精品解析：四川成都市实验外国语学校2025-2026学年下学期高一融通班数学学科期中试题

成都市实验外国语学校2025-2026学年度下期 融通班数学学科半期试题 时间：120分钟 满分: 150分 一、单选题(每小题5分，共40分) 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合与元素之间的基本关系以及集合与集合之间的关系逐一判断可得结论. 【详解】对于A，因为空集中不含有任何元素，因此，即A错误； 对于B，集合中只有一个元素，而中有两个元素，所以，即B错误； 对于C，空集中不含有任何元素，而中有一个元素，所以C错误； 对于D，自然数集中包含0，因此，即D正确. 故选：D 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到； 【详解】由题意，命题“”的否定为， 故选：C. 3. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的并、补运算求结果即可. 【详解】由，则，故. 故选：A 4. 已知，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与有关 【答案】A 【解析】 【详解】，故 5. 设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，若开关A闭合，则灯泡B亮，而开关A不闭合C闭合，灯泡B也亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件； 对于B，灯泡B亮当且仅当开关A闭合，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件； 对于C，开关A闭合，灯泡B不一定亮，而开关A不闭合，灯泡B一定不亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件； 对于D，开关A闭合与否，只要开关C闭合，灯泡B就亮，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件． 故选：C 6. 若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 7. 已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 8. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】， ∵，∴， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，方程组无解， 当时，有，方程组无解， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：C. 二、多选题 (每小题6分，共18分) 9. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于 C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 10. 已知关于的不等式的解集为. 则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式 的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 11. 已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】已知正实数满足且先确定，A用基本不等式求得最大值为不等于4，B代入消元化为关于的二次函数求出最大值为不等于4，C利用完全平方公式结合最大值推出最小值为，D中表达式的值恒为负数，其最小值不可能为4，因此不正确的是ABD. 【详解】选项A：由，根据均值不等式，得，平方得，即.当且仅当时取等号，故最大值为，A错误. 选项B：由，且，得. ，这是开口向下的二次函数，对称轴. 代入得最大值为，B错误. 选项C：由，得.结合A知， 故，当且仅当取等号，C正确. 选项D：由，得， 则， 因此最小值不可能为，D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12. 已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 13. 对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【解析】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 14. 已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 _________ . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题， 因为集合，当时，集合，符合； 当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题(共5题，共77分) 15. 设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案. （2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案. 【小问1详解】 ，因为，所以， 所以，． 【小问2详解】 因为是成立的必要不充分条件，所以⫋， 当时，，得 当时，． 解得 ， 所以实数的取值范围是 16. 某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. （1）求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） （2）当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 【答案】（1） （2）当时，总费用最低，最低总费用是8万元. 【解析】 【分析】（1）由题意得铺设完工所需时间为天，根据题意分析得出函数解析式即可； （2）根据（1）中函数的解析式利用函数单调性和基本不等式分析求解即可. 【小问1详解】 由题意，铺设完工所需时间为天， 当时，, 当时，， 所以 . 【小问2详解】 当时，是减函数， 所以当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立，， 因为，所以当时，总费用最低，最低总费用是8万元. 17. 已知函数. （1）若，且在上恒成立，求的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据二次函数的性质，由题中条件，得到，即可求解； （2）根据方程有两不同正根，结合判别式与韦达定理，求出，再由，即可求出结果. 【详解】（1）当时，二次函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 要使在上恒成立，只需， 所以的取值范围是； （2）因为有两个不相等的正实数根，， 所以，解得， 因为， 所以的取值范围是. 18. 已知关于的不等式：①的解集为A；②的解集为;③的解集为. （1）若，求; （2）若，求; （3）对，不等式③都不成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，解集. （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求解绝对值不等式、分式不等式得出集合，代入解一元二次不等式得集合，再计算三者交集即可； （2）对参数按、、分类，时再比较两根与2的大小，分情况写出不等式解集； （3）先求出，将题意转化为该区间内不等式恒不成立，即式子恒小于等于0，利用区间内的符号等价变形，分离参数后借助函数单调性求最值，进而得出的范围. 【小问1详解】 ①，； ②，； 时，或，， ； 【小问2详解】 不等式：， 当时，不等式化为，即； 当时，方程的根为； 若，则，解集； 若，则，不等式化为， 解集； 若，则，解集； 当时，不等式化为，且，解集. 【小问3详解】 由题意：，恒成立， 因为时，， 所以不等式等价于对恒成立， 即对恒成立， 函数在上单调递减，因此，即. 19. 已知非空集合其中，且满足：对任意都有 （1）若，求实数b的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围； （3）若S中恰好有两个整数元素，求实数满足的条件. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）已知,结合,先由得推出,再由得推出,联立得. （2）已知, ，由可知, 即, 解此不等式组并结合可得 （3）先枚举仅含两个整数的可能情况,再用端点平方验证：含时与矛盾,不成立；含0,1时由推出,再结合不含其他整数得. 【小问1详解】 已知，且对任意，都有. 首先，时，，故. 其次，由于，必有，故，解得. 综上，，即，也就是. 【小问2详解】 已知，且对任意，都有. 首先，时，，故. 由得，结合，故. 再由，得或，结合，故. 验证：当时，对任意，，满足条件. 综上，. 【小问3详解】 ①整数为 要使中仅含整数，且对任意，. 需满足：（保证且），且（保证且）. 验证：对，，即 若，则，且，则. 要使，需，即，结合. 故，此时，，符合条件. 即且. ②整数为 要使中仅含整数，且对任意，. 需满足：（保证且），且（保证且）. 验证：对，. 因，故，而， 则在上的最大值为，且， 根据题意，该最大值必须属于，即， 这与该情况下的条件矛盾，故该情况不成立， 综上，中恰好有两个整数元素的充要条件为且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校2025-2026学年度下期 融通班数学学科半期试题 时间：120分钟 满分: 150分 一、单选题(每小题5分，共40分) 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与有关 5. 设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题 (每小题6分，共18分) 9. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为. 则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式 的解集是 11. 已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 三、填空题(每小题5分，共15分) 12. 已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 13. 对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 14. 已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 _________ . 四、解答题(共5题，共77分) 15. 设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. （1）求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） （2）当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 17. 已知函数. （1）若，且在上恒成立，求的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围. 18. 已知关于的不等式：①的解集为A；②的解集为;③的解集为. （1）若，求; （2）若，求; （3）对，不等式③都不成立，求实数的取值范围. 19. 已知非空集合其中，且满足：对任意都有 （1）若，求实数b的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围； （3）若S中恰好有两个整数元素，求实数满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $