七年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷（新教材苏科版，举一反三，测试范围：七下全册）

**基本信息** 七年级数学拔尖卷以逆命题、几何旋转等核心知识为载体，通过反证法证明（第17题）、日历规律探究（第23题）、茶叶包装实际应用（第24题）等题设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配期末拔尖学生学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|逆命题、方程组解、不等式范围|结合生活情境（气象台问题）考查逻辑推理| |填空题|6/18|不等式整数解、幻方、新定义运算|以“最简平方差”新定义考查抽象能力| |解答题|8/72|反证法、几何直观、实际应用|第24题通过茶叶包装问题融合方程与不等式，体现模型意识；第23题日历规律探究发展创新意识|

七年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷 【新教材苏科版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北唐山·月考）对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 6．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A． B． C． D． 7．（2026·重庆·一模）如图，在中，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，且，，三点共线，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．6 D．7 8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ） A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 9．如图，将沿翻折，使其顶点均落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　) A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 12．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为_______个，请同学们写出一个真命题_______． 13．（24-25七年级上·湖南常德·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为___． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 15．（25-26九年级上·重庆·期末）若实数同时满足，则的值为_____． 16．（25-26九年级下·江西景德镇·期中）如图，点D为等边三角形的中点，连接，将绕点D顺时针旋转（）得到，边、分别与交于点E、F，当的内角是与另两个内角中的一个存在两倍关系时，的度数为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 18．（6分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 19．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 20．（8分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”． (1)对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________； (2)对于的不等式（其中）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 21．（10分）（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． (1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________． (2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和． 22．（10分）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法比较简单： 得：，即③ 得：④ 得：，，代入③得． 所以这个方程组的解是． (1)请你运用小明的方法解方程组． (2)规律探究：猜想关于，的方程组，的解是______． 23．（12分）（25-26八年级上·河南周口·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 24．（12分）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖． （1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？ （2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 3．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 4．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据加减消元法求解二元一次方程组，结合题意，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ①②得： ∴ 将代入②得： ∵ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 5．（25-26七年级上·河北唐山·月考）对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值、解方程组，通过假设每个结论错误，验证其余三个结论是否一致，找出唯一矛盾的情况． 【详解】解：假设①错误，则②、③、④正确： 联立②和③：， 解得，，代入④得，矛盾，故①不可能错误． 假设②错误，则①、③、④正确： 联立①和③：， 解得，，代入④得，④正确，代入②得，仅②错误，符合题意． 假设③错误，则①、②、④正确： 联立①和②：， 解得，，代入④得，矛盾，故③不可能错误． 假设④错误，则①、②、③正确： 联立①和②：， 解得，，代入③得，矛盾，故④不可能错误． 综上，错误的结论是②． 故选：B． 6．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，结合个整数解的条件求得．再解方程，消去后得到，容易判断，则，由整数的性质可知是的因数，因此，，，结合，确定的所有可能取值，并求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰有个整数解， ∴， 解得， ， 由④得， 将代入③，得， ， 化简，得， 当时，方程无解，故舍去； 当时，， ∵和都是整数， ∴是的因数， ∴，，，即，，，，，，此时和都是整数， 又∵， ∴，，， ∴所有符合条件的整数的和为． 7．（2026·重庆·一模）如图，在中，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，且，，三点共线，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据得出，根据等角对等边得出，进而可得答案． 【详解】解：∵将直角边绕点逆时针旋转至，且，，三点共线， ，． ． ，， ，． ． ． ． 8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ） A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 【答案】B 【详解】解：根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，有9天下雨， 即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨， ①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天； ②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天； 列方程组， 解得， 所以一共有11天， 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用． 9．如图，将沿翻折，使其顶点均落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，利用三角形外角定理得出，建立方程，即可求的度数． 【详解】解：延长交于点， ∵将沿，翻折，顶点，均落在点处， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， 由三角形外角定理可知：，， ∴ 即：， ∴ ， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，外角定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键． 10．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　) A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 【答案】A 【分析】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出，，再分析即可． 【详解】解： ， ， 多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为， ，， ，且，均为正整数， ， 整理得：． 又，， ，． ，． ． ，均为正整数， 的取值为，，，，． 的最大值为，的最小值为． ，， ，均为正整数， 的取值为，，，． 则的最大值，的最小值为 与的最大值相等，与的最小值也相等 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，分式的性质，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的整数解个数求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤以及解的情况． 先解不等式组，得到x的取值范围，再根据整数解的个数列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有4个整数解，所以整数解为， 因此， 解得． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为_______个，请同学们写出一个真命题_______． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【详解】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 13．（24-25七年级上·湖南常德·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为___． 【答案】4 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， 即， ， ； 故答案为：4． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·重庆·期末）若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了绝对值的性质，解二元一次方程组，根据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质，分情况讨论x和y的正负情况，代入方程求解，得到x和y的值，再计算x的y次方即可． 【详解】解：由和，分情况讨论： 当且时，方程化为和，矛盾，无解； 当且时，方程化为和，解得，，但，不成立，无解； 当且时，方程化为和，解得，，符合条件； 当且时，方程化为和，相加得，矛盾，无解． ∴当，时，． 故答案为：16． 16．（25-26九年级下·江西景德镇·期中）如图，点D为等边三角形的中点，连接，将绕点D顺时针旋转（）得到，边、分别与交于点E、F，当的内角是与另两个内角中的一个存在两倍关系时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理．根据题意，先计算，，再分四种情况逐一探讨得出结论． 【详解】解：∵点D为等边三角形的中点， ∴，， ∵将绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴． ①当时， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当时， ， ∴， ∵， ∴， 与实际情况矛盾，不符题意，舍去； ③当时， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ④当时， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 18．（6分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ② ， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 19．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）． （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：轴对称图形如图所示． （2）解：中心对称图形如图所示． 20．（8分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”． (1)对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________； (2)对于的不等式（其中）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①且 ②或 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及不等式组，新定义，不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义． （1）根据定义得到“逆不等式”是，“否不等式”为，再联立得到不等式组，再求解即可； （2）①由于和有相同的解集，则为一正一负，分两种情况讨论，分别解不等式即可； ②设，当时，当时，均不成立；当时，解集为，即：；当时，解集为，即：，由于存在唯一的负整数，则或，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，不等式，它的“逆不等式”是，“否不等式”为， ∴， 解得不等式组的解集为：， 故答案为：； （2）解：①由题意得：和有相同的解集， ∵解集的不等号发生了改变， ∴为一正一负， 当时，由解得：；由解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，由解得：；由解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的数量关系为：且； ②设， 当时，由解得：；由解得， 则解集有无数负整数，不符合题意，舍； 当时，由解得：；由解得， 则解集无负整数，不符合题意，舍； 当时，由解得：；由解得， 则解集为， 即：； 当时，由解得：；由解得， 则解集为， 即：， ∵存在唯一的负整数， ∴或， ∴或， ∴或． 21．（10分）（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． (1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________． (2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义、代数式的变形与求值，熟练掌握完全平方公式的变形及几何图形面积的转化是解题的关键． （1）通过大正方形面积的两种表示方法推导完全平方公式相关关系式． （2）解题关键在于设元，将几何条件转化为关于a、b的方程，并利用公式整体求出的值，最后代入面积公式求得结果． 【详解】（1）解：利用图形可以推导出的关系式为，图1：； 图2：. 故答案为：， （2）解：设，，则， ， ， ， ， ，， ． 22．（10分）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法比较简单： 得：，即③ 得：④ 得：，，代入③得． 所以这个方程组的解是． (1)请你运用小明的方法解方程组． (2)规律探究：猜想关于，的方程组，的解是______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得，再运用题目中的方法求解此方程组； （2）先得，再运用题目中的方法求解此方程组． 【详解】（1）解：， 得：，即， ：， 得，， 把代入得， 所以这个方程组的解是； （2）解： 得：， ∴， ∵， ∴， 得：， 得，， 把代入得， 这个方程组的解是． 23．（12分）（25-26八年级上·河南周口·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2) ； ； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律探究，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）根据，，中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （2）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； ， ∴． 24．（12分）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖． （1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？ （2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？ 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）根据题意设盒底边长，接口的宽度，分别为，,根据题意列方程组，再根据长宽高求得体积； （2）分别设第一个月和第二个月的销售量为盒，根据题意列出方程和不等式组，根据不等式确定二元一次方程的解，两个月的销售总量为盒 【详解】（1）设设盒底边长为，接口的宽度为，则盒高是，根据题意得： 解得： 茶叶盒的容积是： 答：该茶叶盒的容积是 （2）设第一个月销售了盒，第二个月销售了盒，根据题意得： 化简得：① 第一个月只售出不到一半但超过三分之一的量 即 由①得： 解得： 是整数，所以为5的倍数 或者 或者 答：这批茶叶共进了或者盒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的求解，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $