2026年中考数学二轮专题备考预测练：二次函数综合问题（相似三角形问题）

**基本信息** 聚焦二次函数与相似三角形综合应用，通过分类讨论、比例线段转化等方法构建系统性解题框架，强化代数几何融合的逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |综合应用|13题|分类讨论相似判定、坐标参数化、辅助线构造|以二次函数性质为基础，通过坐标转化建立相似三角形对应关系，形成"函数表达式→几何图形→数量关系"的推理链条|

2026年中考数学二轮专题备考预测练： 二次函数综合问题（相似三角形问题） 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)已知轴上的动点，连接，若与相似，求点的坐标． 2．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 3．已知，关于的二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象顶点为，连接、、． (1)请直接写出点A、B、C、D的坐标（用数字或含a的式子表示）： A ；B ；C ；D ； (2)作出点关于对称轴的对称点，连接、、，若和相似，求a的值； (3)若，直接写出a的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 5．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接． (1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式； (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． (3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标______；______；______； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 8．综合应用 如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、． (1)求b、c的值及的度数； (2)如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、． ①当时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值． 9．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 11．如图所示，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式，点C及顶点M的坐标． (2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交x轴于点E，若点P是线段上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图1，连结，，求的面积的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 1．(1) (2)或 【分析】（1）先将点代入直线中，求出，再求出抛物线的对称轴为，将代入直线中，即可求出点的坐标； （2）根据题意得：，，若与相似，分和两种情况讨论即可； 【详解】（1）解：将点代入直线中，则， 解得：， ∵抛物线的对称轴为， 将代入直线中，则， ∴点的坐标为； （2）解：根据题意得：，， 如图，当时， 此时，， 由（1）知， ∴； 如图，当时， 此时，， ∴， 设， 令中，则， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键． 2．(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：（ⅰ）， 当时，， 点坐标为， 当时，， 解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形；     （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用． 3．(1) (2)见解析， (3) 【分析】（1）把、分别代入函数解析式可求出、、坐标，再求出抛物线的对称轴即可求出的坐标； （2）根据对称性可得，，再根据和相似得，即可得，解方程即可求解； （3）设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，2为半径画圆，连接，可知当点在上或内时，，得，即得，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ， 把代入得，， ， ， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 顶点为， 故答案为：；；；； （2）解：如图1，点、关于对称轴对称，，点在对称轴上， ，， ， 和相似， ， ， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ； （3）解：设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，2为半径画圆，连接，如图2， 当点在上或内时，， ， 即， 解得， 又， ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，顶点坐标，相似三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，根据题意，正确画出图形和作出辅助线是解题的关键． 4．(1)，顶点坐标为 (2) (3)点E的横坐标为2或 【分析】（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函数解析数，将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到，求得点的纵坐标为4，解方程即可得到； （3）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，设，则，，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， 设在上的高为，在上的高为， ∵与的面积相等， ∴， ， 点的纵坐标为， 当时，即， 解得（舍去），， ； （3）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当时， 则， ， 解得或， 且， ， 当时， 则， ， 解得或不合题意舍去， 点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键． 5．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设抛物线的表达式为：，将代入得，，可求，进而可得抛物线的表达式； （2）由题意知，，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图，由，可得的垂直平分线过原点，且平分第一、三象限，进而可得表达式为：，联立，计算求解，进而可得点E坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由题意知，， 当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∴； 当时，，即， 解得，， ∴； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图， ∵， ∴的垂直平分线过原点，并且平分第一、三象限， ∴表达式为：， 联立， 解得，，， ∴点E或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式是解题的关键． 6．(1)，，； (2)最大值为； (3)点坐标为或． 【分析】（）当时，解出的值，即可知道点坐标； 当时，解出的值，即可知道点坐标； （）过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，设 ，求出长度，再转化的面积，得到 ，进而可求出面积最大值； （）通过计算可得，进而可知只可能存在和 两种情况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可； 本题考查了二次函数综合问题、面积最值问题以及相似三角形性质，能够正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线 与轴交于两点，且与轴交于点， ∴当时，，解得，， 当时，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）如图，过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点， 由题意得， 解得 或， ∴， 设，则， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的面积的达到最大值，最大值为； （3）如图，过点作 轴，垂足为点， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， 又∵， ∴，，， 设，则， ∵， ∴只可能存在和 两种情况， 当时， ∴，即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得， 综上点坐标为或． 7．(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可； （3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式为：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 8．(1)，， (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可；先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出即可； （2）①如图2，延长交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而得到，再证明四边形是平行四边形得到，然后解方程求解即可； ②如图3，连接，，过N作轴于G，根据题意分两种情况：和，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得； 则，∴， 当时，，则， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①如图2，延长交x轴于G， 由题意，，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，则，即， 解得，， 当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去， ∴； ②如图3，连接，，过N作轴于G， 由①知，，则， ∵,， ∴要使与相似，分两种情况： 当时， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴（不合题意，舍去）； 当时，则，又， ∴是等腰直角三角形，∴，, ∴，则， 此时， ∵，， ∴， ∴，又， ∴， 综上，当时，与相似． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 9．(1)抛物线的函数表达式为； (2)在射线上存在点，其坐标为：或或． 【分析】本题考查二次函数的综合运用，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，则，设，则，则，求出的值，即可求解；当时及当时，同理可解． 【详解】（1）解：（1）把点，代入，得： 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）（2）令，解得或8， ， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设直线的表达式为：， 则，解得：， 则直线的表达式为：， 为等腰直角三角形， 当时，， ； ①当时，则， 设， 则， ， 解得（舍去）或6． ； ②当时，则， 设， 则， ， 解得：（舍去）或． ； ③当时，则，， 此时的点与点关于对称， ． 综上，在射线上存在点，其坐标为：或或． 10．(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）将代入得，，计算求解，进而可得抛物线的解析式； （2）当时，，即，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，，由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）如图，在上取点，使，连接，证明，则，由，可得，则，如图，作关于直线的对称点，连接，，则，，，可得，即当时，为直线与抛物线的交点，由（2）可知，是抛物线上的点，进而可知重合，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，，， 由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，， ∴， 解得，或（舍去）或（舍去）， ∴； 当时，， ∴轴， 把代入，得， ∴，， ∴，成立； 综上所述，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，或； （3）解：如图，在上取点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，为直线与抛物线的交点， 由（2）可知，是抛物线上的点， ∴重合， ∴存在点P，使得，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 11．(1)，， (2)存在，或或 (3)存在，或 【分析】（1）利用交点式直接求出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式求出点C和顶点M的坐标即可； （2）先求出抛物线的对称轴为 ，设点 ，然后分三种情况：当为对角线时；当为对角线时；当为对角线时，利用中点公式，即可求解； （3）先求出点 ，再求出直线的解析式，可得到，然后两种情况：当 时和当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于两点 ∴， ∴顶点坐标为， 当时，， 点； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ， 根据（1）可知：点 ， 设点 ， ∵， 当为对角线时，另一条对角线为， ∴ ， 解得： ， ∴此时点； 当为对角线时，另一条对角线为， ∴ ， 解得： ， ∴此时点； 当为对角线时，另一条对角线为， ∴， 解得：， ∴此时点； 综上所述，点G的坐标为或或； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，， ∵， ∴点 ， 设直线的解析式为 ， 把点 ， ，代入得： ， 解得：， ∴直线CM的解析式为 ， 当 时， ， ∴点 ， ∴，且， ∴， ∴， 设 ， 又∵点P在线段上， ∴ ， ∴ ， ， 当 时， ， 即 ， 解得： ， ∴此时点 ； 当时， ， 即 ， 解得： ， ∴此时点 ， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形性质等知识，解决问题的关键是正确分类． 12．(1) (2)； (3) (4)存在，或 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案； （3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到． 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形结合是解题的关键． 13．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）过点P作轴，交直线于点E，结合抛物线，直线解析式，设，则，则，表示出，利用二次函数的最值解答即可． （3）根据点，点，得到，继而得到，分和两种情况解答，设，则列出比例式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：过点P作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则，则， ∴， ∴当，的面积最大，且最大值为． 故当，的面积取得最大值，且最大值为． （3）点、、为顶点的三角形与相似，且或． 理由如下： 当时， 得， ∴， ∵点，， ∴点是抛物线上的一对对称点， 设，则， 解得， 此时； 当时， ∵点，点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去），或（舍去），（舍去）， 此时； 综上所述，点、、为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数，配方法求最值；两点间距离公式；三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值，准确解方程是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $