七年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷（新教材沪教版五四制，举一反三，测试范围：七下全册）

**基本信息** 七年级数学期末拔尖卷，90分钟100分，28题覆盖方程、几何、不等式等核心知识，整合跨年级真题素材，通过分层设计与真实情境（如科技算力采购），考查抽象能力、推理意识与模型观念，精准量化学生综合素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|6/12|三角形旋转、平行线性质|改编八年级期末真题（如第3题），考查空间观念| |填空|12/36|不等式整数解、角平分线计算|设置开放题（如第10题），培养创新意识| |解答|10/52|新定义运算、几何综合证明、实际应用|多问递进（如第27题），融合推理能力与应用意识|

七年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．若方程组的解满足，且，则整数k的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程和不等式的综合问题，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题可运用加减消元法，将，用含的代数式表示，然后根据，且，得出的范围，再根据为整数可得出的值． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 把代入②得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴可取0，1，2，3， ∴的个数为4个． 故选：B． 2．一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么图中与相等的角有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】结合三角形内角和、平行线的性质、对顶角相等可得出图中共有7个角为，故可得出答案． 【详解】解：对图中顶点进行标注，如下图所示： ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 又∵，，， 综上，， 共有7个角为， ∴共有6个角与相等． 3．（24-25八年级上·广东中山·期末）如图， 在中， 以点A为圆心，的长为半径作弧， 与交于点E，分别以点E和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线交于点D． 若，， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，求出，推出，再利用三角形的外角的性质求出． 【详解】解：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的解集以及不等式的基本性质．熟练掌握根据不等式的解集确定相关参数的关系，以及不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变这一性质是解题的关键．本题可先根据已知不等式的解集得出关于、的关系，进而确定与的大小关系，再求解不等式．解题思路为：由不等式的解集求出与的关系，判断的正负，最后代入不等式求解． 【详解】解：由得． ∵其解集为， ∴，且． ∴， 将代入，可得 ∴． 把代入不等式，可得， ， ∵， ∴． 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分， ，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可证，再证明，可判定结论，过点作于点，证明，得，可判定结论，根据题意可证，得到，从而判断结论，结合上述证明可得，则有，进而得到可判定结论，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； 故错误，不符合题意； 如图，过点作于点，则， 由的证明可得，， ， ， 点是中点， ， ， ， ，， ， ， ，故正确，符合题意； ， ， 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有，共2个． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的不等式有且只有1个负整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 根据关于x的一元一次不等式的1个负整数解只能是，得出，求出a的取值范围即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的不等式只有1个负整数解， ∴关于x的一元一次不等式的1个负整数解只能是：， ∴， ∴解得：． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为_____________时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，于点D，，．则的长为______． 【答案】8 【分析】在上截取，连接，得出是的垂直平分线，得出相等的边和角，然后利用三角形的外角定理以及等角对等边进行求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·福建漳州·月考）若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系得出，即可求解． 【详解】解：依题意，． 解得：． ∴x的值可以为（答案不唯一）． 11．如图，和均为等边三角形，连接，其中交于点F．若恰好平分，且，则的度数为___________． 【答案】 【分析】首先根据角平分线的定义确定，再结合等边三角形的性质证明，进一步证明，由全等三角形的性质可得，然后由三角形外角的定义和性质求的值即可． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查根据一元一次不等式组的解集求参数，根据一元一次不等式组解集的无解的确定方法：大大小小无解找，确定取值范围即可． 【详解】解：由解得， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴，即m的取值范围是， 故答案为：． 13．如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于_____． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质推出AC=AB，∠CAB=60°，根据旋转的性质得出△CQA≌△BPA，推出AQ=AP，∠CAQ=∠BAP，求出∠PAQ=60°，得出△APQ是等边三角形，即可求出答案． 【详解】解：如图： ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠CAB＝60°， ∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC， ∴△CQA≌△BPA， ∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP， ∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAQ＝60°， 即∠PAQ＝60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴QP＝PA＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△APQ是等边三角形，注意“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于60°． 14．如图，AB∥CD，BE∥DF，∠DBE和∠CDF的角平分线交于点G．当∠BGD＝65°时，∠BDC＝________度. 【答案】50 【分析】根据两直线平行同旁内角互补，得出∠EBD+∠BDF=180°,由角平分线性质得出2∠GBD+2∠CDG+∠BDC=180°，由三角形内角和得出∠GBD+∠GDB=115°,可得∠2GBD+2∠CDG+2∠BDC=230°，结合两式可得出∠BDC的度数.. 【详解】解：∵BE∥DF, ∴∠EBD+∠BDF=180°, ∴∠EBD+∠CDF+∠BDC=180°, ∵BG、DG是∠DBE和∠CDF的角平分线， ∴∠EBD=2∠GBD, ∠CDF=2∠CDG, ∴2∠GBD+2∠CDG+∠BDC=180°, ∵∠BGD=65°, ∴∠GBD+∠GDB=115°, ∴∠GBD+∠CDG+∠BDC=115°, ∴∠2GBD+2∠CDG+2∠BDC=230°， ∴∠BDC=50°. 故答案为：50. 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线性质，内角和定理的综合应用，根据知识点得出对应的结论，观察结论之间的关系进行合理代换角，得出所求的角的度数是解答此题的关键. 15．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在中，为角平分线的延长线上一点，过点作于点，若，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】设，则，根据角平分线的定义得到，，进而得到，根据对顶角相等得到，根据垂线的定义得到，根据三角形内角和求出，进而可求的度数． 【详解】解：设， ∴， ∵为角平分线的延长线上一点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，已知在中，，，．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键．根据题意可得：，，， 从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后分两种情况：当时；当时；从而利用全等三角形的对应边相等列方程求解即可得解． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 和是对应角， 分两种情况：和， 当时， ，， 即，，解得，； 当时， ，， 即，，解得，； 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 17．在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求___________． 【答案】12 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴==， 故答案为：12． 18．如图，中，点是上的一点，，点是的中点，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的面积，灵活运用同高三角形的面积比等于底边长的比是解题的关键．根据点是的中点，得到​；再根据，得到​；最后通过，进而求出． 【详解】解：， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（2026·河北邢台·一模）如图，点，，，在同一直线上，和都是等边三角形，且． (1)求证：； (2)当时，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）分别证明，，再根据证明即可； （2）证明点C与点E重合，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴, 又， ∴， ∴， ∴， 在和中， , ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在中，，， ∴, ∴, ∴, ∵是等边三角形，， ∴, ∴, 即点C与点E重合， ∵和都是等边三角形，且， ∴, ∴． 20．（4分）（24-25七年级下·云南昆明·期末）对于有理数x，y，定义一种新运算，规定：． (1)求的值． (2)若关于正数m的不等式组恰好有3个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据新定义，将x，y的值代入代数式即可； （2）分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得m的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求k的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， 可变形为， 解得； 当时，解得， 此时不等式组无解，不合题意； 当时，解得， 此时可变形为， 解得， ， 原不等式组变形为， 原不等式组恰好有3个整数解， 原不等式组的解集为，3个整数解为：2，3，4， ， 解得． 21．（4分）（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)30 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，线段和差问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质； （1）由得，利用证明，得； （2）先利用证明，得，由（1）知，进而得，利用证明，根据用纸面积为30，求的用纸面积． 【详解】（1）解：正确； 理由：，，， ， 在与中， ， ， ，即测得的长就是的长； （2）（2）由（1）可知， ，， 在与中， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ． 22．（4分）（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）学习平行线的证明后，宋老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是小星和小红的探究思路： 我的猜想是：这两个角相等． 思路如下： 你的猜想不一定正确， 举反例如下：   已知：如图，，． 求证： 证明：      已知：如图，，． …    (1)【猜想与证明】请完成小星的证明过程； (2)【发现与探究】根据小红的反例，探索与之间的关系，并证明； (3)【思考与结论】综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请直接写出这两个角的关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质，关键是熟练掌握“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，同旁内角互补”等平行线的性质定理，并能结合图形进行角的等量代换． （1）利用平行线的同位角相等进行等量代换，证明两个角相等； （2）小红的反例中，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，证明两个角互补； （3）综合前两问的结论，总结出两边分别平行的两个角的关系． 【详解】（1）证明：(已知)， (两直线平行，同位角相等)， (已知)， (两直线平行，同位角相等)， (等量代换)； （2）解：．证明如下： (已知)， (两直线平行，同旁内角互补)， (已知)， (两直线平行，内错角相等)， (等量代换)； （3）解：综上，当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角的关系为相等或互补． 23．（4分）（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点分别在边上，连接交于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由； (2)若平分，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长度． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)16 【分析】（1）根据，即可证明结论； （2）过点F作于点G，求出，得出，证明； （3）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：． 证明：∵， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：过点F作于点G，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（4分）（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某科技公司为开发一款智能助手，需要向云服务商采购两种AI算力资源：图像识别模块（简称模块A）和语言处理模块（简称模块B）． 下面是公司前两年在相同服务商的采购记录，用于建立成本预测模型： 素材1：前两年采购记录 年份 模块A数量（小时） 模块B数量（小时） 总费用（元） 2023 2024 素材2：版本升级说明 2025年起，服务商对模块进行了升级．新版本模块（称为“增强版”）每小时的租用费比旧版高元．为了与历史项目兼容，公司决定： ①当前新项目（项目代号X）使用的为增强版模块； ②已有老项目（项目Y、Z）仍使用旧版模块． (1)分别求出旧版模块A和模块B每小时的租用单价（单位：元） (2)根据老项目Y、Z的预算计划，公司为它们采购旧版模块的总预算为元，且预测模块A使用时间不超过小时，模块B使用时间不超过小时．若实际采购恰好用完全部预算，求模块A和模块B各采购了多少小时？写出符合约束条件的所有解； (3)公司本季度在算力采购上总共花费元．其中，新项目X的“增强版模块A”使用时间，占所有模块（A与B）使用总时长的，且增强版模块A使用时长少于小时．在不列出所有可能的情况下，直接计算出老项目Y、Z使用的“旧版模块B”总时长（小时）为__________． 【答案】(1)旧版模块A单价为元，旧版模块B单价为元； (2)应采购旧版模块A小时、旧版模块B小时或旧版模块A小时、旧版模块B小时； (3)小时． 【分析】（1）根据模块A,B的总费用列方程组即可求解； （2）根据采购旧版模块的总预算为元，模块A使用时间不超过小时，模块B使用时间不超过小时，列不等式组求解即可； （3）设增强版模块A使用小时，旧版模块A使用小时，旧版模块B使用小时，利用采购上总共花费元可列， 把代入可得，利用，且为正整数，列不等式求解即可. 【详解】（1）解：设：旧版模块A单价为元/小时，旧版模块B单价为元/小时 由题意，得 解得 答：旧版模块A单价为元，旧版模块B单价为元； （2）解：设采购旧版模块A小时，旧版模块B小时 由题意，得， 化简，得， ∵，且，均为正整数， ∴，解得， 或 答：应采购旧版模块A小时、旧版模块B小时或旧版模块A小时、旧版模块B小时； （3）解：设增强版模块A使用小时，则所有模块总使用时间小时，旧版模块总使用时间小时 设旧版模块A使用小时，旧版模块B使用小时， ∵， ∴， 增强版A花费：元， 旧版模块花费： 元 总花费： ， 把代入： ， 即 ， ∴， ∵， ∴ 即：， ∵， ∴ 即：， ∵为正整数， ， ∴当 时： ， ， 答：旧版模块B（老项目Y、Z使用）总时长为小时． 故答案为：小时. 25．（6分）如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，则，再由可得出，据此得，进而根据平行于同一条直线的两条直线平行可得出结论； （2）由已知得，，再由（1）的结论得，，据此可求出的度数； （3）设，，根据角平分线的定义得，，，，再由得，由此得，然后由（1）的结论得，据此可得出，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，与的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 由（1）可知：，， ∴； （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】解决平行线间拐点问题的万能钥匙，是过拐点作已知直线的平行线，将拐角拆分为两组内错角，实现角的等量转化；第（1）问证得的基础结论，可直接复用至后续两问，体现了几何题“证一次、用多次”的高效解题逻辑，避免重复推导． 26．（6分）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 27．（8分）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：    (1)【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D． ①求的度数； ②设，请用α的代数式表示． (3)【拓展】如图3，在中，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转,当旋转一周时,运动全部停止.设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①② (3)秒或15秒或秒或秒或秒 【分析】（1）论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； （2）应用：①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得，再推出，再利用平角的性质即可求解；②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论即可求解． （3）拓展：当旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，与重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内，几种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）论证： 延长至D，过点A作，     ∴， ∵， ∴， 即三角形的内角和为． （2）应用： 如图，    ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）拓展： ∵当旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， 如图，与重合前，    当时，， 得   当与重合时，重合时间为秒，此时    当再以原速返回，如图    当时，， 解得， 如图，当时，   , 解得， 当时，如图，,      ∵， ∴， ∴ 综上，t的值为秒或15秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 28．（8分）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点​分别在射线​上，过点​垂直​的直线与过点​垂直​的直线交于点​，则我们把​称为​的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，​分别是​的两条高，两条高交于点​，根据定义，我们知道​是​的“边垂角”或​是​的“边垂角”，​的“边垂角”是____ (2)若​是​的“边垂角”，则​与​的数量关系是____ (3)若​是​的“边垂角”，且​． ①如图2，​交​于点​，点​关于直线​对称点为点​，连接​，​，且​，求证：​， ②如图3，若​，求四边形​的面积． 【答案】(1) (2)相等或互补 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论； ②连接，过点作与延长交于点，证明得，根据等腰三角形的判定与性质求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ， 综上所述，与的数量关系是或； （3）解：①延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ∵，，， ， ， ， ， ∴， 在和中， ，，， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ； ②连接，过点作与延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ∴， ∵ ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴． 过点作于点， ∴， ， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共28题，单选6题，填空12题，解答10题，满分100分，限时90分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．若方程组的解满足，且，则整数k的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么图中与相等的角有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 3．（24-25八年级上·广东中山·期末）如图， 在中， 以点A为圆心，的长为半径作弧， 与交于点E，分别以点E和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线交于点D． 若，， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分， ，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 6．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的不等式有且只有1个负整数解，则a的取值范围是________． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为_____________时，． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，于点D，，．则的长为______． 10．（25-26七年级下·福建漳州·月考）若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 11．如图，和均为等边三角形，连接，其中交于点F．若恰好平分，且，则的度数为___________． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______． 13．如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于_____． 14．如图，AB∥CD，BE∥DF，∠DBE和∠CDF的角平分线交于点G．当∠BGD＝65°时，∠BDC＝________度. 15．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在中，为角平分线的延长线上一点，过点作于点，若，，则的度数为___________． 16．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，已知在中，，，．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为_____． 17．在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求___________． 18．如图，中，点是上的一点，，点是的中点，若，则___________． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（2026·河北邢台·一模）如图，点，，，在同一直线上，和都是等边三角形，且． (1)求证：； (2)当时，连接，求的长． 20．（4分）（24-25七年级下·云南昆明·期末）对于有理数x，y，定义一种新运算，规定：． (1)求的值． (2)若关于正数m的不等式组恰好有3个整数解，求k的取值范围． 21．（4分）（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 22．（4分）（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）学习平行线的证明后，宋老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是小星和小红的探究思路： 我的猜想是：这两个角相等． 思路如下： 你的猜想不一定正确， 举反例如下：   已知：如图，，． 求证： 证明：      已知：如图，，． …    (1)【猜想与证明】请完成小星的证明过程； (2)【发现与探究】根据小红的反例，探索与之间的关系，并证明； (3)【思考与结论】综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请直接写出这两个角的关系． 23．（4分）（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点分别在边上，连接交于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由； (2)若平分，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长度． 24．（4分）（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某科技公司为开发一款智能助手，需要向云服务商采购两种AI算力资源：图像识别模块（简称模块A）和语言处理模块（简称模块B）． 下面是公司前两年在相同服务商的采购记录，用于建立成本预测模型： 素材1：前两年采购记录 年份 模块A数量（小时） 模块B数量（小时） 总费用（元） 2023 2024 素材2：版本升级说明 2025年起，服务商对模块进行了升级．新版本模块（称为“增强版”）每小时的租用费比旧版高元．为了与历史项目兼容，公司决定： ①当前新项目（项目代号X）使用的为增强版模块； ②已有老项目（项目Y、Z）仍使用旧版模块． (1)分别求出旧版模块A和模块B每小时的租用单价（单位：元） (2)根据老项目Y、Z的预算计划，公司为它们采购旧版模块的总预算为元，且预测模块A使用时间不超过小时，模块B使用时间不超过小时．若实际采购恰好用完全部预算，求模块A和模块B各采购了多少小时？写出符合约束条件的所有解； (3)公司本季度在算力采购上总共花费元．其中，新项目X的“增强版模块A”使用时间，占所有模块（A与B）使用总时长的，且增强版模块A使用时长少于小时．在不列出所有可能的情况下，直接计算出老项目Y、Z使用的“旧版模块B”总时长（小时）为__________． 25．（6分）如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 26．（6分）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 27．（8分）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：    (1)【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D． ①求的度数； ②设，请用α的代数式表示． (3)【拓展】如图3，在中，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转,当旋转一周时,运动全部停止.设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 28．（8分）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点​分别在射线​上，过点​垂直​的直线与过点​垂直​的直线交于点​，则我们把​称为​的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，​分别是​的两条高，两条高交于点​，根据定义，我们知道​是​的“边垂角”或​是​的“边垂角”，​的“边垂角”是____ (2)若​是​的“边垂角”，则​与​的数量关系是____ (3)若​是​的“边垂角”，且​． ①如图2，​交​于点​，点​关于直线​对称点为点​，连接​，​，且​，求证：​， ②如图3，若​，求四边形​的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $