以， 平方得： ， 代入得： ， 解得． ， 因为，所以． 以为根的一元二次方程为， 即，验证得，符合差根方程定义． 21．（10分）（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 【答案】(1)图见详解，； (2)，证明见详解； (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点作交于点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，即，得出当时，，当时，四边形为菱形，得出，，得出当点在对角线的交点上时，符合题意，此时； （2）连接、， 证明，得出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，，根据，即可得出； （3）连接，，证明，得出，证明，由（2）得四边形为平行四边形，得出，从而得出． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： 过点作交于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，即， 当时，， ， 四边形为菱形， ，， 当点在对角线的交点上时，符合题意， 此时， 故答案为：； （2）； 证明：连接、，如图所示： ， ， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ； （3）解：连接，，如图所示： 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ， ， 即当时，将平行， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定． 22．（10分）（25-26八年级上·河南郑州·期末）郑州市某初中为选拔学生代表学校参加市级校园投篮比赛，从初二学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行八轮投篮测试（每轮投次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将甲，乙两名学生八轮投篮成绩绘制成如下统计图： 【数据分析】 （1）林宇利用平均数、方差进行分析． 通过计算平均数，个，＝ 个，可以看出， （填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出， （填甲或乙）的投篮成绩发挥更稳定； （2）李华利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填 ，②处应填 ，③处应填 ； 基于四分位数或箱线图，可以发现甲命中球数的中位数 乙命中球数的中位数（填或）且学生甲成绩明显比学生乙的投篮成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 ① ② 乙 ③ 【作出决策】 请你根据八轮投球成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 【答案】(1)，乙，乙 (2)，，， (3)选乙参加市级校园投篮比赛，理由见解析． 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差、四分位数． (1)根据算术平均数的定义求出乙的平均成绩，利用方差的定义可知乙的射击水平发挥更稳定； (2)根据下四分位数、中位数、上四分位数的定义求出结果，通过比较可知：甲命中球数的中位数和乙命中球数的中位数相等； (3)利用中位数、方差作出决策． 【详解】（1）， 乙的平均数略高； ，，， 乙的投篮水平发挥更稳定； (2)解：把甲的数据按照从小到大排列：、、、、、、、， 下四分位数为，中位数为， 把乙的数据按照从小到大排列：、、、、、、、， 乙的上四分位数为， ①处应填，②处应填，③处应填， 甲命中球数的中位数乙命中球数的中位数； 故答案为：，，，； 【作出决策】解：甲、乙两名学生的中位数相等，乙的最小值大于甲的最小值，由方差可知乙的成绩比甲的成绩稳定， 应选乙参加市级校园投篮比赛． 23．（12分）（25-26九年级上·河南南阳·期末）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) (2) ；不能；理由见解析． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，然后解方程并检验即可； 求出，，但，，从而即可判断玩具车不能完全放入该收纳盒． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； ∵，，但，， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 24．（12分）（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）说明四边形是平行四边形即可； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解； （3）连接交于点，当四边形是菱形时，，则，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，总是互相平分． （2）解：若四边形是菱形，则， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴t的值为3． （3）解：存在． 如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， 解得， ∴当秒时，四边形是菱形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A． B． C．2 D． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A．2 B． C． D．6 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 6．已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形两条对角线的长，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知α，β是方程的两个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 10．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论： ①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 12．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，五边形的一个内角，则等于_________． 13．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是___________ ． 14．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 15．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______． 16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 18．（6分）（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 19．（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 20．（8分）（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 21．（10分）（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 22．（10分）（25-26八年级上·河南郑州·期末）郑州市某初中为选拔学生代表学校参加市级校园投篮比赛，从初二学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行八轮投篮测试（每轮投次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将甲，乙两名学生八轮投篮成绩绘制成如下统计图： 【数据分析】 （1）林宇利用平均数、方差进行分析． 通过计算平均数，个，＝ 个，可以看出， （填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出， （填甲或乙）的投篮成绩发挥更稳定； （2）李华利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填 ，②处应填 ，③处应填 ； 基于四分位数或箱线图，可以发现甲命中球数的中位数 乙命中球数的中位数（填或）且学生甲成绩明显比学生乙的投篮成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 ① ② 乙 ③ 【作出决策】 请你根据八轮投球成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 23．（12分）（25-26九年级上·河南南阳·期末）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 24．（12分）（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $