期末压轴专题01 代数压轴50练（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 聚焦代数压轴题核心考法，以50道典型例题构建"概念-推理-应用"三层训练体系，强化抽象能力与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多项式与图形面积|5题|几何直观验证代数运算|从面积关系抽象多项式乘法法则| |规律性问题|5题|杨辉三角及数字规律探究|通过特殊到一般发展推理意识| |变量关系图象|5题|运动过程的函数图象表征|培养从图形中提取数学信息的能力| |幂的运算|5题|公式正逆应用综合题|强化指数运算的逻辑链条| |化简求值|5题|整式混合运算与条件代入|运算能力与代数变形能力训练| |平方差公式几何|5题|面积割补验证公式|体现数形结合思想方法| |完全平方公式几何|5题|图形拼接推导公式变式|发展几何直观与代数推理| |新定义型问题|5题|自定义运算与概念迁移|培养数学抽象与创新意识| |频率估计概率|5题|统计数据与概率计算|数据意识与随机观念的应用| |变量关系表示|5题|表格关系式图象互化|构建变量间关系的数学模型|

期末压轴专题01 代数压轴题50练 目录 类型一、多项式乘多项式与图形面积 2 类型二、多项式乘法中的规律性问题 6 类型三、用图象表示变量之间的关系 10 类型四、幂的运算与逆运算 13 类型五、整式乘法中的化简求值问题 16 类型六、平方差公式与几何图形 19 类型七、完全平方公式与几何图形 27 类型八、整式乘法中的新定义型问题 35 类型九、用频率估计概率的综合应用 43 类型十、用表格、关系式、图象表示变量之间的关系 48 类型一、多项式乘多项式与图形面积 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期末）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为、的长方形（不重叠、无缝隙）．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩4张 B．丙种纸片缺4张 C．乙种纸片缺1张 D．甲种和乙种纸片都不够 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，利用多项式乘以多项式的法则求出长方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：， 故需用6张甲种纸片，7张乙种纸片，2张丙种纸片拼成一个长、宽分别为、的长方形， ∵甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张， ∴乙种纸片缺1张； 故选C． 3．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 4．（25-26七年级上·福建福州·期末）用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为，先根据大的长方形的边的长度可得，再求出图（3）中的阴影部分的周长为，图（4）中的阴影部分的周长为，则可得，，然后根据长方形的面积公式可得，，由此即可得的值． 【详解】解：设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为， 图（3）中阴影部分的周长为， 图（4）中阴影部分的周长为， ∵图（3）和图（4）中的阴影部分的周长一样， ∴， ∵图（3）中，图（4）中， ∴， 得， ∴， ， ∴， 故选A． 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图1，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（ ） A．图形①与图形②的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和 C．图形①与图形②的周长差 D．图形④与图形⑥的周长差 【答案】D 【分析】根据题意设长方形的长为x，宽为y，正方形的边长为a，先用字母表示出图形②、⑤的面积，根据题意得到为已知，再用字母分别表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项． 【详解】设长方形纸片的长为x，宽为y，正方形的边长为a， 图形②的面积， 图形⑤的面积， ， 图形①的周长， 图形②的周长， ∴图形①与图形②的周长和为，故A选项不符合题意； 图形④的周长， 图形⑥的周长， ，故B选项不符合题意； 图形①与图形②的周长差为,故C选项不符合题意； 图形④与图形⑥的周长差为， 根据题意为已知，即为已知，故D选项符合题意， 综上所述，一定能求出的是D． 类型二、多项式乘法中的规律性问题 6．（25-26八年级上·河南信阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 7．（25-26八年级上·四川资阳·期末）观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法.首先利用已知的等比数列求和公式，将转化为；接着根据的幂的个位数字周期规律(周期为)，判断出的个位数字为，进而推出的个位数字为；最后通过分析的奇偶性，得出该式的个位数字为． 【详解】解：依据变化规律，可得：， ∴（当)， 令，，则 . 求 的个位数字， ∵的幂的个位周期为4（3，9，7，1），且 ，余数为1， ∴的个位为， ∴的个位为， ∵为偶数，除以后个位为， ∴和的个位数字为． 故选：C． 8．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及规律探索，正确掌握整式的运算法则是解题的关键，根据题干规律将左侧化简，再利用多项式相等的条件即可得到、的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 9．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 【详解】解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 10．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法的应用，找出本题的数字规律是解题的关键． 根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和，据此计算求值． 【详解】解：， 的系数是， 故选：D． 类型三、用图象表示变量之间的关系 11．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案； ②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可． 【详解】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意． 12．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用图象表示变量间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据开始进入时y逐渐变大，完全进入后保持不变，开始出来时y逐渐变小，进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大，并且保持不变，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 14．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用分钟追上甲 B．乙的速度为米/分 C．乙追上甲后，再跑米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的应用，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴ 乙用分钟追上甲，该选项说法正确，不符合题意； 、由图可得，甲的速度为米/分钟， ∴乙的速度为米/分，该选项说法正确，不符合题意； 、乙追上甲时，二人离终点的距离为米， ∴乙追上甲后，再跑米才到达终点， 该选项说法正确，不符合题意； 、乙到达终点所用的时间为分钟， 当乙到达终点时甲走的路程为米， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 15．（24-25七年级下·广东佛山·期末）下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（   ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，充分理解两个量之间的函数关系是解题的关键． 【详解】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； 第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； 第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系； 第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系； 故选：． 类型四、幂的运算与逆运算 16．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知（是整数）． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)256 (2) 【分析】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算法则进行求解． （1）利用同底数幂乘法的逆运算计算即可； （2）利用幂的乘方和同底数幂除法的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵， ∴． 17．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知 (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用同底数幂的乘法和除法的逆运算，进行求解； （2）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆运算进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】重点掌握幂的运算法则． 18．（23-24八年级上·广东湛江·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查幂的运算法则． （1）逆用同底数幂相乘以及幂的乘方即可解答； （2）运用同底数幂的乘除法则以及幂的乘方即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴原式； （2）∵，，， 原式． 19．（23-24七年级下·江苏南京·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)________； (2)已知，请把用“<”连接起来：________； (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】本题考查幂的运算的逆用： （1）逆用积的乘方，进行求解即可； （2）将化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可； （3）逆用同底数幂的乘除法，幂的乘法，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）， ∵， ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴． 20．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： (1)已知，试用含m，n的代数式表示； (2)已知，试用含m，n的代数式表示； (3)已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方的逆运算法则，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方逆运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则变形即可； （2）先根据幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法逆运算法则变形即可求解； （3）先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方逆运算法则变形即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 类型五、整式乘法中的化简求值问题 21．（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】； 【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式 22．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2026 【分析】此题考查了整式的混合运算和代数式的求值．利用平方差公式和完全平方公式展开括号内部分，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 23．（25-26八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式混合运算及求值；先在括号内利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再进行加减运算，然后进行除法运算，最后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 24．（25-26八年级上·四川广安·期末）先化简，再求值；，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． 先利用乘法公式计算括号内，再利用整式除法化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 25．（25-26八年级上·河南新乡·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值．，利用平方差公式和单项式乘以多项式展开括号内部分，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 类型六、平方差公式与几何图形 26．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】(1)；； (2) (3)3 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 【详解】（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 27．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①； ②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：． 【答案】(1) (2)①9996；② (3) 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． (1)用代数式表示图1，图2中阴影部分的面积即可； (2)①写成，利用平方差公式进行计算即可； ②利用平方差公式进行计算即可； (3)配上因数，连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：， 图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ； 故答案为：； （2）①解： ； ②解： ； （3）解： ． 28．（25-26八年级上·江苏南通·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形． (1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________； (2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值； (3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，之间的等量关系式是解题的关键. （1）根据大正方形的面积等于个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）设两个正方形，边长分别为，，先根据完全平方公式的变形求出，利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可. 【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于个小长方形面积和小正方形面积之和， ， ； 故答案为：； （2）解：由（1）得， 又∵， ∴； （3）解： 设两个正方形，边长分别为，， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ． 29．（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）见解析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】此题考查了完全平方公式与图形面积，平方差公式与图形面积，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 30．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）两数和（差）的完全平方公式，在数学发展的长河中，这一经典恒等式不仅揭示了代数结构的对称与简洁，更是勾连几何直观与代数运算的重要桥梁，通过对它的灵活运用与变形，我们可以探索更广泛的数学问题，体会数学内在的统一之美． 例：若，求的值． 解：因为， 所以． 根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)已知，，则________； (2)若x满足，求的值； (3)如图，是某校的运动场所规划用地示意图：在正方形空地中开发一个长方形的排球运动场区域，经测量该区域的面积为250平方米，米，米．以为边开发正方形区域为篮球运动场，以为边开发正方形区域为乒乓球运动场，开发长方形区域为羽毛球运动场，求篮球运动场区域比乒乓球区域大多少平方米？ 【答案】(1)28 (2)； (3)篮球运动场区域比乒乓球区域大525平方米． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是掌握完全平方式的变形． （1）根据所给思路，结合完全平方公式变形计算即可； （2）设，，然后根据完全平方公式变形计算即可； （3）设，，由题意得，，根据，求得，利用平方差公式即可求得的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：28； （2）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：设，， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴，即篮球运动场区域比乒乓球区域大525平方米． 类型七、完全平方公式与几何图形 31．（25-26八年级上·广东广州·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）利用，代入求值即可； （4）延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为，结合已知条件分别表示出阴影部分的图形和的表达式，再将二者相加，结合，，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：在图1中，由图可知，， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． （2）解：在图2中，由图可知，，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：如图，延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为， ∵正方形边长为m，正方形边长为n，E为的中点， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 32．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）【教材原理】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为_____ 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ． 33．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． ()设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； ()设，利用完全平方公式变形求解即可； ()利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值： ， 所以， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值：， 解得：， ∴； （3）解：如图可得：， 设，则，且， 根据完全平方公式：， ∴． 34．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （1）若，，则______； 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （2）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）， ， 当，时， ． 故答案为：． （2），， ； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 35．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 【答案】【小问1】； 【小问2】； 【小问3】 【分析】（1）通过两种方法计算图2中长方形的面积，一种是直接用长乘宽，另一种是将其分割为小正方形和小矩形后求和，从而推导出对应的代数恒等式． （2）利用完全平方公式的变形，通过设元将已知条件转化为和的具体值，再代入变形公式即可求出所求代数式的值． （3）设出直角三角板的直角边，利用三角板的面积和与的面积和这两个条件，结合完全平方公式求出直角边的和，得到线段的长度． 【详解】（1）解：图2中，大长方形的长为，宽为，面积为； 同时，大长方形可分割为一个边长为的正方形、三个长为宽为的矩形和两个边长为的正方形，面积和为， 故恒等式为； （2）解：设，， 则，． ∵， ∴； （3）解：设，． ∵，、、共线， ∴，． ∵三角板的面积为， ∴，即． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即． 类型八、整式乘法中的新定义型问题 36．（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 37．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据新定义，化简计算即可； （2）因为，由（1）知，则，又已知，则变形计算即可：①②； （3）令，则，由得，求即求即可． 【详解】（1）解：由新定义运算可知： ； 故答案为：； （2）解：∵ 由（1）知， 即， ， 又∵， ①； ②， ∴； （3）解：令 则， 由得， ∴， 即． 38．（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)5000 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为5000． 39．（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． 40．（25-26八年级上·福建泉州·期末）定义：若多项式满足（其中是常数，且），则称多项式为“和谐多项式群”，常数叫做多项式的“和谐值”．例如多项式满足，那么多项式叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，的“和谐值”． (1)试判定多项式是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式为“和谐多项式群”（其中是常数，且），“和谐值”为． ①试说明满足的数量关系； ②设，请用含、的代数式表示； (3)若，，为“和谐多项式群”，，满足（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的的值． 【答案】(1)多项式，，是“和谐多项式群”，“和谐值” (2)①；② (3)当时，或者当时， 【分析】（1）通过计算判断即可； （2）①首先化简，然后根据题意得到，求出； ②将和代入求解即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别根据“和谐多项式群”的定义和“和谐值”为求解即可． 【详解】（1）解：多项式，，是“和谐多项式群”． 理由： 多项式是“和谐多项式群”，“和谐值”． （2）解：① 多项式为“和谐多项式群” ，即； ②多项式为“和谐多项式群” “和谐值” 又 ； （3）解：当时，， 此时 又 ， 或 或 又 当时，， 此时 又 此时，不符合题意． 当时，， 此时 又 此时，符合题意． 综上所述，当时，或者当时，． 类型九、用频率估计概率的综合应用 41．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1)； (2)估计其中不合格品有件 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率可得任抽一件该产品是合格品的概率，用总件数乘合格的频率即可得出m的值； （2）总件数乘以不合格的概率即可． 【详解】（1）解：估计任抽一件该产品是合格品的概率是， ， 故答案为：，； （2）解：抽取件数为时，合格的频率趋近于， 估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计其中不合格品有件． 42．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据： 摸球总次数 出现黄色乒乓球的次数 出现黄色乒乓球的频率 (1)填空： ， ； (2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1） (3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？ 【答案】(1)， (2)0.4 (3)估计盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， （1）利用概率公式求出，的值即可； （2）根据表格中的数据即可得出结论； （3），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：，； （2）由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是， 故答案为：； （3）解：由（2）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）； 白色乒乓球有个， 答：盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个． 43．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【答案】(1)，50 (2) (3)这片鱼塘的价值大约是80000元． 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为； 故答案为：； （3）解：这个鱼塘中鱼约有（条）， （元）， 答：这片鱼塘的价值大约是80000元． 44．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 45．（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 类型十、用表格、关系式、图象表示变量之间的关系 46．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【答案】(1)50，8； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格数据求解即可． （2）根据题意列出关于t的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，当时，1号车与货仓A的距离， 当时，1号车与货仓A的距离， 则1号智能无人运输车在之前的速度为， 则当时，1号车与货仓A的距离． 即． ∵2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶， ∴2号车的速度为：， 故答案为：50，8； （2）解：由题意，得， 解得． 2号车与A货仓的距离为时的值为． 47．（25-26八年级上·陕西铜川·期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 【答案】(1)20 (2)8，4 (3)甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确读图是解题的关键： （1）根据乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，直接从图象获取信息作答即可； （2）根据图象可知，甲无人机升高，乙无人机升高，进行求解即可； （3）用时甲的高度减去乙的高度即可． 【详解】（1）解：由图象可知：楼顶距离地面的高度是， 故答案为：20； （2）解：甲无人机的速度是， 乙无人机的速度是， 故答案为：8，4； （3）解：（米）． 答：甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米． 48．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，请解答下列问题： 放水时间 0 1 2 3 4 …… 水池中的水量 50 48 46 44 42 …… (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)这个放水过程中，每分钟放水 ，放水 后，水池中的水全部放完； (3)根据上表反映的规律，试写出水池中的水量V与放水时间t的关系式 ． 【答案】(1)放水时间，水池中的水量 (2)2，25 (3) 【分析】本题考查了用图象和关系式表示变量之间的关系，通过分析题意列出正确的关系式是解决本题的关键． （1）根据表格，理解题意得出自变量和因变量即可； （2）根据表格得出这个放水过程中，每分钟放水量，根据总量求出水池中的水全部放完需要的时间即可； （3）根据题意得出水池中的水量V与放水时间t的关系即可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是放水时间，因变量是水池中的水量； （2）解：根据题意得：这个放水过程中，每分钟放水， 水池中的水全部放完需要的时间为： ． （3）解：水池中的水量V与放水时间t的关系式为：． 49．（23-24七年级下·江西九江·期末）甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】(1)120 (2)；； (3)乙的速度是（千米/时）， (4)甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可得，A、B两地之间路程为120千米； （2）根据图象中的数据可以解答本题； （3）根据图象知，根据相遇时间为2小时可得乙的速度，根据路程除以速度可求出乙行完全程所用时间； （4）分相遇前相距30千米和相遇后相距30千米，列方程求解即可 【详解】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120； （2）解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M； （3）解：乙的速度是：（千米/时）； ， （4）解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 50．（24-25六年级下·山东淄博·期末）综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米． (1)在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________； (2)___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由； (3)求y与x之间的关系式； (4)根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①___________，___________； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)自变量是x，因变量是y (2)，时不符合题意，理由见解析 (3) (4)①18，16；②当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）；③y存在的最大值为18，此时x的值为3 【分析】本题考查用表格表示两个变量间的关系、用关系式表示两个变量间的关系，理解题意，能从表格数据中获取信息是解答的关键． （1）根据自变量和因变量的定义求解即可； （2）由篱笆的长度和图形周长求法列代数式即可求得表示的代数式，再求得当时的的值，进而与9比较大小可得结论； （3）根据长方形的面积公式求解即可； （4）①分别将和代入（3）中关系式中可求解m、n值； ②由表格数据中自变量和因变量的变化可得结论； ③根据表格因变量的变化规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，自变量为x，因变量为y； （2）解：设垂直于墙的两边，的长均为x米， 根据题意，米， 当时，， ∴时不符合题意； （3）解：由题意，得； （4）解：①当时，，即； 当时，，即； ②根据表格数据变化，当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）； ③根据表格数据变化，y随x的增大，先增大再减小，在时，取得最大值， 即y存在的最大值为18，此时x的值为3． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题01代数压轴题50练 目 录 类型一、多项式乘多项式与图形面积.2 类型二、多项式乘法中的规律性问题..6 类型三、用图象表示变量之间的关系..10 类型四、幂的运算与逆运算.13 类型五、整式乘法中的化简求值问题..16 类型六、平方差公式与几何图形…………… 19 类型七、完全平方公式与几何图形. 27 类型八、整式乘法中的新定义型问题.………。 35 类型九、用频率估计概率的综合应用. …43 类型十、用表格、关系式、图象表示变量之间的关系 48 类型一、多项式乘多项式与图形面积 1.(25-26八年级上福建泉州期末)如图，将6张长为a,宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中， 大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当 AB的长变化时， 2S1,S2 与的差始终不变，则a与b的数量关系为() A b D S S b B a A.a=2b B.a=3b C.2a=3b D.3a=2b 2.(25-26八年级上·河南南阳·期末)现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明 要用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为3x+2y、2x+y的长方形（不重叠、无缝隙）.下列判断正确的 是() 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 甲 乙 丙 A.甲种纸片剩4张 B.丙种纸片缺4张 C.乙种纸片缺1张 D.甲种和乙种纸片都不够 3.(25-26八年级上北京密云期末)已知a>6,若正方形M的边长为 a-4) 其面积记为5“，长方形 N的长 a-2,宽为a-60,其面积记为5，则与的大小关系为(） M N a-6 a-2 a-4 A. SN-SM=2 B.Sw=Sy C.Su-Sy=2 D.Sw-Sy=4 4.(25-26七年级上福建福州期末)用三个同(1)图的长方形和两个同(2)图的长方形用两种方式去 SL= 覆盖一个大的长方形ABCD,当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，S,() 2 (1) (2) (3) (4) 4 A.3 B.2 3 C. D.3 5.(24-25七年级下·浙江宁波期末)如图1，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2、图3的方式放置在同一个正方形中.若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出() ① ④ B ⑤ A ② B B B ⑥ ③ 图1 图2 图3 A.图形①与图形②的周长和 B.图形④与图形⑥的周长和 C.图形①与图形②的周长差 D.图形④与图形⑥的周长差 类型二、多项式乘法中的规律性问题 6.(25-26八年级上河南信阳·期末)我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的 三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨 样三角，计算a+b) 的展开式中，含a项的系数是() (a+b)°= 1………1 (a+b)'= a+b…11 (a+b)2= a2+2ab+b2…121 (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3.…1331 (a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…14641 A.15 B.10 C.9 D.6 7.(25-26八年级上四川资阳期末)观察下列各式，寻找规律.已知x≠1，计算： (x-101+x)=x2-1(x-101+x+x2)=x3-1 (x-101+x+x2+x3)=x-1(x-101+x+x2+x3+x4)=x3-1 则1+3+32+33+…+3的个位数字是() A.4 B.3 C.1 D.0 3/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(24-25七年级下·安徽安庆期末)在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“ ∑”如：记后 k=1+2+3++(+1)+n∑(x+k)=(x+1)+(x+2)++(x+n .已知： 2[x+k)6x-k+]-=a+4+b ,则a+b的值是() A.16 B.-16 C.20 D.-20 9.(2526八年级上山东济宁期未)如图所示，用“杨辉三角”可以解释a+bm=12,34)的展开式 (按a的次数由大到小的顺序.b反之)的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1,2,1， 恰好对应希0+b旷的展开式心+26+公中各项的系数：第4行的4个数，，1拾好对应若口+b 的展开式口+3a6+3ab+少中各项的系数。当”是大于4的白然数时，上述规律仍然成立.则2x-1少的 展开式中含x的系数() …(a+b) .…(a+b)2 …(a+b)3 …(a+b)4 A.-80 B.40 C.80 D.-40 10.(25-26八年级上·云南曲靖·期末)杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》 中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作 “杨辉三角”或“贾宪三角”.杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的 上方（左右）两数之和.例如，此三角形中第六行的6个数1,5,10,10,5,1，恰好对应着 (a+b)3=a3+5ab+10a2b2+10a2b3+5ab+b 展开式中的系数，则a+b)的展开式中a6的系数是《） 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四 五十)（十）（五 六 A.7 B.15 C.21 D.35 类型三、用图象表示变量之间的关系 11.(25-26八年级上浙江丽水期末)下列三个问题中的两个变量y与x之间的函数关系可以用如图表示 的是() ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积)与它的宽x: ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程'与行驶时间x: ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量'与放水时间x, A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 12.(25-26八年级上江苏镇江·期末)某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处.如果这个注满水的容 器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度hcm与放水时间ts之间的关系是() 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 h/cm 本h/cm ◆h/cm A. D 0 t/s t/s O h/cm d/s 13.(25-26八年级上江苏盐城期末)如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道 的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是() 由 火车隧道 14.(25-26八年级上辽宁沈阳·期末)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步 3000米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离y(米) 与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列说法错误的是() 以米 240 04 10 t分 A.乙用6分钟追上甲 B.乙的速度为100米/分 C.乙追上甲后，再跑2400米才到达终点 6/23 ©学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 15.(24-25七年级下广东佛山期末)下面四幅图象均表示变量之间的关系.按图象从左到右的顺序，选 择与之相近的情境，正确的顺序是() 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与 主① 时间的关系 ②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 ③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 ④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A.①②④③ B.①③④② C.④③①② D.④②①③ 类型四、幂的运算与逆运算 16.(24-25七年级下江苏苏州期末)已知 =8,a=32m,"是整数) (1)求am+"的值： (2)求a-2”的值. 17.(25-26八年级上安徽铜陵期末)已知3°=4,3°=8,3°=10. (1)求3+-的值. (2)求32a-的值. 18.(23-24八年级上广东湛江期末)(1)已知2=6,2”=3，求24的值. (2)已知10"=5,10°=2,10=4，求10m+2m-P的值. 7/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(23-24七年级下·江苏南京·期末)我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆 向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： 71）2025 1)4 42026= =29,b=36,c=73 a,b,c (2)已知 ，请把用“<”连接起来： 40=2,46=3 430+2h-】 (3)若 ,求 的值： 20.(24-25八年级上山东德州期末)计算： 0=m,32= (1)己知 ,试用含m,n的代数式表示2： (2)已 2=m,2=,试用含m,n的代数式表示80 2020r=a,2020'=b,2020=c 20202016x+2018y-2008: (3)已知 试将 用含a、b、c的代数式表示出来. 类型五、整式乘法中的化简求值问题 21.(25-26八年级上山西长治期末)先化简，再求值： a+2b2+(a-2b2b+a）-2a(2a-b]+2a,其 中a,b满足 a-1+(6+3)2=0 22.(25-26八年级上福建泉州期末)先化简，再求值： [(x+x-(x-]+2y,其中 x=2025,y=-1 23.(25-26八年级上福建漳州期末)先化简，再求值： [(a+b+(a-2b)a+2b)-2a]÷2b,其中 a=1,b=-2 8/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(25-26八年级上四川广安期未)先化简，再求值 [2x-y+(x+yx-](2x),其中x=2, y=3 25. (2526八年级上河南新乡期未)先化简，鸭求值：[【c-x++K+川*，其中x=-2y= 类型六、平方差公式与几何图形 26.(25-26八年级上：湖南长沙期末)图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系.在学习整式的乘法时可以发现：用两 种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式， (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式： 利用图2，可以得到等式： 利用图3，可以得到等式： a b b a a-b a-b b Q 图1 图2 图3 图4 (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式 (3)结合用(2)中你得到的等式解决问题：若实数a,b,c满足a+2b+3c=6,a2+4b+9c2=30,求 2ab+3ac+6bc的值； 27.(25-26八年级上新疆鸟鲁木齐·期末)如图(1)所示，边长为a的正方形中有一个边长为bb<a)的 小正方形，如图(2)所示是由图(1)中的阴影部分拼成的一个长方形. 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a a+b 6@W 图(2) S (1)设图(1)中阴影部分的面积为，图(2)中阴影部分的面积为，请直接写出上述过程所揭示的等式： (用a,b表示) (2)直接应用：利用这个等式计算： ①102×98， ②x-100x+10) (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果： (2+1)×(22+)x(2+1)×(2+1)×(26+1) 28.(25-26八年级上江苏南通期末)图1是一个长为a,宽为b的长方形，将四个这样的长方形拼成如 图2所示的“回”字形图其中四边形ABCD是正方形，中间的四边形EFGH也是正方形 B B H G 0 H D (E) 图1 图2 图3 ①观察图2，直接写出a+b,(a-b,b之间的等量关系式： 2)如果长方形的两条边”，ba> 满足：a+b=9,ab=12,求a-b的值： (3)将两个正方形ABCD,EFGH如图3摆放，I是边AD上任意一点，若两个正方形面积之和为34， BH=2,求图中阴影部分面积之和. 29.(25-26八年级上山东日照·期末)小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了 如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个a×a、b×b的小正方形以及a×b的小长方形硬纸片 10/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b-a 图1 图2 【实践】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：(a+b=a+2b+ (1)请你帮小明完成拼图设计： (2)应用上述公式解决如下问题： ①已知a+b=3,a2+b2=5,求ab的值： ②若-5+0-=10，x-50-= 【实践2】小红将b×b的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如 图2). (3)上述操作能验证的公式是 (4)计算： -个》 30,(25-26八年级上：四川宜宾期末)两数和（差）的完全平方公式(a士b=d±2ab+ ，在数学发展 的长河中，这一经典恒等式不仅揭示了代数结构的对称与简洁，更是勾连几何直观与代数运算的重要桥梁， 通过对它的灵活运用与变形，我们可以探索更广泛的数学问题，体会数学内在的统一之美， .x-y=4,xy=1 x2+y2 例：若 ,求 的值 解：因为x-y=4,y=1, 所以+y=6x-y+2=4+2x1=18 根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： 0尼知r产+y广=4，(x+=120,则g= ②若满足（2025-2026--30，求2025-+(2026-的值， 11/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (③)如图，是某校的运动场所规划用地示意图：在正方形空地ABCD中开发一个长方形EBGF的排球运动场 区域，经测量该区域的面积为250平方米，AE=15米，CG=30米.以EB为边开发正方形区域MQBE为 篮球运动场，以BG为边开发正方形区域BHNG为乒乓球运动场，开发长方形区域QPHB为羽毛球运动场， 求篮球运动场区域比乒乓球区域大多少平方米？ E B G 类型七、完全平方公式与几何图形 31.(25-26八年级上广东广州期末)数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可 以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： b a D b a b a b a E F B 图1 图2 图3 (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式： (2)用4个全等的长和宽分别为，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接 写出这三个f代数式a+b,(a-b,b之间的等量关系： 一； (3)若2m+3n=5,mn=1,求2m-3n的值： ④如图3，正方形4BCD和正方形EFGH的边长分别为m,(m>m）,若m+n=6,mm=3,E是B的中 点，求阴影部分面积的和. 12/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.(25-26八年级上湖北荆门期末)【教材原理】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 (a+b)2=a2+2ab+b2 a ab b2 ab b的 图① 图② 【类比探究】 (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为一 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若a+b=7,ab=4,求a2+b的值. 3)若满足5-x-)=3,求5-+-少的值。 33.(25-26八年级上·湖北荆门期末)阅读以下解法： “若》满是0-0-20)=50，求40-+0-20的值”.解.设40-y=ay-20=b,则 a+b=(40-+0-20）)=20,ab=(40-0-20)=50,则0+=a+b-2b=20-2x50=30,即 (40-y)2+(y-20)2=300 解决以下问题： 喏满足60-x-2)=2,则60-+(x-2- 2若满足2x+3+2x-=76,求22x+3)小2x- )的值： (3)如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=4,E,F分别是BC,CD上的点，且BE=DF=x,分别以FC,CE 为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN,若长方形CEPF的面积为22，求图中阴影部 13/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分的面积. G H N E B M 34.(25-26八年级上·湖北荆门期末)“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家 万事休.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式， a b G b D 图① 图② 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用 这个图形可以验证公式(a+b}'=a2+2ab+b 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 山若=3，+y=5,则r+少= 【类比应用】 (2若(20-0-30）=10，求20-寸+(-30的值. 【知识迁移】 (3)如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG.若阴影部 分的面积和为10，aCDG的面积为3，求CE的长度. 35.(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯期末)【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我 们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系.”这就是“算两 次”原理.例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.如图1可以得 (a+b)2=a2+2ab+b2 到 14/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b b 图1 图2 图3 【类比应用】 (1)如图2，可以得到的代数恒等式是： 【结论应用】 (2)若x满足(2026-x(x-2025)=4,求(2026-x+(-2025}的值： 【迁移应用】 (3)两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB=∠COD=90°）如图3所示放置，其中A,O,D在一直线 上，连接AC,BD,若一块直角三角板的面积为11，△AOC与△BOD面积之和为28，求线段AD的长. 类型八、整式乘法中的新定义型问题 36.(25-26七年级上河北沧州：期末)定义一种新运算：对任意有理数a,b都有a⊕b=2a-3b.例如： 1⊕2=2×1-3×2=-4 (1)求-2⊕3的值. (x+3a)©(x-2b) (2)化简并求值： 其中“，b互为相反数，x是最大的负整数。 2⊕a.3⊕ax2 (3)已知 与 的差中不含”项，求的值， 37.(25-26八年级上湖北荆门期末)已知a,b是实数，定义关于“4”的一种运算如下： aab=(a+b)-(a-b) (I)化简：aab=_; (2)若aab=-20,a+b=4,求下列式子的值： ①a2+b2: 15/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②a-b: ③)若2025-m)4m-2026)=-24,求(2025-m+(m-202o 的值 38.(25-26八年级上·河南焦作期末)定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称 这个正整数为“和谐数”.例如：8=32-1,16=52-3,24=7-52，则8,16,24都是“和谐数”. B135· (1)特例感知：40 “和谐数”，2026 “和谐数”.（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2k-1和2k+1,其中k是正整数，那么“和谐 数”都能被8整除吗？如果能，说明理由：如果不能，举例说明 (③)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形ABCD,其边长为 99,求阴影部分的面积. 39.(24-25八年级上江西上饶期末)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式-2x+3,由于-2x+3=-2x+1+2=(-1少+2，所以当-取任意对互为相反数的数 时，多项式x2-2x+3的值是相等的.例如，当x-1=1,即x=2或0时，x2-2x+3的值均为3；当 x-1=±2 x=3-1x2-2x+3 ,即或时， 的值均为6.于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当 x-(取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对称.例如x2-2x+3关 于x=1对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式x2-4x+5关于x=对称； 16/23 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若关于x的多项式x2+2bx+3关于x=5对称，求b的值： 3)若整式（-10x+25r+6r+9 关于x=m对称，求m的值. 40.(25-26八年级上福建泉州期末)定义：若多项式mx+a,mr+b,mx+c满足 (mx+b'-(mr+a(mx+c)=n(其中a<b<cm,”是常数，且m≠0)，则称多项式mr+a,mr+b,mr+c 为“和谐多项式群”，常数n叫做多项式mr+a,mr+b,mr+c的“和谐值”.例如多项式 3x+13x+2,3x+3满足(3x+2-(3x+13x+3)=1,那么多项式3x+13x+2,3x+3叫做“和谐多项式群”， 常数1叫做多项式3x+1,3x+2，,3x+3的“和谐值”. ()试判定多项式2x-3,2x+山2x+5是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”：若不是，请说明理 由； (2)若多项式mr+a,mr+b,mr+c为“和谐多项式群”（其中a<b<c,m,n是常数，且m≠0），“和谐值” 为n. ①试说明a,b,c满足的数量关系： ②设S=4n,请用含a、c的代数式表示S: 6)诺-3，-P,-9为“和谐多项式群”，》，9满足P>9P,9为常数，“和谐值”为-45 求出所有符合条件的P,9的值. 类型九、用频率估计概率的综合应用 41.(24-25七年级下广东揭阳·期末)工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数， 得到如下表格： 17/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 (件) 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)估计任抽 件该产品是合格品的概率是 表格中m的值为 (2)某天甲员工被抽检了1500件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 42.(24-25七年级下陕西咸阳·期末)一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次 从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据： 摸球总次数 100 200 300 400 500 600 出现黄色乒乓球的次 38 75 117 158 200 240 数 出现黄色乒乓球的频 0.38 0.375 0.395 0.40 b 率 (1)填空：a=_,b=: (2)估计出现黄色乒乓球的概率为；（精确到0.1） (③)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？ 43.(24-25九年级上宁夏银川·期末)某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的 数量来估算鱼塘的价值.他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘， 经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼. 通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼 11 19 31 数 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 n 0.095 0.103 0.100 (1)表中m= 1= (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为 (精确到0.1)： (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 18/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44.(25-26八年级上江苏盐城期末)在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的 赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘 停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据。 转动转盘的 100 200 400 500 1000 次数n 落在《红星 照耀中国》 44 92 182 225 区域的次数 m 落在《红星 照耀中国》 区域的频率 0.46 0.455 0.45 0.45 《海底两万里》 《红星照耀中国》 《西游记》 ()上述表格中a=-,b=· (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图. (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是（结果保留到小数点后两位）· (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是90°，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多 少度？ 45.(24-25七年级下广东深圳期末)THE MONSTERS(精灵天团)是泡泡玛特旗下的独家潮玩P,主 要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同.商场记 录顾客抽到LABUBU获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 19/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161 m 抽到LABUBU的频率n a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161 LABUBU ZIMOMO MOKOKO TYCOCO (1)表中的a= b= (2)“抽到LABUBU”的概率的估计值是 (精确到0.01)： (3)商场准备的20O0个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到 ZIMOMO的次数是多少个？ 类型十、用表格、关系式、图象表示变量之间的关系 46.(25-26七年级上辽宁大连期末)物流公司在一条东西向的轨道上有AB两个货仓，货仓B在A东 面l0m处.1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶8min,然后在8~l0min停下来分拣货物， 10min后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min 后到达各自的终点.设运动时间为t(单位：min),记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数 据如下： 运动时间t/min 0 3 5 8 9 10 12 15 3 10 1号车与货仓A的距离（单位：m) 0 10 a 80 b 80 C 0 0 1 8 2号车与货仓A的距离（单位：m) 18 d 50 74 90 f 130 0 3 20/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中a=】 2号车的速度为 m/min: (2)求2号车与A货仓的距离为100m时t的值 47.(25-26八年级上·陕西铜川：期末)甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞， 两架无人机同时匀速上升10，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度(m 与无人机飞行的时间 x6)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题： ◆y/m 40 20 10s (1)楼顶距离地面的高度是 m: (2)在这个过程中，甲无人机的速度是ms，乙无人机的速度是一 m/s (3)当甲、乙两架无人机上升了10s时，它们的高度差是多少米？ 48.(24-25七年级下河南平顶山期末)一个蓄水池有水50m,打开放水闸门匀速放水，水池中的水量 (m) 和放水时间 (min) 的关系如表，请解答下列问题： (min) 放水时间 0 1 2 3 4 水池中的水量 v(m) 50 48 46 44 42 … (①)在这个变化过程中，自变量是_，因变量是_： (2)这个放水过程中，每分钟放水m，放水min后，水池中的水全部放完： (3)根据上表反映的规律，试写出水池中的水量V与放水时间t的关系式， 49.(23-24七年级下江西九江期末)甲骑自行车以20千米/时从A地去B地，乙骑摩托车从B地去A地， 21/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为t(小 时)之间的关系如图所示. AS千米) 120 M 2 m 6小时) (I)A、B两地之间的路程为_千米； (②)从点M、点N、点P三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点；表示乙到达终点的是点 ;表示甲、乙相遇的是点： (3)求乙的速度和m值： (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米。 50.(24-25六年级下山东淄博期末)综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其 一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中BC不超过9米，如图所示.设垂直于墙的两边AB，CD 的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米. B (1)在x,y这两个变量中，自变量是 因变量是 (2)BC= 米（用含x的式子表示），请判断当x=0.5时是否符合题意，并说明理由： (3)求y与x之间的关系式： (4)根据(3)中y与x之间的关系式补充下面表格： x(米) 1.5 2 2.5 3 3.5 4.5 y(米 13.5 16 17.5 17.5 13.5 2) ①m= n= ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征： ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是 22/23 ©学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 最大值，还是最小值)及此时x的值；若不存在，请说明理由. 23/23