精品解析：重庆西藏中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

重庆西藏中学校2024-2025学年度下期半期考试 高二年级数学试题卷 命题人：曾刚 审题人：蒙琳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ） A. 3，3 B. 3，－1 C. －1，3 D. －2，－2 2. 一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 3. 在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ） A. B. C. D. 4. 国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ） A. 65 B. 125 C. 780 D. 1560 5. 设，随机变量分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 6. (x2+1)(x－2)10＝a0(x－1)12＋a1(x－1)11＋…＋a11(x－1)1＋a12，则a0＋a1＋…＋a11的值为（ ） A. 2 B. 0 C. －2 D. －4 7. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下面几种概率是条件概率的是（ ） A. 甲、乙两人投篮命中率分别为，，各投篮一次都投中的概率 B. 猎人打猎时，有一猎物在米处，第一次击中的概率是，在第一次没有击中的情况下，猎物逃跑到米处，第二次击中的概率 C. 一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，则这个家庭在有一个小孩是女孩的条件下，另一个是男孩的概率 D. 小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量等可能取,,,,，如果，则 B. 若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C. 已知，则 D. 已知随机变量，则 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 只有一个零点 C D. 若在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线方程为______． 13. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 14. 已知随机变量的分布列为： 其中，，若，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？ （1）男生甲不站排头和排尾． （2）两名女生必须相邻． （3）甲、乙、丙三名同学两两不相邻． （4）甲不站排头，乙不站排尾． 16. 已知函数. （1）当时，求函数在上的极值； （2）当时，求函数的单调区间． 17. 在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求： （1）在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； （2）第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球概率. 18. 衡阳市八中对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立． （1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； （2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量分布列及数学期望． 19 已知函数. （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若，当时，证明：恒成立； （3）若函数在处的切线与直线垂直，且对任意的恒成立，求的最大整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆西藏中学校2024-2025学年度下期半期考试 高二年级数学试题卷 命题人：曾刚 审题人：蒙琳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ） A. 3，3 B. 3，－1 C. －1，3 D. －2，－2 【答案】D 【解析】 【分析】由切线在的函数值求得，由切线的斜率得到. 【详解】由题意得，. 故选：D. 2. 一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率值判断相等，再应用独立事件概率乘法公式判断独立事件. 【详解】因为A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，A与B不相等，D选项错误； 则, ,A与B相互独立，C选项正确； A与B可以同时发生，A选项错误；B选项错误； 故选：C. 3. 在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求特定项的二项式系数. 【详解】已知的展开式第项为， 当，为含项，二项式系数为. 故选：C. 4. 国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ） A. 65 B. 125 C. 780 D. 1560 【答案】D 【解析】 【分析】6个人先分成4组，再进行排列，最后用乘法原理得解. 【详解】6人分成4组有两种方案：“”、“”共有种方法， 4组分配到4个大门有种方法； 根据乘法原理不同的分配方法数为：. 故选:D. 5. 设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据期望公式求出，再将其代入方差公式得到关于的函数，最后通过求函数的最小值来确定的值. 【详解】根据期望公式可得： 根据方差公式 则对称轴， 所以当时，方差取得最小值 故选：B. 6. (x2+1)(x－2)10＝a0(x－1)12＋a1(x－1)11＋…＋a11(x－1)1＋a12，则a0＋a1＋…＋a11的值为（ ） A. 2 B. 0 C. －2 D. －4 【答案】C 【解析】 【分析】运用赋值法，令x＝1，求得a12，再令x＝2，求得a0＋a1＋…＋a11＋a12．可得选项. 【详解】由题意，令x＝1，得a12＝(12＋1)(1－2)10＝2； 再令x＝2，得a0＋a1＋…＋a11＋a12＝(22＋1)·(2－2)10＝0．所以a0＋a1＋…＋a11＝－2． 故选:C． 【点睛】本题考查运用赋值法求关于二项式展开式中的系数和的问题，属于中档题. 7. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.然后分别求出各种情况的概率，加起来即可；也可以构建二项分布模型解决. 【详解】解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜. 乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为. 所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为. 解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙最终获胜的概率为. 故选：C. 8. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的零点，极值，单调性，最值和导函数的关系，求出函数单调性，判断零点和极值点，和函数最大值，依次判断各选项正误. 【详解】已知，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得极大值，，所以A正确； 当时，，当时，且， 所以只有一个零点，且零点在之间，所以B错误； 已知，，可得， 因为在上单调递减，所以，所以，所以C正确； 当在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，所以，所以D正确. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下面几种概率是条件概率的是（ ） A. 甲、乙两人投篮命中率分别为，，各投篮一次都投中的概率 B. 猎人打猎时，有一猎物在米处，第一次击中的概率是，在第一次没有击中的情况下，猎物逃跑到米处，第二次击中的概率 C. 一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，则这个家庭在有一个小孩是女孩的条件下，另一个是男孩的概率 D. 小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 【答案】BC 【解析】 【分析】条件概率是指事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率，我们需要根据这个定义，对每个选项进行分析，判断其是否为条件概率. 【详解】A、是计算两人同时投篮命中这一普通事件的概率，并没有涉及到一个事件在另一个事件已经发生的条件下的概率，所以它不是条件概率；  B、此概率是在“第一次没有击中”这个事件已经发生的条件下，计算第二次击中的概率，符合条件概率的定义，所以它是条件概率； C、这是在“有一个小孩是女孩”这个事件已经发生的条件下，去求另一个小孩是男孩的概率，符合条件概率的定义，所以它是条件概率； D、这只是在计算小明上学遇到红灯这一普通事件的概率，没有体现出一个事件在另一个事件已发生条件下的概率，所以它不是条件概率. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量等可能取,,,,，如果，则 B. 若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C. 已知，则 D. 已知随机变量，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概率及互斥事件的概率求解判断A；利用分布列的性质列式计算判断B；利用排列数、组合数公式求解判断C；利用二项分布的期望公式及期望性质计算判断D. 【详解】对于A，由随机变量等可能取，得， 则，，A正确； 对于B，随机变量的概率分布为， 则，解得，B错误； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，由随机变量，得，则，D正确. 故选：ACD 11. 对于函数，下列说法正确有（ ） A. 在处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，求导，得到函数单调性，求出极大值，所以A正确；B选项，B选项，在A基础上，结合零点存在性定理得上存在唯一零点；C选项，在A基础上，由单调性得到C正确；D选项，参变分离，得到在上恒成立，令，求导，得到函数单调性，最大值，得到D错误. 【详解】A选项，已知，则，， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在上取得极大值，极大值，所以A正确； B选项，由A知，在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 当时，恒成立， 由零点存在性定理得上存在唯一零点， 所以只有一个零点，所以B正确； C选项，因为在上单调递减，， 所以，所以C正确； D选项，当在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在上取得极大值，也是最大值，最大值， 则，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，结合直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 13. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 【答案】252 【解析】 【分析】 根据展开式中所有二项式系数的和等于，求得．在展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项． 【详解】∵在的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴，解得， ∴中，， ∴当，即时，常数项为． 故答案为：252． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 14. 已知随机变量的分布列为： 其中，，若，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得a，然后由期望公式可得m、n的关系，最后巧用“1”和基本不等式可得. 【详解】由分布列性质可知 所以 所以 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？ （1）男生甲不站排头和排尾． （2）两名女生必须相邻． （3）甲、乙、丙三名同学两两不相邻． （4）甲不站排头，乙不站排尾． 【答案】（1）种 （2）种 （3）种． （4）种 【解析】 【分析】（1）先考虑甲的位置，再全排列即可求解， （2）根据相邻问题捆绑法即可求解， （3）根据不相邻问题插空法即可求解， （4）根据全排列，结合正难则反即可求解. 【小问1详解】 由于甲不站排头也不站排尾，所以甲要站在除去排头和排尾的四个位置， 余下的五个位置使五个元素全排列， 根据分步计数原理知共有种； 【小问2详解】 两名女生必须相邻，利用捆绑法，有种 【小问3详解】 甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法， 首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有种结果， 再在三个元素形成的四个空中排列个元素，共有， 根据分步计数原理知共有种． 【小问4详解】 甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法，可得有种． 16. 已知函数. （1）当时，求函数在上的极值； （2）当时，求函数的单调区间． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）的单调递增区间为，，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据函数极值和导函数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间，判断函数极值. （2）根据函数单调性和函数导数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为，则， 令，即，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以在上的极小值小值为，无极大值； 【小问2详解】 当时，函数，定义域为， 则， 令，解得或， 当，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为. 17. 在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求： （1）在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； （2）第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可； （2）根据概率乘法公式计算即可. 【小问1详解】 设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 第一个人摸出个红球后，盒子中还有9个球，其中4个红球，5个白球， 故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率. 【小问2详解】 设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件， 所以 18. 衡阳市八中对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立． （1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； （2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核为优秀”为事件，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件．则利用对立事件即可求出结果；（2）由题意，得的可能取值是3，4，5，6．列出的分布列，即可求出结果． 试题解析：（1）记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核为优秀”为事件，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件． 则． （2）由题意，得的可能取值是3，4，5，6． 因为， ， ， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 ＝3×＋4×＋5×＋6×＝． 考点：1．对立事件的概率；2．数学期望． 19. 已知函数. （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若，当时，证明：恒成立； （3）若函数在处的切线与直线垂直，且对任意的恒成立，求的最大整数值. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）证明见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可； （2）构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明； （3）根据导数的几何意义求出，将原问题转化为对，恒成立，利用导数分类讨论研究的性质求出，令即可. 【小问1详解】 当时，，， 令可得，故当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 故递减区间为，递增区间为， 函数的极小值是唯一的极小值，无极大值. 又， 在上的最大值是，最小值是； 【小问2详解】 当时，令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. 【小问3详解】 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 设，则， 令，得. 当即时， 由，得；由，得， 所以函数区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，需，得. 当时，，成立；当时，，不成立；当时，都不成立， 所以实数的最大整数值为3. 当即时，，，在上单调递增， 所以，符合题意. 综上，实数的最大整数值为3. 【点睛】方法点睛：利用导数证明形如的不等式恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$