二次函数与几何图形综合题（与相似三角形问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与相似三角形综合应用，通过基础巩固、综合提升、拓展创新三层设计，构建从单一知识到中考压轴题的递进路径，培养逻辑推理与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数解析式求解、简单相似判定|选用期末/月考题，如第1-3题，强化坐标运算与相似基本模型| |综合层|面积最值、动态相似分类讨论|整合期中/开学考题，如第4-8题，训练多情况推理与代数几何融合| |拓展层|复杂动点、多图形综合证明|采用模拟/全国二轮题，如第9-13题，提升中考压轴题解题能力，渗透模型观念|

二次函数与几何图形综合题（与相似三角形问题）归纳练2026 年中考数学二轮复习备考 1.(2024九年级上陕西西安期末)虹图，抛物线，=产+bx+e交X铺于A(0小、B两 点，交y轴于点C(0,-3),点D是线段BC下方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于 点E,交线段BC于点F. (1)求抛物线的函数表达式： (②)是否存在点D,使得CDF与△BEF相似，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说 明理由. 2.(2425九年级上山东济南月考)如图，抛物线y=4x+10x+2与x轴交于点4，与y 3 轴交于点B,C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D,交该 抛物线于点E. y 备用图 (I)求直线AB的表达式； (2)若△ABE的面积取得最大值，求出这个最大值； (3)当以B,E,D为顶点的三角形与aCDA相似时，求点C的坐标. 3.(24-25九年级下陕西西安·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，直线y=+1与x轴 交于点4-2,0，与y轴交于点C,过点C的抛物线y=x-2x+1的对称轴为1,1与直线 2 AC交于点B. 试卷第1页，共3页 (1)求点B的坐标； (2)已知x轴上的动点Q,，连接BQ,若△ABQ与△AOC相似，求点Q的坐标. 4.(2425九年级上安徽蚌埠期中)已知，抛物线y=-x2+hx+c经过点-3，-7)和(3,2) 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A,(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C, (i)如图1，求证：ABC是直角三角形： (ⅱ)如图2，该抛物线的对称轴与x轴交于点D,点P是抛物线对称轴上的一动点，若以 点O,D,P为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标， 5.（24-25九年级下·全国·二轮复习)如图，二次函数y=-x2+bx+c(b>0)的图象与x轴分别 交于4，台两点（点A在点B的左侧，与？轴交于点C0,4),二次函数的最大值为空，P 为直线BC上方抛物线上的一动点. B 图1 图2 (1)求抛物线和直线BC的解析式： 试卷第1页，共3页 (2)如图1，过点P作PD⊥BC,垂足为D,连接CP.是否存在点P,使以点C,D,P为 顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点Q也是直线BC上方抛物线上的一动点（点0在点P的左侧），分别过点P,Q 作y轴的平行线，分别交直线BC于点M,N,连接PQ.若四边形PQNM是平行四边形， 且周长1最大时，求1的最大值及相应的点P的横坐标 6.(24-25九年级下·全国·二轮复习)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于 点A(-4,0)和点B,与y轴相交于点C(0,4). 备用图 (1)求该二次函数的解析式： (2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q,与抛物线交于点P.探 究是否存在点P使得以点P,C,Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P的 坐标；若不存在，说明理由 7.(24-25九年级上江苏镇江·月考)如图，已知二次函数y=ax2-2ax+3(a≠0)的图象与x 轴交于A、B两点，交y轴于点C,且OC=3OA. (①)求该二次函数的表达式： (2)点G是直线BC上方抛物线上的动点，连接BC、GC、GB,求△GBC面积的最大值. (3)将直线AC绕点C逆时针旋转90°，交抛物线于点Q,求Q点坐标. 8.(24-25九年级上·全国月考)如图所示，己知以M为顶点的抛物线y=-x2+bx+c交x 试卷第1页，共3页 轴于A,B两点，交y轴于点C,直线BC的表达式为y=-x+3,. B B B 备用图 备用图 (1)求抛物线的表达式. (2)连接AC,在x轴上方的抛物线上有一点D,若LABD=∠AC0,求点D的坐标； (③)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥BC,求PQ的最大值： (4)在x轴上是否存在一点N,使得以A,C,N为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请 求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 9.(2024青海西宁.三模)如图，抛物线y=二x2-3x-8与x轴交于A,B两点（点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C,顶点为点D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴交于点E. E D 备用图 (I)求点A,B,C的坐标 (2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形PAB的面积为60时，求点P的坐标. (3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线ED上是否存在一点H,使以H,Q ,E为顶点的三角形与△BOC相似.若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 10.(2024山西一模)抛物线y=ax2+bx-3过点A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于C点. 试卷第1页，共3页 图1 图2 (1)求抛物线的表达式及点C的坐标： (2)如图1，设M是抛物线上的一点，若∠MAB=45°，求M点的坐标； (3)如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E ,过P点作PF⊥BC,交BC与F点，PEF的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时 P点的坐标.若不存在，说明理由， 11.(23-24九年级下·全国单元测试)如图，在平面直角坐标系内，点A(-2,0),点B(4,0), 点C(0,4).连接AC,BC. B (I)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式： (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与△AOC相似时，求点D的坐 标 (③)在(1)的抛物线上找一点E,使得BE-CE的值最小并求点E的坐标. 12.(2024四川德阳三模)如图，已知抛物线：y=-2x2+bx+c与x轴交于点A,B(2,0, 1 （A在B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线x=2P是第一象限内抛物线上的任一 点 试卷第1页，共3页 B H 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)△POC有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由： (3)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M,垂足为点H,若以P,M，,C为顶点的三角 形与BM阳相似，求点P的坐标. 13.(2024陕西西安·二模)如图，抛物线y=ax2+3x+ca≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点 B,与y轴交于点C(0,8),顶点为D,连接BC与抛物线的对称轴I交于点E. 少A D E b (1)求抛物线的函数表达式： (2)点N是对称轴1右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M,使得以点M,N,E为 顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式得， (93b+c=0, 164 c=-3. b=- 13 解得 4, c=-3 故抛物线的函数表达式为y=x2_1 4-3 (2)解：存在.理由如下： 设点Dm,m213m 4m-3, 令yr213r 4x-3=0, 解得x=4或 （舍去)， 故点B(4,0),则0B=4. ①当∠EDC为直角时， :CDF与△BEF相似，则LFCD=∠EBF, .CD‖x轴，则点C、D关于抛物线的对称轴对称. :抛物线的对称轴为x= 8 ②当∠BCD为直角时， 如剧，过点D作DM1y能于点M,则0w=aCW=-(。-号-小m+。, B D :∠OCB+∠DCM=90°，∠OCB+∠OBC=90°， .∠DCM=∠OBC, :ian∠DCM=tan∠0BC,即DM-OC CM OB' 答案第1页，共2页 C=4即4DM3CM 解得m=0(舍去)或 2’ 点D的坐标为 2350 129 综上，点D的坐标为 13 0 12’-9 2.(1)y= 2 o号 (3)C点的坐标为 g3o 【分析】(1)先求出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； 2 2)设点Dm,3m+2,Em-4m2+0 +3m+20≤m≤3)，表示出DE的长，然后利用 少=Sm+5DDE-01得到解析式，里方得到最大值即可， (3)分为∠BED=90°和∠EBD=90°两种情况，利用对应边成比例解题即可. 【详解】(1)解：令y=0,则-4x+1”x+2=0, 3 3 1 ∴.X=- 或x=3, 2 A3,0), 令x=0,则y=2, B(0,2), 设直线AB的解析式为y=c+b, b=2 2 “3k+b=0' 解得： b=2 2 y=3x+2, (2)解：由(1)可得AB的解析式为y=-2 +2, 3 :DE⊥x轴 答案第1页，共2页 E=+9a+2-(+2 4 m2+4m, 3 ∴.y=S△BED+S△MBD _LDE.OA j小 =-2m2+6m 329 =-2m2)+2' △ABE的面积最大值为？， (3)解：LADC=∠BDE,∠ACD=90°， aBED是直角三角形， 设Ct,0), ①如图1，当∠BED=90°时，BE∥AC, E(,2), r+9+2-2 1=0(舍去)或1=) c: B 图1 ②如图2，当∠EBD=90°时，过点E作EQ⊥y轴，垂足为点0， :∠BA0+∠AB0=90°，LAB0+LQBE=90°， :Z0BE ZBAO, .△ABO∽△BEQ, 答案第1页，共2页 、AOBO BO EO' 2+=+2 1=0(舍去)或1= 8 sco 综上所述：C点的坐标为 g0或 y不 B 图2 【点晴】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质， 掌握二次函数的图象和性质是解题的关键。 3.(1)2,2) (2)3,0)或2,0 【分析】1)先将点4(-2,0)代入直线y=c+1中，求出长=？，再求出抛物线 对称轴为x三2，将x=2代入直线y)x+1中， (2)根据题意得：∠BAQ=∠CAO,∠A0C=90°，若△ABQ与△A0C相似，分 ∠AQB=90°和∠ABQ=90°两种情况讨论即可； 【详解】(1)解：将点A(-2,0)代入直线y=x+1中，则0=-2k+1, 解得：k 答案第1页，共2页 :揽物线y=-2x+1的对称结为=号 、) 将x=2代入直线y=+1中，则×2+1=2， 点B的坐标为2,2)； (2)解：根据题意得：∠BAQ=∠CAO,∠A0C=90°， 如图，当∠AQB=∠AOC=90°时， 此时，△ABQ∽△ACO, 由(1)知B(2,2), .0(2,0); 如图，当∠ABQ=∠AOC=90°时， 此时，△AQB∽△ACO, 6胎 设(9,0， 令y=x-2x+1中r=0,则y=1, 2 .C(0,1, A(-2,0),B2,2), 答案第1页，共2页 4C=[0-(-2]+1-02=V5,AB=[2-(-2]+2-02=25,0A=2, A0=9-(-2=lg+2, 5 2 +22N5' 解得：q=3或q=-7(舍去)， 点0的坐标为3,0)， 综上，点0的坐标为3,0或(2,0). 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，一次函数解析式， 二次函数与坐标轴的交点，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键 2 (2)(i)见解析；(iⅱ) 3》 【分析】(1)运用待定系数法解方程组即可； (2)①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当△ODP∽△BCA以及△ODP∽△BCA,列出比例式，求出PD,再求点P 坐标. 【栏11)解：抛物线y=+cc经过--列利32， -3-36+c=-7 1 1 -二×32+3b+c=2 、3 b= 解得 2 c=2 抛物线的函数表达式为y=+、 2t+2 (2)解：(i)y=-x+3x+2, 21 2 当x=0时，y=2, ·点C坐标为0,2)， 当0时，++2-0. 2 答案第1页，共2页 解得x=-1或x=4, ”点A在点B的左侧， :点A坐标为-1,0)，点B坐标为(4,0)， ∴.AB=-1-4=5,AC=V2+22=V5,BC=V22+42=2V5, AC2+BC2=V5+(25=25,AB2=52=25, .AC2+BC2=AB2, :△ABC是直角三角形； 1 3 (i)y=-5x2+号x+2=- 1 32 25 x- 2 2 ：抛物线的对称轴是直线x= 2 :点D坐标为 20 设点P坐标为 3 .m 分两种情况：①当△ODP△ACB时， OD PD AC BC 即2 m, V525 解得m=3, 此时点P的坐标为 33 3 ②当△0DP∽△BCA时， OD PD BC AC 即2=m, 2W55 朝得=号 此时点P的坐标为 综上，点P坐标为 33( 【点晴】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定 与性质，勾股定理的逆定理.解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用. 5.(1)y=-x2+3x+4,y=-x+4 (2)存在， P (3)1的最大值为12，相应的点P的横坐标2+√2 答案第1页，共2页 【分折】1)根据点CQ)在函数图象可得出c的值，根据二次函数的最大值为宁可得 4×(-10×c-b225 4×(-1) =4，继而得出b的值，再确定二次函数与x轴的交点坐标A(-1,0),B(4,0), 然后代入直线BC的解析式y=kx+b,解关于k、b的方程组即可： (2)如图，过O作OG⊥BC于点G,过点P作PK⊥x轴于点K,过点D作DH⊥y轴于点 H,延长HD交PK于点E,延长DP交y轴于点L,证明四边形HOKE是矩形，得 LPED=LHEK=90°，HE=OK,确定直线OG的解析式为y=x,设直线PD的解析式为 y=x+bp,设P(m,-m2+3m+4),则HE=OK=m,然后分两种情况：①△PDC∽△A0C ,②△CDP∽△A0C求解即可； (3)过点M作MF⊥QF,交QN的延长线于点F,根据是平行四边形的性质得到PM=QN ,PQ=MN,PQ∥MN,设PM=QN=n,则直线P2的解析式为y=-x+4+n,联立方 程组y=-x+4+n =-2+3x+4?则方程x-4x+n=0的根即为点P、0的横坐标，分别设为， x(xp>x。),根据一元二次方程根与系数的关系得到xp-x。=V16-4n=2V4-n,则 FM=xp-xo=2V4-n,根据锐角三角函数得，则1=2(MN+PM)=-(8-2n-2)2+12,当 √8-2n=2时，1取得最大值，最大值为12，最后解方程x2-4x+2=0即可. 【详解】(1)解：：二次函数y=-x2+bx+c(b>0)的图象与x轴分别交于A,B两点（点A在 原8的左侧，与y轴交于点C0,4,三次函数的最大值为名 4×(-1)×c-b225 .C=4, 4×(-)=4,0C=4, .b=3, :抛物线的解析式为y=-x2+3x+4, 当y=0时，得：-x2+3x+4=0, 解得：x1=-1,x2=4, ：A(-1,0),B(4,0), 0A=1,0B=4, 设直线BC的解析式为y=kx+b,过点B(4,0),C(0,4), 答案第1页，共2页 4k+b=0 b=4 k=-1 解得： b=4, :直线BC的解析式为y=-x+4, :抛物线的解析式为y=-x2+3x+4,直线BC的解析式为y=-x+4; (2)解：如图，过O作OG⊥BC于点G,过点P作PK⊥x轴于点K,过点D作DH⊥y轴 于点H,延长HD交PK于点E,延长DP交y轴于点L, .LEH0=LEK0=LHOK=90°， :四边形HOKE是矩形， LPED=LHEK=90°，HE=OK, 0B=0C=4,∠B0C=90°，0G⊥BC, ∠0BC=∠0CB=45°，点G为AB的中点， .B(4,0),C(0,4), 4+00+4 ·点G的坐标为 、2,2 即(2,2)， 设直线OG的解析式为y=kocx, 2=2koc,得：koG=1, :直线OG的解析式为y=x, :OG⊥BC,PD⊥BC, OG∥PD,∠PDB=∠PDC=∠CDL=90°， 设直线PD的解析式为y=x+bp, DH⊥y轴， 答案第1页，共2页 :DH∥x轴，∠CHD=90°， :∠HDC=∠0BC=45°，∠PDE=180°-∠HDC-∠PDC=180°-45°-90°=45°， 设P(m,-m2+3m+4),则HE=0K=m, ①当△PDC∽△A0C时， 则PD=A0、1 CD-CO-4' 设PD=a,则CD=4a, 在Rt△HCD中，∠HDC=45, 则HD=CD.cos∠HDC=4a×cos45°=4a× 2=22a 在Rt△EPD中，∠PDE=45°， 则DE=PD.cos∠PDC=a×cos45°=a× √2 a, 22 :m=E=HD+DE=2N5a+ 2, a 5m, 在Rt△DCL中，∠DCL=45°， 则CL=CD 4a。=4W2a=4W2x5m-8w m cos∠OCL cos45° 5 8 :OL=CL-CO=m-4, 8） :0.4-m :直线PD的解析式为y=x+bp, :bn=4-5m, 8 8 :直线PD的解析式为y=x+4- 5m, :点P(m,-m2+3m+4)在直线PD上， 8 :-m2+3m+4=m+4-2m, 5 18 解得：m= 5 :p1846 （5'259 ②当△CDP∽△A0C时， 答案第1页，共2页 则CD401 PD CO 4' 设CD=a,则PD=4a, G 在Rt△HCD中，∠HDC=45°， 则HD=CD-cos∠HDC=axcos45°=ax5.2 a 22 在Rt△EPD中，∠PDE=45°， 则DE=PD-cos∠PDC=4 axcos450=4nx5 2 =2N2a, m=HE=HD+DE=2Va+5 a, 2 5, 在Rt△DCL中，∠DCL=45°， 则CL=CD =s45o=V2a=V2xV2m、2 5m=5m, :0L=c0-cL=4-2m, 5 2】 .0,4-亏m :直线PD的解析式为y=x+bpp, :bn=4-5m, 2 2 ·直线PD的解析式为y=x+4- , :点P(m,-m2+3m+4)在直线PD上， 2 :-m2+3m+4=m+4-二m, 5 答案第1页，共2页 解得：m=12 5 :p12136 (525 综上所述，点P的坐标为 184612136 5’25 或 5’25 时，以点C,D,P为顶点的三角形与 △AOC相似； (3)解：过点M作MF⊥QF,交QN的延长线于点F, 0 N PM∥y轴，PNy轴， F M ⊙ MF⊥y轴， MF∥x轴， ∠NMF=∠CB0=45°， :四边形PQNM是平行四边形， ∴.PM=ON,P9=MN,P9∥MN, 设PM=ON=n, 即线段MN向上平移n个单位得到线段PQ, 设直线PQ的解析式为y=-x+4+n, y=-x+4+n 联立方程组 y=-x2+3x+4' x2-4x+n=0, 则方程x2-4x+n=0的根即为点P、Q的横坐标，分别设为xp,xo(x,>o), :.xp+x=4,Xpxo=n, i(xp-%o)=(xp+xo)2-4xpXo =16-4n, 答案第1页，共2页 ·xp-x2=V16-4n=2√4-n, ·FM=xp-xo=2V4-n, 在RtoFMN中，∠NMF=45°， 则MN= FM 一=24-n=2W2×4-n=28-2m， cos∠VMF cos45o :平行四边形PQNM的周长： I=2(MN PM) =2(2√8-2n+n) =4V8-2n+2n =4V8-2n-(8-2m)+8 =-(W8-2n)2+4V8-2n+8 =-(8-2n-2)y2+12, 当√8-2n=2时，1取得最大值，最大值为12， 此时n=2, .x2-4x+2=0, 解得：xp=2+V2,xp=2-V2, :点P的横坐标为2+√2， “1的最大值为12，相应的点P的横坐标2+√2， 【点晴】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，等腰三 角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，矩形的判定和性质，平行四边形的 性质，二次函数与一次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握二次函数 的图象与性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，特殊四边形的判定和性质是解题的关键. 6.(1)y=-x2-3x+4 (2)存在，（-3,4)或(-2,6) 【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的 综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想. (1)用待定系数法求解即可： 答案第1页，共2页 (2)先求出直线AC解析式为y=x+4,设点P坐标为(m,-m2-3m+4),可得 PQ=-m2-4m,分两种情况考虑：△ADOACPO;△ADQ∽aPCQ,利用等腰三角形的性 质建立方程即可求得点P的坐标. 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c过A(-4,0)与点C(0,4), -16-4b+c=0 c=4 b=-3 c=4 :抛物线的解析式为y=-x2-3x+4; (2)解：存在， 设直线AC解析式为y=x+n, [-4k+n=0 [k=1 则有 n=4 ,解得： n=4 即直线AC解析式为y=x+4; 设点P坐标为(m,-m2-3m+4), :PD⊥x轴， ：点Q的坐标为(m,m+4), .PQ=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m; 当△ADQ∽aCPQ时； 如图，连接PC, DO 则∠PCQ=∠DAQ,∠CPQ=∠ADQ=90°， PC=-m, :A(-4,0),C(0,4), 答案第1页，共2页 :0A=0C=4, :∠DA0=∠AC0=45°， LPC0=LDA0=45°， ·LPC0=LPQC=45°， .PO=PC, 即-1m2-4m=-m, 解得：m=-3，m=0(舍去)， 此时P(-3,4); 当△ADQ∽△PCQ时， 则∠PCQ=∠ADQ=90°，∠QPC=∠QAD=45°， 则有∠PQC=∠QPC=45°， .PC=0C 过点C作CE⊥PQ于E,则PQ=2CE, :CE =-m, -m2-4m=-2m, 解得：m=-2,m=0(舍去)， 此时P(-2,6)； 综上，P(-3,4)或P(-2,6). 7.(1)y=-x2+2x+3 g 9】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的关系式，函数最值问题，旋转问题相似三角 形的判定与性质等知识. (1)令x=0,求出y=3,得点C(0,3),0C=3,由0C=30A得0A=1,A(-1,0), 把A(-1,0)代入y=ax2-2a.x+3(a≠0)，求出a=-1,故可求出y=-x2+2x+3: (2)过点G作GE⊥x轴于点E,求出B(3,0),设Gx,-x2+2x+3,得OE=x,BE=3-x ，GE=-x2+2x+3,根据SBGc=S形coEG+S.BGE-SBoc得二次函数表达式，根据二次函数 的图象与性质可得结论： 答案第1页，共2页 (3)证明△A0C∽aCP0,求出OP=9,得P(9,0),运用待定系数法求出直线PC的解析式， 联立方程组并求解即可得出点G的坐标。 【详解】(1)解：对于y=ax2-2ar+3(a≠0)，当x=0时，y=3, .C(0,3, .0C=3, .0C=30A, ∴.0A=1, .A-1,0, 把A(-1,0)代入y=ax2-2ax+3(a≠0)，得： a+2a+3=0, 解得，a=-1, 二次函数解析式为：y=-x2+2x+3; (2)解：对于y=-x2+2x+3,令y=0,得-x2+2x+3=0, 解得，x=-1,x2=3, B(3,0, .0B=3, 过点G作GE⊥x轴于点E, G 设Gx,-x2+2x+3),则0E=x,BE=3-x,GE=-x2+2x+3, 又S,BGc=S梯形coEG+SBGE-S,BoC .mGE+CEBEGE-OB-OC 答案第1页，共2页 =-+2x3+3x+3--r2+2x+3到-x3x3 32 9 2 2 - 3 <0, .2 27 ·.△GBC面积有最大值，最大值为 8 (3)解：设CQ的延长线交x轴于点P, A P 根据题意得∠ACP=90°， ∴.∠ACO+∠PC0=90°， 又∠OAC+∠AC0=90°， :∠OAC=∠OCP, 又∠AOC=∠COP=90°， :.△ACO∽ACPO, :40Co CO PO ,13 3P0 .PO=9, P(9,0, 设直线PC的解析式为y=+b, 把C(0,3),P(9,0代入y=c+b,得： [b=3 9k+b=0’ 答案第1页，共2页 b=3 解得， k=3 1, 直线PC的解析式为y=- x+3, 3 1 y= 联立方程组得 33 y=-x2+2x+3 ( 7 解得 x=0 3 或 y=3 20 = 9 C(0,3, e9》 8.(1)y=-x2+2x+3 e 3)92 8 (4)存在，(0,0)或(9,0 【分析】(1)求出C(0,3),B(3,0),利用待定系数法即可求出抛物线的解析式： (2)设BD与y轴交于点E,求出点A的坐标是(-1,0)，得到OA=1,证明 A0BE≌OCA(ASA),则OE=0A=1,得到E0,1,求出直线BE的解析式为y=亏x+1, 联立直线BE和抛物线解析式即可求出答案； (3)作PK⊥x轴于点K,交BC于点F,设点P的坐标为x,-x2+2x+3(0<x<3),则点 F的坐标为x,-x+3,则PF=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,证明△0BC是等腰直角三 角形到K05,则P阳=--， 利用二次函数的性质即可 8 得到答案； (4)求出M(1,4).得到CM=V1-0)2+(4-3)2=2,BC=V32+32=32, MB=V3-1)2+(0-4)2=25.则CM2+CB2=BM2,证明△A0C∽△MCB.则当N的坐 答案第1页，共2页 标为(O,O)时，△ANCAMCB.连接AC,过点C作CN⊥AC,交x轴与点N.证明 BMW,即，2=o △1CNn&A0C,得到ACNMCB.则CM=4C, 2X5州，解W=10.即可特 到N(9,0). 【详解】(1)把x=0代入y=-x+3,得y=3, .C(0,3. 把y=0代入y=-x+3得：x=3, .B(3,0), -9+3b+c=0 将C(0,3)、B(3,0)代入y=-x2+br+c得： 解得b=2,c=3. 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)设BD与y轴交于点E,如图， DE B 当y=0时，-x2+2x+3=0, 解得x=3,x2=-1, 点A的坐标是(-1,0)， 0A=1 :∠ABD=∠AC0,∠A0C=∠E0B=90°，OC=0B=3 △OBE≌OCA(ASA), 0E=0A=1 .E(0,1 答案第1页，共2页 设直线BE的解析式为y=kx+m,把E(0,1,B(3,0)代入得， m=1 3k+m=0 m=1 解得 1 k二3 1 :直线BE的解析式为y=了x+1, y=-x2+2x+3 [x=3 7t、2 联立得到 ，解得 3 y=- y=0 11 y= 211 点D的坐标是 3'9 (3)作PK⊥x轴于点K,交BC于点F,如图， D K B 设点P的坐标为x,-x2+2x+3(0<x<3),则点F的坐标为x,-x+3), PF=-x2+2x+3-(-x+3=-x2+3x, :0B=0C=3,∠B0C=90°， .△OBC是等腰直角三角形， .∠BFK=∠PFQ=45°， P0=5pr=-5+35x=2x-+9 2 2 2 21 2 8 -5<0 2 :抛物线开口向下， :当时，巴有能大值，及大值为 答案第1页，共2页 (4)y=-x2+2x+3=-(x-12+4, .M(1,4）. 又C(0,3)、B(3,0), CM=V1-02+(4-3)2=V2,BC=V32+32=32,MB=V3-12+(0-42=2W5. .CM2+CB2=BM2, .∠MCB=90°. A(-1,0,C(0,3, :0A=1,C0=3.4C=-1-0)2+(0-3)2=10, A0 CM 1 COBC3 又：∠A0C=MCB=90°， .△A0C△MCB. ∴当N的坐标为(0,0)时，△ANC∽aMCB. 如图所示：连接AC,过点C作CN⊥AC,交x轴与点N. A O N衣 :∠A0C=∠ACN=90°，∠CA0=∠NAC, ..AACNAAOC. 又△A0C∽△MCB, .△ACN∽aMCB. 即2i 25 AN ,解得：AN=10. .0N=AN-A0=9, .N(9,0). 答案第1页，共2页 综上所述，当N的坐标为(0,0)或(9,0)时，以A,C,N为顶点的三角形与△BCM相似. 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和 性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形 结合是解题的关键。 9.(1)点A的坐标为-2,0)，点B的坐标为8,0).点C的坐标为(0，-8)； (2)2,-12)或(4，-12】 (3)在射线ED上存在一点H,使以H,Q,E为顶点的三角形与△BOC相似，点H的坐标为 (3,-8)或(3，-11)或{3，-5- 【分析11)令=，则-3x-8=0,得出点A的坐标为-2.01，点8的坐标为8,0.令 x=0,得y=-8,得出点C的坐标为(0，-8)： （2)根据4-2,0，B(8,0,可得48=10，设点P的坐标为m7m2-3m-8, 1 根据三角 形PAB的面积为60列出方程，即可求解； 3)设ga,a2-3a-8，a>3.分三种情况：①当0=HE,∠EH0=90°时 △0HE0△B0C,根据点H与点Q的级坐标相同，为0-3a-8.②当H0=B0, ∠HQE=90°时，△HQE∽△BOC,过点Q作QM⊥EH于点M.③当EH=EQ, ∠HEQ=90°时，△HEQ∽△BOC,分别求得点H的坐标. 【详解】(1)令=0，则x2-3x-8=0, 解得x=-2,x2=8. “点A在点B的左侧， :点A的坐标为-2,0)，点B的坐标为8,0). 令x=0,得y=-8. :点C的坐标为(0，-8)； (2)A-2,0,B8,0), AB=10, 答案第1页，共2页 设点P的坐标为mm2-m-8 8-1m+3m+8=60 ∴m1=2,m2=4. 当m=2时，m-3m-8=-12, 当%=4时，-3加-8=-2， :点P的坐标为(2，-12)或(4，-12)； (3)在射线ED上存在一点H,使以H,Q,E为顶点的三角形与aBOC相似.点H的坐 标为(3，-8或3，-11或3，-5-15.理由如下： :B(8,0,C(0,-8, .0B=0C=8. :∠B0C=90°， :aBOC是等腰直角三角形. 抛物线的对称轴为直线=，子 3 2× 2 设直线BC的表达式为y=kx+b. 将B(8,0),C(0,-8)代入， 得 8k+b=0, b=-8. 「k=1, 解得b=8. :直线BC的表达式为y=x-8. 将x=3代入y=x-8,得y=-5. E(3,-5). :点H在射线ED上， :点H的横坐标为3. 答案第1页，共2页 分三种情况： ①当HQ=HE,∠EHQ=90°时，△QHE∽△B0C,如图2. 图2 则HQ∥x轴， 之点”与点0的纵坐标相同、为0-30-8， .a-3=-5 2-a-8 解得a,=-2(不合题意，舍去)，a2=6. :点H的坐标为3，-8)， ②当HQ=EQ,∠HQE=90°时，△HQE∽△BOC,如图3，过点Q作QM⊥EH于点M. D 图3 由①得点M的坐标为3，-8)， :E(3,-5), EM=3. HQ=EQ,QM⊥EH, .EH=2EM=6. 答案第1页，共2页 点H的坐标为3，-11. ③当EH=EQ,∠HEQ=90°时，△HEQ∽△BOC,如图4. D 图4 则EQ∥x轴， :点Q与点E的纵坐标相同，为-5， 0-a-8=5, 解得a,=3+5,a,=3-5(不合题意，舍去)， :EQ=3+V5-3=5, :EH=√15， ·点H的坐标为3，-5-V5, 综上，点H的坐标为3，-8)或(3，-11或3，-5-15 【点晴】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性 质与判定，熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键. 10.(1)y=x2-2x-3,C(0,-3) (2)M(4,5)或M(2,-3) ③)有，P点的坐标为号4 315、 【分析】(1)根据抛物线y=ax2+bx-3经过点A(-1,0),点B(3,0),用待定系数法即可求解； (2)分点M在第一象限和第四象限两种情况根据45度角的特征列方程求解即可. (3)根据垂直及对顶角相等易证证明△FPE∽△OBC,可得PEF的周长：△OBC的周长 =PE:BC,求出直线BC的解析式，设P(n,n2-2n-3),E(,n-3),PEF的周长为z,表 答案第1页，共2页 示出PE的长，利用PEF的周长：△OBC的周长=PE:BC列出关于z的函数解析式，再运 用二次函数最值求解即可. a-b-3=0 a=1 【详解】(1)由题意得： 9a+3b-3=0'解得 b=-21 抛物线的解析式为y=x2-2x-3, 点C(0,-3. (2)①当M点在第一象限时， 设M(m,m2-2m-3)), 过M点作MN⊥x轴， .:∠MAB=45°，MN=NA, .m+1=m2-2m-3, 解方程得：m=4或m=-1, m=-1不合题意，舍去. 故m=4, .M(4,5); 当M点在第四象限时，同理可得： m+1=m2-2m-3 解方程得：m=2或m=-1, m=-1不合题意，舍去. 故m=2, .M(2,-3) 综上M(4,5)或M(2,-3). 答案第1页，共2页 (3)PEF的周长有最大值，理由如下： :PD⊥DB, .LEBD=90°-∠DEB, :PF⊥BC, ∠FPE=90°-∠FEP, :∠DEB=∠FEP, ∠EBD=∠FPE, 又：∠EFP=∠B0C=90°， .aFPE∽△OBC, PEF的周长：△OBC的周长=PE:BC, 0B=0C=3, .BC=V32+32=3V2, ∴△0BC的周长=6+3V2, :直线BC过B3,0)和C(0,-3), 设直线BC的解析式为y=px+9, [3p+9=0 (9=-3, p=1 解得 (9=-3' 直线BC的解析式为y=x-3, 设P(n,n2-2n-3),则E(n,n-3),PEF的周长为z, PE=n-3-(n2-2n-3)=-n2+3n., z:(6+3V2)=(-n2+3n):3√2， z=-(2+1n2+3V2+ln, :-2+<0, :有最大值，此时：， 当m=时，n2-2n-3=-15 4 答案第1页，共2页 故P点的坐标为号，4 315 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，勾股定理，二次函数的图象与性质，相 似三角形的判定和性质，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质是解题的关键 1 11.(1)y=-二x2+x+4 2 (2)(2,0)或(8,0) (3(2W2,2V2)或-2V2,-2W2) 【分析】(1)设抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x-4)=ax2-2x-8,将C(0,4)代入得， 1 -8a=4,可求a=一2进而可得抛物线的表达式： (2)由题意知，∠A0C=90°=∠C0D,当以点D、O、C为顶点的三角形与△AOC相似时， 分△AOC∽aCOD,△AOC∽△D0C两种情况求解作答即可； (3)由题意知，当BE-CE的值最小时，BE=CE,E在BC的垂直平分线上，如图，由 OB=OC,可得BC的垂直平分线过原点，且平分第一、三象限，进而可得表达式为： y=x y=x,联立 -r+x+4:计算求解，进而可得点E坐标。 y=- 2 【详解】(1)解：设抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x-4)=ax2-2x-8), 将C(0,4)代入得，-8a=4, 解器，4=宁 抛物线的表达式为：y三2+x+4, (2)解：由题意知，∠A0C=90°=∠C0D, 当以点D、O、C为顶点的三角形与△AOC相似时，分△AOC∽△COD,△AOC∽a△DOC两 种情况求解： 当aA0CnaC0D时， 怨品即 24 4D0 解得，D0=8, D(8,0); 当aA0C∽△D0C时， AO CO 方=云，0之4● DO 4 答案第1页，共2页 解得，D0=2, D2,0); 综上所述，点D的坐标为(2,0)或(8,0)： (3)解：由题意知，当BE-CE的值最小时，BE=CE,E在BC的垂直平分线上，如图， :0B=0C, .BC的垂直平分线过原点，并且平分第一、三象限， BC表达式为：y=x, y =x 联立{ y=- +4 x-2V2 [x=-2W2 解得， y-2V21 y=-2√21 “点E2V2,22)或-22，-2W2) 【点晴】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函 数解析式等知识.熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质， 一次函数解析式是解题的关键. 12.(1)y=-2x2+2x+4 (2)△POC不可能是等边三角形，理由见解析 (3)点P的坐标为1,4)或 》 【分析】(1)把点B2,0)代入y=-2x+x+c中，再由对称轴是直线x=列方程，两个方 程组成方程组可解答； (2)当△P0C是等边三角形时，点P在OC的垂直平分线上，所以取OC的中点D,过点 D作DP∥x轴交抛物线于点P,连接OP,计算OP≠OC,可知△POC不可能是等边三角 答案第1页，共2页 形； (3)分两种情况：①当△CMP∽△BMH时，根据PH的长列方程可解答；②当 △PCM∽△BHM,过点P作PE⊥y轴于E,证明PEC∽COB,可得结论， -8+2b+c=0 【详解】(1)解：由题意得： b 1 -42 b=2 解得： c=41 :抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4; (2)解：△POC不可能是等边三角形，理由如下： 取OC的中点D,过点D作DP∥x轴交抛物线于点P,连接OP, C(0,4),则D(0,2), B X 令y=-22+2x+4=2,则5=1+5,6 1-V5 2，= 2 1+5 op2+2 ≠4， aP0C不可能是等边三角形： (3)解：设点P的坐标为t,-212+2t+4,则0H=t,BH=2-t, 分两种情况： ①如图2，△CMP∽△BMH, 答案第1页，共2页 D M :∠PCM=∠OBC,∠BHM=∠CPM=90°， 图3 :tan∠OBC=tan ZPCM, HM-PM==,=2 BH CP OB PM=2PC=2t,MH=2BH=2(2-), PH PM +MH, 21+2(2-)=-212+21+4, 解得：1=0，t2=1, P1,4) ②如图3，△PCM∽△BHM,则∠PCM=∠BHM=90°， y E A OH B x 图3 过点P作PE⊥y轴于E, :∠PEC=∠B0C=∠PCM=90°， .∠PCE+∠EPC=∠PCE+∠BC0=90°， ∠BCO=LEPC, .△PEC∽△C0B, :PE OC EC OB 答案第1页，共2页 4 -2x0+21+4-42' 解得：4=0（舍），5=3 综上，点P的坐标为1,4)或 335 4'8 【点晴】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质 和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以P,M,C为顶点的 三角形与BMH相似的情况。 13,(抛物线的函数表达式为y=+3x+8: (②)在射线ED上存在点M,其坐标为：(3,8或3,5+5或(3,11 【分析】本题考查二次函数的综合运用，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，等腰 直角三角形的性质， (1)用待定系数法即可求解； (2)当△NME△cOB时，则MN=EM,∠EMN=90,设Nmr+3n+8,则 M3,n+2引，则-m2+3m+8=n+2,求出的值，即可求解，当△MENn△C0B时及当 2 △MNE∽△COB时，同理可解. 【详解】(1)解：(1)把点A-2,0),C(0,8,代入y=ax2+3x+c,得： 1 4a-6+c= 解得a=2, c=8 c=8 :抛物线的函数表达式为y=-。x2+3x+8; 2 1 (2)(2)令2+3x+8=0,解得x=-2或8， B(8,0, 由抛物线的表达式知，其对称轴！为x=3, 答案第1页，共2页 M N(N3) N E 设直线BC的表达式为：y=c+b, b=8 8k+b=0'解得： k=-1 则 b=8 则直线BC的表达式为：y=-x+8, △OBC为等腰直角三角形， 当x=3时，y=-x+8=5, E(3,5); ①当△NME∽△COB时，则MN=EM,∠EMN=90°， 设Nm+3n+8 则M(3,n+2), 1 -二n2+3n+8=n+2, 2 解得n=-2(舍去)或6. .M1(3,8; ②当△MEN∽△COB时，则ME=EN,∠MEN=90°， 设-+3+8 则M(3,n+2), n+3n+8=5, 解得：n=3-√5（舍去）或3+15 ∴M2(3,5+⑤： 答案第1页，共2页 ③当△MNE∽△COB时，则MN=EN,∠MNE=90°， 此时的点M3与点E关于M,对称， .M,3,11. 综上，在射线ED上存在点M,其坐标为：(3,8)或3,5+V5或(3,11). 答案第1页，共2页