2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷）数学模拟卷（一）

**基本信息** 本卷模拟新高考1卷命题模式，通过梯度化题型（如导数综合题、概率统计创新题）考查数学抽象、逻辑推理等核心素养，适配高三模拟预测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、数列等|基础概念辨析，如复数取值范围| |多选|3/18|概率、抛物线、函数性质|多选项逻辑关联，如函数奇偶性判断| |填空|3/15|排列组合、三角函数、立体几何|空间想象与运算，如圆锥容器内壁接触面积| |解答|5/77|解三角形、双曲线、概率统计、导数|综合应用，如概率分布列证明（数学思维）、导数零点与不等式（数学语言）|

2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷） 模拟卷（一） ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案答案不能答在试卷上， 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．已知复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．数列的通项公式分别为，在中去掉中含有的项得到新数列，则的前30项的和为（    ） A．407 B．429 C．465 D．525 5．已知随机变量服从正态分布，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9．已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D．在上是减函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为_________. 13．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______． 14．某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)若，求的周长； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 16．（15分）已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 17．（15分）如图，四棱锥的底面是菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）有编号为的个相同大小的小球，，从中有放回地随机取次，每次取个球，记为这个球中未被取到的球的个数． (1)已知． （i）若，求的分布列； （ⅱ）若，求的概率； (2)若都是离散型随机变量，则．证明：． 19．（17分）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $《2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷）模拟卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D B D 0 A B A BC ABD ACD 1.D 【详解】因为复数z满足z-1-i=1，则z对应的点的轨迹为以(1,1为圆心，1为半径的圆， 2表示的几何意义为圆上点到原点的距离，(1,1)到原点的距离为√2， 则V2-1≤z≤2+1，即l的取值范围为[V2-1,V2+1] 2.C 【详解】由题意得集合A={xr2-5x-6≤0}={x1≤x≤6}， 类合a={g<2r<-{3<<, 根据交集的定义得AnB={x-1≤x<0. 3.B 【详解】由C+3C+3C++3C+3-1+3到-=85，解得n=4 4.D 【详解】因为数列{a}的通项公式是an=n,所以数列{a}为1,2,3,4,5，…， 因为数列{bn}的通项公式是b,=n,所以数列{bn}为13=1,23=8,33=27,4=64，， 得到{a}的前33项中含有1,8,27这3个{bn}中的项， 可得{cn}的前30项为数列{a}的前33项除去三项1,8,27， 故c}前30项的和为a,+a,++a-1+8+27) 33×(1+33) -36=525. 2 5.D 【详解】因为随机变量X服从正态分布N 4日所以E)=4,(x-4 由随机变量期望与方差的性质得，E(2X+1)=2E(X）+1=9,D(2X-1)=22×D(X)=1 6.A 【详解】如图，令0A=a,OB=b,0C=c,则万-c=CB,a-c=CA, 又6-=2，所以点C在以B为圆心，2为半径的圆上， 所以CA的最小值为AB-2, 0a=4,∠a08-号 所以当OB⊥BA时，AB取得最小值，最小值为4×sinT=2V5, 所以CA的最小值为2√-2，即a-的最小值为2√3-2. 7.B 【详解】将圆C的一般方程配方为标准方程： x2+y2-2ax+2by=0=(x-a)2+(y+b)2=a2+b2, 得圆心为(a,-b),半径r=√a2+b2,（ab≠0)， 直线y=x,即x-y=0,圆心到直线的距离为：d=口-b创=血+ V12+(-1)22 a+b 圆与直线相切等价于d=r,代入得： =Va2+b2, √2 两边平方整理得(a-b)2=0,即圆C与y=x相切一a=b, 充分性：若a=b,可得a=b或a=-b,当a=-b时，不满足a=b,圆与直线不相切，因 此充分性不成立， 必要性：若圆C与y=x相切，则a=b，必然满足a=b，因此必要性成立， 综上，a=b是圆C与y=x相切的必要不充分条件. 8.A 【详解】令f-血，/-2nx-血-2-n血x, x2 当3<x<e2时，f'(x)>0,则f(m)单阀递增，所以f(a)>f3),即m>血3y, 3 所以3hπn3 即3log3元>元log.3,所以c<b, 、ln3lnπ 令g田，国xe时，g0,赠g源 所以g(π<g(3),即血<3，即3n元<πn3,也即x<3, 3 所以log.π3)<log.3,所以3<πlog.3,所以a<c, 所以a<c<b, 9.BC 【详解】选项A:由条件概率公式得P(B1A+PBA%1+P(AB-1,故 A错误； 选项B:由概率加法公式得P(AUB)=P(A+P(B)-P(AB), 因为P(AUB)≤1，所以P(A)+P(B)-P(AB)≤1， 则P(A+P(B)≤1+P(AB),故B正确： 选项C:0≤P(AB)≤P(A),0≤P(AB)≤P(B), 所以P(AB)]'≤P(A)P(B),则P(AB)≤√P(A)P(B), 令VP(A)P(B)=t,t∈(0，)， 则8-叫到西-A利P=1=-（-到+ 因为1e0,) --+所以n@-na到+ 当且仅当t=二时取等号，故C正确： 2 选项D:P(BI4)-P(4IB)=PLMB.P(4_PAB P(A)P(B)P(A)P(B) 当PRU4B)=R=PS)或RAB)=0时，才有LP48-PAB1, P(A)P(B) 但0<P(A<1,0<PB)<1, 无法确定P(AB)是否为0及P(A)是否等于P(B),故D错误 10.ABD 【详解】因为抛物线C:y2=4x,所以2p=4,即p=2,准线方程为x=-1, 焦点为F(1,0),设Ax,y),B(x2,2),直线AB:y=V5x-√5， y=3x-V3 y2=4x ,可得3x2-10x+3=0,所以x=3,=3’ AF=3+1=4,所以A正确： 1=4 AF=4,BF=1+3了可得MF=3到BF,所以B正确： -2V3 25 3 =-4,所以C不正确： 3 1 3 o0s-or小-25+2-4 V3+3=3 , 所以D正确。 11.ACD 【详解】令x=y=0,可得f(0)=0,故A正确： 令x=-y,可得f(0)=f(x)+f(-x)+0,即f(x)+f-x)=0,所以函数为奇函数，故B错误： 令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+6x(x+1),两边取导数可得'(x+1)(x+1)=f'(x)+12x+6, 即f'x+1-f'x)=12x+6,故C正确： 由f(x+y)=f(x+fy)+6y(x+y),对y两边求导，∫'(x+y)=f'(y)+6x(x+2y), 令y=0,可得f'(x)=f'(0)+6x2，又f'(0)=-6,所以f'(x)=6x2-6, 当x∈（-1,1)时，f'(x)=6x2-6=6x2-1<0,所以f(x)在(-1,1)上是减函数，故D正确. 12.4320 【详解】将3名女生看成一个整体有A3种排法，再和其他5名男生排成一排有A6种排法，所 以一共有AA=4320种方法. 13.7 【详解】由题意可得 =-1,则有0+=3江+2kxk∈Z, 6 32 解得0=7+12k(k∈Z),则o的最小值为7. 14.5π 【详解】设小球的半径为r,则小球的表面积为S=42-47,解得r= 3 3 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，轴截面如下图所示： 圆O1,O2,O3均与ABC的两条边相切， h水的半径r=0E=0G=0D-58=4C=C=4 得AE=AF=BG=BJ=CK=CD= OE OE =1, tan∠O,AE tan30 又△AFE,△AGD都是等边三角形，则EF=1,GD=AG=AB-BG=3, EF 1 GD 3 圆台的上、下底面圆的半径分别为= 222=2’ 母线长FG=AG-AF=3-1=2, 13 因此圆台的侧面积为π× ×2=4π， 22 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径 JKBC-28_4-2-1, 2 2 其面积为元×12=π， 所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为4π+π=5π， 15.【详解】(1)：sinB=cosC+cos Asin C,A+B+C=π， .sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=cos C+cos Asin C, .sin Acos C cosC,cos C (sin A-1)=0, ∴.c0sC=0或sinA=1, :A,C∈0，)，C=或A= 2 当A=亚时，a边最长，与条件a=b-1<b矛盾，故舍去： 2 当C=时，则c2=a2+b2,又a=b-1,c=b+1, ∴(b+1)2=(b-1)2+b2,解得b=4 .a=3,b=4,c=5,.△ABC的周长为a+b+c=12; (2)存在b=3,理由如下： 显然c>b>a,若ABC为钝角三角形，则C为钝角， 由余弦定理可得c0sC=a2+62-c_(b-1+b2-(b+12_6-4h <0, 2ab 2b(b-1 2bb-1 解得1<b<4, 由三角形三边关系可得a+b>c,即b+b-1>b+1,可得b>2, .b是正整数，故b=3. 16. a2b23 C- c c2 【详解】(1)由题意 2b2 a=1 =6 → 65所以双由线E的标准方程为r2-)=1 3 a2+b2=c2 (2)由题意1：x=,当直线AB斜率为0时，直线PBy=0, 2 当直线AB斜率不为0时，设直线AB的方程为x=my+2，A(x,),B(x2,y2),F(-2,0), 3x2-y2=3→(3m-y2+12my+9=0, x=my+2 所以△=144mr2-36(3m2-)=36(m2+>0,y=3m2-4+%=3m2-i' 9 -12m 直线AE的方程为：y=,(x+2引P 1 5y1 七+2 22(x+2 5y 所以PB的方程为y=一 2x+2(x-x+' 1 X22 由对称性可知PB过的定点一定在x轴上， 1 -y2 2+252 令y=0→x= +X2 +my,+2 y2 5y1 2xy2+4y2-5y 2(x+2 -2y(m+4m,+2 3 -2y2 miyy:+my+4my:+6+2my+my-5myy: +my2+2= +2 2(my+2)y2+4y2-5y 2my1y2+8y2-5y -8myy2-12y+2, 2myy2+8y2-5y 9 yi= 3m2-1 又 3 -12m →m=-4y+2), y+少= 3m2-1 所以术= 6y+=12,一+2=6%-60+2=14 2g+乃)+85-5y 1313 2 2少 13, 14 所以直线PB过定点 0 17.【详解】(1)：AB=SA=√5，BS=4,M是BS的中点， ∴AM⊥BS,且AM=VSA2-SM2=1. 在△SBD中，同理可得DM⊥BS,DM=2.AM2+DM2=AD2,∴.DM⊥AM. 又BS DM=M,BS,DMC平面SBD,.AM⊥平面SBD. (2)设BD与AC相交于点O. 以O为坐标原点，直线OA,OB分别为x,y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴 建立空间直角坐标系，如图， 则A50,0，B0,2,0,C-5,0,0,D(0,-V5,0 M 设S(x,y,z(z>0). SM=x-5j+y2+z2=5 则 -0-+=452 3 sD=x2+0y+2j+z2-22 c--oj.文-(92a=aa 设平面SBC的法向量为n=（x,y,z, nBC=0 -V3x-V2y=0 则 万.SC=0’ 0-75+2p-26-0取=5.5.-列 3 3 设直线AC与平面SBC所成的角为0， 则sm0=os.= CA.n 26 5 c. 2V3x30 15 直线4C与平面S8C所成角的正弦值为√西 15 18.【详解】(1)(i)从5个相同小球中有放回地随机取2次，共有52=25种情况.X,的 取值为3,4. X,=3表示2次取球中未被取到的球的个数为3，即2次取球中取到2个不同编号的球， X,=4表示2次取球中未被取到的球的个数为4，即2次取球中取到的是同一个编号的球， 525 所以X2的分布列为 X2 3 4 P 4 1 -5 5 (i)Xm=3表示m次取球中未被取到的球的个数为3个 即m次取球中取到2个不同编号的球，从5个相同小球中有放回地随机取m次，共有5m种情 况，X。=3时有C(2”-2）种情况，所以X。=3的概率为C(2-2_2(2-2 Su 5m-1 (2)从n个相同小球中有放回地随机取m次中，定义随机变量I,其中I:=1表示第k个小 球未被取到，I=0表示第k个小球至少被取到1次，则I服从两点分布， 所以Xm=11+12+3+…+1n 由题意灯E(x.)=E=∑P4=), 又P4.==（”元八所以(x=, 所2EX=m〔厂=n1月八因为0<11，所以： 小 故∑E(Xm)<n2-n. m=l 19.【详解】(1)函数f(x)=ax2+nx+1的定义域为(0，+o∞)，所以 f(y)=2ax+1-1(2ar2+l, :f()=a+1,f'(1=2a+1, ∴.曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-(a+1)=(2a+1)(x-1), 把(0，-1)代入，得a=1. 2)令f(x=0、得a="、，令y=，则少=← 3 当0<x<时，y'<0,则y=-血x+1在 1 上单调递减， .1 当七s1N,y'>0，则y=-x在Ve∞ 上单调递增， 当=时， 21 当x>0且趋近于0时，y=-血x+ 趋近于+0； 当x趋近于+0时，y=-血x+!<0且趋近于0， “要使函数f(x)有两个零点，只需-。<a<0,即实数a的取值范围为 (3)当a=1时，要证f(x)≤xe+x2-x成立，即证lnx+1≤xe-x成立， i记g国=hx+1-e+,期g-x+小e+1=x+ex>0. i记)=1-e,x>0, :y=上和y=-e在(0，+0)上均单调递减，h()=1-e‘在(0，+)上单调递减， 付-2-6>0，k0=1-e<0.存在xe行 使得hxo)=0, 即h(x,=-e=0,,e=1,x,=-ln, 当0<x<x时，h(x)>0,即g'x>0, g(x)在(0，xo)上单调递增，当x>,时，h(x)<0,即g'(x)<0, ·g(x)在(xo,+o）上单调递减.g(x)max=gx)=lnx-xe+x+1=--1+x+1=0, ∴g(x)≤g(x)max=0,故1nx+1-xe+x≤0成立，原命题得证.