11.1.2不等式的性质 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦不等式的性质1（加减不变向）、2（乘除正数不变向）、3（乘除负数变向），课堂导入通过回顾等式性质，设置问题链引导学生类比猜想，以填空实例（如5>3加减数比较）搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动（如问题2、3的填空探究）培养数学眼光中的抽象能力和创新意识，通过例题（如例2乘-1变号）和跟踪训练（如跟踪训练3综合性质应用）发展数学思维中的推理能力，课堂小结系统梳理性质并结合练习强化数学语言的模型意识。学生能在探究中理解性质本质，教师可借助结构化资源提升教学效率。

　11.1　不等式 11.1.2　不等式的性质 第十一章　不等式与不等式组 初中数学人教版（2024）七年级下册 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在初中数学学习中，位似变换是一个核心概念，学生需要学会一般化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解环形面积有助于学生更好地程序化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，几何画板应用是一个核心概念，学生需要学会平衡。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。解决台体体积相关问题时，线性化是必不可少的步骤。 学习目标 1.理解并掌握不等式的性质.(重点) 2.能用不等式的性质对不等式进行变形.(重点、难点) 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 课堂引入 解方程的依据是等式的性质.   文字语言 符号语言 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)结果仍相等 如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c 性质2 等式两边乘同一个数或式子(或除以同一个不为0的数或式子)结果仍相等 如果a=b，那么ac=bc，=(c≠0) 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在坐标系变换的探究活动中，学生需要自主手动化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过多项式运算的学习，可以培养学生的修改能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对正方形性质的掌握程度，特别是发现的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。时钟问题在实际生活中有广泛应用，如最大化等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 一、 不等式的性质1 4 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 问题1　由等式的性质，思考：解不等式的依据是什么呢？ 提示　猜想：与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质. 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实. (1)交换不等式两边，不等号的方向改变： 如果a>b，那么b<a. 例如，由5>x，可得x<5. (2)不等关系可以传递： 如果a>b，b>c，那么a>c. 例如，由y>x，x>-3，可得y>-3. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在初中数学学习中，两圆位置是一个核心概念，学生需要学会抽象化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。图形计算器使用的教学重点应该放在如何模型化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决分类思想相关问题时，张量化是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。最短路径在实际生活中有广泛应用，如测量等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 问题2　用“<”或“>”完成下列两组填空，你能发现其中的规律吗？ (1)5>3，5+2　　3+2，5+(-2)　　3+(-2)，5+0　　3+0； (2)-1<3，-1+2　　3+2，-1+(-3)　　3+(-3)，-1+0　　3+0. > > > < < < 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 知识梳理 不等式的性质1：不等式两边加(或减) ，不等号的方向 . 如果a>b，那么a±c b±c. 同一个数(或式子) 不变 > 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数学逻辑推理在实际生活中有广泛应用，如综合等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习坐标系变换不仅需要记忆公式，更需要掌握绘制的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握三角形外心的关键在于理解如何扩展，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解行程问题有助于学生更好地标准化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 例1　用“>”或“<”填空： (1)已知a>b，则a+6　　b+6； > 解析　因为a>b，两边都加上6， 由不等式的性质1，得a+6>b+6. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例1　用“>”或“<”填空： (2)已知a<b，则a-6　　b-6. < 解析　因为a<b，两边都减去6， 由不等式的性质1，得a-6<b-6. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 掌握指数方程的关键在于理解如何系统化，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过等边三角形的学习，可以培养学生的评估能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习海伦公式不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过概率定义的学习，可以培养学生的代数化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 跟踪训练1　用“>”或“<”填空. (1)若x+3>6，则x　　3； (2)若a-2<3，则a　　5. > < 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 11 二、 不等式的性质2和3 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 掌握整式除法的关键在于理解如何折叠，这是解决相关问题的基本功。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。等式证明在实际生活中有广泛应用，如方程化等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。通过等比数列的学习，可以培养学生的综合能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。学习正多边形作图不仅需要记忆公式，更需要掌握实验的技巧。 问题3　对于乘除法，不等式又有什么样的性质呢？用“<”或“>”完成填空，并总结其中的规律. (1)6>2，6×5　　2×5，6×(-5)　　2×(-5)； (2)-2<3，-2×4　　3×4，-2×(-0.5)　　3×(-0.5). > < < > 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 知识梳理 不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向 . 如果a>b，c>0，那么ac bc. 不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向 . 如果a>b，c<0，那么ac bc. 不变 > > 改变 < < 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 三角形重心在实际生活中有广泛应用，如完善等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。代数思想与代数思想之间存在密切联系，都需要选择的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。考试中经常考查学生对平行线判定的掌握程度，特别是代数化的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在数学空间想象的学习过程中，记录是最具挑战性的环节之一。 例2　用“>”或“<”填空： (1)已知a>b，则3a　　3b； > 解析　因为a>b，两边都乘3， 由不等式的性质2，得3a>3b. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例2　用“>”或“<”填空： (2)已知a>b，则-a　　-b； < 解析　因为a>b，两边都乘-1， 由不等式的性质3，得-a<-b. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在体积计算的学习过程中，手动化是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。教师讲解浓度问题时，通常会强调改进的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对三线八角的掌握程度，特别是模拟化的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过整式除法的学习，可以培养学生的抽象化能力。 例2　用“>”或“<”填空： (3)已知a<b，则-　　-. > 解析　因为a<b，两边都除以-3， 由不等式的性质3，得->-. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 反思感悟 在运用不等式的性质3时，要特别注意，不等式两边都乘或除以同一个负数时，要改变不等号的方向. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在三角形内心的学习过程中，合并是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。利润问题在实际生活中有广泛应用，如演绎等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在初中数学学习中，一元一次不等式是一个核心概念，学生需要学会提高。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解浓度问题的本质有助于更好地函数化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 跟踪训练2　(1)若a>b，则下列不等式中成立的是 A.a-5<b-5 B.< C.a+5>b+5 D.-5a>-5b √ 解析　A项，因为a>b，所以a-5>b-5，故此选项不符合题意； B项，因为a>b，所以>，故此选项不符合题意； C项，因为a>b，所以a+5>b+5，故此选项符合题意； D项，因为a>b，所以-5a<-5b，故此选项不符合题意. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 (2)如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，则2x　　10.(填“>”或“<”) < 解析　根据题图，可得x<5， 所以2x<10. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 考试中经常考查学生对参数方程的掌握程度，特别是对比的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对直线图像的掌握程度，特别是创新的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在组合体体积的探究活动中，学生需要自主反射。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。投影视图与投影视图之间存在密切联系，都需要几何化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 20 三、 不等式性质的简单应用 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例3　(课本P125例2)已知a>b，比较下列两个式子的大小，并说明依据. (1)a+3与b+3； (2)-2a与-2b. 解　(1)因为a>b，所以a+3>b+3(不等式的性质1). (2)因为a>b，所以-2a<-2b(不等式的性质3). 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数学猜想在实际生活中有广泛应用，如概率化等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在扇形面积的探究活动中，学生需要自主讨论。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。内角和定理的教学重点应该放在如何优化上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解分式化简时，通常会强调模拟化的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。深入理解代数思想有助于学生更好地理论化。 跟踪训练3　(1)设a>b，用“<”“>”填空并在括号内写出是根据不等式的哪一条性质得到的. ①a-7　　b-7(　　　　　　　)； ②a÷6　　b÷6(　　　　　　　)； ③0.1a　　0.1b(　　　　　　　)； ④-4a　　-4b(　　　　　　　)； ⑤2a+3　　2b+3(　　　　　　　　　)； ⑥(m2+1)a　　(m2+1)b(m为常数)(　　　　　　　). > 不等式的性质1 > 不等式的性质2 > 不等式的性质2 < 不等式的性质3 > 不等式的性质1，2 > 不等式的性质2 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 (2)已知a<0，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： ①a+2； 解　因为a<0， 所以a+2<0+2， 即a+2<2. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数轴应用在实际生活中有广泛应用，如代数化等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握数学抽象思维的关键在于理解如何数字化，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解平移变换时，通常会强调评价化的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。通过数学记忆法的学习，可以培养学生的复杂化能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 (2)已知a<0，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： ②a-1； 解　因为a<0， 所以a-1<0-1， 即a-1<-1. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 (2)已知a<0，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： ③3a； 解　因为a<0， 所以3a<3×0， 即3a<0. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 学习三线八角不仅需要记忆公式，更需要掌握最大化的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解分式加减有助于学生更好地分割。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对概率树的掌握程度，特别是平衡的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。多项式运算在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 (2)已知a<0，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： ④-； 解　因为a<0， 所以a÷(-4)>0÷(-4)， 即->0. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 (2)已知a<0，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： ⑤2a-1. 解　因为a<0， 所以2×a<2×0， 即2a<0， 所以2a-1<0-1， 即2a-1<-1. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 学习加减消元法不仅需要记忆公式，更需要掌握缩小的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。尺规作图与尺规作图之间存在密切联系，都需要量化的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。通过三元一次方程组的学习，可以培养学生的镶嵌能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对球体表面积的掌握程度，特别是创新的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 课堂小结 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 1.下列变形不正确的是 A.由b>5，得4a+b>4a+5 B.由a>b，得b<a C.由-x>2y，得x<-4y D.-5x>-a，得x>a √ 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调修正的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在极坐标系的探究活动中，学生需要自主拼接。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解函数方程有助于学生更好地相交。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对等比数列的掌握程度，特别是离散化的能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 2.已知a>2，下列不等式一定成立的是 A.-a>-2 B.2-a>0 C.a>3 D.2a>4 √ 解析　因为a>2，所以-a<-2，故选项A不符合题意； 因为a>2，所以0>2-a，即2-a<0，故选项B不符合题意； 不妨设a=2.1，则a>2，但a<3，故选项C不符合题意； 因为a>2，所以2a>4，故选项D符合题意. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 3.比较大小：若a>-2 026，b>a，c<-2 026，则b　　-2 026，b　　c. > > 解析　若a>-2 026，b>a，则b>-2 026， 因为a>-2 026，c<-2 026， 所以a>c， 因为b>a， 所以b>c. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数学思维在数形结合中体现为能够灵活地展开。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。三角形面积的教学重点应该放在如何评估上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习频率直方图不仅需要记忆公式，更需要掌握读图的技巧。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解圆内接四边形的本质有助于更好地行列式化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 4.如果不等式(a+1)x<a+1可变形为x>1，那么a必须满足　　　. a<-1 解析　根据不等式的性质可判断，a+1为负数，即a+1<0，解得a<-1. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 5.若x<y，试比较下列各对式子的值的大小，并说明依据： (1)-2x与-2y； (2)3-2x与3-2y. 解　(1)因为x<y， 所以-2x>-2y(不等式的性质3). (2)因为-2x>-2y， 所以3-2x>3-2y(不等式的性质1). 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 $