第14讲 机械能守恒定律及其应用（讲义）-【划重点】2025-2026学年高一物理下学期期中期末复习（人教版必修第二册）

第14讲 机械能守恒定律及其应用 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 机械能及其守恒的判断 知识点2 机械能守恒定律 知识点3 多物体机械能守恒问题 知识点4 用机械能守恒定律解决非质点问题 知识点1：机械能及其守恒的判断 1.定义 物体由于做机械运动而具有的能叫机械能。用符号E表示，它是动能和势能（包括重力势能和弹性势能）的统称。 ①机械能是瞬时量，物体在某一时刻机械能等于那一时刻的动能和势能之和。 ②机械能是标量。没有 ，只有 ，可有正负（因势能可有正负）。 ③机械能具有相对性，因为势能具有相对性（须确定零势能参考平面），所以机械能也具有相对性。另外与动能相关的速度也具有相对性（应该相对于同一惯性参考系，一般是地面）。 2.表达式 E= 3.机械能守恒的条件 只有 做功或 做功。 ①只有重力做功时，只发生 和 的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等。 ②只有系统内弹力做功，只发生 和 的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。 ③重力和系统内弹力做功，只发生 、 、 的相互转化。如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。 ④除受重力（或系统内弹力）外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零。如物体在沿固定斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，物体机械能不变，可按照机械能守恒定律计算（应当注意，这时系统并不封闭，存在着系统内的物体跟外界系统的能量交换．只是系统内物体机械能的减少等于外界对物体做功使系统增加的机械能。）。 4.机械能守恒的判断方法 （1）做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。 （2）能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加）。则系统的机械能守恒。 （3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题．除非题目特别说明，机械能必定 ，完全非弹性碰撞过程机械能也 。 （4）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统 做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。 【针对练习1】（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，轻质弹簧上端固定，下端系一物体。物体在A处时，弹簧处于原长状态。现用手托住物体使它从A处缓慢下降，到达B处时，手和物体自然分开，物体停在B处。此过程中（　　） A．手的支持力一直做正功 B．弹簧的弹性势能先增加后减少 C．物体与弹簧组成的系统机械能不守恒 D．物体与弹簧组成的系统机械能守恒 【针对练习2】（24-25高一下·云南丽江·期末）如图所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球向右拉开到一定的角度，然后同时放开小球和小车，不计一切摩擦，小球向左摆到最低点过程中（　　） A．小车和小球组成的系统机械能不守恒 B．小车的机械能守恒 C．小球的机械能减少 D．小球的机械能不变 【针对练习3】（多选）（25-26高一下·湖北黄冈·期中）如图所示，下列判断不正确的是（　　） A．甲图中，从粗糙的滑梯上下滑的小朋友机械能守恒 B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能不守恒 C．丙图中，物块A在向下运动过程中机械能守恒 D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，B物块的机械能守恒 知识点2：机械能守恒定律 1.内容 在只有重力或内弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 2.机械能守恒定律的表达式比较 角度 守恒观点 转化观点 转移观点 意义 系统的初状态机械能与末状态机械能相等 表示系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能 一部分物体机械能的增加量与另一部分物体机械能的减少量相等 注意 事项 应用时应选好重力势能的 ，且初末状态必须用同一零势能面计算势能 应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初末状态的势能差 A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能。 图像分析 3.研究对象 （1）当只有重力做功时，可取一个物体（其实是物体与地球构成的系统）作为研究对象，也可取几个物体构成的系统作为研究对象。 （2）当物体之间有弹力做功时，将这几个物体构成的系统作为研究对象（使这些弹力成为系统内力）会使问题变简单。 4.应用机械能守恒定律的基本思路 （1）选取研究对象（物体或系统）。 （2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断机械能是否守恒。 （3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能。 （4）选取恰当的表达式列方程求解。常见的表达式有三种（见上面表达式）。 （5）对计算结果进行必要的讨论和说明。 5.机械能守恒定律的应用技巧 （1）机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。 （2）如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。 【针对练习4】（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，将质量为m的石块从离地面h高处以初速度v0斜向上抛出。以地面为参考平面，不计空气阻力，当石块落地时机械能表达式为（　　） A．mgh B． C．-mgh D． 【针对练习5】（25-26高一下·广东·期中）如图为某游戏装置的简图，半径为的竖直光滑半圆弧轨道固定在水平面上，为竖直直径。长为的水平轨道左、右两端分别和半圆弧轨道、半径为的圆弧轨道（点为最低点）相接。一质量为的小球（视为质点）从轨道滑上半圆弧轨道，从点飞出后，刚好从点沿切线进入圆弧轨道。重力加速度大小取，下列说法正确的是（　　） A．小球从点飞出时的速度的大小为 B．圆弧轨道对应圆心角的正弦值为 C．小球在点对圆弧轨道的压力大小为 D．小球在圆弧轨道上点受到的支持力大小为 【针对练习6】（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图所示，某装置处于竖直平面内，该装置由弧形轨道、竖直螺旋圆形轨道，水平直轨道AF和传送带FG组成，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与弧形轨道相切于点，螺旋圆形轨道半径，长度，传送带长度足够长。现将质量的小滑块（视为质点）从弧形轨道距高的处由静止释放。滑块与轨道间的动摩擦因数，与传送带间的动摩擦因数未知，传送带始终以的速度逆时针匀速转动。不计空气阻力，弧形轨道和圆形轨道均可视为光滑，重力加速度取，求： (1)小滑块第一次运动到点时的速度大小； (2)滑块运动至圆轨道最高点点对轨道压力大小； (3)滑块最终停在距点多远处。 知识点3：多物体机械能守恒问题 1.多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路 首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。 若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少。 2.多物体机械能守恒问题的分析技巧 （1）对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。 （2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 （3）列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式。 3.几类连接体的机械能守恒分析 杆连物体系统机械能守恒 情景分析 如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动，且A、B的角速度相等。 方法突破 求解这类问题时，由于二者角速度 ，所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系，根据两物体间的位移关系，寻找到系统重力势能的变化，最后根据ΔEk＝－ΔEp列出机械能守恒的方程求解。另外注意的是轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆，轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直，轻杆的弹力对一个物体做了正功，就对另一物体做了 ，并且绝对值 。 绳连物体系统机械能守恒 情景分析 如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，A、B的速率也相等。但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系。 方法突破 求解这类问题时，由于二者速率相等或相关，所以关键是寻找两物体间的位移关系，进而找到系统重力势能的变化。列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式。另外注意系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为细绳对系统中的每一个物体都要做功。 含弹簧类机械能守恒问题 情景分析 对两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中，在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。在相互作用过程中，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有 的速度，弹性势能最 。如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有 （如绷紧的弹簧由静止释放）。 方法突破 求解这类问题时，首先以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破口：弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循F＝kx和ΔF＝kΔx。其次，以弹簧的弹力做功为分析问题的突破口：弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关，但是在具体的问题中不用计算弹性势能的大小，弹簧的形变量相同的时候弹性势能 ，通过运算可以约去。当题目中始、末都不是弹簧原长时，要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，即伸长量或压缩量，而力的位移就可能是两次形变量之和或之差。 【针对练习7】（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图所示，长直轻杆两端分别固定小球A和B，两球质量均为，两球半径忽略不计，杆的长度为。先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为时，下列说法正确的是（不计一切摩擦，重力加速度为）（　　） A．杆对小球A做功为 B．小球A、B的速度大小都为 C．小球A、B的速度大小分别为和 D．杆与小球A、B组成的系统机械能减少了 【针对练习8】（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图所示，、两小球由绕过定滑轮的轻质细线相连，、球放在固定不动的倾角为的光滑斜面上，通过劲度系数为的轻质弹簧相连，球靠在与斜面垂直的挡板上。现用手托住球，并使细线刚好伸直但无拉力作用，保证滑轮左侧细线与斜面平行、右侧细线竖直。开始时整个系统处于静止状态，释放后，下落的速度最大时恰好对挡板无压力，已知、、三球的质量均为，重力加速度为，细线与滑轮之间的摩擦不计，运动过程中未落地，未与滑轮相撞，则（　　） A．该过程、、三球所组成的系统机械能守恒 B．当球刚要离开挡板时球的加速度一定不为 C．斜面的倾角为 D．小球的最大速度为 【针对练习9】（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图所示，物体A的质量为，圆环B的质量为，通过足够长且不可伸长的轻绳连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度，现由静止释放圆环，不计定滑轮的大小和摩擦，忽略空气的阻力，取。 (1)若，求圆环能下降的最大高度； (2)若圆环下降时的速度，则与应满足什么关系。 知识点4：用机械能守恒定律解决非质点问题 1.非质点系统 （1）定义 指的是“链条”、“缆绳”、“液柱”等质量不可忽略、柔软的物体或液体。 （2）重力势能变化的分析方法 在确认了系统机械能守恒之后，一般采用转化法列方程。重力势能的变化与运动的过程无关，常常分段找等效 的位置变化来确定势能的变化。 2.基本思路 在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 不计摩擦和其他损耗，物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 【针对练习10】（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示，有一条柔软的质量为、长为的均匀链条，开始时链条的置于水平桌面上，垂于桌外，并使链条处于静止状态。若不计一切摩擦，桌子足够高，以地面为零势能面。下列说法正确的是（　　） A．垂于桌面外的链条的重力势能为负值 B．若缓慢把链条全部拉回桌面上，在该过程中链条的机械能守恒 C．若把链条全部拉回桌面上，垂于桌面外的链条的重心将上升 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的动能大小等于 【针对练习11】（24-25高一下·宁夏银川·期末）如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（　　） A． B． C． D． 【针对练习12】如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝m的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为3m/s。已知∠AOB＝60°，以OC所在平面为参考平面，取g＝10m/s2。则下列说法中正确的是（　　） A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒 B．铁链在初始位置时其重心高度m C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8m D．铁链的端点A滑至C处时速度大小为6m/s 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州安顺·期中）在竖直平面内有一段固定的四分之一粗糙圆弧轨道，圆弧半径为R。一个质量为m的小球从圆弧的圆心等高点滚下，并做匀速圆周运动，小球做圆周运动的线速度为v，已知重力加速度大小为g，小球可视为质点。则下列说法正确的是（    ） A．小球在滚动过程中，轨道对小球的支持力提供小球做圆周运动的向心力 B．小球从B点滚到圆弧最低点C的过程中，克服摩擦力做功为 C．小球滚动过程中受到的摩擦力越来越大 D．小球滚动过程中机械能守恒 2．（24-25高一下·辽宁·期中）“雪如意”是北京2022年冬奥会的跳台滑雪场地，其主体建筑设计灵感来自中国传统饰物“如意”。“雪如意”内的部分赛道可简化为高为H、对应水平投影长度为的坡路AB段和水平雪道BC段，如图所示。若某质量为m的运动员从雪道的顶端A点由静止开始加速下滑，到达底端B点后以不变的速率进入水平雪道减速运动，滑行距离后停止。已知坡路和水平雪道的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g，忽略空气阻力。以下说法正确的是（　　） A．运动员在坡路AB段克服摩擦力所做的功为 B．运动员在B点的速度大小v满足的方程式是 C．运动员在坡路AB段重力势能的减少量等于动能的增加量 D．运动员从A运动至B的过程中机械能减少了 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）2025年，“湘超”火爆全网，超240万人次现场观赛、带动消费破136亿元、传播量163亿余次。在某次比赛中，甲队队员在乙队禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上角贴着球门射入，如图，已知球门高度为h，足球飞入球门时的速度为v，足球质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力和足球的大小。设地面为零势能面，则下列说法正确的是（　　） A．足球在空中飞行时受到重力和人对它的踢力 B．足球在空中飞行时机械能不守恒， C．足球在空中飞行时的机械能大小为E D．人对足球做的功为 4．（24-25高一下·北京·期末）如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环（可视为质点）从大环的最高处由静止滑下，重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为（　　） A．Mg-5mg B．Mg+4mg C．Mg+5mg D．Mg-4mg 5．（25-26高一上·湖南永州·期末）如图所示，水平光滑长直杆上套有一物块Q。一根轻绳跨过悬挂于O点的固定轻小光滑圆环，轻绳的一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是（　　） A．当θ=90°时，Q的速度最大 B．当θ=30°时，P、Q的速度之比是 C．当θ向90°增大的过程中，P一直处于失重状态 D．当θ向90°增大的过程中，Q的合力一直增大 6．（25-26高一上·河北保定·期末）如图所示，某人从高出水平地面h的坡顶上水平击出一个质量为m的高尔夫球（可视为质点），坡顶可视为半径为R的圆弧，高尔夫球飞出前瞬间对坡顶的压力恰好为0。高尔夫球落入水平地面的A洞中（不计洞穴的宽度及深度），不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．该球在空中运动的时间为 B．该球飞出的初速度大小为 C．A洞到坡顶的距离为 D．该球落入A洞时的动能为 7．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图，在地面上以初速度抛出质量为的物体，抛出后物体落在比地面低的海平面上，重力加速度为，若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则（　　） A．物体在海平面上的重力势能为 B．重力对物体做的功为 C．物体在海平面上的动能为 D．物体在海平面上的机械能为 二、多选题 8．（25-26高一上·山东济南·期末）如图所示为某次蹦极运动的简化过程。弹性绳的一端固定在点，另一端和运动员相连。运动员从点自由下落，至点弹性绳刚好伸直，然后到达最低点，整个过程忽略空气阻力，该过程中下列说法正确的是（　　） A．从点到点的过程中弹性绳的弹性势能先减小后增大 B．从点到点的过程中运动员的重力势能一直减小 C．从点到点的过程中运动员的动能先增大后减小 D．从点到点的过程中运动员的机械能增大 9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端系一物块，把弹簧压缩一段距离后（为弹簧原长时的位置），在的右边再紧贴着放另一相同的物块。然后撤去外力。A、B均可视为质点。则此后运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．若地面光滑，A、B组成的系统回到点时动能最大 B．若地面光滑，弹簧减小的弹性势能等于增大的动能 C．若地面粗糙且A、B能够分离，则分离时的位置一定在点 D．若地面粗糙且A、B能够分离，则分离时的位置一定在点左侧 10．（24-25高一下·山东泰安·期末）如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 11．（24-25高一下·贵州毕节·期末）如图，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端安装有一轻质光滑定滑轮。一根轻质细线跨过滑轮与物块A、B相连，A与滑轮间的细线与斜面平行。A的质量为m，B的质量为2m。初始时，A被锁定在斜面，B悬停于空中。解除锁定，两物块开始运动，不计空气阻力，物块B下降h（未着地）的过程，下列说法正确的是（　　） A．物块B的机械能守恒 B．物块B下降h时A的速度大小为 C．此过程轻绳对物块A所做的功为 D．物块B减小的重力势能大于A、B两物块增加的动能之和 12．（25-26高一上·山东济南·期末）质量为的物体在水平力作用下由静止开始沿水平面做直线运动，物体的加速度随时间的变化规律如图所示，下列说法正确的是（　　） A．时物体的运动方向发生改变 B．时物体的速度大小为 C．内，合外力对物体做功为 D．内，合外力对物体做功为 13．（25-26高一上·浙江台州·期末）如图所示，小球以初速度抛出（方向如图中箭头所示），已知小球运动的最小速度为v，不计空气阻力，抛出点距地面足够高，下列说法正确的是（　　） A．小球的速度为v时重力势能最大 B．小球速度由v增加到2v所用时间为 C．小球在相等时间间隔内速度的变化量不同 D．小球运动到与抛出点等高位置时的速度和初速度相同 14．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆、，两杆无限接近但不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个可视为质点的小球a、b质量均为，a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用长度为的刚性轻杆连接。将a球从图示位置由静止释放（轻杆与杆夹角为45°），不计一切摩擦，已知重力加速度为，下列说法中正确的是（　　） A．b球的速度为零时，a球的加速度大小一定等于 B．a球由静止下落0.5m时，b球速度大小为0 C．b球的最大速度为 D．a球的最大速度为 15．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图所示，物块甲套在光滑的细直杆上，杆倾斜固定放置，与水平方向夹角为，轻质细线跨过光滑定滑轮，与物块甲、乙相连，物块甲、乙的质量均为m。甲在平行于杆方向的拉力作用下静止在A点，此时与甲连接的细线刚好水平，滑轮与A点的间距为2L，乙悬在空中。现让甲从A点由静止释放，当甲运动到B点时，与甲连接的细线刚好与杆垂直，重力加速度为g，运动中细线始终伸直，则甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块甲、乙组成的系统机械能守恒 B．细线对物块乙所做的功为－mgL C．物块甲的重力势能增加了 D．物块甲经过B点时的动能为 16．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距L，B放在地面上。A、B通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，A、B可视为质点，重力加速度大小为g，A落地后不反弹。则（　　） A．A一直加速，B也一直加速 B．在A落地之前轻杆对B一直做正功 C．A刚到达地面时的速度大小为 D．当A的机械能最小时，水平面对B的支持力大小为mg 三、解答题 17．（24-25高一下·福建泉州·期末）某同学用如图所示的模型探究“过山车”运动。弧形轨道AB、圆轨道BC、弧形轨道BD、倾斜轨道DE、水平轨道EF均在同一竖直面内。两点分别为圆轨道的最低点和最高点，E、C两点等高，B、D为轨道间的相切点。一小球从A点由静止释放后沿轨道运动，从E点飞出后落到EF上。已知AB的高度差，圆轨道的半径，DE的倾角，小球质量，取重力加速度大小，，不计一切摩擦。求小球： (1)经过点时的动能； (2)经过C点时受到圆轨道的弹力大小和方向； (3)在轨道EF上的第一个落点到E点的距离。 18．（25-26高一上·贵州遵义·期末）如图所示，半径的光滑圆弧轨道AB固定在竖直平面内，轨道的最低点B的切线水平。右侧的光滑水平面上紧挨着B点静止一平板小车，其质量，长度，小车的上表面与B点等高、距地面的高度。质量的小物块（可视为质点）从圆弧轨道最高点A正上方处由静止释放，恰好从A点进入圆弧轨道，之后滑上平板小车。已知小车上表面与小物块间的动摩擦因数，重力加速度大小取，求： (1)小物块滑到轨道B点时对轨道的压力大小； (2)摩擦力对小物块做的功； (3)当小物块刚着地时，小物块到小车右端的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 机械能守恒定律及其应用 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 机械能及其守恒的判断 知识点2 机械能守恒定律 知识点3 多物体机械能守恒问题 知识点4 用机械能守恒定律解决非质点问题 知识点1：机械能及其守恒的判断 1.定义 物体由于做机械运动而具有的能叫机械能。用符号E表示，它是动能和势能（包括重力势能和弹性势能）的统称。 ①机械能是瞬时量，物体在某一时刻机械能等于那一时刻的动能和势能之和。 ②机械能是标量。没有方向，只有大小，可有正负（因势能可有正负）。 ③机械能具有相对性，因为势能具有相对性（须确定零势能参考平面），所以机械能也具有相对性。另外与动能相关的速度也具有相对性（应该相对于同一惯性参考系，一般是地面）。 2.表达式 E=EK+EP 3.机械能守恒的条件 只有重力做功或系统内弹力做功。 ①只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等。 ②只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。 ③重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。 ④除受重力（或系统内弹力）外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零。如物体在沿固定斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，物体机械能不变，可按照机械能守恒定律计算（应当注意，这时系统并不封闭，存在着系统内的物体跟外界系统的能量交换．只是系统内物体机械能的减少等于外界对物体做功使系统增加的机械能。）。 4.机械能守恒的判断方法 （1）做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。 （2）能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加）。则系统的机械能守恒。 （3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题．除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒。 （4）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。 【针对练习1】（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，轻质弹簧上端固定，下端系一物体。物体在A处时，弹簧处于原长状态。现用手托住物体使它从A处缓慢下降，到达B处时，手和物体自然分开，物体停在B处。此过程中（　　） A．手的支持力一直做正功 B．弹簧的弹性势能先增加后减少 C．物体与弹簧组成的系统机械能不守恒 D．物体与弹簧组成的系统机械能守恒 【答案】C 【详解】A．手的支持力方向向上，物体位移方向向下，可知，手的支持力一直做负功，故A错误； B．根据题意可知，弹簧拉伸形变量逐渐变大，则弹簧的弹性势能一直增加，故B错误； CD．结合上述可知，手的支持力对物体做负功，则物体与弹簧组成系统的机械能减小，故C正确，D错误。 故选C。 【针对练习2】（24-25高一下·云南丽江·期末）如图所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球向右拉开到一定的角度，然后同时放开小球和小车，不计一切摩擦，小球向左摆到最低点过程中（　　） A．小车和小球组成的系统机械能不守恒 B．小车的机械能守恒 C．小球的机械能减少 D．小球的机械能不变 【答案】C 【详解】A．小球向左摆到最低点过程中，小车和小球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，故A错误； BCD．系统机械能守恒，小球拉力做正功，小球的部分机械能转化为小车的机械能，所以小球机械能减小，小车机械能增大，故C正确，BD错误。 故选C。 【针对练习3】（多选）（25-26高一下·湖北黄冈·期中）如图所示，下列判断不正确的是（　　） A．甲图中，从粗糙的滑梯上下滑的小朋友机械能守恒 B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能不守恒 C．丙图中，物块A在向下运动过程中机械能守恒 D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，B物块的机械能守恒 【答案】ACD 【详解】A．甲图中，从粗糙的滑梯上下滑的小朋友受到的摩擦力对其做负功，可知其机械能不守恒，故A错误； B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客动能不变，重力势能不断变化，可知机械能不守恒，故B正确； C．丙图中，物块A在向下运动过程中弹力对其做负功，可知物块A机械能减小，不守恒，故C错误； D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，B物块上升，绳子拉力对B物块做正功，可知B物块的机械能增加，不守恒，故D错误。 本题选错误的，故选ACD。 知识点2：机械能守恒定律 1.内容 在只有重力或内弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 2.机械能守恒定律的表达式比较 Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′ ΔEk＝－ΔEp ΔE增＝ΔE减 角度 守恒观点 转化观点 转移观点 意义 系统的初状态机械能与末状态机械能相等 表示系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能 一部分物体机械能的增加量与另一部分物体机械能的减少量相等 注意 事项 应用时应选好重力势能的零势能面，且初末状态必须用同一零势能面计算势能 应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初末状态的势能差 A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能。 图像分析 3.研究对象 （1）当只有重力做功时，可取一个物体（其实是物体与地球构成的系统）作为研究对象，也可取几个物体构成的系统作为研究对象。 （2）当物体之间有弹力做功时，将这几个物体构成的系统作为研究对象（使这些弹力成为系统内力）会使问题变简单。 4.应用机械能守恒定律的基本思路 （1）选取研究对象（物体或系统）。 （2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断机械能是否守恒。 （3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能。 （4）选取恰当的表达式列方程求解。常见的表达式有三种（见上面表达式）。 （5）对计算结果进行必要的讨论和说明。 5.机械能守恒定律的应用技巧 （1）机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。 （2）如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。 【针对练习4】（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，将质量为m的石块从离地面h高处以初速度v0斜向上抛出。以地面为参考平面，不计空气阻力，当石块落地时机械能表达式为（　　） A．mgh B． C．-mgh D． 【答案】D 【详解】以地面为参考平面，抛出时石块的总机械能 不计空气阻力，机械能守恒，落地时石块的机械能和抛出时相等，因此落地机械能为 故选D。 【针对练习5】（25-26高一下·广东·期中）如图为某游戏装置的简图，半径为的竖直光滑半圆弧轨道固定在水平面上，为竖直直径。长为的水平轨道左、右两端分别和半圆弧轨道、半径为的圆弧轨道（点为最低点）相接。一质量为的小球（视为质点）从轨道滑上半圆弧轨道，从点飞出后，刚好从点沿切线进入圆弧轨道。重力加速度大小取，下列说法正确的是（　　） A．小球从点飞出时的速度的大小为 B．圆弧轨道对应圆心角的正弦值为 C．小球在点对圆弧轨道的压力大小为 D．小球在圆弧轨道上点受到的支持力大小为 【答案】D 【详解】A．小球从点飞出时竖直分速度为零，飞出瞬间竖直方向加速度，水平分速度保持不变，设长，列运动方程：竖直方向，水平方向 解得，，故A错误； B．由题小球从点沿切线进入圆弧轨道，因此小球在点速度沿切线方向 点时，竖直分速度 故合速度 因此，故B错误； C．由机械能守恒，、位于相同高度，故 在点，由牛顿第二定律 解得 由牛顿第三定律，小球在点对圆弧轨道的压力大小等于，故C错误； D．在C点向心力由支持力和重力分力提供有 解得，故D正确； 故选D。 【针对练习6】（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图所示，某装置处于竖直平面内，该装置由弧形轨道、竖直螺旋圆形轨道，水平直轨道AF和传送带FG组成，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与弧形轨道相切于点，螺旋圆形轨道半径，长度，传送带长度足够长。现将质量的小滑块（视为质点）从弧形轨道距高的处由静止释放。滑块与轨道间的动摩擦因数，与传送带间的动摩擦因数未知，传送带始终以的速度逆时针匀速转动。不计空气阻力，弧形轨道和圆形轨道均可视为光滑，重力加速度取，求： (1)小滑块第一次运动到点时的速度大小； (2)滑块运动至圆轨道最高点点对轨道压力大小； (3)滑块最终停在距点多远处。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从到，弧形轨道光滑，由动能定理可知，小滑块第一次运动到点时的速度大小满足 解得 （2）从到，圆轨道光滑，由动能定理可知，滑块运动至圆轨道最高点点的速度大小满足 解得 滑块运动至圆轨道最高点点时，受到轨道的弹力满足 解得 根据第三定律，滑块对轨道的压力与轨道对滑块的弹力大小相等，满足 故滑块运动至圆轨道最高点点对轨道压力大小为 （3）滑块第一次通过到达点过程，根据动能定理有 解得 由于 可知，滑块在传送带上先向右减速，后向左加速，最后以速度向左匀速运动，则有 滑块向左运动至点过程，根据动能定理有 解得 滑块滑回螺旋圆形轨道后能上升的最大高度满足 解得 由机械能守恒可知，滑块仍旧以相同的速度大小返回点，即 之后若滑块还能滑上传送带，因滑块滑上传送带的速度大小小于传送带的速度大小，由运动的对称性可知，滑块将以原速率返回，故传送带不做功，滑块的动能均因段的摩擦损耗而减小到0，根据动能定理有 解得 故滑块停止于被传送带运回，由返回至点的途中，距点的距离为 知识点3：多物体机械能守恒问题 1.多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路 首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。 若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少。 2.多物体机械能守恒问题的分析技巧 （1）对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。 （2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 （3）列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式。 3.几类连接体的机械能守恒分析 杆连物体系统机械能守恒 情景分析 如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动，且A、B的角速度相等。 方法突破 求解这类问题时，由于二者角速度相等，所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系，根据两物体间的位移关系，寻找到系统重力势能的变化，最后根据ΔEk＝－ΔEp列出机械能守恒的方程求解。另外注意的是轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆，轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直，轻杆的弹力对一个物体做了正功，就对另一物体做了负功，并且绝对值相等。 绳连物体系统机械能守恒 情景分析 如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，A、B的速率也相等。但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系。 方法突破 求解这类问题时，由于二者速率相等或相关，所以关键是寻找两物体间的位移关系，进而找到系统重力势能的变化。列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式。另外注意系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为细绳对系统中的每一个物体都要做功。 含弹簧类机械能守恒问题 情景分析 对两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中，在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。在相互作用过程中，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度（如绷紧的弹簧由静止释放）。 方法突破 求解这类问题时，首先以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破口：弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循F＝kx和ΔF＝kΔx。其次，以弹簧的弹力做功为分析问题的突破口：弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关，但是在具体的问题中不用计算弹性势能的大小，弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同，通过运算可以约去。当题目中始、末都不是弹簧原长时，要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，即伸长量或压缩量，而力的位移就可能是两次形变量之和或之差。 【针对练习7】（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图所示，长直轻杆两端分别固定小球A和B，两球质量均为，两球半径忽略不计，杆的长度为。先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为时，下列说法正确的是（不计一切摩擦，重力加速度为）（　　） A．杆对小球A做功为 B．小球A、B的速度大小都为 C．小球A、B的速度大小分别为和 D．杆与小球A、B组成的系统机械能减少了 【答案】C 【详解】BC．当A下滑距离为时，杆与竖直方向夹角满足，即 由于杆不可伸长，A、B沿杆方向的分速度相等 得速度关系 不计摩擦，A、B和杆组成的系统机械能守恒，A下滑减少的重力势能转化为两球的动能 联立解得，,故B错误，C正确； A．对A用动能定理 代入得，故A错误； D．系统只有重力做功，机械能守恒，故D错误。 故选C。 【针对练习8】（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图所示，、两小球由绕过定滑轮的轻质细线相连，、球放在固定不动的倾角为的光滑斜面上，通过劲度系数为的轻质弹簧相连，球靠在与斜面垂直的挡板上。现用手托住球，并使细线刚好伸直但无拉力作用，保证滑轮左侧细线与斜面平行、右侧细线竖直。开始时整个系统处于静止状态，释放后，下落的速度最大时恰好对挡板无压力，已知、、三球的质量均为，重力加速度为，细线与滑轮之间的摩擦不计，运动过程中未落地，未与滑轮相撞，则（　　） A．该过程、、三球所组成的系统机械能守恒 B．当球刚要离开挡板时球的加速度一定不为 C．斜面的倾角为 D．小球的最大速度为 【答案】C 【详解】A．对于A、B、C三球所组成的系统，在运动过程中，除了重力做功外，还有弹簧的弹力对B球做功，弹簧的弹性势能发生变化，因此该系统的机械能不守恒，若将弹簧纳入系统，则A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误； B．当A球下落速度最大时，A球的加速度为，由于A、B通过细线相连，B球的加速度也为。此时C球恰好对挡板无压力，说明C球刚要离开挡板，处于平衡状态的临界点，B球此时受力平衡，加速度为，故B错误； C．当A球速度最大时，A、B的加速度均为。对A球受力分析，绳子拉力 对C球，恰好对挡板无压力，说明弹簧弹力 对B球，由平衡条件得 联立解得 即 所以，故C正确； D．初始时弹簧压缩量 速度最大时弹簧伸长量 此过程中A下落、B上滑的距离均为 由于初末状态弹簧形变量相同，弹性势能变化量为。对A、B及弹簧系统应用机械能守恒定律 代入数据解得，故D错误。 故选C。 【针对练习9】（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图所示，物体A的质量为，圆环B的质量为，通过足够长且不可伸长的轻绳连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度，现由静止释放圆环，不计定滑轮的大小和摩擦，忽略空气的阻力，取。 (1)若，求圆环能下降的最大高度； (2)若圆环下降时的速度，则与应满足什么关系。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，设圆环能下降的最大高度为，根据系统机械能守恒可得 由几何关系可得 联立解得 （2）圆环下降 时的速度为 把圆环速度分解，如图所示 由几何关系可得 由系统机械能守恒可得 又有 联立解得A和B的质量关系为 知识点4：用机械能守恒定律解决非质点问题 1.非质点系统 （1）定义 指的是“链条”、“缆绳”、“液柱”等质量不可忽略、柔软的物体或液体。 （2）重力势能变化的分析方法 在确认了系统机械能守恒之后，一般采用转化法列方程。重力势能的变化与运动的过程无关，常常分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化。 2.基本思路 在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 不计摩擦和其他损耗，物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 【针对练习10】（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示，有一条柔软的质量为、长为的均匀链条，开始时链条的置于水平桌面上，垂于桌外，并使链条处于静止状态。若不计一切摩擦，桌子足够高，以地面为零势能面。下列说法正确的是（　　） A．垂于桌面外的链条的重力势能为负值 B．若缓慢把链条全部拉回桌面上，在该过程中链条的机械能守恒 C．若把链条全部拉回桌面上，垂于桌面外的链条的重心将上升 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的动能大小等于 【答案】D 【详解】A．规定以地面为零势能面，桌面位于地面上方，垂在桌外的链条整体也在地面上方，重心高度为正值，因此重力势能为正值，A错误； B．缓慢拉回链条的过程中，拉力对链条做功，链条动能不变，重力势能增加，机械能不守恒，B错误； C．初始时垂在桌外的链条长度为，均匀链条重心在中点，因此重心位于桌面下方处；拉回桌面后，该部分重心在桌面上，因此重心上升了，C错误； D．自由释放后不计摩擦，只有重力做功，链条机械能守恒，刚离开桌面时的动能等于重力势能的减少量，设链条线密度为，则 设桌面距地面高度为，初始总重力势能 刚离开桌面时，总重心距桌面，总重力势能 重力势能减少量 由机械能守恒，刚离开桌面时动能，D正确。 故选D。 【针对练习11】（24-25高一下·宁夏银川·期末）如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】链条从静止至左侧斜面上的链条完全滑到右端的过程中，重力做功为 然后链条下端到达斜劈底端这一过程重力做功为 设链条运动至底端的速度为v，有 解得 故选B。 【针对练习12】如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝m的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为3m/s。已知∠AOB＝60°，以OC所在平面为参考平面，取g＝10m/s2。则下列说法中正确的是（　　） A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒 B．铁链在初始位置时其重心高度m C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8m D．铁链的端点A滑至C处时速度大小为6m/s 【答案】C 【详解】A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链受到上边拉链的拉力，该拉力做负功，故机械能不守恒，故A错误； B．根据几何关系可知，铁链长度为 L＝＝2m 铁链全部贴在球体上时，质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心且重心在∠AOB的角平分线上，故铁链在初始位置时其重心与圆心连线长度等于端点B滑至C处时其重心与圆心连线长度，均设为h0，根据机械能守恒定律有 mgh0－mgh0sin30°＝ 代入数据解得 h0＝1.8m 故B错误； C．铁链的端点A滑至C点时，其重心在参考平面下方处，则铁链的端点A滑至C点时其重心下降 Δh＝h0＋＝2.8m 故C正确； D．铁链的端点A滑至C处过程，根据机械能守恒定律有 解得 故D错误。 故选C。 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州安顺·期中）在竖直平面内有一段固定的四分之一粗糙圆弧轨道，圆弧半径为R。一个质量为m的小球从圆弧的圆心等高点滚下，并做匀速圆周运动，小球做圆周运动的线速度为v，已知重力加速度大小为g，小球可视为质点。则下列说法正确的是（    ） A．小球在滚动过程中，轨道对小球的支持力提供小球做圆周运动的向心力 B．小球从B点滚到圆弧最低点C的过程中，克服摩擦力做功为 C．小球滚动过程中受到的摩擦力越来越大 D．小球滚动过程中机械能守恒 【答案】B 【详解】A．小球在滚动过程中，轨道对小球的支持力和重力沿半径方向的分力的合力提供向心力，A错误； B．由动能定理，由B到C过程中动能变化量为0，故，B正确； C．小球做匀速圆周运动，切线方向合力为零，所以摩擦力等于重力沿切线方向分力，重力沿切线方向分力越来越小，摩擦力也越来越小，C错误； D．小球滚动过程受到摩擦力的作用，机械能不守恒，D错误。 故选B。 2．（24-25高一下·辽宁·期中）“雪如意”是北京2022年冬奥会的跳台滑雪场地，其主体建筑设计灵感来自中国传统饰物“如意”。“雪如意”内的部分赛道可简化为高为H、对应水平投影长度为的坡路AB段和水平雪道BC段，如图所示。若某质量为m的运动员从雪道的顶端A点由静止开始加速下滑，到达底端B点后以不变的速率进入水平雪道减速运动，滑行距离后停止。已知坡路和水平雪道的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g，忽略空气阻力。以下说法正确的是（　　） A．运动员在坡路AB段克服摩擦力所做的功为 B．运动员在B点的速度大小v满足的方程式是 C．运动员在坡路AB段重力势能的减少量等于动能的增加量 D．运动员从A运动至B的过程中机械能减少了 【答案】A 【详解】A．设坡路AB倾斜部分的倾角为，投影在水平方向上的长度为x，则坡路AB倾斜部分的长度 运动员在坡路AB段倾斜部分受到的摩擦力 则运动员在坡路AB段倾斜部分克服摩擦力所做的功 也即等同于在长度为x的水平面上克服摩擦力做的功，AB的水平长度为，故A正确； B．由A选项可知，AB段克服摩擦力所做的功为，从到的过程，根据动能定理 所以，故B错误； C．运动员在坡路AB段运动时，重力势能的减少量等于动能的增加量与克服摩擦力做功之和，故C错误； D．运动员从运动至的过程中，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，即，故D错误。 故选A。 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）2025年，“湘超”火爆全网，超240万人次现场观赛、带动消费破136亿元、传播量163亿余次。在某次比赛中，甲队队员在乙队禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上角贴着球门射入，如图，已知球门高度为h，足球飞入球门时的速度为v，足球质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力和足球的大小。设地面为零势能面，则下列说法正确的是（　　） A．足球在空中飞行时受到重力和人对它的踢力 B．足球在空中飞行时机械能不守恒， C．足球在空中飞行时的机械能大小为E D．人对足球做的功为 【答案】C 【详解】AB．足球在空中飞行时，由于不计空气阻力，只受到重力的作用，只有重力做功，足球的机械能守恒，故AB错误； CD．足球在空中飞行时任意时刻机械能不变，刚好射入球门时的机械能包含动能和势能，大小为，这就是整个飞行过程的机械能，也是刚被踢出时人做的功，则C正确，D错误。 故选C。 4．（24-25高一下·北京·期末）如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环（可视为质点）从大环的最高处由静止滑下，重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为（　　） A．Mg-5mg B．Mg+4mg C．Mg+5mg D．Mg-4mg 【答案】C 【详解】小圆环到达大圆环最低点时满足 对小圆环在最低点，由牛顿定律可得 对大圆环，由平衡条件可知 由牛顿第三定律有 联立解得 由牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小也为，故选C。 5．（25-26高一上·湖南永州·期末）如图所示，水平光滑长直杆上套有一物块Q。一根轻绳跨过悬挂于O点的固定轻小光滑圆环，轻绳的一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是（　　） A．当θ=90°时，Q的速度最大 B．当θ=30°时，P、Q的速度之比是 C．当θ向90°增大的过程中，P一直处于失重状态 D．当θ向90°增大的过程中，Q的合力一直增大 【答案】A 【详解】A．P、Q只有重力做功，系统的机械能守恒，P的机械能最小时，即为Q到达O点正下方时，此时Q的速度最大，即当时，Q的速度最大，故A正确； B．P、Q用同一根绳连接，根据投影定理可知，Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，如图所示 则当时，可知 解得，故B错误； C．根据投影定理可知，Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，当时，Q沿绳子方向的分速度为零，由于P的速度即绳子的速度，则P的速度为零，可知P先加速后减速，所以P先失重后超重，故C错误； D．当θ向90°增大的过程中，Q的合力逐渐减小，当时，Q的速度最大，加速度最小，合力最小，故D错误。 故选A。 6．（25-26高一上·河北保定·期末）如图所示，某人从高出水平地面h的坡顶上水平击出一个质量为m的高尔夫球（可视为质点），坡顶可视为半径为R的圆弧，高尔夫球飞出前瞬间对坡顶的压力恰好为0。高尔夫球落入水平地面的A洞中（不计洞穴的宽度及深度），不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．该球在空中运动的时间为 B．该球飞出的初速度大小为 C．A洞到坡顶的距离为 D．该球落入A洞时的动能为 【答案】D 【详解】A．高尔夫球被击出后做平抛运动，其竖直方向有 解得该球在空中运动的时间，故A错误； B．高尔夫球飞出前瞬间对地面的压力恰好为0，则重力提供向心力，有 解得该球飞出的初速度大小为，故B错误； C．A洞到坡顶的水平距离为 根据勾股定理，A洞到坡顶的距离为，故C错误； D．根据动能定理有 解得该球落入A洞时的动能，故D正确。 故选D。 7．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图，在地面上以初速度抛出质量为的物体，抛出后物体落在比地面低的海平面上，重力加速度为，若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则（　　） A．物体在海平面上的重力势能为 B．重力对物体做的功为 C．物体在海平面上的动能为 D．物体在海平面上的机械能为 【答案】D 【详解】A．以地面为参考平面，海平面低于地面的高度为，所以物体在海平面上时的重力势能为，故A错误； B．重力做功与路径无关，与初、末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为，故B错误； C．由动能定理得 则物体在海平面上的动能为 故C错误； D．根据机械能守恒知，物体在海平面上的机械能等于抛出时的机械能，即机械能，故D正确。 故选D。 二、多选题 8．（25-26高一上·山东济南·期末）如图所示为某次蹦极运动的简化过程。弹性绳的一端固定在点，另一端和运动员相连。运动员从点自由下落，至点弹性绳刚好伸直，然后到达最低点，整个过程忽略空气阻力，该过程中下列说法正确的是（　　） A．从点到点的过程中弹性绳的弹性势能先减小后增大 B．从点到点的过程中运动员的重力势能一直减小 C．从点到点的过程中运动员的动能先增大后减小 D．从点到点的过程中运动员的机械能增大 【答案】BC 【详解】A．从点到点的过程中，弹性绳的形变量变大，则弹性势能增大，故A错误； B．从点到点的过程中，运动员的高度一直减小，则重力势能一直减小，故B正确； C．从点到点的过程中，开始阶段，重力大于弹力，合力向下，与速度同向，运动员的动能增加，靠近C点阶段，运动员做减速运动，动能减小，故C正确； D．从点到B点的过程中，只有重力做功，运动员机械能不变；从点到点的过程中，弹力对运动员做负功，机械能减小，故D错误。 故选BC。 9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端系一物块，把弹簧压缩一段距离后（为弹簧原长时的位置），在的右边再紧贴着放另一相同的物块。然后撤去外力。A、B均可视为质点。则此后运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．若地面光滑，A、B组成的系统回到点时动能最大 B．若地面光滑，弹簧减小的弹性势能等于增大的动能 C．若地面粗糙且A、B能够分离，则分离时的位置一定在点 D．若地面粗糙且A、B能够分离，则分离时的位置一定在点左侧 【答案】AC 【详解】A．若地面光滑，A、B组成的系统在弹簧弹力作用下加速，当弹簧恢复原长（O点）后，弹簧开始拉伸，系统开始减速。因此，系统动能最大的位置是O点，故A正确； B．若地面光滑，根据能量守恒，弹簧减小的弹性势能等于 A、B两物块增加的动能之和，故B错误； CD．设A、B质量均为m，动摩擦因数为μ，AB分离时AB间弹力为0且AB加速度相同，规定向右为正方向，则分离时B的加速度（方向向左） 对A有 联立解得 可知分离时的位置一定在O点，故C正确，D错误。 故选AC。 10．（24-25高一下·山东泰安·期末）如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 【答案】AC 【详解】AB．若要把链条全部拉回桌面上，只要克服垂于桌面外的部分的重力做功即可，至少要克服重力做的功，A正确，B错误； CD．若自由释放链条，只有重力做功整个链条的机械能守恒，取桌面为参考平面，则有 解得，C正确，D错误。 故选AC。 11．（24-25高一下·贵州毕节·期末）如图，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端安装有一轻质光滑定滑轮。一根轻质细线跨过滑轮与物块A、B相连，A与滑轮间的细线与斜面平行。A的质量为m，B的质量为2m。初始时，A被锁定在斜面，B悬停于空中。解除锁定，两物块开始运动，不计空气阻力，物块B下降h（未着地）的过程，下列说法正确的是（　　） A．物块B的机械能守恒 B．物块B下降h时A的速度大小为 C．此过程轻绳对物块A所做的功为 D．物块B减小的重力势能大于A、B两物块增加的动能之和 【答案】BD 【详解】A．物块B下降过程中，轻绳对B做负功，所以物块B的机械能不守恒，故A错误； B．对A、B两物块组成的系统，根据机械能守恒定律有 解得物块B下降h时A的速度大小为，故B正确； C．设此过程轻绳对物块A所做的功为，对物块A列动能定理方程有 解得，故C错误； D．因为A、B两物块组成的系统机械能守恒，所以物块B减小的重力势能等于物块A增加的重力势能与A、B两物块增加的动能之和，所以物块B减小的重力势能大于A、B两物块增加的动能之和，故D正确。 故选BD。 12．（25-26高一上·山东济南·期末）质量为的物体在水平力作用下由静止开始沿水平面做直线运动，物体的加速度随时间的变化规律如图所示，下列说法正确的是（　　） A．时物体的运动方向发生改变 B．时物体的速度大小为 C．内，合外力对物体做功为 D．内，合外力对物体做功为 【答案】BD 【详解】A．0~2s内，物体沿正方向做匀加速直线运动，时物体速度不为0，运动方向不改变。故A错误； B．由面积法得时物体的速度大小为 故B正确； CD．时物体的速度 内，合外力对物体做功为 故C错误，D正确。 故选BD。 13．（25-26高一上·浙江台州·期末）如图所示，小球以初速度抛出（方向如图中箭头所示），已知小球运动的最小速度为v，不计空气阻力，抛出点距地面足够高，下列说法正确的是（　　） A．小球的速度为v时重力势能最大 B．小球速度由v增加到2v所用时间为 C．小球在相等时间间隔内速度的变化量不同 D．小球运动到与抛出点等高位置时的速度和初速度相同 【答案】AB 【详解】A．小球运动过程中机械能守恒，小球运动的速度最小时，动能最小，重力势能最大，故A正确； B．小球在最高点到速度最小时，方向水平向右，小球速度由v增加到2v所用时间为，故B正确； C．小球只受重力作用，加速度为重力加速度，在相等时间间隔内速度的变化量相同，故C错误； D．根据机械能守恒定律结合对称性可知，小球运动到与抛出点等高位置时的速度和初速度大小相等，方向不同，故D错误； 故选AB。 14．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆、，两杆无限接近但不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个可视为质点的小球a、b质量均为，a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用长度为的刚性轻杆连接。将a球从图示位置由静止释放（轻杆与杆夹角为45°），不计一切摩擦，已知重力加速度为，下列说法中正确的是（　　） A．b球的速度为零时，a球的加速度大小一定等于 B．a球由静止下落0.5m时，b球速度大小为0 C．b球的最大速度为 D．a球的最大速度为 【答案】BC 【详解】A．初始时刻a、b的速度均为零，a球除重力外还有杆的支持力，其加速度小于g；当b球先向右加速再向右减速到零时，a球到达所在面，在竖直方向只受重力作用，加速度等于g；综上两种情况可知b球的速度为零时，a球的加速度大小不一定等于，故A错误； B．a球由静止下落0.5m时，刚好到达所在面，此时b球到达最右端，轻杆未断或弯曲，则b球的速度一定为零，故B正确； C．当a球运动到两杆的交点后再向下运动L距离，此时b达到两杆的交点处，a的速度为零，b的速度最大设为，由机械能守恒得，解得，故C正确； D．a球运动到两杆的交点处，b的速度为零，设此时a的速度为，由机械能守恒得，解得，此时a球的加速度大小为g，且方向竖直向下，与速度方向相同，球会继续向下加速运动，速度会进一步增大，即a球的最大速度一定大于，故D错误。 故选BC。 15．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图所示，物块甲套在光滑的细直杆上，杆倾斜固定放置，与水平方向夹角为，轻质细线跨过光滑定滑轮，与物块甲、乙相连，物块甲、乙的质量均为m。甲在平行于杆方向的拉力作用下静止在A点，此时与甲连接的细线刚好水平，滑轮与A点的间距为2L，乙悬在空中。现让甲从A点由静止释放，当甲运动到B点时，与甲连接的细线刚好与杆垂直，重力加速度为g，运动中细线始终伸直，则甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块甲、乙组成的系统机械能守恒 B．细线对物块乙所做的功为－mgL C．物块甲的重力势能增加了 D．物块甲经过B点时的动能为 【答案】ABD 【详解】A．细直杆光滑，系统没有机械能向其他形式的能量转化，故物块甲、乙组成的系统机械能守恒，故A正确； B．甲从A点运动到B点时，其速度沿绳方向的分量为0，故此时乙的速度为0，且乙下降的高度为，对乙，根据动能定理，其中重力做功为，故细线拉力做功为，故B正确； C．由几何关系可知，甲的高度下降了，所以甲的重力势能减小了，故C错误； D．甲经过B点时的动能为，根据系统机械能守恒可得 解得，故D正确。 故选ABD。 16．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距L，B放在地面上。A、B通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，A、B可视为质点，重力加速度大小为g，A落地后不反弹。则（　　） A．A一直加速，B也一直加速 B．在A落地之前轻杆对B一直做正功 C．A刚到达地面时的速度大小为 D．当A的机械能最小时，水平面对B的支持力大小为mg 【答案】CD 【详解】A．当A刚落地时，B的速度为零，可知B先加速后减速，故A错误； B．滑块B 初速度为零，末速度也为零，可知轻杆对B先做正功后做负功，故B错误； C．当滑块A运动到最低点时滑块B速度为零，设A刚到达地面时的速度大小为v，A、B构成的系统机械能守恒有 解得 故C正确； D．A、B构成的系统机械能守恒，当A 的机械能最小时，B的机械能最大，即速度最大，此时B的加速度为零，杆对A和B的弹力为零，地面对B的支持力大小等于B的重力，故D正确。 故选CD。 三、解答题 17．（24-25高一下·福建泉州·期末）某同学用如图所示的模型探究“过山车”运动。弧形轨道AB、圆轨道BC、弧形轨道BD、倾斜轨道DE、水平轨道EF均在同一竖直面内。两点分别为圆轨道的最低点和最高点，E、C两点等高，B、D为轨道间的相切点。一小球从A点由静止释放后沿轨道运动，从E点飞出后落到EF上。已知AB的高度差，圆轨道的半径，DE的倾角，小球质量，取重力加速度大小，，不计一切摩擦。求小球： (1)经过点时的动能； (2)经过C点时受到圆轨道的弹力大小和方向； (3)在轨道EF上的第一个落点到E点的距离。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3) 【详解】（1）小球从A到B过程机械能守恒，则有 解得 （2）小球从A到C过程机械能守恒，则有 小球经过C点时，根据牛顿第二定律得 解得 方向竖直向下。 （3）小球从A到E过程机械能守恒，则有 小球过E点后做斜抛运动，设斜抛运动的时间为，根据对称性，利用逆向思维有 在轨道EF上的落点到E的距离 解得 18．（25-26高一上·贵州遵义·期末）如图所示，半径的光滑圆弧轨道AB固定在竖直平面内，轨道的最低点B的切线水平。右侧的光滑水平面上紧挨着B点静止一平板小车，其质量，长度，小车的上表面与B点等高、距地面的高度。质量的小物块（可视为质点）从圆弧轨道最高点A正上方处由静止释放，恰好从A点进入圆弧轨道，之后滑上平板小车。已知小车上表面与小物块间的动摩擦因数，重力加速度大小取，求： (1)小物块滑到轨道B点时对轨道的压力大小； (2)摩擦力对小物块做的功； (3)当小物块刚着地时，小物块到小车右端的距离。 【答案】(1)50N (2) (3)0.2m 【详解】（1）小物块从释放到B点过程，根据机械能守恒有 解得 小物块在B点有 联立解得小物块在B点受到的支持力大小 根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力大小为50N。 （2）小物块滑上小车后，根据牛顿第二定律可知，m、M加速度大小分别为， 设小物块从小车右端滑离时m、M速度大小分别为，则有， 又因为 联立解得，， 则摩擦力对小物块做的功 （3）小物块滑离小车后做平抛运动，则有 解得 故当小物块刚着地时，小物块到小车右端的距离 学科网（北京）股份有限公司 $